用积分法求梁的变形

3、积分常数由位移边界条件确定。
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0
xL
0
X
0
y
x0
0
y
0
例题 5.1
F A A
A
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
x
l
M x Fx
B
2M ( x ) d d Fx dx C C EI Fxdx EI C z 11 z 1 dx dx 2 EI Z
d dx
M ( x) EI Z dx C1

M ( x ) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx dx C1 x C2 EI Z
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
§6-8-2 梁的挠曲线近似微分方程及积分
M ( x) EI Z
d 2 dx 2 d 2 1 ( ) dx
3
1
1


d 2 dx 2 d 2 1 ( ) dx
3

M ( x) EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z






y

0
2
FabL b
6 EI z L
M x 0
x0
Fb 2 Fab 1 L a 2 Fb L2 b 2 EI z B B L F L a 2L 2 6 EI z L 6L
xL
Fb 3 1 Fb L2 b 2 3 EI z2 x F x a x 6L 6 6L
Fx 2 FL2 2 EI z 2 EI z Fx3 FL2 FL3 x 6 EI z 2 EI z 3EI z
FL3 A 3EI z
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
B
1 2 M x q L x 2
A
x
l
x
EI z M x
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
y
A
C

B

x
C
B
tan
d dx
q 3 L x L3 6 EI z


qL4 B 8EI z
q L x 4 4 L3 x L4 24 EI z

例题 5.3
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a
F
A
Fb L
b
B
x
M 1 x
Fb x L
0 xa
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
L
共有四个积分常数
EI z
C
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
边界条件
xa
x aL
连续条件
B 0
C 0
y
xa
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
q
A
B
EI z
C
x
边界条件
k
l 2
x0 xL
L x 2
A 0
l 2
y
Fc qL C k 8k
连续条件
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程 共有两个积分常数
L1
q
C EA
边界条件
B
A
x
x0 xL
A 0
EIZ
L
y
qLL1 B LBC 2 EA
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
Fb 2 Fb EI C1 x z 1 M x x EI z 1 1L 2 L Fb 3 EI z1 x C1 x D1








例题 5.3
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a
F
A
Fb L
b
B
l
C
x x






最大挠度 0
令x=a
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。
C
Faba b 3L
2 2
Fb 2 Fb L2 b 2 EI z C a 2L 6L Fb 2 Fb L2 b 2 x0 0 2L 6L


转角为零的点在AC段
1 b L 2 x0
x0


x0
L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L 3
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
l
C
x x
CB段
Fa L
M 2 x
Fb x F x a L axL
AC段
y
6L Fb 2 1 Fb 2 EI zz x F x xC M 2x xa F 22 2 a D 0 2L 2 L x 0 1 0 0 x L L 0 Fb 3 1 3 EI z2 x F x a C2 x D2 a1 D 22 a 1 aC 1 C a x a 1 D 2 2 6L 6 FbFb 1 2 2 3 Fb Fb 1a 3 C L3 0 2 F3 2 3 L Fb Fb L b EI L L 2 C C L b Z 2 Fb a 62 a 1 F a a Fb 2 C2 a D2 1 2D 3C1a 1 EI z1 x 6 L a C a F a a C2 6L 6 6L 6L 1 2L 6L 2L 2L 2 2 2 Fb 2 1 Fb L b 2 EI z 2 x F x a Fb 3 Fb L2 b 2 EI z1 x x 2L 2 6L 6L 6L 2 2 Fb 3 1 Fb L b 3 EI z2 x F x a x 6L 6 6L
x
y
边界条件
2 3 Fx C xC Fx EI dx z 2 EI z 1 x C2 26 C1
xL xL x0
B 0
B 0
A
FL 2 EI z
2
FL2 C1 2 EI z FL3 C2 3EI z
1 q Lx 2


2
1 3 EI z EI z qL x C1 6
y
边界条件
EI z
1 4 qL x C1 x C2 24
x0 x0 xL
0
qL3 C1 6 EI z
0
qL3 B 6 EI z
qL3 C2 24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
EIz1
F
EI z 2
B
共有四个积分常数 x
边界条件
A
L2 L2
C
x0
连续条件
A 0
A 0
L x 2
y
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
Me
共有四个积分常数
A
EI z
a
B
C
L
x
边界条件
x0 x aL
A 0
y
A 0 C 0
连续条件
xa
B1 B 2
最大转角
Fb L b A 6 EI z L
2
Fb 3 Fb L2 b 2 EI z1 x x 6L 6L Fa Fb 2 1 Fb L2 b 2 2 L EI z 2 x F x a 2L 2 6L
x
Fb 2 Fb L2 b 2 EI z1 x 2L 6L