福建师大附中上学期高二期末考试数学理科试题
福建省师大附中高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
高二数学理试题本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线x y 212=的焦点到准线的距离为（ ***** ） A. 18 B. 14 C. 12D. 12．已知()()0,3,0,321F F -，动点P 满足：621=+PF PF ，则动点P 的轨迹为（ ***** ） A.椭圆 B. 抛物线 C. 线段 D. 双曲线3．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ***** ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是（ ***** ） A ．1 B ．51 C ．53 D ．575． 下列有关命题的说法正确的是（ ***** ）A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题。
6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直 线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ***** ）A ．52-B ．52C ．1010-D ．10107．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ***** ）A.111222a b c -+ B.111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 8．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ***** ）A ．1B ．25C ．2D ．5 9．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率 为（***** ） A. 5 B.5255410．如图，在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是（ ***** ） A ．29 B ．3 C ．32D ．211．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1AC 的长为（ ***** ） A 5B ．22C 14D 1712．由半椭圆12222=+b y a x （x ≥0）与半椭圆12222=+cx b y （x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中222a b c =+，a >0b c >>．由右椭圆12222=+by ax （0x ≥）的焦点0F 和左椭圆12222=+cx b y （0x ≤）的焦点1F ，2F 确定的012F F F ∆叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆12222=+by ax （0x ≥）的离心率的取值范围为（ ***** ）A ．)1,31(B ．)1,32(C ．)1,33( D ．)33,0(第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置. 13．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 ******** .14．已知点P 是圆F 14)3(:22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点,则点M 的轨迹C 的方程为 ******** .15．设P 是曲线24=y x 上的一个动点，则点P 到点(1,2)-A 的距离与点P 到1=-x 的距离之和的最小值为 ******** .16．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为 ******** 米.17．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是 ******** .三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若 “p q 或”为真命题，“p q 且”为假命题，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分15分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形， ∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点． (I)求证：DE ∥平面ABC ； (II)求证：F B 1⊥平面AEF ；(III)求二面角F AE B --1的余弦值．12220．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点，圆Q 过O 点与F 点，且圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为23. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作倾斜角为060的直线L ，交曲线C 于A ，B 两点，求OAB ∆的面积；（3）已知抛物线上一点)4,4(M ，过点M 作抛物线的两条弦ME MD 和，且ME MD ⊥，判断：直线DE 是否过定点？说明理由。
精品解析：【全国百强校】福建师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
福建师大附中2018-2019学年上学期期末考试高二数学（理科）试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准方程,计算准线,即可.【详解】,故准线方程,故选D.【点睛】本道题考查了抛物线的性质,关键掌握准线方程即可，难度较容易。
2.下列说法正确的是( )A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题B. 命题“使得”的否定是：“均有”C. 命题“若且,则”的否命题为真命题D. 命题“若，则”的逆命题为真命题【答案】A【解析】【分析】将命题的否定写出来,判定真假,即可.【详解】A选项，分析可知当，能够推出为真命题，故逆否命题也是真命题，故正确；B选项，该命题的否定应该为“均有”，故错误；C选项，命题的否命题为:若,明显是假命题;D选项,命题的逆命题为:若,错误,故选A.【点睛】本道题考查了四种命题的关系以及真假判断,难度中等.3.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则( )A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】计算,代入坐标,计算结果,即可.【详解】,所以这两个向量垂直,得出.【点睛】本道题考查了向量的数量积坐标运算,考查了向量垂直判定,难度较容易.4.“且”是“方程表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程表示双曲线，则，解得则当时推出“且” 是“方程表示双曲线”反之则推不出故“且” 是“方程表示双曲线”的必要不充分条件故选5.如图，在四面体中，是底面的重心，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】不断的利用向量的加法,用表示向量,即可.【详解】则,故选D.【点睛】本道题考查了向量的加减法,考查了平面向量基本定理,难度中等.6.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )A. B. C. 6 D. 10【答案】C【解析】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.7.已知椭圆的左右焦点,，是椭圆上的动点,则的最大值为( )A. 4B.C. 5D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点，利用平面向量的数量积公式求得的表达式为,然后根据二次函数的性质求解最值即可.【详解】椭圆左、右焦点分别为，，设，，，当时，的最大值为，故选B.【点睛】本题考查椭圆的简单性质、参数方程的应用,三角函数结合配方法求解最值,考查转化思想以及计算能力.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.8.已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于点，交其准线于点，若 (其中位于之间)，且，则抛物线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的性质，反复运用三角形相似，即可得出答案。
