1.3 Fourier变换的性质
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第五章 Fourier 变换法§5 . 0 引言在数学中，为将较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用变换手段。
如数量的乘积或商可以通过对数变成对数的解或差，，而得原来数量的乘积或商。
（实质是将乘除运算（复杂）——加减运算（简单）），再如解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换等均如此。
所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量x 的积分()()(),baF f t k t dt αα=⎰实质是将某函数类A 中的函数f 通过上述积分运算变成另一类函数类B 中的函数()F α ，这里(),k t α 是一个确定的二之函数，称为积分变换的核。
选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的变换，如(),i t k t e ωα-=积分域()(),,a b =-∞∞则 ()()i t F f t dt e ωω∞--∞=⎰（ω为实变量）------------Fourier 变换(),i t k t e ωα-= 积分域()(),0,a b =∞则()()0tF f t dt e σσ∞-=⎰ （σ为实变量）-------------Laplace 变换()f t 称为象原函数，()F α称为()f t 的象函数，一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。
积分变换可用来求解方程（如微分方程）。
原方程中直接求未知数有困难或较复杂时，则可求它的某种积分变换的象函数，然后再由求得的像函数去找原函数。
这种变换的选择应当使得由原来函数的方程经变换得到象函数的方程，易求解。
积分变换的理论和方法在所有科学和各种工程技术中有广泛的应用，我们重点学习Fourier 变换和Laplace 变换。
§5 . 1 Fourier 级数，积分和Fourier 变5 .1 .0 引言研究一个比较复杂的函数时，往往是将它化作一些简单函数的叠加即展开成无穷级数，再利用无穷级数的积分去近似代替它。
傅里叶光学(高等物理光学)
第一章光场的表示和Fourier分析1.1 Maxwell方程与标量波1.2 平面波和球面波1.3 二维Fourier变换的定义和物理意义1.4 卷积和相关1.5 Fourier变换的基本性质1.6 可分离变量的Fourier变换1.7 一些常用函数和它们的Fourier变换17空间频率概念的引入f (2j eU )y ,x (U π=/1/1==f f y x λcos =X9112. ( f x , f y )的物理意义方向余弦为(cos α, cos β) 的单色平面波在xoy平面上的复振幅分布是以2π为周期的分布，该复振幅分布可用沿x，y 方向的空间频率( f x , f y ) 来描述3.根据波叠加原理，任何复杂的光场分布可以分解为许多不同方向传播的平面波的叠加，或分解为许多不同空间频率的波的叠加.此式表示一个在xy 平面上沿x方向的空间频率为f x ，沿y方向的空间频率为f y 作周期的复振幅函数，它代表一个传播方向为( cos α＝λf x ，cos β＝λf y )的平面波.)(20),(y f x f j y x eU y x U +=π)cos cos (0),(βαy x jk e U y x U +=四、球面波的复振幅1、定义：点光源发出的单色光波等相位面是球面波1215近轴条件：只考虑xoy 平面上与S 点张角不大的范围.3、近轴条件下球面波的复振幅(1)171.3 Fourier变换的定义和物理意义一、广义变换∫∞∞−=dxx k x f I f ),()()(αα把函数f (x)在x 空间变换成α空间的I f (α)的函数，I f (α) 叫函数f (x) 的以k (α,x) 为核的积分变换.变换Fourier e x k x j −−=−παα2),(拉普拉斯变换−−−x e α梅林变换−−−1αx 阶汉克尔变换n xJ n −−)(α18二、一维Fourier变换1、定义t j eπν2基元函数代表频率为ν的简谐振荡.F (ν)= F {f ( t )}=∫∞∞−−dte tf t j πν2)({}dve v F v F tf vt j π21)()()(∫∞∞−−==F 2、物理意义：1) f (t)可分解为许多基元函数的线性组合;2) F (ν)权重因子.1921四、存在条件(函数g(x,y)存在FT的条件)1、g(x,y)在整个xy平面绝对可积∫∫∞<dxdy y x g |),(|五、广义Fourier变换g (x ,y)＝),(lim y x g n n ∞→G (f x ,f y )＝),(lim y x n n f f G ∞→2、在任一有限区域里，g(x,y) 必须只有有限个间断点和有限个极大和（或）极小点;3、g(x,y)必须没有无限大间断点.23若g(x,y) 为实函数，G( f x , f y ) 是厄米函数，则G (-f x ,-f y ) = ( f x , f y )即振幅|G (-f x ,-f y ) | = |G( f x , f y )|幅角φ(-f x ,-f y ) = -φ( f x , f y )其中( f x , f y )是G( f x , f y )的共轭复数，G ( f x , f y )是中心对称的函数.