阿基米德折弦定理

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模型39 圆：折弦定理模型(学生版)

圆模型（三十九）——折弦定理模型如图，AB BC，像是一条折断的弦的中点，MD⊥BC，垂足为D，◎结论：AB、BC是⊙O的两条弦，M为ABC则AB＋BD＝CD【证明】如图在DC上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,AM,CM,AC∵BD＝DE,MD⊥BE,∴MB＝ME的中点∵M为ABC∴MA＝MC∵∠MBC＝∠MAC∴∠MEB＝∠MCA，∵∠BME＝180°－∠MBE－∠MEB，∠AMC＝180°－∠MAC－∠MCA，∴∠BME＝∠AMC，∴∠BMA＝∠EMC,易证△BMA≌△EMC,∴AB＝CE,∴AB＋BD＝CD1．（2021年四川省成都市金堂县中考数学二诊试卷）在⊙O中AB＝AC，顺次连接A、B、C．(1)如图1，若点M是AC的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O的切线；(2)如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP＝b，CM＝c，则a、b、c 有何数量关系？(3)如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD＝CE，若BE＝5，△AEF 的周长为9，请求出S△AEF的值？1．（北京市西城区三帆中学2021-2022学年九年级下学期月考数学试卷（4月份））已知：△ABC，点D是△ABC 的外接圆上一点（不与A，B，C重合），过A作射线AE，AF，且AE∥BD，AF∥CD（D，E分别在AB两侧，D，F分别在AC两侧），在射线AE上取一点M使得AM＝AB，在射线AF上取一点N使得AN＝AC，连接MN，P是线段MN的中点．(1)当∠A＝90°时，在图1中补全图形并直接写出∠MAN的度数；(2)在图2中，当D在△ABC的外接圆上移动过程中，探索∠BAC和∠MAN的关系并直接写出你的探索结果____；(3)图3中请你探索AP与BC的数量关系，并证明你的结论；(4)小逸同学在探索题目过程中，不小心把一些画图痕迹给破坏掉了，只留下如图4所示的四边形BCNM，且已知BM＝6，MP3CN＝12，∠BMN＝150°，∠MNC＝90°，小逸同学只记得A、D在BC两侧，你能帮他找出点A的位置并求出AP的长度吗？2．（广东省深圳市2018年中考数学试题）如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且0c s 1o 10=B .(1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.1．（2022年河南省社旗县九年级数学一模考试试题）请阅读下面材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理.阿基米德（Archimedes 公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Birni （973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >，M 是弧ABC 的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图2，在CD 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是弧ABC 的中点，…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边三角形ABC 内接于O ，D 为弧AC 上一点，15ABD ∠=︒，CE BD ⊥于点E ，2CE =，连接AD ，则△DAB 的周长是___________．。

阿基米德折弦定理

阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理，也称为阿基米德定理，是数学中的一个重要定理，与圆和三角函数有关。

该定理最早记载于公元前250年的古希腊数学家阿基米德的著作《圆的测量》中。

阿基米德折弦定理陈述如下：对于任意一条弧，该弧两端的弦的长度之积等于从弦中点引垂线得到的两条线段的长度之积。

即，在一个圆的内部任取一条弧，该弧的两个端点连成一条弦，然后在这条弦的中点处竖直一条线段，将弦分成两条线段，两条线段的长度之积等于从中点引垂线得到的两条线段的长度之积。

具体公式为：AB×CD=BC×DE其中，AB表示弦的长度，BC为弦的中点到圆的距离，CD和DE分别为弦的两边到圆的距离。

该定理可以用来推导出三角函数之间的关系，因此在三角函数的求解中也有着广泛的应用。

证明：如图，以弧AB所对的圆心为O，过弦AB中点C引一条竖直线段DE交弦AB于点F。

因为OF=CD=DE，所以FC=EF。

在ΔBOF中，根据勾股定理有：(BO)²=(OF)²+(BF)²由于OF=CD=DE，可以写成：(BO)²=(CD)²+(BF)²在ΔCFC'中，根据勾股定理有：(CF)²=(CC')²+(FC')²但是，因为CF=EF，且CC'为BC的中垂线，即CC'=BC/2，所以可写成：(CF)²=(BC/2)²+(FC')²又因为BC=2CF，所以可以简化成：(CF)²=(CF)²+(FC')²即，(FC')²=CF²-FC²在ΔDEF中，根据勾股定理有：(DF)²=(DE)²+(EF)²由于EF=FC，可以写成：(DF)²=(DE)²+(FC)²同理，在ΔCEF中，根据勾股定理有：(FC)²=(CE)²+(EF)²因为EF=FC，所以：(FC)²=(CE)²+(FC)²即，(CE)²=0这说明点E恰好位于圆的直径上。

数学文化之阿基米德折弦定理

阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M 是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理3种证明方法【方法1】补短法如图，延长DB至F，使BF=BA,∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，∵M、B、A、C、四点共圆，∴∠MCA+∠MBA=180°.∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,∵MD⊥CF,∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.【方法2】截长法如图，在CD上截取DG=DB，∵MD⊥BG，∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.∵M是弧ABC的中点,∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA. 又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,∴∠BMA=∠GMC.∵MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,∴CD=CG+GD=AB+BD【方法3】垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC，∵MD⊥BC，∴∠MDC=90°=∠H.∵∠MAB=∠MCB，∴△MHA≌△MDC，∴AH=CD，MH=MD.又∵MB=MB，∴Rt△MHB≌Rt△MDB，∴HB=BD，∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC·AB.【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB·BC.。

阿基米德折弦定理及其推论

维新天地iwww.zhongshucon com2021年第3期中学数学教学参考（中旬>m 阿基米德折弦定理及其推论程银生（江苏省南京市南京外国语学校河西初级中学) 杨巧玲（江苏省南京市南师附中新城初中黄山路分校)摘要：将阿基米德折弦定理通过条件弱化、中点迁移、图形重组等，得出四个推论，迁移应用所得推论，能提高解题效率。

关键词：折弦定理；条件弱化；中点迁移；图形重组；推论应用文章编号：1002-2171 (2021)3-0019-02文献[1]给出了阿基米德折弦定理的证明及圆内线段相等的推论，文献[2]给出了该定理的两弦之积相关推论，文献[3]从折弦定理出发，对一道中考压轴题进行剖析。

下面笔者从折弦定理的证明过程出发，通过条件弱化、图形中点迁移、图形分解与组合，将其结论推广到圆外，给出一般性的文字语言结论，并尝试应用所得的结论解决相关问题。

1弱化条件阿基米德折弦定理：一个圆中含折弦的弧的中点在较长弦上的射影就是折弦的中点如图1，如果和B C 组成 ©2$—条折弦（A B >B C )，点 M 为^:的中点，则过点M 向作垂线，垂足D 是折弦A B C 的中点。

证明：联结M A ，M B ，iVfC ，过点M 作M E 丄B C ，垂足为£。

因为M D 丄 ZiVfDA = Z M D B = = 90°。

由点 iV f 为乂的中点知 MA = M C ，Z M J 3A = Z ：_BMC + ZBCJW = Z 細E 。

所以 A M B D 2A M B £：,M D = M f：，BD = B E 。

所以 A M D A 2 A M E C ，从而有 AD = £C = £B +B C =D B +B C 。

故点D 是折弦A B C 的中点。

将图1简化后发现，弧的中点在两弦上的射影均有如下一致的结论：如图2，DA = |(A B + B C )，=B C );如图 3，E C =香(A B + B C )，£B = y (A B -B C )0EM\\图2图3补充说明：为了描述方便，不妨称点A ，c 为折弦 A B C 的端点，点B 为折弦A B C 的折点。

