排列计算公式(一)课件
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
6.2.2排列数-【精品课件】高中数学人教A版选择性必修第三册
3
学习新知
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做
从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号
表示。
排列数与一个排列相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有
ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，
：
邢
启
强
14
课堂小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成
一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为
完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与
位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以
根据排列的意义写出所有的排列．
讲
(n m)!
(n m)! (n m)!
m
讲
课
人
：
邢
启
强
m
A
n
9
练习1：证明：
证明：
讲
课
人
：
邢
启
强
A 8A 7 A A
8
7
6
7
8
7
6
7
A 8A 7 A 8A 8A A A
8
7
6
7
7
7
7
8
7
6
7
7
7
7
10
巩固练习
3
7
1．与 A10·A7不相等的是( B )
8
问题5：证明：（1）
证明：
（1）
m1
n An-1
排列与排列数公式-PPT课件
N m m m 州三个民航站之间的直达 航线，需要准备多少种不 同的飞机票？
起点站 终点站
上海
飞机票
北京 北京 上海 广州
北京
上海
广州
北京
广州 北京
上海
上海 广州
北京
广州 北京
广州
上海
广州
上海
问题２ 由数字1，2，3可 以组成多少个没有重复数字 的两位数？
(3) A 2 A
4 8
2 8
2 A 3A (4) 6 9! A10
5 9
6 9
练习２
2 n
应用公式解以下各题：
(1 ) A 56 ，求 n 。 ( 2 )已知 A 7 A
2 n 2 n4
，求 n 。
例３解下列方程与不等式：
( 1 )3A 2A 6A
3 x 2 x 1
2 x
(1)m个连续正整数的积 (2)第一个因数最大，它是Ａ的下标n (3)第m个因数（即最后一个因数）最小， 它是Ａ的下标ｎ减去上标ｍ再加上１
全排列数公式
！ n An
• ···•3 •2 •1 n ( n 1 ) ( n 2 ) A n
n
n
n的阶乘！
例２计算：
（1） A 53 （2）A 44
( 3 )
A; A
12 7 12
8
( 4 ) 0 ! .
规定：0!=1
练习１：
( 1 ) A 17 16 5 4 ,
m n
则 n ___, m ___
用排列数符号表示____
( 2 ) 若 n N , 则（ 55 n )( 56 n )( 57 n ) ( 68 n )( 6 n )
三年级下册数学排列组合公式(一)
三年级下册数学排列组合公式(一)三年级下册数学排列组合公式1. 排列公式排列是从若干个元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列的方法。
下面是三年级下册数学中常见的排列公式：无重复元素的排列公式对于无重复元素的排列，我们使用以下公式来计算排列总数：无重复元素的排列公式(其中，P表示排列，n表示元素的个数，n!表示n的阶乘。
例子：假设有5个不同的水果（苹果、香蕉、橙子、草莓、葡萄），从中选出3个水果进行排列。
根据公式，我们有：[计算无重复元素的排列总数](因此，从5个不同的水果中选出3个水果进行排列的方法数为6种。
有重复元素的排列公式对于有重复元素的排列，我们使用以下公式来计算排列总数：有重复元素的排列公式(其中，n表示总元素的个数，n1、n2、…、nk分别表示重复元素1、2、…、k 的个数。
例子：假设有5个水果（苹果、苹果、橙子、草莓、草莓），从中选出3个水果进行排列。
根据公式，我们有：[计算有重复元素的排列总数](因此，从5个水果中选出3个水果进行排列的方法数为15种。
2. 组合公式组合是从若干个元素中选取一部分元素的方法，和排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
下面是三年级下册数学中常见的组合公式：无重复元素的组合公式对于无重复元素的组合，我们使用以下公式来计算组合总数：无重复元素的组合公式(其中，C表示组合，n表示元素的个数，k表示选取的元素个数。
例子：假设有5个不同的颜色（红、黄、蓝、绿、紫），从中选出2个颜色进行组合。
根据公式，我们有：[计算无重复元素的组合总数](因此，从5个不同的颜色中选出2个颜色进行组合的方法数为10种。
有重复元素的组合公式对于有重复元素的组合，我们使用以下公式来计算组合总数：有重复元素的组合公式(其中，n表示不同元素的个数，k表示选取的元素个数。
例子：假设有3种不同的水果（苹果、橙子、草莓），从中选取2个水果进行组合。
根据公式，我们有：[计算有重复元素的组合总数](因此，从3种不同的水果中选出2个水果进行组合的方法数为8种。
排列组合公式及例题方法【共12张PPT】
不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空
档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球
分成8份,显然有 种不同的放法,所以C171名额分配方案有 种.
