四川省成都市双流中学2020-2021学年高一(下)开学数学试题

四川省成都市双流中学2020-2021学年高一（下）开学数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．cos1320︒=（ ）．A ．BC ．12-D ．122．已知ABC 中，4a =，b =，30A ︒=，则B 等于（ ）． A ．60︒或120︒B ．30︒C ．60︒D ．30︒或150︒3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得120ABC ∠=︒，则A 、C 两地的距离为（ ）．A ．B ．10kmC ．D ．4．在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，则9a =（ ） A ．14B ．15C ．16D ．175．在ABC ∆中，若cos b c A =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形6．若42ππθ<<）A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θD ．2cos θ-7．将函数sin 64y x π=+（）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心（ ） A ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,016π⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,016π⎛⎫⎪⎝⎭8．已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =（ ） A ．2B ．1C ．12D ．189．若1sin()33απ-=-，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．79-B ．13-C ．13D ．7910．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22,sin a b C B -==，则角A 为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．15011．已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ）A BCD ． 12．设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）．（1）若222a b c +<，则2C π>． （2）若2ab c =，则3C π≥．（3）若333a b c +=，则2C π<． （4）若2a b c +=，则2C π>．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）二、填空题13．等差数列{}n a 中，11a =，921a =，则3a 与7a 等差中项的值为_____14．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 的值__________．15．已知1cos()3αβ+=-，5cos213α=-，α、β均为锐角，则cos()αβ-=__________．16．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围是_____________.三、解答题17．已知{}n a 是等差数列，25a =，514a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和155n S =，求n 的值.18．已知向量1,2a ⎛=- ⎝⎭，(sin 2,cos 2)b x x =，设函数3()2f x a b =⋅-，x ∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．19．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆⑴求AC 的长； ⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长．20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin (2)sin (2)sin c C b a B a b A =-+-．设向量(,)m a b =，(2,2)n b a =--．（1）求角C ；（2）若m n ⊥，边长2c =，求ABC 的周长l 和面积S 的值．21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？22．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f =,若a ,[]1,1b ∈-,0a b +≠时,有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断()f x 在[]1,1-上的单调性,并用定义证明； (2)解不等式：()()2211f x f x ->-；(3)若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-,以及所有的[]1,1x ∈-恒成立,求实数m的取值范围．参考答案1．C 【分析】利用诱导公式化简直接求值即可. 【详解】()1cos1320cos 718060cos602︒=⨯+=-=-故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，属于容易题. 2．A 【分析】应用正弦定理，得到sin sin b AB a=，再由边角关系，即可判断B 的值. 【详解】解：∵4a =，b =，30A ︒=，∴由sin sin a b A B =得1sin 2sin 4b A B a == ,a b A B <∴<，∴B ＝60︒或120︒. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题. 3．D 【分析】根据题意，利用余弦定理即可. 【详解】在ABC 中，10,20,120AB BC ABC ==∠=, 所以：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠10040021020cos120700=+-⨯⨯⨯=,所以AC =故选：D 【点睛】本题考查了利用余弦定理求边长，属于容.易题 4．D 【解析】34111912,2521012,1,1817.a a a d a a a d +=∴+=+=∴=∴=+=本题选择D 选项.5．A 【分析】已知等式利用正弦定理化简，把sin sin()B A C =+代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到sin 0A =或cos 0C =，经检验sin A 不为0，即cos 0C =，确定出C 为直角，即可做出判断. 【详解】将cos b c A =，利用正弦定理化简得：sin sin cos B C A =， 把sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=代入得：sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，整理得：sin cos 0A C =，即sin 0A =或cos 0C =，A ，C 为三角形内角，sin 0A ∴≠，cos 0C ∴=，即2C π=，则ABC ∆为直角三角形， 故选：A. 