傅立叶变换并不改变函数的奇偶性,通常该性质称为傅立叶变换的对称性.∗G ∗G24一、卷积（Convolution）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(−∫=∗=∞∞−展宽：卷积运算的宽度是原来两个函数宽度之和.设f (x) 宽度为b 1, h (x) 的宽度为b 2,则g (x) 的宽度是：b = b 1＋b 2 .1.4 卷积和相关卷积运算的几何解释：先反转h (α)，每平移一个距离x，计算f (α)h (x -α)相乘，∫∞∞−−da a x h a f )()(求面积；再绘成g(x) 随x 变化的图形；积分252627)}()({)}()({)()}()({x h x v b x h x u a x h x bv x au ∗+∗=∗+4)结合性：)()()()()()()()}()({x v x h x u x h x v x u x h x v x u ∗∗=∗∗=∗∗)()()(x u x v x h ∗∗=卷积的次序是无关紧要的.2. 性质：1)平滑性：g (x)的变化率<< f (x)、h (x)的最大变化率；2)对易性：f (x) * h (x)= h (x) * f(x)；3)线性性质：30二、相关（correlation）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★令：x −=αβ得：βββd h x f )()(*∫∞∞−+ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(*−−∫∫=∞∞−＝★ηξηξηξ′′′′∫∫+′+′∞∞−d d h y x f ),(),(*＝与卷积运算的区别：没有反转，只有平移.)(αh )(α−h31相关运算示意图322.性质：1)尖峰化：相关运算是两个信号之间存在相似性的量度.34若f (x) = h (x),则：αααd x f f x f x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★ηξηξηξ∫∫−−=∞∞−d d y x f f y x f y x f ),(),(),(),(*★ηξηξηξ′∫∫′′′+′+′=∞∞−d d f y x f ),(),(*3. 自相关函数：1)定义：3538六、自相关定理七、Fourier积分定理对函数相继进行正FT变换和逆FT，得到原函数.八、FT的FT对函数相继进行FT，所得的函数形式不变，仅将坐标反向.F {g (x,y )☆g (x,y )}=|G (f x , f y )|2F {|G (f x , f y )|2}= g (x,y )☆g (x,y )F –1{F {g (x,y )}}= F {F –1{g (x,y )}}=g (x,y )F {F {g (x,y )}}=g (-x,-y )自相关函数的FT是原函数的功率谱，信号的自相关和功率谱之间存在FT关系.F {g (x,y )☆h (x,y )}= (f x , f y )·H (f x , f y )——互相关定理∗G 两函数的互相关与其互谱密度之间存在FT关系.41结论：在极坐标中可分离变量函数g (r ,θ)=g r (r )g θ(θ)它的频谱在极坐标中也是可分离变量函数，关于φ的函数是exp(j k φ)，关于ρ的函数是G k (ρ) 它为g r (r ) 的k 阶汉克尔变换.=ρ45464748491.7、一些常用函数和它们的FT50。
积分变换第一讲 Fourier积分
令 T ,
T
lim f T (t ) f (t )
8
Fourier 积分公式
下面考虑 Fourier 级数的复指数形式
f T (t )
a0 2
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
( an
n 1
e in t e in t 2
反例2 无穷多 个极值点
4
函数的 Fourier 级数展开
函数 fT (t) 在连续点处，级数的三角形式为：
f T (t ) a0 2 ( an cos n t bn sin n t )
n 1
(1.1)
其中
2 , T
an bn T T 2 2
T 2 T 2
1
f (t )
2
1
f ( ) cos (t ) d d
0
1
f ( ) cos (t ) d d f ( ) cos (t ) d d
0
1
Fourier积分公式的 三角形式
1 T
T
fT (t )e int dt ( n 0, 1, 2, )
fT (t ) c0 (cn e in t c n e int )
n 1
n
cn e in t ,
其中
n n ( n 0, 1, 2, )
10
16
Fourier 积分定理及应用
1.1_傅立叶变换的概念
13
§1.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 一 5. Fourier 级数的复指数形式 章 a0 (A) 傅 推导 已知 fT ( t ) 2 (an cos nω0 t bn sin nω0 t ) , n 1 里 P10 叶 j nω0t e cos nω0 t j sin nω0 t , ( j 1 ) 根据 Euler 公式 变 换 je jnω0t je jnω0t e jnω0t e jnω0t , sin nω0 t 可得 cos nω0 t 2 2 代入 (A) 式并整理得
即 cn 的模与辐角分别正好是振幅的二 分之一和相位。
定义 称 An 2 | cn |为振幅谱或频谱，记为 F ( nω0 )； 称 arg c n 为相位谱.