折弦定理

、8折絃定理折弦定理定理：如图，AB和BC组成一个圆的折弦，如果BC>AB。

M是弧ABC的中点，则从M点向BC所作垂线的垂足F为折弦ABC的中点，即CF=FB+BA。

折弦定理表明，一个圆的两条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影就是折弦的中点。

其条件和结论体现充分了数学命题的和谐美。

据折弦定理，还可得如下的的推论：AB和BC组成一个圆的折线，BC>AB。

①当M是折弦ABC的弧ABC的中点时，有AB·BC=MC2－MB2。

②当M是折弦ABC的弧AC的中点时，有AB·BC=MB2－MC2。

折弦定理非常有用，利用它们处理某些平几问题较为方便。

例1、已知一个正七边形A1A2…A7，求证：。

证明：如图11-40所示，作正七边形的外接圆，令A1A2=a，A1A3=b，A1A4=c依对称性，有A1A5=c，注意到A3是折弦A2A1A4的弧A2A4的中点，故A2A1·A1A4=A3A12=A3A42，故ac=b2－a2，①；又A4是折弦A3A1A5的弧A3A5的中点，因此，bc=c2－a2。

②由①－②得(a+c)c=(b+c)b，，③；据①又有，④；由③、④得。

故。

即。

说明：由本题结论可知，，这表明正七边形的七条边的倒数之和等于它的十四对角线的倒数和，此即1987年“缙云杯”的一道试题。

例2、如图11-41所示，已知P是正方形ABCD的外接圆的弧BC上一点，求证：。

证明：因C是折弦BPD的弧BPD的中点，故有DP·PB=CD2－CP2，①又B是折弦APC的弧APC的中点，故PA·PC=AB2－PB2，②由①－②，得PD·PB－PA·PC=PB2－PC2，即PB(PD－PB)=PC(PA－PC)，∴。

例3、在△ABC中，∠C=3∠A，a=27，c=48，则b=( )。

解：如图11-42所示，作△ABC的外接圆，设∠C的三等分线CD、CE 分别交外接圆于D、E，连接AD、DE、EB。

阿基米德折弦定理详解及详解

阿基米德折弦定理详解及详解
阿基米德折弦定理(Thales Theorem)又称塔尔特定理，它的定义如下：
如果有三角形ABC，在它的外接圆上有三个点A′,B′,C′，则这三个点满足AA′:BB′:CC′=1:1:1。

阿基米德折弦定理使申明了一个三角形最外面包含了一个外接圆，而这个外接圆分别在三角形每一条边对应的延长线上，但是满足一定的比例关系，也就是说，无论多大的三角形，其外接圆上所确定的三点连接后都存在一个等腰三角形。

在数学上，阿基米德折弦定理的意义在于，它的一个充分必要条件是圆的半径r （OA•OB）与三角形的边长之比等于常数C，即：
OA•OB=C*AB
从而可以推得：
AB²= 2*r*C* AB
此式两边同时乘以AB，可以得出：
AB³= 2*r*C*AB³
即：
AB³:AC³:BC³= 2*r*C:AC³:BC³
将以上式子改形，可以得出：
AB: AC: BC= √(2*r*C):AC:BC
即：
AB:AC:BC = √(2*r*C):√(2*r*C):√(2*r*C)
也就是说，只要知道外接圆的半径，就可以知道三角形ABC折弦定理的等比例。