2021-2022学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线l 经过点()0,1-和()1,0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 【答案】D【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角. 【详解】设直线的斜率为k ，且倾斜角为α，则10101k --==-， 根据tan 1α=，而[)0,απ∈，故4πα=，故选D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.2．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量线性运算的定义进行求解即可. 【详解】1111111111=()()2222BM BA AA A M a c A B A D a c a b a b c ++=-+++=-+++=-++，故选：A3．抛物线2y ax =的准线方程为 A ．4ay =-B ．14y a =-C ．4ax =-D ．14x a=-【答案】B【分析】先写出抛物线的标准方程，进而可得准线方程．【详解】由题得标准方程为21x y a =，则准线方程为14y a=-，故选B. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题． 4．在数列{}n a 中，1112,2(2,*)n n a a n n N a -==-≥∈，则5a =（ ） A ．65B ．76C ．54D ．56【答案】A【分析】根据递推关系依次求出2345a a a a ，，，即可. 【详解】12a =，112n n a a -=-， ∴211322a a =-=，321423a a =-=，431524a a =-=，541625a a =-=. 故选：A.5．设12,F F 是双曲线22:13yC x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为12122OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 6．用数学归纳法证明1111"1"12331n n n n +++⋯>++++时，假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，左端增加的项为（ ） A ．131k + B ．11311k k -++ C ．111323334k k k +++++D ．112323431k k k +-+++（）【答案】D【分析】求出n k =时，不等式的左边，再求出当1n k =+时，不等式的左边，得到当1n k =+时，即可推出不等式的左边比n k =时增加的项 .【详解】当n k =时，不等式左边等于1111,N 12331k k k k k ++++⋅⋅⋅+∈++++， 当1n k =+时，不等式左边等于11111,2343334k k k k k +++⋅⋅⋅+++++++ 当1n k =+时，不等式的左边比n k =时增加()11111123233341323431k k k k k k k ++-=+-+++++++. 故选：D7．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈， 由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.8．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为A ．2BCD ．12【答案】A【分析】由圆的面积可得AB =||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，利用抛物线定义得AF AQ BF BP ==，，根据梯形中位线可知2CD AQ BP a b =+=+，利用均值不等式即可求出最大值.【详解】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.二、多选题9．若方程22131x y t t-=--所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 为双曲线，则3t >或1t < C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则12t <<【答案】BC【解析】根据方程22131x y t t-=--所表示的曲线为C 的形状求出t 的取值范围，进而可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，若C 为椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩，解得132t t <<⎧⎨≠⎩，A 选项错误；对于B 选项，若C 为双曲线，则()()310t t --<，即()()130t t -->，解得1t <或3t >，B 选项正确；对于C 选项，若曲线C 为圆，则301031t t t t ->⎧⎪-<⎨⎪-=-⎩，解得2t =，C 选项正确；对于D 选项，若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则301013t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得23t <<，D 选项错误.故选：BC.10．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到A 、B 正确；再由前n 项和公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．【详解】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确；因为2217()2222n d d d dS n a n n n =+-=-，由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ．11．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】ABD【分析】证明点F 是线段MN 上的动点可判断A 正确；利用异面直线定义可判断B ；1A F 与1D E 可能平行，可判断C 错误；F 到平面1AD E 的距离是定值，结合体积公式可判断D.【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线，∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点．故A 正确；对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，故B 正确；对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 可能平行，故C 错误；对于D ，//MN EG ,//EG 1AD ，1//MN AD ∴，1AD ⊂平面1ABD ，MN ⊄平面1ABD ，则//MN 平面1ABD ，则点F 到平面1ABD 的距离等于点M (或点N )到平面1ABD 的距离. 