bn
2c n
17
§1.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 一 6. 离散频谱与频谱图 章 频谱图 将振幅 An、相位 arg c n 与频率 nω0 的关系画成图形。 傅 F ( nω0 ) 里 叶 变 O 换 0 2 0 3 0 4 0
2
傅 O 2 里 叶 变 解 (3) f (t ) 的 Fourier 级数为 fT ( t ) π j e jnt . T 换 n n
n 0
t
(4) 振幅谱为 An F (n0 )
16
§1.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 一 6. 离散频谱与频谱图 章 2c n a n jbn a0 a n jbn , , c n 由 c0 , c n 分析 傅 2 2 2 An 里 P11 bn A 1 2 2 叶 a n bn n ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2 变 n an 换 O n arg cn arg c n θn , ( n 0) .
数学物理方法第六章Fourier变换
数学物理方法2010.02
-l
l
第一节 Fourier级数 级数
例子： 例子：
设 f(x) = x+x2, x (- , )，试将其展开成Fourier级 数． 并验证： 1 1 1 π2 1+ 2 + 2 +L+ 2 +L = 2 3 n 6
数学物理方法2010.02
第一节 Fourier级数 级数
第n次谐波
nπ −i x i nlπ x f ( x ) = c0 + ∑ cn e + c− n e l n =1 ∞
cn = c− n =
1 2 2 an + bn 2
数学物理方法2010.02
Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768～1830 ～
第一节 Fourier级数 级数
有限区域上的函数周期化的处理方法
设 f(x) 是定义在 处理 处理1：将 f(x) 区域(a,b)内的函 转化为 (-l, l) 内 数，其中a和b是 的函数 有限数 2l ( x − a) − l ⇒ x b−a 处理2：周期化为整个实数 处理 轴上的以2l为周期的周期函 数
函数 f(x) 复形式的Fourier展开式
f ( x) =
n =−∞
∑ce
n
∞
i
nπ x l
nπ −i ξ 1 l cn = ∫ f (ξ ) e l d ξ 2l − l
nπ nπ f ( x ) = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
∞
0, n ≠ m x = l , n = m
42.Fourier变换的性质(二)
i f ( t )e i t dt i F ( ). i*w^5*fourier(f(t),t,w)
上面是关于时域的微分性质. 类似地也有关于 频域的微分性质: 设 F ( ) F [ f ( t )], 并且 F ( n ) ( ) 在 ( , ) 上存在(n为正整数). 如果当 时,
只证明n=1的情形 , 类推可得高阶情形 . 证明 运行下面的 MATLAB 语句, 验证n=5的情形 .
>> syms t w F [ f ( t )] ans =
f ( t )e i t dt
i t >> y=sym('f(t)');fourier(diff(y,t,5)) f ( t )e i f ( t )e i t dt
F ( k ) ( ) 0 (k 0,1,2,, n 1),
则
F
从而可知
1
n ( n) n i F ( ) t f (t ).
n n ( n) F t f ( t ) i F ( ).
te t , t 0 ( 0), 求F [ f ( t )]. 例1 设 f ( t ) t0 0, e t , t 0 , 于是由 令 g ( t ) MATLAB 例题 可知 求 解 运行下面的 语句 . 0, t 0
i x
Hale Waihona Puke dx F2 ( )
f1 ( x )e i xdx
F1 ( )F2 ( ).
F=
1 1 i . 1/(beta+i*w)^2 2 >> syms t w;s i ( i ) F [ f ( t )] e
Fourier变换
傅里叶变换族 拉普拉斯轉換 Z轉換 傅里叶级数 傅里叶变换 连续傅里叶变换 離散傅立葉級數 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 分數傅立葉轉換 短時距傅立葉轉換 小波分析 離散小波轉換
中文译名
Fourier transform பைடு நூலகம்Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有「傅里叶变换」、 「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」、「傅氏變換」、等等。为方便起见，本文统一写作「傅里 叶变换」。
/zh/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E... 2010-5-25
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应用
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号 处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的 典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
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其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为
，而快速傅里叶变换
（FFT）可以将复杂度改进为
。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展
使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
在阿贝尔群上的统一描述
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一 问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里 叶变换的广义理论基础参见龐特里亞金對偶性（Pontryagin duality）中的介绍。
第二节 傅里叶变换的定义及性质
b F [ f (x at tb )]t , F代入上式得 f a t 令 0 a
它是偶函数. 由Fourier变换的 (2) 对称性质 , 设 F ( ) F [
sin t F [ f ( t )] F t 1 2 p2 ( ) 2
.