“阿基米德折弦定理”模型(解析版)--初中数学专项训练

“阿基米德折弦定理”模型1.识别几何模型。

2.利用“阿基米德折弦定理”模型解决问题一．解答题(共5小题)1(2023•东港区校级一模)如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，AB=BD，BM⊥AC，垂足为M．证明：AM=DC+CM．(阿基米德折弦定理)【分析】如图，将△ABM 绕点B 旋转到△DBN ，使∠BAM 与∠BDC 重合，再证△BMC ≌△BNC ，可得MC =CN ，即可得出．【解答】证明：∵BC =BC，∴∠BAM =∠BDC ，又AB =BD ，将△ABM 绕点B 旋转到△DBN ，使∠BAM 与∠BDC 重合，如图，∴△ABM ≌△DBN ，∴AM =DN ，BM =BN ，∠AMB =∠N ，∵BM ⊥AC ，即∠AMB =90°，∴∠N =90°，在直角△BMC 和直角△BNC 中，BM =BN BC =BC ，∴△BMC ≌△BNC ，∴CM =CN ，∴DN =CD +CN ，∴AM =DC +CM ．【点评】本题主要考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，通过旋转构建全等三角形，是解答的本题的关键．2(2021•方城县模拟)阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图(3)，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =2，D 为AC 上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是2+22．【分析】(1)首先证明△MBA ≌△MGC (SAS )，进而得出MB =MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD =GD ，即可得出答案；(2)方法一、首先证明△ABF ≌ACD (SAS )，进而得出AF =AD ，以及CD +DE =BE ，进而求出DE 的长即可得出答案．方法二、先求出BE ，再用(1)的结论得出BE =CD +DE ，即可得出结论．【解答】(1)证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中BA =GC ∠A =∠C MA =MC，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =GD ，∴DC =GC +GD =AB +BD ；(2)解：方法一、如图3，截取BF =CD ，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB =AC ，∠ABF =∠ACD ，在△ABF 和△ACD 中,∵BA =AC ∠ABF =∠ACD BF =DC∴△ABF ≌ACD (SAS )，∴AF =AD ，∵AE ⊥BD ，∴FE =DE ，则CD +DE =BE ，∵∠ABD =45°，∴BE =AB 2=2，则△BDC 的周长是2+22．故答案为：2+22．方法二、∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AB =2，∠ABC =∠ACB ，∴由(1)的结论得，BE =DE +CD ，在Rt △ABD 中，∠ABD =45°，AB =2，∴BE =2，∴DE +CD =2，∴则△BDC 的周长是BC +BD +CD =BC +BE +DE +CD =2+22．故答案为：2+22．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．3(2021秋•海州区校级期中)某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：【问题发现】如图1，AD ，BD 为⊙O 的两条弦(AD <BD )，点C 为AB的中点，过C 作CE ⊥BD ，垂足为E ．求证：BE =DE +AD ．【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在BE 上截取BF =AD ，连接CA ，CB ，CD ，CF ．⋯⋯请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．【结论运用】如图3，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 是AB 上一点，∠ACD =45°，连接BD ，CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ．若AB =42，则△BCD 的周长为　8+42　．【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点C 为AB 的中点”改为“点C 为优弧ACB的中点”，其他条件不变，上述结论“BE =DE +AD ”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BE 、AD 、DE 之间的新等量关系，并加以证明．【分析】【问题探究】在BE 上截取BF =AD ，连接CA ，CB ，CD ，CF ，证明△DAC ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到CD =CF ，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论；【结论运用】连接AD ，在CE 上截取CF =AD ，连接AF ，证明△DAB ≌△FAC ，得到DB +DC =2EC ，根据等腰直角三角形的性质求出EC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案；【变式探究】在线段DE 上截取DF =BD ，连接CB 、CF 、CD 、CA ，证明△ADC ≌△FDC ，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：【问题探究】如图2，在BE 上截取BF =AD ，连接CA ，CB ，CD ，CF ，∵点C 为AB的中点，∴AC =BC ，∴AC =BC ，由圆周角定理得，∠DAC =∠DBC ，在△DAC 和△FBC 中，AD =BF ∠DAC =∠FBC AC =BC，∴△DAC ≌△FBC (SAS )∴CD =CF ，又CE ⊥BD ，∴DE =EF ，∴BE =EF +BF =DE +AD ；【结论运用】连接AD ，在CE 上截取CF =BD ，连接AF ，由【问题探究】可知，△DAB ≌△FAC ，∴AD =AF ，∵AE ⊥CD ，∴DE =EF ，∴EC =EF +CF =DE +BD ，∴DB +DC =2EC ，在Rt △AEC 中，∠ACE =45°，∴EC =22AC =4，∴△BCD 的周长=DB +DC +BC =8+42，故答案为：8+42；【变式探究】结论“BE =DE +AD ”不成立，BE +AD =DE ，理由如下：在线段DE 上截取DF =AD ，连接CB 、CF 、CD 、CA ，∵点C 为优弧ACB 的中点”，∴AC =BC，∴AC =CB ，∠ADC =∠BDC ，在△ADC 和△FDC 中，DA =DF ∠ADC =∠FDC DC =DC，∴△ADC ≌△FDC (SAS )，∴CA =CF ，∵CA =CB ，∴CF =CB ，又CE ⊥BD ，∴BE =EF ，∴DE =DF +EF =BE +AD ．【点评】本题考查的是圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、正确作出辅助线是解题的关键．4(2023•海口一模)【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德(archimedes ，公元前287-公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．下面是运用“截长法”证明CD =DB +BA 的部分证明过程．证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA 、MB 、MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，又∵∠A =∠C ，BA =GC ，∴△MAB ≌△MCG ，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =DG ，∴AB +BD =CG +DG 即CD =DB +BA ．【理解运用】如图1，AB 、BC 是⊙O 的两条弦，AB =4，BC =6，点M 是ABC 的中点，MD ⊥BC 于点D ，则BD =1；【变式探究】如图3，若点M 是AC 的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】如图4，BC 是⊙O 的直径，点A 圆上一定点，点D 圆上一动点，且满足∠DAC =45°，若AB =6，⊙O 的半径为5，则AD =　72或2　．【分析】【理解运用】：由“问题呈现”结论可求解；【变式探究】：在DB 上截取BG =BA ，连接MA 、MB 、MC 、MG ，由“SAS ”可证△MAB ≌△MGB ，可得MA =MG ，由等腰三角形的性质可得DC =DG ，可得结论；【实践应用】：分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解．【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD =DB +BA ，即CD =6-CD +AB ，∴CD =6-CD +4，∴CD =5，∴BD =BC -CD =6-5=1，故答案为：1；【变式探究】DB =CD +BA ．证明：在DB 上截取BG =BA ，连接MA 、MB 、MC 、MG ，∵M 是弧AC 的中点，∴AM =MC ，∠MBA =∠MBG ，又MB =MB ，∴△MAB ≌△MGB (SAS )，∴MA =MG ，∴MC =MG ，又DM ⊥BC ，∴DC =DG ，∴AB+DC=BG+DG，即DB=CD+BA；【实践应用】如图，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，∵BC是圆的直径，∴∠BAC=90°，∵AB=6，圆的半径为5，∴AC=8，∵∠D1AC=45°，∴CG1+AB=AG1，∴AG1=12(6+8)=7，∴AD1=72．当点D2在BC上方时，∠D2AC=45°，同理易得AD2=2．综上所述：AD的长为72或2，故答案为72或2．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键．5(2021•深圳四模)先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．命题：如图1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF=45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF．求证：EF=BE+DF．证明思路：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′．∵AB=AD，∠BAD=90°，∴AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDE′=180°，点F、D、E′是一条直线．根据SAS，得证△AEF≌△AE′F，得EF=E′F=E′D+DF=BE+DF．(1)特例应用如图1，命题中，如果BE=2，DF=3，求正方形ABCD的边长．(2)类比变式如图3，在正方形ABCD中，已知∠EAF=45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，连接EF．写出EF、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论．(3)拓展深入如图4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB=AD，M、N是⊙O上的两点，∠MAN=12∠BAD．①如图5，连接MB 、MD ，MD 与AN 交于点H ，求证：MH =BM +DH ，DM ⊥AN ；②若点C 在ADM(点C 不与点A 、D 、N 、M 重合)上，连接CB 、CD 分别交线段AM 、AN 或其延长线于点E 、F ，直接写出EF 、BE 、DF之间的等式关系．【分析】(1)如图1，设正方形ABCD 的边长为x ，则有CE =x -2，CF =x -3．由材料可知：EF =BE +DF =5，在Rt △CEF 中，运用勾股定理就可解决问题．(2)仿照材料中的证明思路就可解决问题．(3)①延长MD 到点M ′，使得DM ′=BM ，连接AM ′，如图5．仿照材料中的证明思路可证到AM =AM ′，∠MAN =∠M ′AN ，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．②分两种情况讨论：Ⅰ．当点C 在DNM 上时，如图6、7；Ⅱ．当点C 在AD上时，如图8．借鉴①中的证明思路就可得到结论．【解答】解：(1)如图1，设正方形ABCD 的边长为x ，则有CE =x -2，CF =x -3．