初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)

相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB ∥EF∥CD ，若AB=6 厘米，CD=9 厘米．求EF．2．如图，?ABCD 的对角线相交于点O，在AB 的延长线上任取一点E，连接OE 交BC 于点F．若AB=a ，AD=c ，BE=b，则BF= _________ ．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC 中，∠BAC=120 °，AD 平分∠BAC 交BC 于D．求证：．4．如图所示，?ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F，EO 延长线交AB 于G．求证：．15．一条直线截△ABC 的边BC、CA 、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC 内一点，过P 点作线段DE，FG，HI 分别平行于AB ，BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ．求d．7．如图所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12 厘米，BC=20 厘米．求EF．2WORD格式8．已知：P 为?ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，MN ∥BC，且MN 与对角线BD 交于O．若AD=DO=a ，BC=BO=b ，求MN ．10．P 为△ABC 内一点，过P 点作DE，FG，IH 分别平行于AB ，BC，CA（如图所示）．求证：．411．如图所示．在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＜CD．一条直线交BA 延长线于E，交DC 延长线于J，交AD 于F，交BD 于G，交AC 于H，交BC 于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ ，求DC：AB ．12．已知P 为△ABC 内任意一点，连AP，BP，CP 并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，AE 平分∠BAC ，BD⊥AE 的延长线于D，且交AM 延长线于F．求证：EF∥AB ．5WORD格式WORD格式14．如图所示．P，Q 分别是正方形A BCD 的边A B ，BC 上的点，且BP=BQ ，BH⊥PC 于H．求证：QH⊥DH ．15．已知M 是Rt△ABC 中斜边B C 的中点，P、Q 分别在A B 、AC 上，且PM⊥QM ．求证：2 2 2PQ =PB +QC．16．如图所示．在△ABC 中，∠ACB=90 °，CD⊥A B 于D，AE 平分∠CAB ，CF 平分∠BCD．求证：EF∥B C ．17．如图所示．在△ABC 内有一点P，满足∠APB= ∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：2PB =PA?PC．△P AB∽△PBC．）（提示：设法证明WORD格式7WORD格式18．已知：如图，△ABC 为等腰直角三角形， D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且AE ：EB=2：1．求证：CE⊥A D ．19．如图所示，△ABC 中，M 、N 是边BC 的三等分点，BE 是AC 边上的中线，连接AM 、AN ，分别交B E 于F、G，求BF：FG：GE 的值．20.在△ABC 中，∠A ∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证1AB +1AC =1BC提示：要证明如 1a + 1b =1c几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为a+bab =1c或a+ba =bc，故构造成以a+b、b 为边且与a、c 所在三角形相似的三角形。

②通分法：将原等式变为 ca + cb = 1，利用相关定理将两个个比通分即： ca =md，cb=nb，且m + n = d，则原式成立。

92013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB ∥E F∥C D ，若AB=6 厘米，CD=9 厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．题：计算题．专A B ∥E F∥C D，利用平行线分线段成比例的定分析：由于BC 是△ABC 与△DBC 的公共边，且理，可求EF．解答：解：在△ABC 中，因为E F∥A B ，所以EF：AB=CF ：CB①，同样，在△DBC 中有EF：CD=BF ：CB②，①+②得EF：AB+EF ：CD=CF ：CB+BF ：CB=1③．设EF=x 厘米，又已知AB=6 厘米，CD=9 厘米，代入③得x：6+x：9=1，解得x= ．故EF= 厘米．算．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计2．如图，?ABCD 的对角线相交于点O，在AB 的延长线上任取一点E，连接O E 交BC 于B F= ．点F．若AB=a ，AD=c ，BE=b，则考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：首先作辅助线：取AB 的中点M ，连接O M ，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM 与OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF 的值．O M，解答：解：取AB 的中点M ，连接∵四边形ABCD 是平行四边形，10∴AD ∥B C，OB=OD ，∴OM ∥A D∥B C，OM= AD= c，∴△EFB∽△EOM ，∴，∵AB=a ，AD=c ，BE=b ，∴ME=MB+BE= AB+BE= a+b，∴，∴BF= ．故答案为：．相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准点评：此题考查了平行四边形的性质、确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC 中，∠BAC=120 °，AD 平分∠BAC 交BC 于D．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．题：证明题．专D引DE∥A B ，交AC 于E，因为AD 平分∠BAC（=120°），所以∠BAD= ∠E AD=60 °．