F (F )[ F ( t )] 2
证明 由Fourier逆变换有 f ( t
, 0,
1 F [ f (at )] F (其中 a 0 为常数). a a
证明 由Fourier变换的定义,
F [ f (at )]
f (at )e i t dt .
1 令 x at , 则 dt dx . 于是当a>0时, a
1 F [ f (at )] f ( x )e a
i
a
x
1 dx F ; a a
14
当a<0时,
i x 1 F [ f (at )] f ( x )e a dx a
i x 1 1 a f ( x )e dx F . a a a
1 综上所证, 即得 F [ f (at )] F . a a
(1) 线性性质 设a, 是常数，F1 ( ) F [ f1 ( t )],
F2 ( ) F [ f 2 ( t )], 则 F [a f1 ( t ) f 2 ( t )] a F1 ( ) F2 ( )
Fourier变换方法
证. 由定义和分部积分，有
F[ f ( x)]
f ( x)ei x dx
i x
f ( x) e
i
f ( x)ei x dx
i F[ f ( x)].
重复以上过程可得其他等式。
注1. 利用该微分性质，可把一个常微分方程转化为代数方
1 2
e
i x
f (t )ei t dt
ei x F ( )d
d
记为F ( ),称为f ( x )的Fourier变换F [ f ( x )]
1 2
记为F -1 [ F ( )], 称为F ( )的Fourier 逆变换
1.3 Fourier正弦变换与余弦变换
在Fourier 变换中 f(x)定义在 (, ) 上，但有些定解 问题中 f(x) 仅定义在半无穷区间上，此时不可用 Fourier 变换。为在这种情况下使用Fourier 变换求解定解问题，需 引入Fourier 正弦变换和余弦变换。
设 f(x)是 (, ) 上的奇函数，即 f(x)=-f(x),则
c1F 1[ F1 ( )] c2 F 1[ F2 ( )]
c1 f1 ( x) c2 f 2 ( x).
其中 c1 , c2 为任意常数。
(2)位移性质
设
x0
为任意实常数，则
i x0
ห้องสมุดไป่ตู้
F[ f ( x x0 )] e
1
F[ f ( x)], f ( x).
dx
(1)
1 i 2
f (t ) sin ( x t )dt d
Fourier变换
Fourier 变换①从Fourier 级数（对周期函数而言）到Fourier 积分（对非周期函数而言）； 基于基频频率02Tπω=，当为周期函数时，T 是有限大小，可以将周期函数分解成为基频及基频整数倍的频率信号；当为非周期信号时，即T 是无限大时，基频将会变得非常小，以至于频率分量取遍所有的频率。
②从Fourier 级数的三角表示到Fourier 级数的复数表示 基于欧拉公式：cos jsin j e θθθ=+，cos θ和sin θ可以表示为：cos 2sin 2j j j j e e e e θθθθθθ--+=-=Fourier 级数的复指数形式：0(t)jn t T n n f c e ω+∞=-∞=∑其中0/2/21(t)e T jn t nT T c f dt Tω--=⎰。
③此时可以得到非周期函数的Fourier 变换为：()(t)e 1(t)()2j t j tF f dtf F e d ωωωωωπ+∞--∞+∞-∞==⎰⎰④Fourier 级数和Fourier 变换以不同的形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特性，通过单位脉冲函数δ函数将两者统一起来表示，形成广义的Fourier 变换。
基于δ函数的几个基本性质： 定义:当0t ≠时，(t)0δ=；(t)dt 1δ+∞-∞=⎰.筛选性质：00(t t )f(t)dt (t )f δ+∞-∞-=⎰偶函数：(t)(t)δδ=-单位阶跃函数与脉冲函数关系：[u(t)](t)dt (t),(t)td u dtδδ-∞==⎰ δ函数表示方法：δ函数的Fourier 变换基于以下几个基本的变换，可以将非周期与周期信号统一起来：()(t)e1j tj tt F dt eωωωδ+∞--=-∞===⎰；11[1](t)2j t F e d ωωδπ+∞--∞==⎰得到最重要的公式：2(t)j t e d ωωπδ+∞-∞=⎰ ⑤Fourier 变换的基本性质 位移性质：00010[f(t t )]e ()F [F()]e(t)j t j tF F f ωωωωω---=-=物理意义：当一个函数（或信号）沿时间轴移动后，它的各频率成分的大小不变，但是相位发生变化；逆变换则是用来进行频谱搬移，对信号进行旋转变换，得到信号频率的移动。
Fourier变换简介
Fourier变换的物理意义 变换的物理意义——频谱 4. Fourier变换的物理意义 频谱 4.1 4. 非正弦的周期函数的离散频谱
a0 ∞ f (t ) = + ∑ (an cos nwt + bn sin nwt ) 2 n =1 f (t ) = Cn e jwnt ∑
+∞
An = an + bn
a0 ∞ fT (t ) = + ∑ (an cos(nω t ) + bn sin(nω t )) 2 n =1
2 T a0 = ∫ 2T fT (e)dt T −2
2 an = T
(1.1)
∫
2 bn = T
∫
T 2 T T − 2 T 2 T T − 2
(t ) cos(nω t )dt
(n = 1, 2 , 3 ,L )
fT ( t )的离散振幅频谱；
fT ( t )的离散频谱；
fT ( t )的离散相位频谱； n ∈ Ζ.
