2.3等差数列的前n项和第一课时教案

§2.3 等差数列的前

n 项和 授课类型：新授课

（第1课时） 一、教学目标

知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。

情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。

二、教学重点

等差数列n 项和公式的理解、推导及应用

三、教学难点

灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题

四、教学过程

1、课题导入

“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家

出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050。”

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规

律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。

2、讲授新课

（1）等差数列的前n 项和公式1：2

)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①

1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②

①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--

∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a

∴)(21n n a a n S += 由此得：2

)(1n n a a n S +=

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性（2）等差数列的前n 项和公式2：2

)1(1d n n na S n -+= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1

但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1d n n na S n -+

= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1

3、例题讲解：

课本P43的例1

例2：已知一个等差数列{}n a 的前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定这个数列的前n 项和公式吗？

解：由题意知：1020310,1220S S == 将它们代入公式1(1)2

n n n S na d -=+ 得到方程组， 111045310201901220

a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组得到：14,6a d ==

所以 23n S n n =+

例3：已知数列{}n a 的前n 项和为212

n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，写出它的首项和公差 解：根据12n n S a a a =+++与1121n n S a a a --=+++ 可知，当1n >时，221111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -=-=+

----=- 当1n =时，1132

a S ==， 所以{}n a 的通项公式为122n a n =-，首项为32，公差为2 由例3得与n a 之间的关系：

由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，

即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n

.

4、课堂练习

课本P45练习1、2、3

练习①：根据题中条件，求相应的等差数列的前n 项和表达式

184,18,8a a n =-=-=

解：由于184,18a a =-=-， 所以8127

a a d -==- 代入前n 项和表达式中：

88(81)8(4)(2)882

S -=⨯-+⨯-=- 练习②：已知数列{}n a 的前n 项和为212343

n S n n =++，求这个数列的通项公式. 解：根据12n n S a a a =+++与1121n n S a a a --=+++ 可知，当1n >时，2211212153(1)(1)34343212n n n a S S n n n n n -=-=

++-----=+ 当1n =时，111112

a S =≠，所以 {}n a 的通项公式为47,112

51,1122

n n a n n ⎧ =⎪⎪=⎨⎪+ >⎪⎩ 练习③：求集合{}

21,,60M m m n n m +==-∈N <且的元素个数，并求这些元素的和.

解：由题意知 216030.5

m n n =-<< 所以，元素个数为30个

3030(301)30129002

S -=⨯+

⨯= 5、课时小结 本节课学习了以下内容：

1.等差数列的前n 项和公式1：2

)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+

= Ⅴ.课后作业

课本P46习题[A 组]2、3题