C
7 11
结论3 转化法〔插拔法〕:对于某些较复杂的、或较抽象 的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具 体的问题来求解.
全体,那么问题就可以解决了.并且也防止了问题的复杂性.
对等法
解学之不前加考〞任,何与限“制数条学件安,排整在个语排文法之有前考种A〞99 ,“的语排法文是安相排等在的数,
所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.
1 2
A
9 9
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否认是
对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以
得到所求.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支 部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题假设是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复 的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容 易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化 计算过程.
排列组合公式及例题方法
1.熟悉解决排列组合问题的根本方法;
2.让学生掌握根本的排列组合应用 题的解题技巧;
3.学会应用数学思想分析解决排列组
合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中 的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际 应用中的解题技巧.
n! (nm)!
4.组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n1)(n2)(nm1) m!
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
排列组合公式a和c计算方法(一)
排列组合公式a和c计算方法(一)排列组合公式a和c计算方法什么是排列组合排列和组合是高中数学中比较常见的概念。
排列指的是从给定的集合中取出若干个元素进行排列，而组合指的是从给定的集合中取出若干个元素不考虑顺序的组合。
在实际生活中，很多场景都与排列组合有关，比如抽奖、选举等等。
排列公式a的计算方法排列公式a表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数，它的计算公式如下：A m n=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)其中，A m n表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数。
例如，从1、2、3、4这四个元素中取出3个元素进行排列，那么有：A34=4×3×2=24组合公式c的计算方法组合公式c表示从n个元素中取出m个元素不考虑顺序的组合方案数，它的计算公式如下：C m n=n!m!(n−m)!其中，C m n表示从n个元素中取出m个元素不考虑顺序的组合方案数。
例如，从1、2、3、4这四个元素中取出3个元素不考虑顺序的组合，那么有：C34=4!3!1!=246=4注意事项在使用排列组合公式a和c进行计算时，需要注意以下几点：•n和m必须是非负整数且n≥m；•排列和组合的方案数都是整数；•排列和组合的区别在于是否考虑元素的顺序。
结论排列和组合是高中数学中的重要内容，其公式和计算方法是我们必须掌握的基础知识。
在实际生活中，排列组合有着广泛的应用，我们可以根据具体情况选择使用不同的公式进行计算，以便更方便地解决一些实际问题。
举例说明下面通过两个例子来说明排列和组合的应用：例1：抽奖小明参加了一次抽奖活动，活动方共有10个奖品，他想要抽到前三名。
问他抽奖成功的方案数是多少？解析：这是一个排列问题，因为小明抽到的前三名需要考虑顺序。
根据排列公式a计算可得：A310=10×9×8=720小明有720种不同的抽奖成功方案。
例2：选班干部班级选举了一名班长和两名副班长，班里有20名同学。
排列与排列数PPT课件
方法2、分类讨论法 方法3、排除法
规定：0!=1
课前练习：
1、2
A85 A88
7 A84 A95
、2
An1 m1
Amn mn
Am1 m1
例题分析：
例1、解方程或不等式：
(1)3Ax3 2 Ax21 6 Ax2 (2) A8x 6 A8x2
例2、某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每 队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少 场比赛？
练1、三张卡片写有数字4、5和6，若将三张卡片并列， 可得到多少个不同的三位数？（6可作9用）
例5、七个人排成一行。 （1）某甲因个子高必须站在中间，有几种不同的排法？ （2）某乙不愿排在两端，有几种不同的排法？
（元素位置入手法）
练2、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有 重复数 字的三位数？
知识回顾：
1、排列： 从n个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定
的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列.
2、排列数公式：Anm n(n 1)(n 2)(n m 1) n! (n m)!
3、阶乘的性质： （1）n!=n(n-1)!
(2)n·n!=(n+1)!-n!