这种频谱图称为离散频谱 离散频谱，也称为线状频谱 离散频谱 线状频谱
4.2 4.2 连续频谱 在频谱分析中, Fourier变换F(ω)又称为f(t)的频谱 函数, 而它的模|F(ω)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频 谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一 个时间函数f (t)作Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱.
−βt
jω0t
和2πδ (ω − ω0 )构成一个Fourier
变换对。 1 +∞ 证 f (t) = ： F(ω)ejωtdω ∫−∞ 2π 1 +∞ jω0t jωt jωt = ∫−∞ 2πδ(ω −ω0)e dω = e ω=ω0 = e . 2π jω0t 即 和 πδ (ω −ω0)构 了 个 e 2 成 一 Fourier变 对 换 。 由上面两个函数的变换可得
fourier变换公式
fourier变换公式Fourier变换公式是数学中的一项重要工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将探讨Fourier变换的定义、性质以及应用，以及如何使用Fourier变换来分析信号和图像。
我们来看一下Fourier变换的定义。
Fourier变换是一种将一个函数从时域（时间域）转换到频域的数学变换。
它的公式可以表达为：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中，F(ω)是函数f(t)的Fourier变换，ω是频率，i是虚数单位，e是自然对数的底。
这个公式表明，对于给定的函数f(t)，我们可以通过对其进行积分来得到它在频域上的表示。
Fourier变换具有一些重要的性质，其中最著名的是线性性质和平移性质。
线性性质表明，对于任意两个函数f(t)和g(t)，以及任意的实数a和b，有：F(ω)[a*f(t) + b*g(t)] = a*F(ω)f(t) + b*F(ω)g(t)这意味着Fourier变换是线性的，可以对函数进行加权和叠加。
平移性质则表明，对于给定的函数f(t)和实数a，有：F(ω)e^(iωa) = F(ω - a)这意味着将函数在时域上平移a单位，其在频域上也会发生相应的平移。
Fourier变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
在信号处理中，Fourier变换可以将信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率成分。
通过对信号的频谱进行分析，我们可以了解信号中存在的频率以及它们的强度，进而对信号进行滤波、去噪或频域增强等操作。
在图像处理中，Fourier变换同样可以将图像从时域转换到频域。
通过对图像的频谱进行分析，我们可以了解图像中存在的频率成分，进而对图像进行滤波、增强或压缩等操作。
例如，我们可以通过Fourier变换将图像中的高频噪声滤除，或者通过频域增强来突出图像中的某些细节。
除了信号处理和图像处理，Fourier变换还在通信领域中发挥着重要作用。
在通信中，信号往往需要经过调制、解调等操作，而Fourier 变换可以帮助我们了解信号的频率特性，从而更好地进行调制和解调。
第一章Fourier变换
十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积 分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪， 英国著名的无线电工程师海维赛德 （Heaviside）为了求解电工学、物理学领域 中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的 符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。 即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。 同时，将函数的微积分运算转化为代数运算， 把复杂、耗时的运算简单、快速完成。
对可积（即积分
|
f
(t)|
dt
收敛），则有
f(t)1[ f ()ejd ]ejtd (1.2)
2
成立，而左端的 f (t) 在它的间断点处，应以
f(t0)f(t0) 来代替。
2
这个公式称为傅立叶积分公式。 若 f (t) 为奇函数，则有
f(t) 20 [ 0 f()si n d ]si n t d
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