由材料可知：EF =BE +DF =2+3=5．在Rt △CEF 中，∵∠C =90°，∴CE 2+CF 2=EF 2．∴(x -2)2+(x -3)2=52．解得：x 1=6，x 2=-1(舍去)所以正方形ABCD 的边长为6．(2)EF =BE -DF ．理由如下：在BC 上取一点F ′，使得BF ′=DF ．连接AF ′，如图3．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠BAD =∠ADC =90°．∴∠ADF =90°=∠B ．在△ABF ′和△ADF 中，AD =AD ∠B =∠ADF BF =DF．∴△ABF ′≌△ADF (SAS )．∴AF ′=AF ，∠BAF ′=∠DAF ．∴∠F ′AF =∠BAD =90°．∵∠EAF =45°，∴∠F ′AE =45°=∠FAE ．在△F ′AE 和△FAE 中，AF =AF ∠F AE =∠FAE AE =AE．∴△F ′AE ≌△FAE (SAS )．∴F ′E =FE ．∴EF =F ′E =BE -BF ′=BE -DF ．(3)①延长MD 到点M ′，使得DM ′=BM ，连接AM ′，如图5．∵∠ADM ′+∠ADM =180°，∠ABM +∠ADM =180°，∴∠ABM =∠ADM ′．在△ABM 和△ADM ′中，AB =AD ∠ABM =∠ADM BM =DM．∴△ABM ≌△ADM ′(SAS )．∴AM =AM ′∠BAM =∠DAM ′．∴∠MAM ′=∠BAD ．∵∠MAN =12∠BAD ，∴∠MAN =12∠MAM ′．∴∠MAN =∠M ′AN ．∵AM =AM ′，∠MAN =∠M ′AN ，∴MH =M ′H ，AH ⊥MM ′．∴MH =M ′H =DM ′+DH =BM +DH ，DM ⊥AN ．②Ⅰ．当点C 在DNM上时，如图6、7．同理可得：EF =BE +DF ．Ⅱ．当点C 在AD上时或点C 在高于点D 时，如图8．同理可得：EF=DF-BE．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，考查了阅读理解能力、自学能力、运用已有经验解决问题的能力，有一定的综合性，是一道好题．一．填空题(共1小题)6已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是2x+1．(用含有x的代数式表示)【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM=∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD=∠EPD=90°，然后由ASA 定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B=∠E，PB= EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA=∠B，进而可得：∠E=∠ECA，然后根据等角对等边可得AE=AC，进而可得PB=PE=EA+AP=AC+AP，然后将AC=x，AP=x+1，代入即可得到PB的长．【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，∵M是弧CAB的中点，∴∠BDM=∠CDM，∵MP垂直于弦AB于P，∴∠BPD=∠EPD=90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD =∠EPD PD =∠PD ∠BDP =∠EDP，∴△DPE ≌△DPB (ASA )，∴∠B =∠E ，PB =EP ，∵四边形ABDC 是圆内接四边形，∴∠ECA =∠B ，∴∠E =∠ECA ，∴AE =AC ，∴PB =PE =EA +AP =AC +AP ，∵AC =x ，AP =x +1，∴PB =2x +1．故答案为：2x +1．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，对角互补．解题的关键是：添加适当的辅助线构造圆内接四边形．二．解答题(共12小题)7如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM．【分析】首先在MA 上截取ME =MC ，连接BE ，由BM ⊥AC ，根据垂直平分线的性质，即可得到BE =BC ，得到∠BEC =∠BCE ；再由AB =BD ，得到∠ADB =∠BAD ，而∠ADB =∠BCE ，则∠BEC =∠BAD ，根据圆内接四边形的性质得∠BCD +∠BAD =180°，易得∠BEA =∠BCD ，从而可证出△ABE ≌△DBC ，得到AE =CD ，即有AM =DC +CM ．【解答】证明：在MA 上截取ME =MC ，连接BE ，∵BM ⊥AC ，∴BE =BC ，∴∠BEC =∠BCE ，∵AB =BD ，∴AB =BD，∴∠ADB =∠BAD ，而∠ADB =∠BCE ，∴∠BCE =∠BAD ，又∵∠BCD +∠BAD =180°，∠BEA +∠BCE =180°，∴∠BEA =∠BCD ，∵∠BAE =∠BDC，∴△ABE ≌△DBC ，∴AE =CD ，∴AM =AE +EM =DC +CM ．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．8问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC⋯⋯请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：(1)如图3，已知△ABC 内接于⊙O ，BC >AB >AC ，D 是ACB的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE =CE +AC ．(2)如图4，已知等腰△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，D 为AB 上一点，连接DB ，∠ACD =45°，AE ⊥CD 于点E ，△BDC 的周长为42+2，BC =2，请求出AC 的长．【分析】首先证明△MBA ≌△MGC (SAS )，进而得出MB =MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD =GD ，即可得出答案；(1)直接根据阿基米德折弦定理得出结论；(2)根据阿基米德折弦定理得出CE =BD +DE ，进而求出CE ，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ，∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中，BA =GC ∠A =∠C MA =MC，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =GD ，∴DC =GC +GD =AB +BD ；实践应用(1)如图3，依据阿基米德折弦定理可得：BE =CE +AC ；故答案为：BE =CE +AC ；(2)∵AB =AC ，∴A 是BAC的中点，∵AE ⊥CD ，根据阿基米德折弦定理得，CE =BD +DE ，∵△BCD 的周长为42+2，∴BD +CD +BC =42+2，∴BD +DE +CE +BC =2CE +BC =42+2，∵BC =2，∴CE =22，在Rt △ACE 中，∠ACD =45°，∴AE =CE =22，∴AC =4．【点评】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键．9如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB •AC ．【分析】在BA 上截取BF =CA ，连DF ，DC ，由D 为BAC的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB =DC ，易得△DBF ≌△DCA ，得到AE =EF ，于是有BF =BE -EF =BE -AE =CA ，因此BD 2-AD 2=BE 2-AE 2=(BE +AE )(BE -AE )=AB •AC ．【解答】证明：在BA 上截取BF =CA ，连DF ，DC ，如图，∵D 为BAC 的中点，∴DB =DC ，又∵∠DBF =∠ACD ，∴△DBF ≌△DCA ，∴DF =DA ，而DE ⊥AB ，∴AE =EF ，∴BF =BE -EF =BE -AE =CA ，又∵BD 2=BE 2+DE 2，AD 2=AE 2+DE 2，∴BD 2-AD 2=BE 2-AE 2=(BE +AE )(BE -AE )=AB •AC ，即证．【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质和等腰三角形的性质以及勾股定理．10问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC⋯⋯请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：(1)如图3，已知△ABC 内接于⊙O ，BC >AB >AC ，D 是AB的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE =CE +AC ；(2)如图4，已知等腰△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，D 为AB 上一点，连接DB ，∠ACD =45°，AE ⊥CD 于点E ，△BCD 的周长为42+2，BC =2，请求出AC 的长．【分析】(1)首先证明△MBA ≌△MGC (SAS )，进而得出MB =MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD =GD ，即可得出答案；(2)直接根据阿基米德折弦定理得出结论；(3)根据阿基米德折弦定理得出CE =BD +DE ，进而求出CE ，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】(1)证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中BA =GC ∠A =∠C MA =MC，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =GD ，∴DC =GC +GD =AB +BD ；(2)根据阿基米德折弦定理得，BE =CE +AC ，答案为：BE =CE +AC ；(3)根据阿基米德折弦定理得，CE =BD +DE ，∵△BCD 的周长为42+2，∴BD +CD +BC =42+2，∴BD +DE +CE +BC =2CE +BC =42+2，∵BC =2，∴CE =22，在Rt △ACE 中，∠ACD =45°，∴AC =2CE =4．【点评】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理解题关键．11【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．下面是运用“截长法”证明CD =DB +BA 的部分证明过程．证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA 、MB 、MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ①又∵∠A =∠C ②∴△MAB ≌△MCG ③∴MB =MG又∵MD ⊥BC∴BD =DG∴AB +BD =CG +DG即CD =DB +BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①相等的弧所对的弦相等，②同弧所对的圆周角相等，③　有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等　；【理解运用】如图1，AB 、BC 是⊙O 的两条弦，AB =4，BC =6，点M 是ABC的中点，MD ⊥BC 于点D ，则BD =1；【变式探究】如图3，若点M 是AC 的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半径为5，求AD长．【分析】【问题呈现】：根据圆的性质即可求解；【理解运用】CD=DB+BA，即CD=6-CD+AB，即CD=6-CD+4，解得：CD=5，即可求解；【变式探究】证明△MAB≌△MGB(SAS)，则MA=MG，MC=MG，又DM⊥BC，则DC=DG，即可求解；【实践应用】已知∠D1AC=45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB=AG1，所以AG1=1 2(6+8)=7．如图∠D2AC=45°，同理易得AD2=2．【解答】【问题呈现】①相等的弧所对的弦相等②同弧所对的圆周角相等③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；【理解运用】CD=DB+BA，即CD=6-CD+AB，即CD=6-CD+4，解得：CD=5，BD=BC-CD=6-5=1，故答案为：1；【变式探究】DB=CD+BA．证明：在DB上截去BG=BA，连接MA、MB、MC、MG，∵M是弧AC的中点，∴AM=MC，∠MBA=∠MBG．