平面图形镶嵌问题

“平面图形镶嵌问题”教学案例

一、设计背景

本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。教材背景是学生刚学完的正多边形知识。教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题。本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这个理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。

二、实施过程

本节课的教学目标是：通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决（当然不一定能完全解决）的过程，加深对正多边形的相关概念、性质的理解；了解数学知识在实际生产生活中的应用，培养学生应用数学解决实问题的意识和水平；优化思维品质，培养学生发散性思维水平及由特殊到一般的归纳水平；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。

在上课的前两天，教师布置给学生一个任务，用纸片做一些正多边形的图片，说是上课要用，学生们都不知道教师葫芦里到底卖的什么药。但因为这个班级每周都有一节数学研究性学习课，同学们都很喜欢这种课，在这种课上，大家能够充分展开想象的翅膀，体现自己的才能。所以，各个学习小组的同学都相互合作，完成了老师布置的任务。

上课开始了，教师问学生：“大家见过自己家里地上铺的地砖及马路上人行道上铺的地砖吧？都是什么形状的啊？”这是一个学生非常熟悉的问题，同学们纷纷回答，有的是正方形的，有的是正六边形的。教师接着追问：“那么，我们能否用其它正多边形来铺地面呢？要求没有空隙。这就是今天我们要研究的平面图形镶嵌问题。比如用正五边形，大家看行吗？于是同学们分成小组，动手实践，用事先剪好的正五边形纸片实行试验，马上发现不行。教师又问，用正五边形不行，用正八边形行吗？学生通过实践发现也不行。教师问学生，那么我们今天要研究的平面图形镶嵌问题，应该研究什么问题啊？经过思考，一位学生说：“我们应该研究用什么样的正多边形能够完成平面的镶嵌而不留空隙。”另一位学生接着说：“我们还应该研究用两种以上的正多边形能不能完成平面的镶嵌。”教师对这两位学生实行了表扬，说：“我们就是要善于提出问题，好，我们今天就一起来研究这两个问题吧！”

对第一个问题，同学们通过实验，很快就得出了结论，只有正三角形，正方形或正六边形这三种正多边形能够完成平面图形的镶嵌。教师引导学生讨论，为什么只有这三种而没有其它正多边形了。很快地，就有学生回答说，因为要使平面完全镶嵌不留空隙，正多边形的内角度数必须能把 360 整除，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。

第一个问题解决了，接着同学们动手研究第二个问题，大家用两种不同边数的正多边形的纸片拼接在一起实行组合，拼出了各种各样的图形。其中有的能完全镶嵌，例如用正六边形和正三角形，有的则不能完全镶嵌，留下了一些空隙，例如用正八边形和正方形。教师把它们都挂在黑板上，供全班同学欣赏、评论。

这时，下课时间快到了，教师让学生对这节课实行了总结。并提出了第三个问题让同学们课后去实行实践探究：你能否想出一个用同一种多边形（非正多边形）的地砖铺地面的方案？把你想到的方案画成草图。

三、案例分析

1 ．本节课通过对几个平面图形的镶嵌问题实行研究，学生加深了对正多边的相关性质的理解。例如对正多边的内角度数的理解提升了一个层次。

2 ．因为研究的问题来自学生的日常生活实际，同学们一点也不感到陌生，所以兴致盎然，既提升了学习数学的兴趣和积极性，又初步了解了数学在生产生活中有着广泛的应用。

3 ．以问题为主线层层深入，通过对问题的探究解决，学生参与了知识的发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践水平和探究精神。

四、对案例的反思

1 ．本节课应用的是正多边的知识，所以在用哪种正多边形能够完成平面图形的完全镶嵌这个个问题上能够进一步深化，可引导学生用数学的方法来证明只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能达到目的的准确性，从而进一步培养学生逻辑思维的严谨性。

2 ．无空隙这个说法如何用数学语言来叙述？可引导学生归结为如下结论：拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边。

3 ．学生对本课主题很感兴趣，但教学手段略显单一。是否能够设计多媒体教学课件，在演示时会更直观。