设点M (或点N )到平面1ABD 的距离为d ，则11M ABD D ABM V V --=，即1111133△△ABD ABM S d S A D ⋅=⋅. 在正方体中，1ABD S，ABM S △，11A D 均为定值，所以d 为定值.点F 到平面1ABD 的距离为定值，又1ABD S 为定值，所以1F ABD -的体积为定值，故D正确； 故选：ABD12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221x y x y +=+就是其中之一（如图）．下列说法正确的是（ ）A ．曲线C 的图象关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3D ．曲线C 2【答案】ABD【分析】利用题中给出的曲线的方程，通过将x 变换为x -，即可判断选项A ；通过方程，确定x 和y 的取值情况，即可判断选项B ；求出曲线C 所围成的面积，即可判断选项C ；利用基本不等式以及两点间距离公式进行分析求解，即可判断选项D ． 【详解】解：对于A ，将x 换成x -，方程不变，所以图形关于y 轴对称，故A 正确； 对于B ，当0x =时，代入方程可得21y =，所以1y =±，即曲线经过点(0,1)-，(0,1)， 当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以224(1)0x x ∆=--≥，解得23(0,)3x ∈， 因为x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过点(1,0)，(1,1)， 根据对称性，可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故B 正确； 对于C ，在x 轴上方图形的面积大于矩形的面积122⨯=，在x 轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故C 错误；对于选项D ，当0x >时，由221x y xy +=+，可得222212x y x y xy ++-=≤，当且仅当x y =取等号，所以222x y +≤，所以222x y +≤，故曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得，曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2，故D 正确. 故选：ABD ．三、填空题13．若直线l 过点(1,2)-，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的方程为_________． 【答案】2y x =-或1y x =--【分析】由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 为2(1)y k x +=-，然后分别求出直线在两坐标轴上的截距，再由截距相等列方程可求出k 的值，从而可求出直线l 的方程. 【详解】由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 为2(1)y k x +=-， 当0x =时，2y k =--， 当0y =时，21x k=+，因为直线l 在两坐标轴上截距相等， 所以212k k+=--，化简得2320k k ++=，解得1k =-或2k =-，所以直线l 为2(1)y x +=--或22(1)y x +=--， 即2y x =-或1y x =--， 故答案为：2y x =-或1y x =--14．已知在一个二面角的棱上有两点A B ，，线段AC BD ，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱53452AB AB AC BD CD ====，，，，，则这个二面角的度数为__________． 【答案】90︒π2【分析】根据题意，二面角的大小可转化为,AC BD ，利用向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】如图，设,AC BD θ=(0180θ︒≤≤︒)，则二面角的大小为θ， ∵CA AB ⊥，AB BD ⊥，∴0AC AB BD AB ⋅=⋅=，,180CA BD θ=︒-，∴22()CD CA AB BD =++()2222cos 180CA AB BD CA BD θ=+++-. ∴2222(52)354234(cos )θ=+++⨯⨯⨯-， ∴cos 0θ=，∴90θ=. 因此，所求二面角的度数为90°. 故答案为：90︒15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为30的直线，与以坐标轴原点O 为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点A （不同于点1F ），与椭圆C 在第一象限交于点B ，若()221212F A F F F B =+，则椭圆C 的离心率为__________．【分析】由()221212F A F F F B =+与12F AF ∠为直径所对的圆周角得出2F A 为线段1F B 的垂直平分线，再结合已知条件中的角与椭圆的定义得出122F F c =且22F B a =-，列式即可得出答案. 【详解】()221212F A F F F B =+， ∴点A 是线段1F B 的中点，12F AF ∠为直径所对的圆周角， 21F A F B ∴⊥，2F A ∴为线段1F B 的垂直平分线， 122F F F B ∴=，112F B F A =，过1F 的直线的倾斜角为30， 1230AF F ∴∠=， 2122F A F F ∴=，1F ，2F 为椭圆C 的焦点，122F F c ∴=，22F B c ∴=且2F A c =，1F A ∴==，1F B ∴=，点B 在椭圆C 上，122F B F B a ∴+=，22F B a ∴=-，22c a ∴=-，即c e a ==，四、双空题16．定义：记满足下列两个条件的有穷数列()12,,,2,3,4,n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅为n 阶“期待数列”.①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.试写出一个3阶“期待数列”___________；若2021阶“期待数列”{}n a 是递增的等差数列，则2021a =___________. 【答案】12，0，12-（答案不唯一）11011 【分析】（1）根据新定义直接写出答案即可；（2）设出等差数列的公差，结合新定义得到数列{}n a 的通项公式，然后求解2021a 即可.【详解】（1）写出一个满足条件12312301a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩的数列即可，如12，0，12-或12，14-，14-（答案不唯一）； (2)解法一：设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥为21k +阶“期待数列”，公差为d （0d >）， ∵123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+=，∴()()1212102k k dk a +++=，∴10a kd +=， 即10k a +=，∴2k a d +=（等差数列通项公式的应用）， ∵0d >，10k a +=，∴232112k k k a a a +++++⋅⋅⋅+=（根据数列递增及10k a +=而得）， ∴()1122k k d kd -+=，即()11d k k =+， 由10k a +=得()101ka k k +=+，即111a k =-+， ∴()()()1111111n n a n k k k k k k=-+-=-+++， 令212021k +=，解得1010k =， ∴1101010111010n n a =-⨯，故202120211202110111101010111010101010111011a -=-==⨯⨯. 