【点睛】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 6．C 【分析】由42ππθ<<，所以sin cos 0θθ>>，sin cos sin cos θθθθ=+--，再求解即可.【详解】 解：因为42ππθ<<，所以sin cos 0θθ>>，sin cos sin cos θθθθ=+--=(sin cos )(sin cos )2cos θθθθθ+--=，故选C. 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式及确定角的正弦值与余弦值的大小关系，重点考查了运算能力，属基础题. 7．A 【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再求出其对称中心，确定选项． 【详解】解：函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再向右平移8π个单位得到图象的解析式为sin 2sin284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令2k πx =，得k π2x =，所以函数的对称中心为(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭观察选项只有A 符合． 故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高． 8．C 【分析】根据等比中项，求出4a 的值，再根据341a q a =，求出公比q ，再根据等比数列的通项公式即可求出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵()235444412a a a a a ==-⇒=，所以34182a q q a ==⇒=，故2112a a q ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题. 9．A 【分析】利用诱导公式求得cos()6πα+的值，再利用二倍角的余弦公式求得2cos(2)2cos ()136ππαα+=+-的值.【详解】1sin()cos()336ππαα-=-=+，∴27cos(2)2cos ()1369ππαα+=+-=-， 故选：A. 【点睛】该题主要考查诱导公式､二倍角的余弦公式的应用，属于中档题目. 10．A 【详解】 试题分析：因为sin C B c =∴=，那么结合22226a b a b -=⇒=，所以cosA=2222c b a cb +-所以A=030，故答案为A 考点：正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题. 11．C 【分析】根据题意，用,x y 表示这个等差数列后三项和为394x y+，进而设2cos ,2sin x y θθ==，利用三角函数的性质能求最大值． 【详解】设中间三项为,,a b c ，则2b x y =+，所以2x y b +=， 324b y x yc ++==，所以后三项的和为339244x y x y x yb c y y +++++=++=， 又因为224x y +=，所以可令2cos ,2sin x y θθ==，所以()()393cos 3sin 42x y θθθϕ+=+=+≤故选C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质． 12．B 【分析】根据已知条件，可以由余弦定理以及基本不等式进行判断命题是否正确，或取特殊值进行判断即可. 【详解】（1）222a b c +<，可以得出222cos 02a b c C ab+-=<，所以2C π>，故正确；（2）222221cos 222a b c ab ab ab c C ab ab +-->⇒=>=，得出3C π<，故错误；（3）假设2C π≥，则22232233c a b c ca cb a b ≥+⇒≥+>+，与333a b c +=矛盾，∴2C π<正确；（4）取2a b c ===，满足2a b c +=，3C π=，错误．故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理，利用余弦定理来判断三角形的角度大小，属于一般题. 13．11 【分析】由等差数列的性质可得：193722a a a a +=+=，代入等差中项的公式即可得答案. 【详解】由等差数列的性质可得：193722a a a a +=+=，则3a 与7a 等差中项为()371112a a +=； 故答案为：11． 【点睛】本题考查等差中项，当{}n a 为等差数列时*,,,,m n p q N m n p q ∈+=+，则n n p q a a a a +=+是解题的关键，考查分析理解的能力，属基础题.14．6π 【解析】在ABC ∆中，由()222tan a b cC ab +-=，整理得222122tan a b c ab C+-=，即cos cos 2CC sinC=，cos 0C ≠，1sin ,2C C ∴=为ABC ∆内角，6C π∴=或56π，因为ΔABC 为锐角三角形，6C π∴=，故答案为6π.【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15 【分析】通过已知角的余弦函数值，求出对应角的正弦函数值，再利用两角和差的余弦公式即可.【详解】因为α、β均为锐角，且1cos()3αβ+=-，5cos213α=-，所以sin()3αβ+=，sin 21312α=， 又因为()2αβααβ-=-+，所以()()()cos cos 2αβααβ-=-+ ()()cos2cos sin 2sin ααβααβ=+++5112513313339+⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了由所求角转化为已知角，再利用已知角的三角函数值代入求所求角的三角函数值，属于一般题.16．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】先利用两角和的正弦公式化简整理()f x ，再结合题中x 范围与()f x 值域得到3πωπ+范围，即得结果.【详解】函数()3sin cos cos 623f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在[]0,x π∈上，,333x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又f x 在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，sin ,132x πω⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2233πππωπ∴≤+≤ 1163ω∴≤≤. 故答案为：11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式与正弦型函数值域的应用，属于中档题.17．（1）31n a n =-；（2）10n =.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，利用题中等式建立1a 、d 的方程组，求出1a 、d 的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列前n 项和公式求出n S ，然后由155n S =求出n 的值.