理论力学11梁的位移计算

θB
A
C
P2
l /2
B
θB
D
P2l
2 −4
θ B ( P2 ) = −=
l /2
a
B
−3 −0.265 × 10 rad vD ( P2 ) = θ B ( P2 )a = −2.65 ×10 16 EI Z mm P al −4 1
A
C
P
D1
l /2
vD
l /2
θ B ( PPa 1 ) == 0.707 ×10 rad 3EI Z −3
[v] = (0.0013 − 0.0025)l
31
例
７
机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁， 其中 P 为由于切削而施加于卡盘上的力，P2 为齿轮间1 的相互作用力。主轴为空心圆截面，外径 D = 80mm ， la 内径 d = 40mm ， = 400mm， = 100mm ， P = 2kN ，
梁的位移计算
二、提高粱刚度的主要措施
增大截面惯性矩 因为各类钢材的弹性模量比较接近，采用优质钢材对 提高弯曲刚度意义不大，所以一般选择合理的截面形状以 增加惯性矩。如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空 心圆轴等。
尽量减少梁的跨度或长度
因为梁的挠度和转角分别与梁跨度的立方和平方成 正比，所以减少梁的跨度是提高粱的刚度的主要措施。
2
A
a
F
b
Bx
a F l
17
例
３
２、分两段积分
b
2
b
3
EIv 1 = Fx1 + C1 x 1 + D1 y EIθ 1 =Fx1 + C1 F b a bF 2 F2 6 l A 2l C x 1 EIθ 2 =x2 − ( x2 − a ) + C2 b x2 F 2 l2 l bF 3 F3 l EIv2 =x2 − ( x2 − a ) + C 2 x2 + D2 6 l6 ３、确定积分常数 Fb 22 x1 = 0, v1 = 0 x1 = x2 = a , C1 = C2 = −(l − b ) 6 l x2 = l , v2 = 0 v1 = v2 θ 1 = θ 2 D1 = D2 = 0
y
2l 3 l
x
边界条件
变形连续条件
2 x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3
2 x = l , v1 = v2 ,θ1 = θ 2 ; 3
11
梁的位移计算
思考：
用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和 连续条件是什么？
y
q
x
l
答：边界条件 x = 0 v = 0 连续性条件 x = l
1
P2 = 1kN ，材料的弹性模量为 E = 200GPa 。规定 主轴的许用转角和许用挠度为：卡盘Ｄ处的挠度不超过
P 2 P 两轴承间距的 1 / 10 ，轴承Ｂ处的转角不超过 1 / 10 rad 。
A 试校核主轴的刚度。
C
43
Bຫໍສະໝຸດ Baidu
D
1
l /2
l /2
a
32
例７
解
Iz =
πD 4
64
6 mm 4 (1 − α4 ) = 1.885 ×10
d vM ( x) =
2 2
dxEI z 此方程为线性方程
外力和弯矩之间也为线性关系
}
挠度和转角和外力 之间为线性关系
当梁上作用几种载荷时，各载荷同时作用引起变形， 等于各载荷单独作用引起的变形的代数和－－叠加原理。 叠加法求梁的变形
20
梁的位移计算
梁在简单载荷作用下的变形
21
梁的位移计算
22
梁的位移计算
6
梁的位移计算
§１１－２
曲率公式
挠曲线微分方程
q
θ
B
1M ( x) = ρ ( x) EI z dv
2
A
x
v
l
θ
挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率
ρ
1 =±
dv
2
2
2
dx ⎡ ⎛ dv ⎞ ⎢1 + ⎜⎟ ⎢ ⎝ dx ⎠ ⎣
⎤ 2 ⎥ ⎥ ⎦ 微小量
3
±
2
dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣
本章小结
挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程
v = f ( x)
θ = θ ( x)
挠曲线微分方程
dv θ ≈ tgθ = dx
dv ±
2
2
dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣
解 B为自由端，CB段无内力，
梁变形后CB段必保持为直线
q
A
θC
q(l / 2)ql =−vC = − 8EI128EI
33
4
4
l/2 l
C
B
θC
v B1 vB2
q (l / 2)ql 4 ql θv CB = 1− = vC = − =− 128 EI 4 6 EI48 EI qlql7ql
vB = vB1 + vB 2 = −−=−