解法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1232021120212020202102a a a a a d ⨯+++⋅⋅⋅+=+=， 即110100a d +=，即10110a =.由等差数列的性质，得12021220201011022a a a a a ++==⋅⋅⋅==. 因为数列{}n a 为递增数列，12320211a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以123101012a a a a +++⋅⋅⋅+=-，即1101010091101022a d ⨯+=-，将110100a d +=代入，解得110111010d =⨯， 所以()20211011112021101101010101110101011a a d =+-=+⨯=⨯.故答案为：12，0，12-（答案不唯一）；11011五、解答题17．在“①1n n a a +>，2951a a =，4720a a +=；②5125S a =，23a =；③2n S n =”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且___________，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）若选择①，根据等差数列的性质可知2920a a +=，联立方程，求2a 和9a ，再根据等差数列通项公式，列首项和公差的方程组，即可求得通项公式；若选择②，根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列式求首项和公式，即可求得通项公式；若选择③，利用数列n a 与n S 的关系，求数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）若选择①， 由2951a a =与472920a a a a +=+=解得：29317a a =⎧⎨=⎩或29173a a =⎧⎨=⎩（由于1n n a a +>，舍去）设公差为d ，则21913817a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =- 若选择②，设公差为d ，由5125S a =，得31525a a =；213a a d =+=则111253a d a a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =- 若选择③，因为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 解得1,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =- （2）由题意得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 18．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AD AB ===，,M N 分别为AB ，PC 的中点．(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求PD 与平面PMC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 3【分析】（1）取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，证明四边形AMNE 为平行四边形，从而得//MN AE ，进而可证明//MN 平面PAD ；（2）由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应的平面向量，求出平面PMC 的法向量，由向量的夹角公式代入求解.【详解】(1)取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，∵N ，E 分别为PC ，PD 的中点，∴//NE CD 且12NE CD =，又M 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，∴//AM CD 且12AM CD =，∴//NE AM 且NE AM =，故四边形AMNE 为平行四边形，∴//MN AE ，又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD(2)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵2PA AD AB ===，所以(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,2,0)C M P D ，故(0,2,2),(2,2,2),(1,2,0)=-=-=PD PC MC ，设平面PMC 的法向量(,,)n x y z =，则02220200PC n x y z x y MC n ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，得(2,1,1)n =-，设PD 与平面PMC 所成角为θ，则223sin cos ,3226θ--===⋅PD n ，故PD 与平面PMC 所成角的正弦值为33. 19．已知数列{}n a 的首项127a =，且满足12(31n n na a n a +=∈+N ）． (1)求证：数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 为等比数列；(2)若1231111na a a a +++⋯+＜100，求满足条件的最大正整数n ． 【答案】(1)证明见解析 (2)33n =【分析】（1）由已知递推公式得1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a ，由此可得证；（2）由（1）得1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的求和公式可求得1231111n a a a a +++⋯+，再令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得函数()f x 的单调性和(33)0,(34)0f f <>可得答案.【详解】(1)解：112311,312n n n n n na a a a a a +++=∴=+， 11113111,33222n n n n a a a a ++⎛⎫∴=+∴-=- ⎪⎝⎭， 又112171,3722a a =∴=-=，∴数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：由（1）可知，11111113,32222n n nn n a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-==∴=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若1231111100na a a a ++++<，则1113100,39922n nn n ⎛⎫⎛⎫-+<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上单调递增，且333411(33)99990,(34)10299022f f ⎛⎫⎛⎫=--<=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足条件的最大正整数33n =．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点F '，过点F '的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，||2FF '=. （1）求抛物线C 的方程； （2）当1009F A F B ''⋅=时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）3430x y ++=或3430x y -+=.【分析】（1）由||2FF '=得出2p =，进而得出方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出12124,4.y y m y y +=⎧⎨=⎩，进而由数量积公式得出m ，从而得出直线l 的方程.