又MB=MB∴△MAB≌△MGB(SAS)∴MA=MG∴MC=MG，又DM⊥BC，∴DC=DG，AB+DC=BG+DG，即DB=CD+BA；【实践应用】如图，BC是圆的直径，所以∠BAC=90°．因为AB=6，圆的半径为5，所以AC=8．已知∠D1AC=45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1+AB=AG1，所以AG1=12(6+8)=7．所以AD 1=72．如图∠D 2AC =45°，同理易得AD 2=2．所以AD 的长为72或2．【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．12请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如图，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是⊙O 的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“截长法”证明CD=AB +BD 的部分证明过程．证明：如图，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ．⋯请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．【分析】首先证明△MBA ≌△MGC (SAS )，进而得出MB =MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD =GD ，即可得出答案．【解答】解：如图，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中BA =GC ∠A =∠C MA =MC，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =GD ，∴DC =GC +GD =AB +BD ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．13古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是优弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．(1)请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，∴MA =MC ．(2)如图(3)，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =2，D 为⊙O 上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD ，垂足为E ，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．【分析】(1)首先证明△MBA ≌△MGC (SAS )，进而得出MB =MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD =GD ，即可得出答案；(2)首先证明△ABF ≌ACD (SAS )，进而得出AF =AD ，以及CD +DE =BE ，进而求出DE 的长即可得出答案．【解答】(1)证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中∵BA =GC ∠A =∠C MA =MC，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =GD ，∴DC =GC +GD =AB +BD ；(2)解：如图3，截取BF =CD ，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB =AC ，∠ABF =∠ACD ，在△ABF 和△ACD 中∵AB =AC ∠ABF =∠ACD BF =DC，∴△ABF ≌ACD (SAS )，∴AF =AD ，∵AE ⊥BD ，∴FE =DE ，则CD +DE =BE ，∵∠ABD =45°，∴BE =AB 2=2，则△BDC 的周长是2+22．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．14请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿拉伯Al -Biruni (973年~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图(3)，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =2，D 为圆上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 的周长是2+22　．【分析】(1)如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ，首先证明△MBA ≌△MGC (SAS )，进而得出MB =MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD =GD ，即可得出答案；(2)如图3，截取BF =CD ，连接AF ，AD ，CD ．首先证明△ABF ≌ACD (SAS )，进而得出AF =AD ，以及CD +DE =BE ，进而求出DE 的长即可得出答案．【解答】解：(1)证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中∵BA =GC ∠A =∠C MA =MC，∴△MBA ≌△MGC (SAS )，∴MB =MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD =GD ，∴DC =GC +GD =AB +BD ；(2)解：如图3，截取BF =CD ，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB =AC ，∠ABF =∠ACD，在△ABF 和△ACD 中∵AB =AC ∠ABF =∠ACD BF =DC，∴△ABF ≌ACD (SAS )，∴AF =AD ，∵AE ⊥BD ，∴FE =DE ，则CD +DE =BE ，∵∠ABD =45°，AB =2∴BE =AB 2=2，∴BD +CD =2BE =22，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AB =2，则△BDC 的周长是2+22．故答案为2+22．【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．15问题提出如图①，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，AC >AB ，M 是BAC的中点MD ⊥AC ，垂足为D ，求证：CD =BA +AD ．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图②，延长CA 至E ，使AE =AB ，连接MA 、MB 、MC 、ME 、BC ．(请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．)推广运用如图③，等边△ABC 内接于⊙O ，AB =1，D 是BAC 上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD ，垂足为E ，则△BDC 的周长是　1+2　．拓展研究如图④，若将“问题提出”中“M 是BAC 的中点”改成“M 是BC 的中点”，其余条件不变，“CD =BA +AD ”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD 、BA 、AD 三者之间存在的关系并说明理由．【分析】问题提出：首先证明△EAM ≌△BAM (SAS )，进而得出ME =MC ，再利用等腰三角形的性质得出ED =CD ，即可得出答案；推广运用：首先证明△ABF ≌ACD (SAS )，进而得出AF =AD ，以及CD +DE =BE ，进而求出DE 的长即可得出答案；拓展研究：连接EA ，EF ，ED ，EB 交AC 于N ，根据已知条件得到∠BEM =∠CEM ，根据全等三角形的性质得到CD =ND ，∠ECD =∠END ，根据等腰三角形的判定得到AN =AB ，于是得到结论．【解答】问题提出：证明：如图2，延长CA 至E ，使AE =AB ，连接MA 、MB 、MC 、ME 、BC ，∵M 是BAC的中点，∴MB =MC ，∠MBC =∠MCB ，∵∠MAB =180°-∠MCB ，∵∠EAM =180°-∠CAM =180°-∠MBC ，∴∠EAM =∠BAM ，在△EAM 和△BAM 中∵AE =AB ∠EAM =∠BAM AM =AM，∴△EAM ≌△BAM (SAS )，∴ME =MC ，又∵MD ⊥AC ，∴ED =CD ，∴DC =AD +AE =BA +AD ；推广运用：解：如图3，截取BF =CD ，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB =AC ，∠ABF =∠ACD ，在△ABF 和△ACD 中∵AB =AC ∠ABF =∠ACD BF =DC，∴△ABF ≌ACD (SAS )，∴AF =AD ，∵AE ⊥BD ，∴FE =DE ，则CD +DE =BE ，∵∠ABD =45°，∴BE =AB 2=22，则△BDC 的周长是1+2，故答案为：1+2；拓展研究：不成立，CD 、BA 、AD 三者之间的关系：AD =BA +CD ，证明：连接EA ，EF ，ED ，EB 交AC 于N ，∵M 是BC的中点，∴∠BEM =∠CEM ，在△EDN 和△EDC 中，∠BEM =∠CEM DE =DE ∠EDN =∠EDC =90o，∴△EDN ≌△EDC∴CD =ND ，∠ECD =∠END ，∵∠ECD =∠ABE ，∠ENC =∠ANB ，∴∠ANB =∠ABE ，∴AN =AB ，∴AD =AN +ND =BA +CD ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．16已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，CD =BD ，AC 是四边形ABCD 的对角线(1)如图1，连接BD ，若∠CDB =60°，求证：AC 是∠DAB 的平分线；(2)如图2，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，若AC =7，AB =5，求线段AE的长度．【分析】(1)先根据CD =BD 可知CD =BD ，再由∠CDB =60°可得出△BCD 是等边三角形，故CD =BC ，由圆周角定理即可得出结论；(2)首先连接BD ，在线段CE 上取点F ，使得EF =AE ，连接DF ，易证得△CDF ≌△BDA ，继而可求得线段AE 的长度．【解答】(1)证明：∵CD =BD，∴CD =BD ，∵∠CDB =60°，∴△BCD 是等边三角形，∴CD =BC ，∴∠CAD =∠BAC ，即AC 是∠DAB 的平分线；(2)解：连接BD ，在线段CE 上取点F ，使得EF =AE ，连接DF ，∵DE ⊥AC ，∴DF =DA ，∴∠DFE =∠DAE ，∵CD =BD，∴CD =BD ，∠DAC =∠DCB ，∴∠DFE =∠DCB ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴∠DAB +∠DCB =180°，∵∠DFC +∠DFE =180°，∴∠DFC =∠DAB ，∵在△CDF 和△BDA 中，∠DFC =∠DAB ∠DCF =∠DBA CD =BD∴△CDF ≌△BDA (AAS )，∴CF =AB =5，∵AC =7，AB =5，∴AE =12AF =12(AC -CF )=1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，则AE =BE ．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA ，PB 组成⊙O 的一条折弦．C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB ．可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，PA ．PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE ，PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．【分析】(1)连接AD ，BD ，易证△ADB 为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE =BE ．(2)根据圆内接四边形的性质，先∠CDA =∠CDF ，再证△AFD 为等腰三角形，进一步证得PB =PF ，从而证得结论．(3)根据∠ADE =∠FDE ，从而证明△DAE ≌△DFE ，得出AE =EF ，然后判断出PB =PF ，进而求得AE =PE -PB ．【解答】证明：(1)如图1，连接AD ，BD ，∵C 是劣弧AB 的中点，∴∠CDA =∠CDB ，∵DE ⊥AB ，。

圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题(学生版)--初中数学专题训练

圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦模型、米勒最大张角(视角)模型、弧中点模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。

折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

【模型证明】方法1.:补短法如图，延长DB 至F ，使BF =BA∵M 是ABC 的中点∴∠MCA =∠MAC =∠MB C ∵M 、B 、A 、C 四点共圆∴∠MCA +∠MB A =180°∵∠MB C +∠MB F =180°∴∠MB A =∠MB F ∵MB =MB ,BF =BA∴△MB F ≌△MB A ∴∠F =∠MAB =∠MCB∴MF =MC ∵MD ⊥CF∴CD =DF =DB +BF =AB +BD 方法2.截长法如图，在CD 上截取DG =DB∵MD ⊥BG∴MB =MG ，∠M GB =∠MB C =∠MAC ∵M 是ABC 的中点∴∠MAC =∠MCA =∠MGB 即∠M GB =∠MCB +∠BCA =∠MCB +∠BMA又∠M GB =∠MCB +∠GMC∴∠BMA =∠GMC ∵MA =MC∴△MB A ≌△MGC (SAS )∴AB =GC ∴CD =CG +GD =AB +BD方法3.垂线法如图，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。

∵M 是ABC 的中点∴MA =MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H∵∠MAB =∠MCB ∴△MHA ≌△MDC (AAS )∴AH =CD ，MH =MD又∵MB =MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB (HL )∴HB =BD ∴CD =AH =AB +BH =AB +BD例1.(2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．其部分证明过程如下：证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，∵∠A =∠C ，∴△MAB ≌△MCG (SAS )，∴MB =MG ，⋯⋯任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，DE =7，则O 到DE 的距离是____________，O 到AC 的距离是____________，⊙O 的半径是____________．变式1.(2022秋·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =______；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =______________．变式2.(2022秋·江苏泰州·九年级统考期中)早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，AC 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ACB 是圆的一条折弦)，BC >AC ，M 是ACB的中点，过点M 作MD ⊥BC ，垂足为D ，小明通过度量AC 、CD 、DB 的长度，发现点D 平分折弦ACB ，即BD =AC +CD ．小丽和小军改变折弦的位置发现BD =AC +CD 仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”(如图2)，在BD 上㵶取BE ，使得BE =AC ，⋯⋯小丽则采用了“补短法”(如图3)，延长BC 至F ，使CF =AC ，⋯⋯小明采用了“平行线法”(如图4)，过M 点作ME ∥BC ，交圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，⋯⋯(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，△ABC 内接于⊙O (A 、B 、C 均是格点)，点A 、D 关于BC 对称，连接BD 并延长交⊙O 于点E ，连接CE ．①请用无刻度的直尺作直线l ，使得直线l 平分△BCE 的周长；②求△BCE 的周长．变式3.(2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德(公元前287年一公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al -Binmi (973年一1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD =AB +BD ，过程如下：证明：如图2所示，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ，⋯(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD ，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，则AE 的长度为_________；(3)如图4，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =8，D 为AC上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 于点E ，求△BDC 的周长．模型2.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

阿基米德折弦定理的证明及其应用

数学实践表明，注意对著名几何定理的研究，对于帮助学生
．．。．。．．．。．．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
理解课．本．．内容．．，提高分析问题和
＿、
、
阿基米德折弦定理的证明
如图１，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ顺次在圆０上，ＡＢ：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理
．、
ＤＥ．ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．
ＢＤ，ＢＭ垂直于ＡＣ，垂足为＾ｆ。证明：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．证法一如图１，在ＡＣ上
证法六
二、阿基米德折弦定理的应用
【例】在ＡＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，
Ｆ，求证２ＡＦ＝ＡＢ— ＡＣ
’
的一个外角平分
线交ＡＡＢＣ的外接圆于点，过Ｅ作ＥＦ上ＡＢ，垂足为
证明
如图４，连结ＥＢ，ＥＣ，则ｌ＝Ｌ２：／＿３＝
体现数学研究的潜能是十分重要的．
ＡＢＣＤ坌ＡＢＣＥ（ＳＡＳ）。．．ＬＢＤＣ＝ＬＢＥＣ． ’ ． ’ＬＢＡＣ
＝ＬＢＤＣ，．ＬＢＡＣ＝ＬＢＥＣ，ＡＢ＝ＢＥ．。． ’ ＢＭ上肛，． ‘ ．ＡＭ
＝ＡＥ．．。．ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．
ＢＣＡ＝ＬＢＤＡ＝ＬＢＡＤ．ＬＢＣＥ＋ＬＢＣＡ＝ＬＢＣＤ＋ＬＢＡＤ＝１８０。，． ‘ ．ＬＢＣＥ＝ＬＢＣＤ，． ‘ ＢＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＤＥ，

阿基米德折弦定理详解及详解

阿基米德折弦定理详解及详解阿基米德折弦定理是一个古老而又重要的定理，追溯到古希腊数学家阿基米德时期。

它描述的是一条三角形的有关特性，它声称对于任意一个三角形，用它的三条边长度来构造一个有一定比例关系的三个弦（线段），这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且三角形三边长和等腰三角形的边长具有相同的比例关系。

这一定理被广泛应用于几何中，其思想也被引入到现代数学推导中。

下面介绍这一定理的详细内容：1、阿基米德折弦定理：给定任意一个三角形，其三条边的长度为a,b,c，则它的三条边能够形成一个有一定比例关系的三个弦（线段），这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且这三边长度与等腰三角形的三边长具有相同的比例关系。

2、阿基米德折弦定理的证明：假设给定的任意一个三角形ABC的三条边长为a,b,c，那么由阿基米德折弦定理，我们可以构建出一个有一定比例关系的三条弦，用它们重新构造出一个等腰三角形，其中：（1）弦AB的长度为a;（2）弦BC的长度为b;（3）弦CA的长度为c;（4）等腰三角形MNP的三边长度为m、n、p，其中m=a,n=b,p=c;由于已知三角形ABC和等腰三角形MNP是相似的，根据相似三角形的性质，有：（1）a/b=m/n;（2）a/c=m/p;（3）b/c=n/p;因此可知：m/n=a/b=a/c=b/c=m/p;由此可以得出，对任意一个三角形，用它的三条边长度来构造一个有一定比例关系的三个弦，这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且三角形三边长与等腰三角形的边长具有相同的比例关系，从而证明了阿基米德折弦定理的正确性。