例3、（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每 人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本 ，共有多少种不同的送法？
例4、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的 旗杆上表示信号，每次可，一共可以表示多少种不同 的信号？ （分类讨论法）
北师大版选择性521522排列与排列数排列数公式课件(40张)
探究点二
列举法写排列
[例2] 四个人A,B,C,D坐成一排照相有多少种坐法?将它们列出来.
解:先安排A有4种坐法,安排B有3种坐法,安排C有2种坐法,安排D有1种坐
法,由分步乘法计数原理得,有4×3×2×1=24种坐法,画出树形图.
由“树形图”可知,所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,
BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,
DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
变式探究:对本例,若加上限制条件:D不能在“排头”(即每个排列的最左端
不是D),这样的排列有多少种?
解:由例2的树形图可知这样的排列共有24-6=18种.
排其他日游景点,有 =6 种排法.故总的排法有 2×4×6=48 种.
方法总结
无约束条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制
的问题,这种类型的题目相对简单,分清元素和位置即可.一般情况下涉及
的“大数”是元素数,“小数”是位置数.同时,要明确完成一件事是分类
还是分步.
[针对训练] (1)按序给出a,b两类元素,a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、
A.84
C
)
B.78
C.72
D.54
解析:先将除甲乙以外的 3 人进行全排列,共 种排法,则 3 个人共产生
4 个空,从 4 个空中取两个对甲乙进行排列,则有 种排法,结合分步乘法计
探究点三
(1)计算:
解:(1)
排列数公式
+
-
+
-
=
;
排列组合ppt课件
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
排列组合公式PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
例题
C(4,2)-4+C(4,4) × 2=4 C(10,2)-10+C(10,4) × 2=455
C(5,2)-5+C(5,4) × 2=15
4、可重组合
• n个元素旳r-可重组合 • 例子 • 计算 • 一一相应旳思想
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 旳非负整数解旳个数。 • n≤r时，此方程旳正整数解旳个数 • n元集合旳r-可重组合数，要求每个元素至少
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品旳盒 装糕点？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品旳盒装糕点？
例题
• 摇三个不同旳骰子旳时候，可能旳成果旳个数是多 少？
• 63=216。 • 假如这三个骰子是没有区别旳，则可能成果旳个数
排列组合公式
• 排列组合公式 • 非降途径问题 • 组合恒等式
排列与组合
• 从五个候选人中选出两个代表 • 把5本不同旳书安排在书架上 • 从五个候选人中选出两个代表时，有10种
可能旳成果。 • 把5本不同旳书安排在书架上有120种措施 • 选出-组合；安排-排列
一、排列组合公式
• 排列问题：从某个集合中有序地选用若干 个元素旳问题
• 组合问题：从某个集合中无序地选用若干 个元素旳问题
• 注意：能够反复 不能反复
排列
• 无重排列 • 可重排列 • 从{1,2,…,9}中选用数字构成四位数，使得
每位数字都不同，有多少个？ • 从{1,2,…,9}中选用数字构成四位数，使得
不同数位上旳数字能够相同，有多少个？
排列组合展开公式(一)
排列组合展开公式(一)排列组合展开公式1. 排列公式排列是指从一组对象中选择出一部分，按照一定的顺序进行排列的方式。
排列公式可以用来计算从 n 个不同的对象中选取 k 个进行排列的总数。
公式排列公式的数学表示如下：P(n, k) = n! / (n - k)!其中，n 表示总的对象数量，k 表示要选取进行排列的数量，“!” 表示阶乘运算。
例子假设有 5 个不同的球，从中选取 3 个进行排列，可以有多少种排列方法？解法：P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 5 * 4 * 3 = 60因此，从 5 个不同的球中选取 3 个进行排列的方法有 60 种。
2. 组合公式组合是指从一组对象中选择出一部分，不考虑顺序进行组合的方式。
组合公式可以用来计算从 n 个不同的对象中选取 k 个进行组合的总数。
公式组合公式的数学表示如下：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)其中，n 表示总的对象数量，k 表示要选取进行组合的数量，“!” 表示阶乘运算。