【详解】（1）因为||2FF '=，所以2p =，所以所求抛物线C 的方程为24y x =； （2）点F '的坐标为(1,0)-，设直线l 的方程为1x my =-.221,4404,x my y my y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩. 216160m ∆=->，解得1m <-或1m .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12124,4.y y m y y +=⎧⎨=⎩ 所以12121211()2x x my my m y y +=-+-=+-，则2124242+=⋅-=-x x m m m212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =--=-++， 2124411=-⋅+=x x m m m所以11221212(1,)(1,)(1)(1)F A F B x y x y x x y y ''⋅=+⋅+=+++ 则1212121F A F B x x x x y y ''⋅=++++，221421444F A F B m m ''⋅=+-++=+ 又1009F A F B ''⋅=，所以2100449m +=，得43m =±，满足0∆>. 所以直线l 的方程为413x y =-或413x y =--. 即所求直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=.【点睛】关键点睛：解决本题二的关键在于联立直线和抛物线方程，由韦达定理求出12124,4.y y m y y +=⎧⎨=⎩，最后由数量积公式得出m . 21．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%．（1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息．（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：2401.0042.61≈．（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 【答案】（1）289200（元） ；（2）小张申请该笔贷款能够获批 ；（3）小张应选择等额本金的还款方式．【分析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n 项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为{}n a ， 用n S 表示数列{}n a 的前n 项和， 则14900a =，2402510a =， 则()240240490025108892002S +==，故小张的该笔贷款的总利息为889200600000289200-=（元）．（2）设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则()()()()223924010.00410.00410.00460000010.004x x x x +++++++=⨯+，所以2402401 1.004600000 1.0041 1.004x ⎛⎫-=⨯ ⎪-⎝⎭，即240240600000 1.0040.004600000 2.610.00438911.0041 2.611x ⨯⨯⨯⨯=≈≈--， 因为138911000050002<⨯=，所以小张该笔贷款能够获批.（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为 3891240600000333840⨯-=（元），因为333840289200>，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式．22．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ))12,83⎡⎣.【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值．试题解析：（Ⅰ）因为，，故，所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,83.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【解析】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.。
福建省师大附中高二数学上学期期末考试试题 理
福建师大附中2015-2016学年第一学期模块考试卷高二数学（理科）选修2-1本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．抛物线22y x =的准线方程为 A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题为：“若x a =且x b =，则2()0x a b x ab -++=”B ．命题“若1x =-，则2560x x --=”的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题3．已知平面α的一个法向量为()11,2,2n =-u r ，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--u u r，若//αβ，则k 的值为A ．4-B ．2-C ．2D ．4 4．如图，空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N为BC 中点，MN xOA yOB zOC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,x y z 的值分别是A ．211,,322-B ．121,,232- C ．111,,222- D ．221,,332-5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 A ．52-B ．1010C ．52D ．536． 0,0a c >>是方程22ax y c +=表示椭圆的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点, 212PF F F ⊥,30PF F ∠=o ,则C 的离心率为A ．3B ．13C ．12D ．38．与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，且与椭圆22182y x+=有共同焦点的双曲线方程是βBDACαA ．14222=-y xB ．14222=-x yC ．12422=-y xD ．12422=-x y9．已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在其准线上的射影是点M ，点A 的坐标(4,2)，则||||PA PM +的最小值是 A ． B ．C ．3D ．210．过点(4,0)C 的直线与双曲线221412x y -=的右支交于A B ,两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是 A ．||3k > B ．||3k ≤ C ．||1k ≥ D ．||1k <11．若点O 和点(2,0)F -分别为双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r的取值范围为A ．7[,)4-+∞B ．7[,)4+∞ C ．[323,)-+∞ D ．[323,)++∞12．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，且点A 在双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为A ．13B ．5C ．213 D ．233第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．若向量(1)λ=，，1a 与(212)=-，，b 3，则λ的值为***** . 14．