量那样, 以统一的方式加以解决. 29
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
d (t) d t lim
0
d
(t) d t
lim
34
例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F () F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
e j0t e j0t e jtd t 1 (e j(0 )t e j(0t ) d t
信号与系统第三章—Fourier变换
f ( t ) dt
借助于奇异函数的概念，可使有些不满足此条件 的信号也可以进行傅里叶变换。
信号处理基础
3、常用非周期信号的傅里叶变换 1）矩形脉冲信号
f(t) E
E f (t ) 0
|t | |t |
2
-
2
0
2
t
2
傅立叶变换为 ：
F ( )
0
1
或
f (t ) e
u (t ) ,
傅里叶变换为
F ( )
f (t )e
( j ) t
j t
dt
e
t
e
j t
0
Ω
dt
( )
0
e
dt
e
( j ) t
0
j
0
1
2
j
0
幅度谱和相位谱为
R ( ) jX ( ) F ( ) e
信号处理基础
R ( ) F ( )
0 0
信号处理基础
傅里叶变换对
F (Ω )
f (t )
常用函数的傅里叶变换对
jΩ t
1
f (t )e
dt
g (t )
Sa (
1
2
)
e
F ( Ω )e
jΩ t
t
u (t )
2
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用PDE讲义08_Fourier变换
应用偏微分方程与科学计算讲义（八）Lecture Notes onApplied Partial Differential Equations andScientific ComputingNo.8马石庄2011．09．29．北京第8讲Fourier变换教学目的：积分变换方法通过函数的变换，减少了泛定方程中的自变量的个数，从而把偏微分方程化为常微分方程，还可以把原来方程中出现的一些有奇性的函数，变为比较规则的函数。
Fourier变换是最重要的积分变换．主要内容：§1Fourier积分 (3)1.1从Fourier级数到Fourier积分 (3)1.2Fourier变换 (5)1.3物理意义 (9)§2Fourier变换的性质 (12)2.1卷积及其Fourier变换 (12)2.2反演定理 (13)2.3广义函数的Fourier变换 (15)§3求解偏微分方程 (17)3.1无限长杆的热问题 (17)3.2d’Alembert公式 (20)3.3半平面上的Laplace方程 (22)习题8 (23)附录：关于积分变换 (24)尽管有偏微分方程的Fourier级数解法的成功与冲击，19世纪主要努力之一仍然是要寻求封闭形式的解，即用初等函数及其积分表示的解．用封闭形式解偏分方程的最重要的方法是Fourier变换，起源于Laplace（1749－1827）开创的工作，思想应当归Fourier，Cauchy和Poisson。
把这个重要发现的优先权归结谁是不可能的，因为这三个人都向巴黎科学院宣读了直到一个时期以后才发出来的论文，每人都听过别人的论文，无法从出版物中确定什么东西是每个人取自口头报告的．§1Fourier积分在区间∞，∞上以2为周期的函数可以用Fourier级数表示，而非周期函数不能，对于许多问题，可以对非周期函数求出与Fourier级数展开式类似的积分表达式。
Fourier变换性质
F [ f (t )] i F ( )
一般地，若 lim f ( k ) (t ) 0 k 0,1,2,, n 1 , 则
t
Ff
(n)
(t ) i F ( )
n
像函数的微分性： F ( ) iF [tf (t )] F
25
F [af (t ) bg (t )] aF [ f (t )] bF [ g (t )]
F [ AF ( ) BG ( )] AF [ F ( )] BF [G( )]
1 1 1
3
例1 求函数 f (t ) A B cos 0t 的傅氏变换.
解：利用线性性质知
it
ds
证明： F [ f (t t0 )] f (t t0 )e
s t t0
dt
f ( s )e
i ( s t0 )
e
it0
f ( s )e i s ds e i t0 F ( )
5
关于位移性质的说明：
1
1 f 2 F (t )
13
5. 帕塞瓦尔(Parserval)等式
设F [ f (t )] F ( )， 则有
1 f (t ) d t 2
2
F ( ) d .