若分析：过△ADE 为正三角形，从而AE=DE=AD ，利用△CED ∽△CAB ，引DE∥A B ，交AC 于E，则．可实现求证的目标D引DE∥A B ，交AC 于E．解答：证明：过∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC=120 °，∴∠BAD= ∠CAD=60 °．又∠BAD= ∠EDA=60 °，所以∴△ADE 是正三角形，∴EA=ED=AD ．①由于DE∥A B ，所以△CED∽△CAB ，∴= = =1﹣．②，由①，②得=1﹣11从而+ = ．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB 是解题的关键．4．如图所示，?ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E为A D 延长线上一点，OE 交CD 于F，EO 延长线交AB 于G．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．题：证明题．专段“集中”到一个三角形中来求证．线各线使分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助解答：证明：延长CB 与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB ．在△EIH 中，由于DF∥I H ，∴= ．∵IH=AB ，∴= ，== =1+ ．①=﹣从而，﹣在△OED 与△OBH 中，∠DOE= ∠BOH，∠OED= ∠OHB ，OD=OB ，∴△OED≌△OBH （AAS ）．从而DE=BH=AI ，∴=1．②=2．由①，②得﹣，此题的点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握关键是延长CB 与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB ．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．125．一条直线截△ABC 的边BC、CA、AB （或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．考点：三角形的面积．专题：证明题．分析：连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证．解答：证明：如图，连接BE、AD ，∵△BDE 与△DCE 等高，∴= ，∵△DCE 与△ADE 等高，∴= ，∵△ADF 与△BDF 等高，∴= ，∵△AEF 与△BEF 等高，∴= ，∴= ，∴? ? = ? ? =1．点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD ，并把线13段之比转化为两三角形面积之比．6．如图所示．P为△ABC 内一点，过P点作线段DE，FG，HI 分别平行于AB ，BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ．求d．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．题：计算题．专分析：由FG∥B C，HI ∥C A ，ED∥A B ，易证四边形AIPE 、四边形BDPF、四边形CGPH 均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB ∽△AFG ∽△ABC ，于是= ，= ，再结合=，先计算式子右边的和，易求+ + = =2，从而有+ + =2，再把DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450 ，CA=425 代入此式，解即可．解答：解：∵FG∥B C，HI∥C A，ED∥A B ，∴四边形AIPE 、四边形BDPF 、四边形CGPH 均是平行四边形，∴△IHB ∽△AFG ∽△ABC ，∴= ，= ，∴+ + = ，又∵DE=PE+PD=AI+FB ，AF=AI+FI ，BI=IF+FB ，∴DE+AF+BI=2 ×（AI+IF+FB ）=2AB ，∴+ + = =2，∵DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ，∴+ + = + + =2，∴+ + =2，解得d=306．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．147．如图所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12 厘米，BC=20 厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得= = = ，得出OE 与BC，OF 与AD 的关系，进而即可求解EF 的长．解答：解：∵AD ∥BC，EF∥BC，∴= = = ，又= = ，= = ，∴OE= BC= ，OF= AD= ，∴EF=OE+OF=15 ．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．8．已知：P 为?ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：．考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD ，所以将转化为，再由平行线的性质可得= ，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD 中，则AD ∥BC，AB ∥CD，∴= =∴﹣= ﹣= =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．9．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，MN ∥BC，且MN 与对角线BD 交于O．若AD=DO=a ，BC=BO=b ，求MN ．15考点：相似三角形的判定与性质；梯形．题：计算题．专分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN 的长．解答：解：∵MN ∥B C，∴在△ABD 中，= ，即OM= = ，同理ON= = ，∴MN=OM+ON= ．握．练掌点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟10．P为△ABC 内一点，过P点作DE，FG，IH 分别平行于A B ，BC，CA（如图所示）．求证：．考点：平行线分线段成比例．题：证明题．