第5章_梁的弯曲

第5章 梁的弯曲简单起见，本节仅考虑直梁、且梁的轴线与x 轴重合。

1 梁弯曲的基本方程5.1.1 杆的弯曲假定以下我们分三部分来叙述杆的弯曲假定。

(1)平面假定在y M 和z M 的共同作用下，杆件上的d x 微段的两截面将发生(绕形心的)相对转动。

平面假定：杆横截面在变形后仍保持平面。

设微段的一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生两种相对位移(见下图)：图5.1在y M 作用下绕 y 轴的转动：d (d )y u z θ= 在z M 作用下绕 z 轴的转动：d (d )z u y θ=- 由于上述两种位移都很小，所以总的轴向位移d u 为d (d )(d )y z u z y θθ=-(5.1.1)其中d y θ和d z θ为d x 微段两截面分别绕y 轴和z 轴相对转过的角度，从而正应变为： x y zu z yx ερρ∂==-∂ (5.1.2)其中d d y yxρθ=——梁轴线在x-z 坐标面内弯曲的曲率半径； d d z zxρθ=——梁轴线在x-y 坐标面内弯曲的曲率半径。

注意，在轴线上0x ε=，这是由于我们只考虑弯曲变形、而没有考虑拉伸变形，从而假定中的截面只绕形心转动，而没有轴向平动。

(2)横向挤压应力为零假定横向挤压应力为零假定: 假定y σ和z σ可以忽略。

这个假定使得我们可以利用单向拉(压)的胡克定律x x yzEEE z y σερρ==-(5.1.3)由此可以计算内力：11x x yzAyzF dA ES ES σρρ==-⎰N (5.1.4)11y x yyzAyzM zdA EI EI σρρ==-⎰ (5.1.5)11z x yzzAyzM ydA EI EI σρρ=-=-+⎰ (5.1.6)其中22d , dd , d , d y z AAy z yz AAAS z A S y A I z A I y A I yz A=====⎰⎰⎰⎰⎰分别是横截面对 y z 、轴的静矩，对 y z 、轴的惯性矩和惯性积。

对于确定的截面，这些量均为已知。

如果截面上的坐标轴取形心主轴(即原点在形心、坐标轴为惯性主轴)，则 0y z S S ==, 0yz I =从而N 0x F =从式(5.1.5)、(5.1.6)直接解得11,y zy yzzM M EI EI ρρ== (5.1.7)代入式(5.1.3)得y z x yzM z M yI I σ=-(5.1.8)这样，当弯矩y M 和z M 给定后，轴向应力x σ的分布就给定了。

上述各式中的y EI 和z EI 分别称为杆在两个坐标平面内的抗弯刚度。

(3)直法线假定现在我们来研究曲率半径y ρ和z ρ与形心位移之间的关系。

设轴线由各截面的形心连接而成，轴线上的横向位移在坐标系(以后我们均取形心主轴坐标系)上的分量分别为0()v x 和0()w x 。

显然，轴线上的位移仅仅是一个变量x 的函数，现在的问题是：如何将轴线外的点的位移用形心上的位移函数来表示？直法线假定: 杆的轴线上任一法线，在变形后仍是变形后轴线的法线，而且法线不产生任何的伸缩。

先考虑x-y 平面内的弯曲变形。

这里有两个位移函数(,)(,)u x y v x y 和。

由于法线不伸缩，所以0y ε=，即0(,)(,0)()v x y v x v x ==此外，由于0()v x 的存在使法线产生了0d d z v xθ≈的转动，从而d (,)d v u x y yx=-图5.2类似地，可以考虑x-z 平面内的弯曲变形：00d (,)(), (,)d ww x z w x u x z z x==-这样，杆上任意一点的位移可以写成0000d d (,,)d d (,,)() (,,)() v w u x y z yz x x v x y z v x w x y z w x ⎫=--⎪⎪⎪⎪⎬=⎪⎪⎪=⎪⎭(5.1.9)从而220022d d d d x v w uy z x x xε∂==--∂(5.1.10)将此式与式(5.1.2)比较220022d d 11 , d d y z w v x x ρρ=-= (5.1.11)如果用微分几何来准确计算曲率半径()0322011yw "w 'ρ-=+当01w ' 时，化为(5.1.11)式。

这样，引入直法线假定后，我们可以把整个杆内的位移问题(从而应变问题、应力问题)归结为求轴线上的函数0()v x 和0()w x 。

这里两个函数只与横向位移有关，称为杆的挠度，杆的挠度是由弯曲变形引起的。

为方便见，以后将挠度函数的下角标 “0”省略。

至此，杆件弯曲的三条假定已介绍完，但尚有三个问题需要说明：● 假定(1)实际上已包含在假定(3)之中，因为曲线上任一点的法线全体构成一平面(法平面)，所以变形前轴线的法平面(即横截面)在变形后仍是法平面，自动满足假定(1)。