例子假设有 5 个不同的球，从中选取 3 个进行组合，可以有多少种组合方法？解法：C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!) =(5 * 4 * 3) / (3 * 2) = 10因此，从 5 个不同的球中选取 3 个进行组合的方法有 10 种。
3. 公式的应用场景排列组合公式常用于解决各种组合问题，例如：•在一个班级中选出某几位同学参加活动的可能性；•从一组数中选取几个数进行排列或组合的计算。
通过掌握排列组合展开公式，可以更好地解决这些问题，提高计算效率。
总结排列组合展开公式是数学计算中常用的工具，用于计算从一组对象中选取一部分进行排列或组合的总数。
排列公式用于计算有序的排列方式，而组合公式用于计算无序的组合方式。
掌握这些公式的应用方法可以帮助解决各种排列组合问题。
第一章 1.2.1 第2课时 排列与排列数公式(共49张ppt)
幻灯片1第2课时排列与排列数公式幻灯片2幻灯片3排列数及排列数公式不同排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____ ____的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法排列mnA_________幻灯片4排列数公式乘积式=_____________________阶乘式性质=___,0!=__备注n,m∈N*,m≤nn(n-1)(n-2)…(n-m+1)m n A()n!n m !-m n A _________=n! 1n n A幻灯片5判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于式子 中的x 可以取小于或等于3的任意整数.( ) (2)排列数 是有n 个因式的乘积.( )(3)0！规定等于1，但它不能按阶乘的含义来解释.( ) (4) (n ∈N*且n<55)( )x 3Am n A()()()1469n 55n 56n 69n A ---⋯-=幻灯片6提示：(1)错误.x ≤3且x ∈N*.(2)错误.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘. (3)正确.0!=1只是一种规定.(4)错误.(55-n)(56-n)…(69-n)共有15个因式相乘，故原式 等于 (n ∈N*且n ≤54).答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×1569n A-幻灯片7【知识点拨】1.排列与排列数的区别“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数”，它是一个数. 幻灯片8比如从3个元素a,b,c 中取出2个元素，按照一定的顺序排成一 列，有如下几种:ab,ac,ba,bc,ca,cb ，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数，在 此例中m n A23A 6.=幻灯片92．准确理解排列数公式(1)公式中的n ，m 应该满足n,m ∈N*，m ≤n ，当m>n 时不成立．(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n-m ＋1(下标-上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． 幻灯片10(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式．它是一个分式的形式，分子是下标n 的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n-m)的阶乘．(4)特别地，规定0!＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释． 幻灯片11类型一 排列数的计算问题 【典型例题】1.(2013·洛阳高二检测)乘积m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+20)可 表示为( )2.计算：2212021m m m 20m 20A.A B.A C.A D.A ++()()5439915651010A A 1A .2.A A +-幻灯片12 【解题探究】1.排列数 是几个因式的乘积？最大、最小数分别是什么？2.题2(2)中 能否均用 表示？ 探究提示：1.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘，其中最小数为n-m+1，最大 数为n.2.能.m n A56591010A A A ，，49A54645499109109A 5A ,A 50A ,A 10A .===幻灯片13【解析】1.选D.因为m,m+1,m+2，…，m+20中最大的数为 m+20，且共有m+20-m+1=21个因式. 所以m(m+1)·(m+2) …(m+20)=21m 20A .+幻灯片14 2.(1)(2)方法一：315A 151413 2 730.=⨯⨯=5499651010A A A A +=-9876598761098765109876⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯()()9876513.1098765120⨯⨯⨯⨯+==⨯⨯⨯⨯⨯-幻灯片15 方法二：方法三：5444499999654441010999A A 5A A 6A 3.A A 50A 10A 40A 20++===--54996510109!9!A A 4!5! 10!10!A A 4!5!