34
梁的位移计算
增加支撑
35
梁的位移计算
改善受力情况 改善受力情况可以减小弯矩，从而减小梁的挠度和转角。
P
y
l
x
ql v= 3EI z
4
y
q
x
l
ql v= 8 EI z
4
36
梁的位移计算
§１１－６
简单静不定梁
梁支座约束力的数目超出了独立的平衡方程数目， 因而仅靠平衡方程不能求解－－静不定梁。
q
==( qlx − qx )
2
A
Bx
x
l
ql 2
２、积分求通解 dxEI zEI z 22 ql 2 q 3 EI zθ = x − x + C 46 ql 3 q 4 EI z v = x −x + Cx + D
15
例
２
ql 2 q 3 EI zθ = x − x + C y 46 q
v=0
A
ql 2
3
16
例
３
求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
y
dvb (0 ≤ x1 ≤ a ) EI 2 = Fx1 dxl2 dvb (a ≤ x 2 ≤ l ) EI 2 = Fx2 − F ( x2 − a ) dxl
b C x 1 b x 2 M 1 ( x 1 ) = F x1 F l l (0 ≤ x1 ≤ a ) l b (a ≤ x 2 ≤ l ) M 2 ( x2 ) = Fx2 − F ( x2 − a ) l
23
梁的位移计算
24
梁的位移计算
25
梁的位移计算
思考：
应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？ 答：小变形，材料符合胡克定律。
26
梁的位移计算
4 3
已知图1B点的挠度和转角分别为 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ， 图2C截面的转角为多少？
q
A
l
B
ql / 8 EI
3
q
A B
第十一章 梁的位移计算
梁的位移计算
工程实例
2
梁的位移计算
工程实例
3
梁的位移计算
工程实例
本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及 简单静不定梁进行简要介绍。
4
梁的位移计算
§１１－１
挠度、转角及其相互关系
挠曲线：梁变形后的轴线。
在小变形情况下，任意横 截面的形心位移是指ｙ方向的 线位移，截面形心垂直于轴线 方向的线位移称为挠度
9
梁的位移计算
确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。 边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零 或为已知
y
l
x
y
l
x
固定铰链支座
固定端约束
x = 0, v = 0
x = l, v = 0
⎧v = 0 x = 0⎨ θ =0 ⎩
10
梁的位移计算
变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处 的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度 相等。
=
２、积分求通解
2
x
2
dxEI z PP x
θ =∫
13
例
θ =∫
１
PP x
2
( x − l )dx =( − lx) + C EI zEI z 2 ３、确定积分常数 32
P
xvlxP x=0 θP= =0 C =D=0 v = ∫∫
y
l
x
( x − l )dxdx =( − ) + Cx + D ４、转角方程和挠曲线方程 EI zEI z 62 3 2 2
C
l
l
27
例
４
如图所示简支梁，ｑ，Ｆ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vc
解
将荷载分解为两组
q
F C
A
l/2 l
F
B
q
A
l
B
4
l/2
A
B
3
l
5ql vc1 = − 384EI 5qlFl vc = vc1 + vc 2 = −−
4
3
Fl vc 2 = − 48EI
28
例
５
如图所示悬臂梁，ｑ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vB
Fl a = 16 EI
2
30
梁的位移计算
§１１－５
梁的刚度条件 提高粱刚度的主要措施
一、梁的刚度条件
vmax ≤ [v ]
θ max ≤ [θ ]
[v] 许用挠度
[θ ] 许用转角
一般轴 滑动轴承 吊车梁
[v] = (0.0003 − 0.0005)l [θ ] = (0.003 −
0.005)rad
A B
l
37
梁的位移计算
变形比较法 比较基本静定系和原超静定系统在多余约束处 的变形，写出变形协调条件进行求解。
将Ｂ处约束去掉
基本静定系 静定基 相当系统
A
l
B
加上ｑ及约束力
q
A
变形协调条件
RB lql vB =−=0 3EI 8 EI 3 RB = ql