【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则115414a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =，3d =， ∴数列{}n a 的通项为()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-；（2）数列{}n a 的前n 项和()1231222n n n a a S n n +==+， 由23115522n n +=，化简得233100n n +-=，即()()331100n n +-=，10n ∴=. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前n 项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.18．（1）最小正周期为π ;最大值为12-（2）当5,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 单调递增;当52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()f x 单调递减. 【分析】（1）根据平面向量数量积定义,结合辅助角公式,求得函数()f x 的解析式,由周期公式及正弦函数的性质即可求得周期和最大值.（2）根据自变量的取值范围,先求得23x π-的范围,结合正弦函数的单调性即可求得()f x 的单调区间.【详解】（1）因为向量1,22a ⎛=- ⎝⎭,(sin 2,cos 2)b x x = 则3()2f x a b =⋅-1sin 22222x x =--sin 232x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由周期公式可得最小正周期为22T ππ==由x ∈R 可得()f x 的最大值为12- （2）因为2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 则2,33x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像可知,当2,332x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时为单调递增,此时5,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时为单调递减,此时52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上可知,当5,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 单调递增;当52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()f x 单调递减 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,辅助角公式化简三角函数式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.19．(1) AC =BC =【分析】（1）由三角形的面积公式求得AD =AC 的长； （2）由（1）可得3BAC π∠=，在ABC ∆中，利用正弦定理即可得BC 的长． 【详解】 ⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=∴AD =∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴AC =⑵由（1）知ACD ∆中AD =，CD =23D π∠= ∴6DAC ∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=又∵4B π∠=，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠=,∴BC =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．20．（1）3C π=；（2）6【分析】(1)根据已知条件由正弦定理把角转化为边，再根据余弦定理公式即可；(2)由向量数量积的运算可得到a b ab +=，再由余弦定理可求出4a b +=，代入周长和面积公式即可求出.【详解】（1）由已知可得：22(2)(2)c b a b a b a =-+-，即222c b a ab =+-， ∴2221cos 22b ac C ab +-==，∴3C π= （2）由题意可知m n ⊥，即(2)(2)0a b b a -+-=，∴a b ab +=由余弦定理可知，2224()3a b ab a b ab =+-=+-，则2()3()40a b a b +-+-= 即4a b +=，故周长为426+=，11sin 4sin 223S ab C π==⋅⋅=【点睛】本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式的应用，属于一般题. 21．（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ） 【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =， 所以5sin 13A =，4sin 5C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=． 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+， 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理sin sin BC AC A B=， 得12605sin 50063sin 1365AC BC A B=⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.22．（1）()f x 在[]1,1-上单调递增，证明见解析（2）0m =或2m ≥或2m ≤-【分析】(1)利用函数单调性的定义,结合函数奇偶性和条件进行证明即可(2)利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解(3)结合不等式恒成立,利用参数分离法进行求解即可【详解】解：(1)任取1x ,[]21,1x ∈-且12x x <,则[]21,1x -∈-,f x 为奇函数,()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +-∴-=+-=⋅-+-, 由已知得()()()12120f x f x x x +->+-,120x x -<,()()120f x f x ∴-<,即()()12f x f x <,f x 在[]1,1-上单调递增．(2)()11f =,()f x 在[]1,1-上单调递增,∴在[]1,1-上,()1f x ≤．问题转化为2211m am -+≥,即220m am -≥,对[]1,1a ∈-恒成立．下面来求m 的取值范围．设()220g a m a m =-⋅+≥． ①若0m =,则()00g a =≥,对[]1,1a ∈-恒成立．②若0m ≠,则()g a 为a 的一次函数,若()0g a ≥,对[]1,1a ∈-恒成立,必须()10g -≥,且()10g ≥,2m ∴≤-或2m ≥．m ∴的取值范围是0m =或2m ≥或2m ≤-．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用,以及不等式恒成立问题的应用,利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键．。