反过来却不一定成立，因为按假定(3)，横截面变形后仍是轴线的法平面，但按假定(1)尽管仍是平面，但不一定是法平面。

一组完备的杆的弯曲假定，只须保留(2)和(3)两个假定，称为欧拉—伯努利梁(Euler-Bernoulli )。

● 在上述假定下，Q Qz 0, 0y x F F M ===。

其原因是，由于这三个内力是由横截面上的切应力xy τ和xz τ直接引起的，所以只要考虑这两个应力分量即可。

将式(5.1.9)代入应变表达式：00d d 0d d xy v v u vy x x xγ∂∂=+=-+=∂∂ 00d d 0d d xz w w u w z x x xγ∂∂=+=-+=∂∂ 再由广义胡克定律可得0xy xz ττ==，从而横向剪力和扭矩为零。

● 以上假定是否符合实际情况？根据更精确的弹性力学计算证明，在均匀直杆且只有纯弯矩(横向剪力为零)作用下，由上述假定得到的解与弹性力学的准确解完全一致，当然这里要求外加力矩按式(5.1.8)分布的集度作用到杆件上去。

如果外力分布与式(5.1.8)不一致，则可以引用圣维南原理：除加力截面附近外，其余杆中的应力分布(从而是位移)和准确解基本一致。

事实上，上述假定可以应用到更广泛的范围：对细长杆来说，如果除y M 和z M 外，还有剪力Q x F 和Q y F ，则上述诸式仍适用，这是由于剪切应变能远小于弯曲应变能，从而其对挠度的贡献也远小于弯曲的贡献。

当然这里也有一个矛盾：按上述假定，所有切应变为零，从而根据胡克定律，所有切应力亦为零，这与剪力存在矛盾。

后面我们将另找途径解决。

5.1.2 梁弯曲的基本方程我们用一般的弹性力学变分原理加上前面导出的假定，可以导出梁弯曲的基本方程和边界条件。

由基本假定可得00000d d (,,),(,,)() ,(,,)()d d y z v wu x y z y z v x y z v x w x y z w x x xσσ===--== (5.1.12)由于假定中同时含有应力假定和位移假定（直法线假定），所以选用以应力和位移作为变量的二类变量广义变分原理，现选用二类变量广义余能原理(2.1)122(,){((()))[()]}d ()()d [()]d 0T T T T T B B VB BδδδδδΩ∂Γ=-∇+∇+Ω∂+---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u E u E f u u u E n E n p u σσσσσσ (5.1.13)由(())0T T V∂-∇=∂E u σ可得 ,0x x xy yz zx E σετττ==== （5.1.14）用上标“s ” 记梁的侧面，“e ”记梁的端面。

假定20in ,0on sx p B =Ω=f ，200000000002200000220[()]d [()]d d d d ()d d d d d d d d d ()d (+)d d d d d d d d d [()+()]d ()d d d d sT TB ll T x l l y z y z l y y l z z y z B v w x y z A x s x x xM M v w x q v q w x x x x x M M M M q v q w x v w x x x x δδσδδδδδδδδδδδΩ∇Ω--∂=--+∂=-+=-+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰E u E n p u p u σσ1100000000()()d d d d d [()d d d d +()+()]d e e TB x B xy xz x B v w v wyz y z x x x xv v w w n Bδδσδτδτ-=--++--⎰⎰⎰⎰u u E n σ ()()2200000000000000d d [()]d ()d d d d [()()()()]d d d d d ()d d d d d d d d ()()d de e y TlzB x x x y z B y l zz x z y x y y zx y x z M M B v w x xv wn p yz p v p w B x xM M v w x xv w M n M M n M x xM M n F v n F w x xδδδσδδδδδδδδδ---=---+-+---=----++-⎰⎰⎰⎰E n p u σ式中d ,d y y z z q p s q p s ==⎰⎰d ,d ,d ,d z x y x y y z z M yp A M zp A F p A F p A =-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰代入(5.1.13) 即得2222d d :0,0d d y zy z M M q q x x Ω-+=+= （5.1.14）000010000d d d d :,,,d d d d e v v w w B v v w w x x x x==== (5.1.15) 2d d :,,,d d y e zz x z y x y x y x z M M B M n M M n M n F n F xx===-= (5.1.16)此外，由(5.1.16) 最后两式可定义 Q Q d d :,d d y zy z M M F F xxΩ=-=(5.1.17)加上由(5.1.14) 的本构关系（写成内力形式）22022d d :, d d y y z z w v M EI M EI x xΩ=-= (5.1.18)可以得到所有方程和边界条件。

为方便计，我们在下文中将挠度函数的下标“0”省略。

由于可以把梁(杆件)的弯曲变形分解成x-y 平面和x-z 平面内的弯曲，分别求解后，再把相应的结果叠加;所以下面只考虑x-y 平面内的弯曲，而x-z 平面内的弯曲可以仿照计算。