2
14
6.微分性：
原像函数的微分性： 若F [ f (t )] F ( )，且 lim f (t ) 0, 则
0
0
t
t
0 e
0
e
( t )
d 0 e
Fourier变换
第3章 Fourier 变换在第一章，我们学习了几种不同频率的信号可以合成一个信号，如“拍”的复杂信号。
反过来，能否从复杂的合成信号中分离出原来的信号呢？能，这就要用到我们本章要讲的Fourier 变换。
本章首先介绍Fourier 级数及Fourier 谱，然后介绍Fourier 变换的性质及快速Fourier 变换，最后介绍Fourier 变换在数字滤波方面的应用。
3.1 Fourier 级数与Fourier 变换在我们生活的世界里充满了各种各样的周期现象，如日常生活中常见的昼夜更替、四季循环、温度气压等气象因素的反复变化、河水水位的周期性涨落、地面植物的岁月枯荣以及科学技术中诸如太阳活动的十一年周期起伏、地磁场的日变化、重力仪上所反映的固体潮、交流电、电磁波和机械振动等无一不是周期现象。
描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数，它由正弦或余弦函数来表示：()ϕω+=t A t y cos )( (3-1) 利用三角公式,上式可以写成：()t A t A t A t y ωϕωϕϕωsin sin cos cos cos )(-=+= （3-2） 由于ϕ是常数，令a =A cos ϕϕsin ,A b -=, 则可得：()t b t a t y ωωsin cos += （3-3） 这里22b a A +=,⎪⎭⎫⎝⎛-=a b arctg ϕ (3-4)由此可以看出：一个带初相位的余弦函数可以看成一个不带相位的正弦函数与一个不带相位的余弦函数的合成。
谐波函数是周期函数中最简单的函数，它描述的也是最简单的周期现象，在实际中所碰到的周期现象往往比它复杂得多。
但这些复杂函数均在一定近似程度上可分解为不同频率的正弦函数和余弦函数。
下面我们就介绍如何将一种复杂的函数分解为一系列不同频率的正弦函数和余弦函数的方法。
3.1.1 周期函数的Fourier 变换回想一下我们在数学中讲的Fourier 级数：如何将一个周期为2l 函数分解为Fourier 级数呢？我们已经学过的Fourier 级数展开式为 ：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n l x n b l x n a a x f ππ (3-5)其中()()dx lxn x f l b dx l x n x f l a dx x f l a l l n l l n l l ππsin )(1,cos 1,10⎰⎰⎰---=== (3-6)如果f(x)是奇函数,积分上下限相互对称，则这时()lxn x f πcos 亦为奇函数，故a n 均为零，得到的Fourier 级数是正弦级数:()lxn b x f n n πsin1∑∞== (3-7) 其中，b n 的积分可简写为：()(),.....3,2,1sin 20==⎰n dx lxn x f l b l n π (3-8)如果f (x)是偶函数, 因积分上下限相互对称，并且()lxn x f πsin 为奇函数，故b n 均为零,得到的Fourier 级数是余弦级数：()lxn a a x f n n πcos210∑∞=+= (3-9) 其中a 0和a n 可简写为：()()(),......3,2,1c o s 2,2000===⎰⎰n dxlxn x f l a dx x f l a l n l π (3-10)3．1．2 离散Fourier 变换现在我们设法把上述公式不加证明地应用于离散Fourier 级数中。
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变 换
§1.3 Fourier 变换的性质
六、相似性质*
第 一 章 性质 Fourier
在电信通讯中，
为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和 频带宽度是不可能的。
变 换
13
§1.3 Fourier 变换的性质
1
变 换 证明 (略)
[F1 (t ) F2 (t )] f1 () f2 ()
3
§1.3 Fourier 变换的性质
二、位移性质
第 一 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 章 (1) [ f (t t0 ) ] e j t0 F (); (2)
1
1
[ F ( n) ( ) ] ( jt )n f (t ) .
18
§1.3 Fourier 变换的性质
第 一 章 Fourier
作业
书本 P46 习题三
3 、 8（ 1）
变 换
19
变 换 微分性质
[ f ( n) ( t ) ] ( j )n F ( ) ;
1
[ F ( n) ( ) ] ( jt )n f (t ) .
14
§1.3 Fourier 变换的性质
一、基本性质(汇总)
第 一 积分性质 章 Fourier
[
2
t
1 f (t ) d t ] F ( ) . j
§1.3 Fourier 变换的性质
§1.3 Fourier变换的性质
第 一 章 Fourier
一. 线性性质
二. 位移性质
三. 微分性质
变 换
四. 积分性质
五. 能量积分*
六. 相似性质*
1
§1.3 Fourier 变换的性质
Fourier变换的基本性质
第 一 章 Fourier 在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Fourier 变换均存在，且 F ( )
2 j 2 π[ ( 0 ) ( 0 )] . 2 0
17
§1.3 Fourier 变换的性质
2 f ( t ) t cos t , 求 例 设
[ f ( t )] .
2 第 解 令 g(t ) cos t , 则 f ( t ) t g( t ) , 一 章 又已知 G( ) [ cos t ] π ( 1) π ( 1) ,
7
§1.3 Fourier 变换的性质
三、微分性质
第 一 章 Fourier 同理，可得到像函数的导数公式
变 换
n 上式可用来求 t f ( t ) 的 Fourier 变换．
j t dt , 记忆 由 F ( ) f ( t ) e
F ( ) ( jt ) f ( t ) e j t d t ; F ( n ) ( ) ( jt )n f ( t ) e j t d t .
