高三数学一轮复习讲义三角函数的图像与性质教案新人教A版

三角函数的图象与性质

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32π，－1 (2π，0)

(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2，0，(2π，1)

2.三角函数的图象和性质

函数 性质

y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x

定义域 R R

{x |x ≠k π＋π

2

，

k ∈Z }

图象

值域

[－1,1]

[－1,1] R

对称性

对称轴：__ x ＝k π＋π

2

(k ∈Z )__ _； 对称中心：

_ (k π，0)(k ∈Z )__ _

对称轴：

x ＝k π(k ∈Z )___；

对称中心： _(k π＋π

2，0)

(k ∈Z )__

对称中心：_⎝ ⎛⎭

⎪

⎫k π2，0

(k ∈Z ) __

周期

2π_

2π

π

单调性

单调增区间_[2k π－π2

，

2k π

＋

π

2

](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋

单调增区间[2k π－

π，2k π] (k ∈Z ) ____；

单调减区间[2k π，2k π

＋

π](k ∈Z )______

单调增区间_(k π－π

2

，k π＋π

2

)(k ∈Z )___

3.都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解

周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π

|ω|

，

y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为

π

|ω|

.

4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2

x －4sin x ＋5，令t ＝sin

x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.

5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .

热身练习:

1．函数y ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数

C ．是偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

2．函数y ＝tan ⎝

⎛⎭

⎪⎫π4－x 的定义域为( )．

A .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪ x ≠k π－

π

4，k ∈Z

B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x ≠2k π－π

4，k ∈Z

C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

x ≠k π＋

π

4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x ≠2k π＋

π

4，k ∈Z

3．函数y ＝sin(2x ＋π

3

)的图象的对称轴方程可能是( )

A ．x ＝－π6

B ．x ＝－π12

C ．x ＝π6

D ．x ＝π

12

【解析】令2x ＋π3＝k π＋π2，则x ＝k π2＋π

12(k ∈Z )

∴当k ＝0时，x ＝π

12

，选D.

4．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )．

A ．(－π，0)

B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2，0

D.⎝

⎛⎭

⎪⎫π2，0

解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π

4(k ∈

Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.

答案 B

5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是

( )

A.(0，π)

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，0

C.⎝

⎛⎭⎪⎫3π2，2π

D .⎝

⎛⎭⎪⎫－π，－π2

6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π

6

)|对任意x ∈R 恒成立，

且f (π

2

)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )

A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )

B ．[k π，k π＋π

2](k ∈Z )

C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )

D ．[k π－π

2

，k π](k ∈Z )

【解析】当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，∴f (π6)＝sin(π

3

＋φ)＝±1

可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π

6

，k ∈Z

∵f (π

2

)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ

∴sin φ<0 ∴φ＝2k π－5π

6

由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π 得x ∈[k π＋π6，k π＋2π

3

](k ∈Z )，选C.