3、阿基米德折弦定理的应用：（1）在算术中：阿基米德折弦定理可以被用来证明平行线论，具体来说，两个平行线之间的夹角一定是相等的。

同时，它还可以用来证明垂直线论，即两条垂直线的夹角一定是直角。

（2）在几何中：阿基米德折弦定理可以用来证明任意一个三角形的中点和边的对称性，同时也可以用来证明任意一个三角形的外心构造等等。

重要但常不为人知道的几何定理

阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）,BC〉AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线,我们称之为该图的一条折弦.角平分线定理定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

该命题逆定理成立：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

该命题逆定理成立:如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.xv=uy燕尾定理因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC，D、E、F 为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。

S△ABC中,S△AOB：S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF;S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。

推论:共边比例定理：四边形ABCD（不一定是凸四边形)，设AC，BD相交于E，则有BE ：DE=S△ABC :S△ADC。

此定理是面积法最重要的定理.典型例题：如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED,BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．答案：4解析:过D作DM‖BF交AC于M(如图)因为BD=2DC，因为AE=DE,所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积,由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．解：过D作DM‖BF交AC于M(如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM:CF=CD：CB=1：3即FM=CF因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC所以△ABF的面积10×=4（平方厘米）即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米答：阴影部分的面积是4平方厘米,故答案为：4．共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

重难点05“阿基米德折弦定理”模型(原卷版)

重难点05 “阿基米德折弦定理”模型1.识别几何模型。

2.利用“阿基米德折弦定理”模型解决问题一．解答题（共5小题）1．（2023•东港区校级一模）如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为M．证明：AM＝DC+CM．（阿基米德折弦定理）2．（2021•方城县模拟）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD 于点E，则△BDC的周长是．3．（2021秋•海州区校级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：【问题发现】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD，垂足为E．求证：BE＝DE+AD．【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF．……请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝，则△BCD的周长为．【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点C为的中点”改为“点C为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“BE＝DE+AD”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BE、AD、DE 之间的新等量关系，并加以证明．4．（2023•海口一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC 是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC，又∵∠A＝∠C，BA＝GC，∴△MAB≌△MCG，∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝DG，∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝．5．（2021•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．命题：如图1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF．求证：EF＝BE+DF．证明思路：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，点F、D、E′是一条直线．根据SAS，得证△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．（1）特例应用如图1，命题中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长．（2）类比变式如图3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，连接EF．写出EF、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论．（3）拓展深入如图4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB＝AD，M、N是⊙O上的两点，∠MAN＝∠BAD．①如图5，连接MB、MD，MD与AN交于点H，求证：MH＝BM+DH，DM⊥AN；②若点C在（点C不与点A、D、N、M重合）上，连接CB、CD分别交线段AM、AN或其延长线于点E、F，直接写出EF、BE、DF之间的等式关系．一．填空题（共1小题）1．已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是．（用含有x的代数式表示）二．解答题（共12小题）2．如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC+CM．3．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为．（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．4．如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2﹣AD2＝AB•AC．5．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为；（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．6．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①，②，③；【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O 的半径为5，求AD长．7．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M 是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC．…请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．8．古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴＝，∴MA＝MC．（2）如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿拉伯Al﹣Biruni（973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al ﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M 是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为圆上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD 与点E，则△BDC的周长是．10．问题提出如图①，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图②，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用如图③，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC 的周长是．拓展研究如图④，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系并说明理由．11．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1，连接BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度．12．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE 与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．13．如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且＝，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC+CM．。

有关折弦定理的几个推论

课程篇有关折弦定理的几个推论吴文龙（甘肃省临潭县回民中学）在同一圆上有公共点的两条弦组成一条折弦。

折弦时常应用于初中数学竞赛试题中，对数学竞赛的辅导与学习具有良好的作用，值得研究和探讨。

下面讨论几个有关折弦的命题。

命题1：如图，若弦AB 、BC 组成☉O 的一条折弦，BC >AB ，D 是弧ABC 的中点，DE ⊥BC ，垂足为E ，则E 是折弦ABC 的中点，即CE=BE+AB .此命题即著名的“阿基米德折弦定理”。

此命题的证明是不难理解的，有此定理的11种证法。

图1该定理常规的证明方法有以下几种：阿基米德折弦定理证法1：补短法如图，延长DB ∵M 是弧ABC 的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵MBAC 四点共圆∴∠MCA+∠MBA =180°∵∠MBC+∠MBF =180°∴∠MBA=∠MBF ∵MB=MB ，BF=BA ∴△MBF ≌△MBA ∴∠F=∠MAB=∠MCB ∴MF=MC ∵MD ⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD 阿基米德折弦定理证法2：截长法如图，在CD 上截∵MD ⊥BG ∴MB=MG ，∠MGB=∠MBC=∠MAC ∵M 是弧ABC 的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA 又∠MGB=∠MCB+∠GMC ∴∠BMA=∠GMC ∵MA =MC∴△MBA ≌△MGC ∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD阿基米德折弦定理证法3：垂线法如图垂足为H∵M 是弧ABC 的中点∴MA=MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H ∵∠MAB=∠MCB ∴△MHA ≌△MDC ∴AH=CD ，MH=MD 又∵MB=MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB ∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD 命题2：如图，若弦AB 、BC 组成☉O 的一条折弦，BC >AB ，D 是折弦ABC 的中点，DE ⊥BC ，垂足为E ，则E 是弧ABC 的中点，即CE=AB+BE .此命题是命题1的逆命题，就称“阿基米德折弦逆定理”。

阿基米德折弦定理及其推论的应用

阿基米德折弦定理及其推论的应用作者：吕承宗来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第03期1 折弦定理如图1，AB和BC组成一个圆的折弦，如果BC>AB，M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线之垂足F为折弦ABC的中点，即FC=FB+BA.证明：如图1，在BC上取点D，使CD=AB，连结MA、MB、MC、MD.因为AM=MC，所以AM=MC.又∠DCM=∠BAM，CD=AB，所以△ABM≌△CDM，所以MB=MD.而MF⊥BD，故BF=DF，所以FC=CD+DF=AB+BF.折弦定理是由著名的数学物理学家阿基米德发现并命名的，因此，人们亦称之为阿基米德折弦定理.根据折弦定理，还可得到如下两个推论：推论1 当M是折弦ABC的ABC的中点时，有AB·BC=MC2-MB2；证明：当M是折弦ABC的ABC的中点时，如图1，由勾股定理及折弦定理知.MC2-MB2=CF2-FB2=（CF+FB）（CF-FB）=BC·AB.推论2 当M是折弦ABC的AC的中点时，有AB·BC=MB2-MC2.证明当M是折弦ABC的AC的中点时，如图2，取ABC的中点N，连结NB、NC、NM，由（1）知NC2-NB2=AB·BC.显见，NM为圆的直径，故NC2+MC2=NM2，NB2+MB2=NM2，所以NC2-NB2=MB2-MC2，所以MB2-MC2=AB·BC.2 定理及其推论的应用例1 在△ABC中，AB>AC，∠A的一个外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F，求证2AF=AB-AC.证明如图3，连结EB，EC，则∠1=∠2=∠3=∠4，又∠2=∠EBC，所以∠4=∠EBC，EB=EC，所以E是折弦弧BAC的中点，由折弦定理，可得BF=FA+AC，AB-FA=FA+AC，所以2FA=AB-AC.例2 如图4，A，B，C，D是圆上四点，AB=BC=CD.求证：BD2=AB（AB+AD）.证明因B是AC的中点，对折弦ADC，由推论，知AD·DC=BD2-AB2.教学实践表明，注意对著名几何定理的研究，对于帮助学生理解课本内容，提高分析问题和解决问题的能力，提高发散解题水平，启迪思维均颇有益处，同时这样的专题研究，既有利于学生系统灵活地掌握学过的课本知识，提高学习效率，又有利于提高数学思维的能力和综合运用知识的能力，更有利于培养学生的思维品质，调动学生学习的积极性，提高学生的专题总结水平，融会贯通所学过的几何代数知识，培养学生研究数学的兴趣，提高教与学的质量.对于培养学生探索精神和创新意识将会起到积极的作用.因而，随着教育的不断现代化，引导学生探究几何定理的应用，体现数学研究的潜能是十分重要的.。