专分析：（1）由平行线可得△PIF∽△CAB ，得出对应线段成比例，即= = ，同理得出= = ，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同．解答：证明：（1）∵DE∥A B ，IH∥A C ，FG∥B C，∴可得△PIF∽△CAB ，∴= = ，同理= = ，16+ + = + + =1．（2）仿（1）可得= = ，= = = ，∴+ + = + + =1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．11．如图所示．在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＜CD．一条直线交BA 延长线于E，交DC 延长线于J，交AD 于F，交BD 于G，交AC 于H，交BC 于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ ，求DC：AB ．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ ，可分别求出线段AB 、CD 与AE、CJ 的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB ∥CD，EF=FG=CH=HI=IJ ，∴= = ，∴= = ，= = ，∴DJ=4AE ，又= ，解得AB= AE ，又AE= CJ，∴AB= CJ，EB=4CJ ，= = ，CD=5CJ ，∴AB ：CD= ：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．1712．已知P为△ABC 内任意一点，连A P，BP，CP 并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．考点：平行线分线段成比例．题：证明题．专分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC ，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设≤，即3AD ≤PD，而AD=AP+PD ，进而通过证明即可得出结论．解答：解：（1）由面积概念得：S△PBC+S△P AC+S△P AB=S△ABC①整理等式得：+ + =1，②由面积概念得：= ，= ，∴= ，即= ③同理得：= ④= ⑤把式③、④、⑤、代入式②得：18；（2）由，知，，中至少有一个不大于，≤即3AD ≤PD．不妨设而AD=AP+PD ，∴AP ≥2PD，∴≥2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2．系，能够熟练掌握其内在联的关点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间系，并能求解一些比较复杂的问题．13．如图所示．在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，AE 平分∠BAC ，BD⊥AE 的延长线于D，且交AM 延长线于F．求证：EF∥A B ．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．题：证明题．专分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF ∽△MAB ，从而EF∥A BB作BG∥A C 交AE 的延长线于G，交AM 的延长线于H．解答：证明：过∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE= ∠CAE．∵BG∥A C ，∴∠CAE= ∠G，∴∠BAE= ∠G，∴BA=BG ．又BD ⊥AG，∴△ABG 是等腰三角形，∠ABF= ∠HBF ，∴F 到AB 与BH 的距离相等，∴S△A BF：S△HBF=AB ：BH ，∵S△A BF：S△H BF=AF ：FH，∴AB ：BH=AF ：FH．又M 是BC 边的中点，且BH∥A C，易知ABHC 是平行四边形，从而BH=AC ，19∴AB ：AC=AF ：FH．∵AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线，∴AB ：AC=BE ：EC，AF ：FH=BE ：EC，即M E）（AM+MF ）：（AM﹣M F）=（BM+ME ）：（BM﹣A BHC 是平行四边形，所以AM=MH 及BM=MC ）．（这是因为由合分比定理，上式变为AM ：MB=FM ：ME．在△MEF 与△MAB 中，∠EMF= ∠AMB ，∴△MEF ∽△MAB∴∠ABM= ∠FEM ，所以EF∥A B ．，证明此题的关键点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握B引BG∥A C 交AE 的延长线于G，交AM 的延长线于H．和利用合分比定理．是过14．如图所示．P，Q 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且BP=BQ ，BH⊥PC 于H．求证：QH⊥DH ．考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：要证QH⊥D H，只要证明∠BHQ= ∠CHD ．由于△PBC 是直角三角形，且BH ⊥P C，熟知∠PBH= ∠PCB，从而∠HBQ= ∠HCD ，因而△BHQ 与△DHC 相似．解答：证明：在Rt△PBC 中，∵BH ⊥PC，∴∠PBC=∠PHB=90 °，∴∠PBH= ∠PCB．显然，Rt△PBC∽Rt△BHC ，∴= ，由已知，BP=BQ ，BC=DC ，∴= ，∴= ．∵∠ABC= ∠BCD=90 °，∠PBH=∠PCB，∴∠HBQ= ∠HCD ．在△HBQ 与△HCD 中，∵= ，∠HBQ= ∠HCD ，∴△HBQ ∽△HCD ，∴∠BHQ= ∠DHC ，∠BHQ+ ∠QHC= ∠D HC+ ∠QHC．又∵∠BHQ+ ∠QHC=90 °，∴∠QHD= ∠QHC+DHC=90 °，20即DH ⊥H Q ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法．15．已知M 是Rt△ABC 中斜边BC 的中点，P、Q 分别在A B 、AC 上，且PM⊥QM ．求证：2 2 2PQ =PB +QC．考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：证明题．分析：以M 点为中心，△MCQ 顺时针旋转180°至△MBN ，根据旋转的旋转可得△MCQ 与△MBN 全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC ，MN=MQ ，全等三角形对应角相等可得，∠MBN= ∠C，再连接P N，可以证明PM 垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后证明△PBN 为直角三角形，根据勾股定理即可证明．