++=--59!9!69!3.510!10!410!20⨯+⨯===⨯-⨯幻灯片16【互动探究】在题1中，若将乘积改为m(m-1)(m-2)(m-3) …(m-20)(m>20)，则结果如何？【解析】因为m(m-1)(m-2)…(m-20)中最大数为m ，且共有 m-(m-20)+1=21(个)因式，所以m(m-1)(m-2)…(m-20)=21m A .幻灯片17【拓展提升】排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. 幻灯片18(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. (3)当计算的式子中含有多个排列数时，一般先利用阶乘的性质将其他排列数用最小的排列数表示，再计算. 幻灯片19类型二 与排列数有关的方程、不等式及证明问题 【典型例题】1.(1)已知 则n=______. (2)不等式 的解集为______.2.求证:332n n A 10A =，x x 288A 6A -<m m m 1n 1n n A A mA .-+-=幻灯片20 【解题探究】1.如何利用排列数公式将题1(1)(2)中的方程、不等式转化为 n 或x 的代数方程、不等式求解？2.如何选择排列数公式由题2中待证式左端过渡到右端？ 探究提示：1.利用排列数公式的乘积式或阶乘式进行转化.2.对 分别用排列数公式的阶乘形式过渡到右端.m m n 1n A A+，幻灯片21【解析】1.(1)因为 所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n- 1)(n-2)，即n2-9n+8=0,解得n=1或n=8,因为n ≥3，所以n=8. 答案：8332nn A 10A =，幻灯片22(2)由 得3≤x ≤8，x ∈N*. 由 得化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12, 又因为3≤x ≤8，所以x=8. 答案：{8}8x,x 21,≥⎧⎨-≥⎩()()88!68x !10x !<⨯--！，x x 288A 6A,-<幻灯片232.因为()()()m m n 1nn 1!n!AA n 1m !n m !++-=-+--()n!n 1(1)n m !n 1m +=⋅--+-()n!m n m !n 1m =⋅-+-()m 1m m m 1n n 1n n n!m mA ,A A mA .n 1m !--+=⋅=-=+-所以幻灯片24 【拓展提升】1.排列数公式阶乘式的应用公式 适用于与排列数有关的恒等式(或不等式)的证明或解有关排列数 (当m 与n 较接近时)的方程与不等式. 【提醒】在解有关排列数的方程式或不等式时，应注意排列 数中未知数满足的隐含条件“n,m ∈N*且m ≤n ”.()m nn!A n m !=-m n A幻灯片252.排列数的化简与证明技巧应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明， 化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的 内在联系.解题时要灵活地运用如下变式： ①n!=n(n-1)!；② ③n ·n!=(n+1)!-n!； ④m m 1nn 1A nA --=；()n 111.n!n 1!n!-=--幻灯片26【变式训练】1.解方程：【解题指南】首先明确x ≥3且x ∈N*，由排列数公式列出方 程，解方程即可.432x 1x A140A .+=幻灯片27【解析】由已知得 所以x ≥3,x ∈N*.又由 得(2x+1)·2x ·(2x-1)(2x-2) =140x(x-1)(x-2)，化简得，4x2-35x+69=0， 解得 (舍)， 所以方程的解为x=3.2x 14,x 3,+≥⎧⎨≥⎩432x 1x A 140A +=，1223x 3x 4==，幻灯片28 2.求证： 【证明】n m n mn n n m A A A .--=⋅()()m n m nnn mn n!A An m !n!A .n m !--⋅=-==-幻灯片29类型三 利用排列与排列数解简单计数应用题 【典型例题】1.从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共 有______个.2.(2013·兰州高二检测)一条铁路原有n 个车站，为了适应客 运需要，新增加了m(m>1)个车站，客运车票增加了62种，问 原有多少个车站？现有多少个车站？ 幻灯片30 【解题探究】1.每一个三位数对应怎样的一个排列？所求三位数的个数是 怎样的一个排列数？2.每一种车票对应怎样的一个排列？ 探究提示：1.每一个三位数对应从8个不同元素任取3个元素的一个排 列，故所求三位数的个数为2.每一种车票对应从n 个或(n+m)个不同元素，任取2个元素 的一个排列.38A .幻灯片31【解析】1.按顺序，有百位、十位、个位3个位置，8个数字 中取出3个依次排列，有 个. 答案：33638A 336=幻灯片322.因为原有车站n 个，所以原有客运车票有 种，又现有 (n+m)个车站，现有客运车票 种.所以 所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62, 所以 所以 即62>m2-m.所以m2-m-62<0.又m>1，从而得出 所以1<m ≤8. 即m=2时， 当m=3，4，5，6，7，8时，n 均不 为整数，故只有n=15,m=2符合题意，即原有15个车站，现有17个车站.2n A2m n A +22n m n A A 62,+-=()311m 1m 2>-，()311n m 10.m 2=-->12491m ,2+<<3121n 1522-=-=，幻灯片33【拓展提升】1.