[ F ( 0 )] e
j 0 t
f ( t ) . (频移性质)
变 换
时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份 的大小不发生改变，但相位发生变化； 频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中 得到了广泛应用。 5
§1.3 Fourier 变换的性质
三、微分性质
第 一 性质 若 lim f ( t ) 0 , 则 | t | 章 Fourier
(k ) 一般地，若 lim f ( t ) 0 , ( k 0, 1, 2, , n 1) ,
变 换
则
[ f ( n ) ( t ) ] ( j )n F ( ) .
j t 记忆 由 f ( t ) F ( ) e d ,
f ( t ) j F ( ) e j t d ; f ( n ) ( t ) ( j )n F ( ) e j t d .
(时移性质) (频移性质)
Fourier
[ F ( 0 )] e
j 0t
f (t ) .
变 换 证明 (1)
[ f ( t t 0 ) ] f ( t t 0 ) e j t d t
令 x t t0
f ( x ) e j x e j t0 d x
一、基本性质(汇总)
第 线性性质 一 章 位移性质 Fourier
[ a f (t ) b g(t ) ] a F ( ) bG( ) .
[ f (t t0 )] e j t0
[ F ( 0 )] e
j 0 t
f ( t ) . (频移性质)
又 g(t ) f (t ) , 有 即得
[
t
1 f (t ) d t ] F ( ) . j
9
§1.3 Fourier 变换的性质 第 一 章 证明 由 F ( ) f ( t ) e j t d t , 有 F ( ) f ( t ) e j t d t ,
11
§1.3 Fourier 变换的性质
六、相似性质*
第 一 章 性质 Fourier 相似性质表明， 若信号被压缩 (a 1) , 则其频谱被扩展；
若信号被扩展 (a 1) , 则其频谱被压缩。
事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中已知， 脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 12
| t |
[ f (t ) ] jF ( ) .
证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 ,
| t |
变 换
[ f ( t ) ] f ( t ) e j t d t
f (t ) e
j t
1 f (t ) [ F ( ) e j t d ]d t 2π
S () | F ()|2
f 2 ( t ) d t = 左边 .
能量密度函数（能量谱密度） 10
§1.3 Fourier 变换的性质
六、相似性质*
第 一 章 性质 Fourier 证明 (1) 当 a 0 时，
变 换
[ f (a t ) ] f (a t ) e j t d t
令 x at
1 a
f ( x ) e
j
a
x
1 d x F ; a a
(2) 当 a 0 时，
同理可得
1 [ f (a t ) ] F . a a
[ f ( t )] .
Fourier
根据线性性质和频移性质有
(频移性质) j t 1 [ F ( 0 )] e 0 f ( t ) .
变 换
[ f ( t )]
1 1 π ( 0 ) π ( 0 ) j ( 0 ) j ( 0 )
j f ( t ) e j t d t
jF ( ) .
6
§1.3 Fourier 变换的性质
三、微分性质
第 一 性质 若 lim f ( t ) 0 , 则 | t | 章 Fourier
| t |
[ f (t ) ] jF ( ) .
第 一 章 Fourier
性质就可导出。
(t )
u (t )
1 1 ( ) j 1 j
变 换
u (t )e t e
t 2
e
2 4
16
§1.3 Fourier 变换的性质 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 第 解 已知 [ u(t )] 1 π ( ) , j 一 章 j 0 t j 0 t f ( t ) u ( t ) ( e e ), 又
2
五、能量积分*
帕塞瓦尔(Parseval)等式
1 f (t ) d t 2π
2 | F ( ) | d .
Fourier
1 右边 2π 1 2π
F ( ) F ( ) d
变 换
F ( )[ f ( t ) e j t d t ]d
e j t0 F ( ) ;
(2) 同理，可得到频移性质。 4
§1.3 Fourier 变换的性质
二、位移性质
第 一 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 章 j t0 F ( ) ; (时移性质) (1) [ f ( t t0 ) ] e (2)
1
Fourier
8
§1.3 Fourier 变换的性质
四、积分性质
第 一 章 性质 Fourier 证明 令 g( t ) f ( t ) d t , 则 lim g( t ) 0 ,
| t |
t
变 换
由微分性质有
[ g(t ) ] j G( ) ,
[ f (t ) ] j [ g( t ) ] ,
Fourier
根据微分性质
1
[ G( ) ] ( jt )2 g( t ) , 有
变 换
[ f (t )]
[ t 2 g( t ) ] G( )
π ( 1) π ( 1) .
微分性质
[ f ( n) ( t ) ] ( j )n F ( ) ;