第5章_梁的弯曲

第5章 梁的弯曲

简单起见，本节仅考虑直梁、且梁的轴线与x 轴重合。

1 梁弯曲的基本方程

5.1.1 杆的弯曲假定

以下我们分三部分来叙述杆的弯曲假定。 (1)平面假定

在y M 和z M 的共同作用下，杆件上的d x 微段的两截面将发生(绕形心的)相对转动。平面假定：杆横截面在变形后仍保持平面。

设微段的一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生两种相对位移(见下图)：

图5.1

在y M 作用下绕 y 轴的转动：d (d )y u z θ= 在z M 作用下绕 z 轴的转动：d (d )z u y θ=- 由于上述两种位移都很小，所以总的轴向位移d u 为

d (d )(d )y z u z y θθ=-

(5.1.1)

其中d y θ和d z θ为d x 微段两截面分别绕y 轴和z 轴相对转过的角度，从而正应变为： x y z

u z y

x ερρ∂=

=-

∂ (5.1.2)

其中

d d y y

x

ρθ=

——梁轴线在x-z 坐标面内弯曲的曲率半径； d d z z

x

ρθ=

——梁轴线在x-y 坐标面内弯曲的曲率半径。 注意，在轴线上0x ε=，这是由于我们只考虑弯曲变形、而没有考虑拉伸变形，从而假定中的截面只绕形心转动，而没有轴向平动。 (2)横向挤压应力为零假定

横向挤压应力为零假定: 假定y σ和z σ可以忽略。 这个假定使得我们可以利用单向拉(压)的胡克定律

x x y

z

E

E

E z y σερρ==

-

(5.1.3)

由此可以计算内力：

1

1

x x y

z

A

y

z

F dA ES ES σρρ==-⎰N (5.1.4)

1

1

y x y

yz

A

y

z

M zdA EI EI σρρ==-⎰ (5.1.5)

1

1

z x yz

z

A

y

z

M ydA EI EI σρρ=-=-+⎰ (5.1.6)

其中

22

d , d

d , d , d y z A

A

y z yz A

A

A

S z A S y A I z A I y A I yz A

=====⎰⎰⎰⎰⎰

分别是横截面对 y z 、轴的静矩，对 y z 、轴的惯性矩和惯性积。对于确定的截面，这些量均为已知。

如果截面上的坐标轴取形心主轴(即原点在形心、坐标轴为惯性主轴)，则 0y z S S ==, 0yz I =

从而

N 0x F =

从式(5.1.5)、(5.1.6)直接解得

11,

y z

y y

z

z

M M EI EI ρρ== (5.1.7)

代入式(5.1.3)得

y z x y

z

M z M y

I I σ=

-

(5.1.8)

这样，当弯矩y M 和z M 给定后，轴向应力x σ的分布就给定了。

上述各式中的y EI 和z EI 分别称为杆在两个坐标平面内的抗弯刚度。 (3)直法线假定

现在我们来研究曲率半径y ρ和z ρ与形心位移之间的关系。

设轴线由各截面的形心连接而成，轴线上的横向位移在坐标系(以后我们均取形心主轴坐标系)上的分量分别为0()v x 和0()w x 。显然，轴线上的位移仅仅是一个变量x 的函数，

现在的问题是：如何将轴线外的点的位移用形心上的位移函数来表示？

直法线假定: 杆的轴线上任一法线，在变形后仍是变形后轴线的法线，而且法线不产生任何的伸缩。

先考虑x-y 平面内的弯曲变形。这里有两个位移函数(,)(,)u x y v x y 和。由于法线不伸缩，所以0y ε=，即

0(,)(,0)()v x y v x v x ==

此外，由于0()v x 的存在使法线产生了0

d d z v x

θ≈的转动，从而

d (,)d v u x y y

x

=-

图5.2

类似地，可以考虑x-z 平面内的弯曲变形：

00d (,)(), (,)d w

w x z w x u x z z x

==-

这样，杆上任意一点的位移可以写成

0000d d (,,)d d (,,)() (,,)() v w u x y z y

z x x v x y z v x w x y z w x ⎫

=--⎪⎪

⎪⎪⎬=⎪

⎪⎪

=⎪⎭

(5.1.9)

从而

220022d d d d x v w u

y z x x x

ε∂==--∂

(5.1.10)

将此式与式(5.1.2)比较

220022d d 1

1 , d d y z w v x x ρρ=-= (5.1.11)

如果用微分几何来准确计算曲率半径

()

032

20

1

1y

w "

w 'ρ-=

+