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想幻灯片342.解简单的排列应用题的思路(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.(2)如果是的话，再进一步分析，这里n 个不同的元素指的是什么，以及从n 个不同的元素中任取m(m ≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件. (3)运用排列数公式求解. 幻灯片35【变式训练】有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4) 班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种 不同的安排方法？【解析】从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研 究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排 列.因此不同的安排方法有 (种).35A 54360=⨯⨯=幻灯片36【易错误区】忽视排列数中的隐含条件致误 【典例】已知 则n 为( )A.7，8，9，10，11，12B.8，9C.7，8D.7n n 1893A 4A -＜，幻灯片37【解析】选C.由排列数公式得， 所以 即 所以nn 1893A 4A -＜，()()38!49!,8n !10n !⨯⨯<--()()()()38!498!8n !10n 9n 8n !⨯⨯⨯<----()()49310n 9n ⨯<--，幻灯片38化简为n2-19n ＋78<0，所以6<n<13, 因为n ∈N*，所以n ＝7,8,9,10,11,12. 由排列数的意义，可知n ≤8且n-1≤9①， 即n ≤8，所以6<n ≤8.又n ∈N*，所以n ＝7或n ＝8. 幻灯片39 【误区警示】幻灯片40 【防范措施】 1.隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件.如本例中 中，n,m ∈N*且m ≤n. 2.公式的灵活选用排列数公式有乘积式和阶乘式两种形式，在求解与证明中要 灵活选用以减少运算量和失误.如本例中选用阶乘式则较简单.m n A幻灯片41【类题试解】不等式 的解集为______. 【解析】由题意可得 所以解得n=3或n=4，所以原不等式的解集是{3,4}. 答案：{3，4}2n 1An 7--<()()n 12,n N*,n 1n 2n 7,⎧-≥⎪∈⎨⎪---<⎩2n 3,n 3,n N*,n N*,1n 5n 4n 50⎧≥≥⎧⎪⎪∈∈⎨⎨⎪⎪-<<--<⎩⎩即，，幻灯片421.乘积5×6×7×…×20等于( )【解析】选B.根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为1716151420202020A.A B.A C.A D.A 1620A .幻灯片432.从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有多 少种给法( )A.5种B.10种C.20 种D.60 种【解析】选C.由排列数定义知，共有 (种). 25A 5420=⨯= 幻灯片443.若 则x=( )【解析】选B.因为所以 n!x ,3!=3n 3n 3n n 3n 3A.A B.A C.A D.A -- ()n 3n A n(n 1)n n 31-=-⋯--+［］ ()n!n n 1(n 2)4,3!=--⋯⨯=n3n x A .-= 幻灯片454.满足 的n 的解集为______.【解析】由 得 且n ∈N*，所以n 的解集为{n|n>4且n ∈N*}.答案：{n|n>4且n ∈N*}1n 2A 2->n 21n 4n 22-≥⎧⇒>⎨->⎩，，1n 2A2->幻灯片465.方程 的解x=______.【解析】=(x-3)(x-4)+(x-3)=x2-6x+9=4，所以x2-6x+5=0，解得x=5或x=1(舍).答案：554x x 3x A A 4A+=54x x 3x A A A +=()()()()()()()()x x 1x 2x 3x 4x x 1x 2x 3x x 1(x 2)----+-----幻灯片476.求证：【证明】左边故原式成立.m 1n m n 1n m n 1n 1A A 1.A ------⋅=m 1n m n 1n m n 1n 1A A A ------⋅=()()()()n 1!1n m !n 1(m 1)!n 1!-=-----［］()()()()n 1!1n m !1.n m !n 1!-=-==--右边幻灯片48幻灯片49。
《排列组合公式》课件
便确定排列或组合的基数。
区分排列与组合
02 排列组合公式包括排列公式和组合公式，使用时应明
确所需的是排列还是组合，并选择相应的公式。
考虑顺序
03
排列公式需要考虑元素的顺序，而组合公式则不考虑
元素的顺序。
公式应用范围的限制
元素互异
排列组合公式的应用前提是所涉及的 元素必须互不相同，否则公式不适用 。
组合公式的推导过程
组合公式的基本形式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
推导过程
通过排列与组合的数学关系，利用阶乘的性质进行推 导，最终得到组合公式的形式。
组合公式的数学证明
