运筹学(胡运权第二版)习题答案(第二章)

st
n
xij bj
( j 1,, n)
.
i1 xij 0
(i 1,, m, j 1,, n)
m
n
maxW ai yi bj y jm
对偶问题：
st.
yi yi无
i 1
y jm cij 限制，i
j 1
(i 1,, m,
1,, n m
j
1,, n)
第二章习题解答
m
aij yi
cj
( j 1,2,, n1)
对偶问题：
st
i 1 m
aij
yi
cj
( j n1 1, n1 2,, n)
i1 yi 0
(i 1,, m1)
yi无约束（j m1 1,, m）
第二章习题解答
2.2 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则 其对偶问题也一定存在可行解； 答：不对！如原问题是无界解，对偶问题 无可行解。 (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则 原问题也一定无可行解； 答：不对！道理同上。
第二章习题解答来自百度文库
min W 2 y1 3 y2
y1 2 y2 2
(1)对偶问
题： st
.32
y1 y1
y2 y2
3 5
y1
3y2
6
y1 0, y2 0
(2) 最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。 (3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约 束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令 x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
对偶问题
:
st
3 4
y1 y1
y2 4 y3 2 3y2 3y3 4
y1 0, y2 0, y3无限制
第二章习题解答
max Z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(2)
st
4 xx1175xx22
3x3 3x3
3 8
x1无约束, x2 , 0, x3 0
m
max Z c j x j
j 1
n
aij x j bi
(i 1,, m1 m)
(4)
j1
st
n
aij x j
bi
(i m1 1, m1 2,, m)
j1
x
j
0
( j 1,, n1, n), x j无约束（j n1 1,, n）
第二章习题解答
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
y1 y2 y3 1
(1)对偶问题：st
y1y1
y2 y2
y3 y3
2
1
y1 0, y2无约束, y3 0
(2)y1=y3=0,y2=1 时 对 偶 问 题 的 一 个 可 行 解 ， 目 标 函数值为1，故原问题的目标函数值小于等于1。
第二章习题解答
2.6 已知线性规划问题
解：
l=1, k=0 , h=-1/2, a=2,
c=3, b=10, e=5/4, f=-1/2, d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=1/4
Cj→ CB 基 b
32 2 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 X1 (b) 1 1 1 1 0 0
0 X2 15 (a) 1 2 0 1 0
0 X3 20 2 (c) 1 0 0 1
Cj－Zj
32 2 0 0 0
┆ ┆ ┆ ┆┆ ┆ ┆ ┆ ┆
0 X4 5/4 0 0 (d) (l) -1/4 -1/4
3 X1 25/4 1 0 (e) 0 3/4 (i)
2 X2 5/2 0 1 (f) 0 (h) 1/2
Cj－Zj
0 (k) (g) 0 -5/4 (j)
y1 2 y2 1 (1)
st
.
y1 y1
y2 y2
1 0
(2) (3)
y1, y2 0
(4)
由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问 题无可行解。所以原问题目标函数值无界。
第二章习题解答
2.7 给出线性规划问题
min Z 2x1 4x2 x3 x4
第二章习题解答
2.5 给出线性规划问题
max Z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
st 2x1x1x2x2x3x31 2
.
x1 0, x2 0, x3无约束
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明 原问题目标函数值z≤1。
第二章习题解答
min W 2 y1 y2 2 y3
max Z x1 x2 5x3 6x4
st
.
x1 x2 x3 2 2x1 x2 x3 1
x
j
0, (
j
1,,3)
试根据对偶问题性质证明上述线性规 划问题目标函数值无界。
第二章习题解答
解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 偶问题为：
min W 2 y1 y2
第二章习题解答
(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问
题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的 目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数 值；
反。
答：不对！如果原问题是求极小，结论相
题。
(4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问
答：结论正确！
第二章习题解答
2.3 已知某求极大化线性规划问题 用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形 表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题
min Z 2x1 3x2 5x3 6x4
st.
x1 2 x1
2
x2 x2
3x3 x4 x3 3x4
2 3
x j 0, ( j 1,,4)
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题； (3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优 解。
maxW 5 y1 3y2 8 y3
y1 y2 4 y3 5
对偶问题：
st
2 2
y1 y1
5 3
y2 y2
7 y3 3 y3
6 3
y1无约束, y2 0, y3 0
第二章习题解答
mn
min Z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
(i 1,, m)
(3) j1
运筹学教程（第二版） 习题解答
第二章习题解答
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
。
min Z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
(1)
st
2x1x1 4
x2 x2
3x3 3x3
3 5
x1, x2 , 0, x3无约束
maxW 2 y1 3y2 5 y3
y1 2 y2 y3 2