解答：证明：如图，以M 点为中心，△MCQ 顺时针旋转180°至△MBN ，∴△MCQ ≌△MBN ，∴BN=QC ，MN=MQ ，∠MBN= ∠C，连接P N，∵PM⊥Q M ，∴PM 垂直平分NQ ，∴PN=PQ ，∵△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，∴∠ABC+ ∠C=90°，∴∠ABC+ ∠MBN=90 °，即△PBN 是直角三角形，2 2根据勾股定理可得，PN=PB +BN2 2 2∴PQ ．=PB +QC 2 ，点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC 转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键．16．如图所示．在△ABC 中，∠ACB=90 °，CD⊥A B 于D，AE 平分∠CAB ，CF 平分∠BCD．求证：EF∥B C ．21考点：相似三角形的判定与性质；平行线的判定．题：证明题．专分析：由题中条件可得AC=AF ，即△ACF 是等腰三角形，所以EC=EF，进而得出∠ECF=∠EFC，结论得证．解答：证明：∵∠ACB=90 °，CD⊥A B ，∴∠CAD= ∠BCD ，又AE 平分∠CAB ，CF 平分∠BCD，∴∠BCF=∠CAE，∠B= ∠ACD ，∴∠B+∠ECF=∠B+∠BCF，即∠ACF= ∠A FC ，又AE 平分∠CAB ，∴AC=AF ，∴CE=EF，即∠ECF=∠EFC，∴∠EFC=∠BCF，即EF∥B C．．握点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌17．如图所示．在△ABC 内有一点P，满足∠APB= ∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：2PB =PA?PC．（提示：设法证明△P AB∽△PBC．）考点：相似三角形的判定与性质．题：证明题．专分析：用∠APB= ∠APC=120°，∠CBP=∠BAP 两个对应角相等证明△PAB∽△PBC，根据相似比可证到结论．解答：证明：∵∠APB=120 °，∴∠ABP+ ∠BAP=60 °，又∵∠ABC=60 °，∴∠ABP+ ∠CBP=60°，∴∠CBP=∠BAP ，又∵∠APB= ∠APC=120 °，∴△ABP ∽△BCP，∴= ，2∴BP=PA?PC．点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论．18．已知：如图，△ABC 为等腰直角三角形， D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且AE ：EB=2：1．求证：CE⊥A D ．22考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．题：证明题．专C E 的延长线于点F，从而可推出AC∥BF，根据平行线的性质B作BC 的垂线交分析：过可得到两组对应角相等从而可判定△ACE ∽△BFE，根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF ，进而得到CD=BF ，再利用HL 判定△ACD ≌△CBF，由全等三．论角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结明：过B作BC 的垂线交C E 的延长线于点F，（1 分）解答：证∴∠FBC=∠ACB=90 °．∴AC ∥B F．∴△ACE ∽△BFE．（3 分）∴．∴AC=2BF ．（4 分）∵AC=BC ，∴CD=BF ．（5 分）在△ACD 和△CBF 中，∴△ACD ≌△CBF．（6 分）∴∠1=∠2．∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°．∴∠4=90°．∴CE⊥A D ．（7 分）运点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质的综合用．19．（巧解妙解）如图所示，△ABC 中，M 、N 是边BC 的三等分点，BE 是AC 边上的中线，B E 于F、G，求BF：FG：GE 的值．连接A M 、AN ，分别交23考点：平行线分线段成比例．专题：应用题．分析：作已知图形的中心对称图形，如图所示，设BF=a，FG=b，GE=c，由平行线的性质分别求出a，b 与c 之间的关系，即可得出其比值．解答：解：如答图所示．作已知图形的中心对称图形，以 E 为对称中心．令B F=a，FG=b，GE=c．∵M ′C∥A M ，N′C∥A N∴a：（2b+2c）=BM ：MC=1 ：2∴a=b+c，而（a+b）：2c=BN ：NC=2 ：1∴a+b=4c，所以a= c，b= c．∴BF：FG：GE=5：3：2．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的方法．21.在△ABC 中，∠A ∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证 1AB +1AC =1BC提示：要证明如 1AB + 1AC= 1 将原等式变为BCAB +ACAB ?AC= 1BC或AB +ACAB= ACBC，为此若能设法利用长度分别为AB ，BC，CA 及AB ＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到，原△ABC 中，已含上述 4 条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC 为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC 相似，期望能解决问题．证延长A B至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长B C至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则:∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而24∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．∵AE=AC，AE=BD，∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，∴∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，∴△ABC∽△DAE，∴ADAE =ABBC，即AB +ACAC =ABBC∴ 1AB +1AC=1BC25。