可以通过数学归纳法或组合恒等式进行证明，确保公 式的正确性。
组合公式的应用实例
概率计算
在概率论中，组合公式常用于计 算事件发生的可能性，如组合概 率和条件概率。
无限制条件
对于某些特定问题，可能需要添加额 外的限制条件，如去除重复、特定顺 序等，此时公式应用范围需相应调整 。
避免常见的计算错误
基数不为零
01
排列组合公式的基数不能为零，否则会导致计算错误。
重复计算
02
在使用排列组合公式时，应避免重复计算相同的情况，确保每
种情况只计算一次。
正确使用括号
03
在应用排列组合公式时，应正确使用括号，以确保计算的准确
排列公式的扩展形式
排列组合混合公式
除了单纯的排列公式外，还有排列组合混合公式， 可以用来计算同时涉及排列和组合的问题。
有限制条件的排列公式
在一些特定的问题中，可能需要对元素进行限制， 此时需要使用有限制条件的排列公式。
高阶排列公式
对于较大规模的排列问题，需要使用高阶排列公式 来计算。
《排列与组合自》课件
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
《排列组合复习》课件
进阶练习题
在5个不同元素中取出3个元素进行排列，其中某一个 特定元素必须被取到，这样的排列数是多少？
输入 标题
答案解析
首先从5个元素中取出一个特定元素，然后从剩下的4 个元素中取出2个元素进行排列，即$A_{5}^{1} times A_{4}^{2} = 5 times 24 = 120$。
题目1
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定条件，将 其先固定下来，再对其他元素进行排列或组合。这种方法可以简化问题，降低计 算难度，提高解题效率。
分组法
总结词
分组法是一种将问题分解成若干个较小 的部分，分别解决后再综合的解题技巧 。
VS
详细描述
分组法在排列组合问题中，常常用于处理 有特定分组要求的问题。首先将问题分解 成若干个较小的部分，对每一部分进行排 列或组合，然后再根据问题的具体要求， 将各部分的解进行综合，得出最终答案。 这种方法可以降低问题的复杂度，使问题 更容易解决。
感谢您的观看
05
练习题与答案解析
基础练习题
题目1
从5个不同元素中取出3个元素的排列数是多少？
答案解析
从5个不同元素中取出3个元素进行排列，即$A_{5}^{3} = 5 times 4 times 3 = 60$。
题目2
从7个不同元素中取出4个元素的组合数是多少？
答案解析
从7个不同元素中取出4个元素进行组合，即$C_{7}^{4} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} = 35$。
详细描述
排列组合的分组问题通常涉及到将一组元素分成若干个不同的组，并考虑这些组之间的 排列或组合关系。解决这类问题需要理解分组的基本原则，并能够根据实际情况选择合
课件6：1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
变式训练
将本例(1)改为2AA8588－＋A7A95 48如何求值？ 解：2AA5888＋－7AA59 48＝8×27××86××57××64××35××42＋ ×17－×89××87××76××56×5
8×7×6×5×（8＋7）
＝
＝1.
8×7×6×5×（24－9）
类型3.简单的排列问题与分步计数问题 例 3.(1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(3)班的 3 个 学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有 5 个不同的科研小课题，高二(3)班的 3 个学习兴趣小组报名 参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 【思路探究】 (1)属于排列数问题． (2)属于分步计数问题．
(n＋1)！
n！
(2)∵Amn＋1－Amn ＝(n＋1－m)！－(n－m)！
n！
n＋1
＝
·(
－1)
(n－m)！ n＋1－m
n！ ＝(n－m)！·
m n＋1－m
n！ ＝m·(n＋1－m)！＝mAmn －1，
∴Amn＋1－Amn ＝mAmn －1.
规律方法 1．本题中，第(1)题方法一巧妙应用了 Amn 与 Amn＋1及 Amn －1间的关 系求解，方法二利用了排列数公式的阶乘式． 2．排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘 的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计 算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一 般用阶乘式．
延伸解读 树形图法在解决简单排列问题中的应用 从 0,1,2,3 这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位 数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数． (2)若组成这些三位数中，1 不能在百位，2 不能在十位，3 不能在 个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
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(2) Anm
Ank
Amk nk
(k m n)
(3) (n 1)! n! (n k 1) n!
k! (k 1)!
k!
