大学物理力学答案2..

第二章基本知识小结

⒈基本概念 2

2)(dt r

d dt v d a dt r

d v t r r

=

==

= )()()(t a t v t r ⇔⇔

（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：

000,,v v r r t t ===）

⒉直角坐标系 ,,ˆˆˆ222z y x r k z j y i

x r ++=++= r

与x,y,z 轴夹角的余弦分别为

r z r y r x /,/,/.

v v v v v k v j v i v v z

y x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/.

a a a a a k a j a i a a z

y x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x

2

2

2222,,,,dt

z d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dt

dz

v dt dy v dt dx v z z y

y x x z y x =========

),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⇔⇔

⒊自然坐标系 ||,,ˆ);

(ττττ

v v dt

ds v v v s r r ====

ρτττττ2222

2,,,ˆˆv a dt

s d dt dv a a a a n a a a n n n =

==+=+=

)()()(t a t v t s ττ⇔⇔

⒋极坐标系 22,ˆˆ,ˆθ

θθv v v v r v v r r r r r +=+==

dt

d r v dt dr v r θ

θ==

, ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系

',0't t r r r =+=

（时空变换） 0'v v v

+= （速度变换）

0'a a a

+= （加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：

z

z y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t t z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','

y y'

V

o x o' x' z z'

2.1.1质点运动学方程为：j i t r ˆ5ˆ)23(++=

⑴ j t i t r ˆ)14(ˆ)32(-+-= ⑵,求质点轨迹并用图表示.

解：⑴,5,23=+=y t x 轨迹方程为5=y 的直线.

⑵14,32-=-=t y t x ，消去参数t 得轨迹方程0534=-+y x

2.1.2 质点运动学方程为k

j e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=-

.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)()1()1(2222---+-=--=∆

j i ˆ2537.7ˆ2537.7+-=。所以，位移大小：

︒

==∆∆=︒

==∆∆=︒

=-=∆∆==+-=∆+∆=∆900arccos |

|arccos z 45)22

arccos(||arccos y 135)22

arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r z

r y r x y x r

γβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与

2.1.3质点运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++=

. ⑴求质点轨迹；

⑵求质点自t=0至t=1的位移.

解：⑴32,42+==t y t x ，消去参数t 得：2)3(-=y x

⑵j i j j i r r r ˆ2ˆ4ˆ3ˆ5ˆ4)0()1(+=-+=-=∆

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为︒==7.33,410011θm R

0.75s 后测得︒==3.29,4240

22θm R ，R 1,R 2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）

解：t

R t R R v v ∆∆=∆-=≈

1

2，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：

m

R R R R R 58.3494.4cos 42004100242404100)cos(22221212

221=︒⨯⨯-+=--+=∆θθ

s m t R v v /8.46575.0/58.349/≈=∆∆=≈

据正弦定理：)180sin(/)sin(/1221αθθθ--︒=-∆R R

x

x

R θ

θ 1 R 1

R 2 ΔR

θ 1

θ 2 α

︒

=∴︒≈--︒≈︒=∆-=--︒89.34,41.111180,931.058.349/4.4sin 4240/)sin()180sin(12121ααθθθαθR R

2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x 2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x=249mm 处，经过时间2ms 后，圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

解：由于Δt 很小，所以，t

r

v v ∆∆=≈

，

其中，15249234,ˆˆ,212-=-=-=∆∆+∆=∆=∆x x x j y i x r ms t

2.36200/)249234(200/)(222

12212-=-=-=-=∆x x y y y

j i j t y i t x v ˆ1.18ˆ5.7ˆ)/(ˆ)/(--=∆∆+∆∆≈∴ 。其大小

ms mm v /6.19)1.18()5.7(||22=+-=

；与x 轴夹角

︒-=-=-==5.112)38265.0arccos(6

.195.7arccos arccos

v v x α

2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m ；另一人在广州听同一演奏的转播，广

州离北京2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为340m/s ，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.

解：声音传播情况如图所示，

北京人听到演奏声音所需时间：

s t 05.0340/171==

广州人听到演奏声音所需时间：

s t 0136.03402100.31023208

32≈+⨯⨯=

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶，3min 后以70km/h 速率向北偏西30°方向行驶，求列车的平均加速度。

解：t v

t v v ∆∆=∆-= 12 对矢量三角形应用余弦定理： s

m h km v v v v v /69.12/69.4537090709030cos 22

2212221==⨯-+=︒-+=∆

2/07.060369.12s m t v a =⨯=∆∆=

，由正弦定理：︒

∆=30sin sin 2v

v α ︒≈≈⨯=∆︒=50,766.069.45/5.070/30sin sin 2ααv v

2.2.6 ⑴k t j t R i t R r ˆ2ˆsin ˆcos ++=

，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵k

t j t i t r ˆ6ˆ5.4ˆ332+-= ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。 解：⑴k

j t R i t R dt r d v ˆ2ˆcos ˆsin /++-==

x

1

2

17m 2320km,3×108m/s 340m/s 2m

α v 2 30° v 1=90km/h

v 2

=70km/h

Δv

西

北