3 4
vB = 0
MA
RB
B
q
A
l
B
38
梁的位移计算
2 2
dvM dxEI ( z x)
θ ( x) = = ∫
⎛ M ( x) ⎞ v( x) = ∫ dxEI ⎜∫ z
dx + C
dx ⎟dx + Cx + D C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。 ⎝ EI z⎠ 挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得 到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积 分法。
llql vB 2 = tan θ C = θ C = − 4 2296 EI 4
4
29
例
６
如图所示外伸梁，Ｆ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vD
解
D为自由端，BD段无内力， 梁变形后BD段仍保持为直线
将AB段视为简支梁，查表： θB
Fl = 16 EI
2
θB
A
C
F
l /2
B
θB
D
l /2
a
v D = aθ B
３、确定积分常数
ql 3 q 4 EI z v = x −x + Cx + D 1224
x=0 v=0
3
Bx
ql 2
x=l
x
l
ql D=0 C=−, 24 ４、转角方程和挠曲线方程
q l 21 3l θ=( x − x − ) EI z 4624
3
qx l 2 1 3 l v=x − )( x − EI z 122424
a
x = a+l v = 0 θ = 0 v1 = v2
12
例
１
如图所示悬臂梁，在自由端受集中力Ｐ作用，设ＥＩ为 常量，试求梁的最大挠度和最大转角。
解 １、建立挠曲线近似微分方程
取坐标系如图所示，弯矩方程
P
y
l
x
M ( x) = − P (l − x) = P ( x − l) 2 d v P( x − l )
P x lx Px v=( − ) θ=( − lx) EI z 62 EI z 2 ５、确定最大挠度和最大转角 θ max
x
Pl =−
2
Pl v=−
3 14
例
２
求简支梁挠曲线方程，ｑ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
ql 2
y
q
11 2 M ( x) = qlx − qx 2 d v M ( x) 22 1 11 2
y A
q
θ
Bx
x
v
l
向上为正，向下为负
v = f ( x)
－－挠曲线方程
弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角
θ = θ ( x)
－－转角方程
逆转为正，顺转为负
5
梁的位移计算
q
θ
B
A
x
v
l
θ
dv θ ≈ tgθ = dx
横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等， 即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。
3 2
M ( x) = EI z
7
－挠曲线微分方程
梁的位移计算
在小变形情况下
dvM =±
2
2
正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关 dxEI z
y
M >0
dv >0
2
y
M <0
dv <0
2
O
2
dx
x
O
2
dx
x
d vM =
2
2
－挠曲线近似微分方程
8
dxEI z
梁的位移计算
§１１－３
积分法求梁的位移
d vM ( x) =
Bx
a F l
18
例
３
４、转角方程和挠曲线方程
bFx1 2 2
2
Fb 2 22 EIv1 =( x1 − l + b ) EIθ 1 =( x1 − l + b ) 6l 6l bF 3 l ５、求最大挠度
设：a>b,则最大挠度在 AC 段。最大挠度处截面的转角为零。 [3 x2 − l + b − ( x2 − a ) ]EIθ 2 =
2 1 −3
a
D(= D =( (P )+ ( 8.84 P2 ) = 6.19 ×10 ⎡v ⎤−5= 1.548 ×10 vv D Pv) l+ av )D= × 10 mm mm 1 < ⎢ ⎥ −4 1 θ B ( P1 ) + θ B ( P2 ) = 0.442 ×10 rad < θ B= 满足刚度要求 33 l 3EI Z
2222
θ1 = 0
6lb bF 3 x2 0l =
23
l −b 3
2
2
EIv2 =[ x2 − l + b − ( x2 − a ) ]
Fbl ⎛2 b ⎞ vmax =−1− 2 ⎟⎜ 9 3EI ⎝ l ⎠
2
3 2
19
梁的位移计算
§１１－４
叠加法求梁的位移
在小变形和材料服从胡克定律的条件下导出挠曲线 近似微分方程