你能用学过的方法，举一实际的 例子说明（1）、（2）吗？
练习：
求解下列各式的值或解方程。
(1)
A4 2 n 1
140
An3
(2)
4
A84 A88
例4 应用公式解以下各题：
(1) An2 56，求n。
(2) A84 2 A82 ?
(3)已知
An7 An5 An5
89，求n。
(4) 2 A75 A66 ? 6!5!
(5)3Ax3
2
A2 x1
6 Ax2，求x。
例5 求证下列各式：
(1) Anm
n
Am1 n1
A (3) 6 . 6
6！=6×5×4×3×2×1=720
变式题：
1、如果Anm 17 1n N , 则
(55 n)(56 n)(68 n)(69 n)
用排列数符号表示为
3、如果A23n 10 An3 , 则n
4、如果
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2019/5/25
排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
A 元素的排列数，用符号 m表示。 n
第1位 第2位
n
n-1
A2 n (n 1) n
第1位 第2位 第3位
第m位
······
n n-1 n-2
n-m+1
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
解法一：对排列方法分步思考。
百位 十位 个位
A A A 1 1 1 998 648 998
A A 1 2 998 648 99
解法二：对排列方法分类思考。
符合条件的三位数可分为两类：
百位 十位 个位
百位 十位 个位
0
百位 十位 个位
0
A3 9
A2 9
A2 9
根据加法原理
例 由数字1，2，3，4可 以组成多少个没有重复数字 的三位数？
123 12
124
132
1
13 134
142 14
143
213 21
214
231
2
23 234
241 24
243
312 31
314
321
3
32
324
4
34
341
342
412 41
413
421 42
423
431 43
432
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素（本章 只研究被取出的元素各不相同的
情况），按照一定的顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加 法，其结果有多少种不同的可能？
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除 法，其结果有多少种不同的可能？
（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐 标，可得多少个不同的点的坐标？
排列 与
排列数公式
10.2 排列
问题1 北京、上海、广 州三个民航站之间的直达 航线，需要准备多少种不 同的飞机票？
起点站 北京 上海 广州
终点站 上海 广州 北京 广州 北京 上海
飞机票 北京 上海
北京 上海
广州 北京
上海 广州
广州 北京
广州 上海
我们把上面问题中被取的对象 叫做元素。于是，所提出的问题就 是从3个不同的元素a、b、c中任取 2个，然后按一定的顺序排成一列， 求一共有多少种不同的排列方法。
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点 最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少 种？
（从中归纳这几类问题的区别）
排列的定义中包含两个基本内容： 一个是“取出元素”；二是“按照 定顺序排列”，“一定顺序”就是 位置有关，这也是判断一个问题 是不是排列问题的重要标志。
An7 An5 An5
89, 则n
例2 某段铁路上有12个 车站，共需要准备多少种 普通客票？
A2 1211 132 (种) 12
例3 有5名男生，4名女生排队。
（1）从中选出3人排成一排，有多 少种排法？
（2）全部排成一排，有有多少种排 法？
（3）排成两排，前排4人，后排5人， 有多少种排法？
根据排列的定义，两个排列相同， 且仅当两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也相同。
例 写出从 a , b , c , d 四 个元素中 任取三个元素的 所有排列。
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
An n (n 1) (n 2) • ···•3 •2 •1 n An n！ n
例1 计算：
(1) A3
; 161514 3360
16
8
A (2)
12 7
;
A12
12111098765 5 121110 9 8 7 6
2 A85 A95
?
(3)
A85 A84 A96 A95
?
(4)
An3 2n
A6n1
?
例6 某信号兵用红、黄、蓝三面 旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示 信号，每次可以任挂一面、二面或 三面，并且不同的顺序表示不同的 信号，一共可以表示多少种不同的 信号？
例7 用 0 到 9 这十个数字， 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？
A 2A 3 2 648
9
9
解法三：间接法.
从0到9这十个数字中任取三个
A 数字的排列数为 3 ， 10
A 其中以0为排头的排列数为
2
.
9
∴ 所求的三位数的个数是
A A 3
2109898 648.
10
9
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2019/5/25
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