阿基米德折弦定理相关试题

阿基米德折弦定理相关试题《阿基米德折弦定理：探索数学的奇妙之旅》嗨，小伙伴们！今天我要跟你们讲一讲超有趣的阿基米德折弦定理相关的试题。

这阿基米德啊，可真是个超级厉害的人物，他发现的这个折弦定理就像一把神秘的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢。

我记得有一次数学小测验，就碰到了一道阿基米德折弦定理的题。

题目是这样的：在一个圆中，AB和BC是两条弦（BC > AB），M是弧ABC的中点，从M向BC作垂线MD，垂足是D。

求证：BD = DC + AB。

我当时一看到这题，脑袋都大了一圈，心里直犯嘀咕：“哎呀，这可咋做呀？”旁边的同桌看到我愁眉苦脸的样子，就凑过来说：“嘿，这题看着难，其实不难呢。

你看啊，我们得先把这个圆和这些弦想象成一个大拼图。

”我有点不明白，就问：“啥拼图呀？这又不是真的拼图。

”同桌白了我一眼说：“你咋这么笨呢。

就把这个圆里的东西当成是拼图块儿，我们要找到合适的块儿拼在一起才能解题。

”我听了同桌的话，就重新看这个题。

我想啊想，突然想到阿基米德折弦定理的内容。

这个定理就像是一个隐藏的宝藏线索。

我开始试着连接MA、MC。

我想，既然M 是弧ABC的中点，那弧AM就等于弧MC。

这就好比是两个一模一样的小蛋糕，它们的份量是相等的。

然后呢，我又根据圆周角定理，得出角MAC等于角MCA。

这时候，我感觉自己好像找到了一点门道，心里有点小兴奋，就像在黑暗里看到了一丝光亮。

我对同桌说：“我好像有点思路了呢。

”同桌说：“那你快接着想呀。

”我又看了看那个垂直的MD，我想能不能构造出一些相等的线段呢？我就在BD上取一点E，使得DE = DC。

然后连接ME。

因为MD垂直于CE，且DE = DC，所以根据垂直平分线的性质，MC = ME。

这就像是给两个原本看起来不一样的东西找到了一个相等的关系，就像给两个小朋友找到了一样的玩具，他们就平等了。

现在我就有了ME = MC，又因为MC = MA，所以ME = MA。

那三角形MAE就是等腰三角形了。

阿基米德折弦定理及其推论的应用

＝
（ＣＦ＋ＦＢ）（ＣＦ —ＦＢ）＝ＢＣ・ＡＢ．
例３Ｐ是正 △ＡＢＣ劣ＩＩ￣ＢＣ
推论２当Ｍ是折弦ＡＢＣ的ＡＣ的中点时，有ＡＢ
．
上一点，如图５，求证（１）ＰＡ＝ＰＢ
＋ＰＣ，（２）ＡＰ＋ＢＣ＋ＢＰ・ＰＣ．
阿基米德折弦定理及其推论硇应用
江苏省泰州中学附属初级中学本文现将阿基米德折弦定理及其推论的应用介绍如下，供初中师生教与学时参考．
１折弦定理
２２５３００
吕承宗
ＭＣ＝ＮＭ，ＮＢ＋ＭＢ＝ＮＭ，所以ＮＣ一ＮＢ＝ＭＢ
所以 ① 一② ，得尸（朋一Ｐｃ）＝ＪＰ一Ｐｃ＝
（ＰＢ＋ＰＣ）（ＰＢ—ＰＣ），所以ＡＰ＝ＰＢ＋ＰＣ．
（２）因为Ａ是ＢＣ的中点，对折弦ＢＰＣ，由推论（２）知，ＡＰ一／ｌＢ＝ＢＰ・ＰＣ，所以４Ｐ＝ＡＢ＋曰Ｐ
于帮助学生理解课本内容，提高分析问题和解决问
知ＡＤ・ＤＣ＝ＢＤ一ＡＢ．（１）
折弦定理是由著名的数学物理学家阿基米德发
现并命名的，因此，人们亦称之为阿基米德折弦定
理．
根据折弦定理，还可得到如下两个推论：
又Ｃ是８Ｄ的中点，对折弦ＢＤＡ，由推论知Ｂ・
⑦
又因为是ＡＰｅ中点，由推论（１）知：

阿基米德折弦定理的四种常规证法

阿基米德折弦定理的四种常见证法Justin ●深圳平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位，无论是中考还是平时阶段检测，往往会在几何题目的设置上体现选拔性。

更有人说：“初中数学学得好不好，关键看几何好不好”。

这些虽然仅仅是一些说法而已，但也不无它的道理。

平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面，几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。

而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的，需要长时间的积累，总结，并应用才能较好掌握。

在整个初中范围内，圆作为一个独立的章节更显现它的重要，并以综合难度大，辅助线的作法较多着称。

下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。

问题：已知M 为的中点，B 为上任意一点，且BC MD ⊥于D .求证：DC BD AB =+证法一：(补短法)如图：延长DB 至F ，使BF=BA ∵M 为的中点∴AM=MC,∴∠MAC=∠MC A---①又∵,∴MC=MA ∴∠MBC=∠MA C---②又∵∠MBC+∠MBF=180---③由M,B,A,C 四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180---④由①②③④可得：∠MBA=∠MBF在△MBF 与△MBA 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=MB MB MBF MBA BA BF ∴△MBF ≅△MBA(SAS)∴MF=MA,又∵MC=MA ∴MF=MC又∵MD ⊥CF ∴DF=DC ∴FB+BD=DC 又∵BF=BA∴AB+BD=DC （证毕）证法二：（截长法）如图：在CD 上截取DB=DG ∵MD ⊥BG ∴MB=MG ∴∠MBG=∠MG B---① 又∵，∴∠MBG=∠MAC 又∵∠MAC=∠MCA(已证)，∴∠MBG=∠MC A---②由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG而∠MGB=∠GMC+∠MCG ∴∠GMC=∠BCA 又∵,∴∠BMA=∠BCA∴∠BMA=∠GMC,在△MBA 与△MGC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=MC MA GMC BMA MG MB ∴△BMA ≅△GMC(SAS)∴AB=GC,∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)证法三：（翻折）如图：连接MB,MC,MA,AC,将△BAM 沿BM 翻折，使点A 落至点E ，连接ME,BE∵△MBA 与△MBE 关于BM 对称，所以△MBE ≌MBA ∴MA=ME,∠MBA=∠MBE-①又∵MA=MC,∴ME=MC,又∵M,B,A,C 四点共圆，∴∠MBA+∠MCA=180---②又∵MA=MC(已证)∴∠MAC=∠MCA 又∵，∴∠MBC=∠MAC ∴∠MBC=∠MCA---③由①②③得:∠MBC+∠MBE=180∴E,B,C 三点共线。