已知M 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=o ，则12F MF ∆ 的面积为***** .15．如图，在二面角AB αβ--中，线段,AC BD αβ⊂⊂，AC AB ⊥，BD AB ⊥，4,2AC CD AB BD ====，则二面角AB αβ--的大小为***** .16．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为***** .三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知命题:p “方程22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”, 命题:q “方程22(2)1kx k y +-= 表示双B 1C 1D 1A 1DCBA曲线”.若“p q ∨”是真命题, “q ⌝”是真命题，求实数k 的取值范围.18．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中,11AB AD AA ===,60BAD ∠=o,01145BAA DAA ∠=∠=.（Ⅰ）求1BD u u u u r；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面11ACC A . 19．（本小题满分12分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求直线BE 与平面ADE 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面ADE 的距离．20．(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上的一点M 的横坐标为3，焦点为F ，且||4MF =.直线42:-=x y l 与抛物线C 交于,A B 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l P ，且直线1l 与抛物线C 相切于点P ，求直线1l 的方程及ABP ∆的面积. 21．(本小题满分12分)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=，若O为AD 的中点，且1CD A O ⊥． （Ⅰ）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）如图所示，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 到点2F 的距离是22，线段1MF 的中垂线交2MF 于点P ．（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与轨迹G 交于M 、N 两点，直线2F M 与2F N 的倾斜角分别为α、β，且αβπ+=，求证：直线l 经过定点，并求该定点的坐标．福建省师大附中2015-2016学年第一学期模块考试高二数学（理科）选修2-1参考答案一、选择题：1－12：BDDACC DBAADC 二、填空题：13．5-或1 14．33 15. 3π 16. ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83三、解答题：17．解:若p 成立，则910k k ->->，即15k << ……3分 若q 成立，则(2)0k k -<，即0k <或2k > ……6分 Q 若“p q ∨”是真命题, “q ⌝”是真命题∴p 真q 假 ……8分 ∴1502k k <<⎧⎨≤≤⎩ ∴12k <≤ ……………………10分18．解: （Ⅰ）111BD AD AB AD AA AB =-=+-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r……………………2分2211()BD AD AA AB =+-u u u u r u u u r u u u r u u u r2221112()AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g2= ……………………4分 所以12BD =u u u u r……………………5分（Ⅱ） 1111()022AA BD AA AD AB =-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则1BD AA ⊥, ………8分又Q ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ ……………………9分Q 1,AA AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A ⋂=……………………10分所以BD ⊥平面11ACC A19．解：（Ⅰ）（法一）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，Q //BF CG 且BF CG =，∴四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =．Q 四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ． ……………………2分DG ⊂Q 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ， ……………………3分//AF ∴平面CDE ．法二Q 四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又Q 平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD I 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．DC ∴⊥CE ……………………1分以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ，…………2分 则(0,2,4)AF =-u u u r ，(2,0,0)CB =u u u r．)0,0,2(=n 为平面CDE 的一个法向量．…………3分又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u rQ ，∴AF CB ⊥u u u r u u u r……………………4分∵AF ⊄平面CDE ……………………5分 //AF ∴平面CDE ．（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r ，(2,0,0)AD =-u u u r Q ，(0,4,4)DE =-u u u r ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(0,1,1)n =u r ．……………7分(2,4,0)BE =-u u u r，设直线BE 与平面ADE 所成角为θ，则111||10sin |cos ,|||||252BE n BE n BE n θ⋅=<>===⨯u u u u r u ru u u r u r u u u r u r ．……………………8分所以215cos 1sin θθ=-=所以BE 与平面ADE 所成角的余弦值为15……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADE 的一个法向量为1(0,1,1)n =u r(2,4,0)BE =-u u u r∴11||22||2BE n d n ⋅===u u u r u ru r ……………………11分 ∴点B 到平面ADE 的距离为22 ……………………12分 20．解：（Ⅰ）依题意得342p+=，所以2p = 所以抛物线方程为x y C 4:2= ……………………3分（Ⅱ）联立方程2244y x y x =-⎧⎨=⎩，设),(),,(2211y x B y x A ，消去x 得2280y y --= 从而121228y y y y +=⎧⎨=--⎩有弦长公式得534)(411||21221=-+⋅+=y y y y AB ，……………………6分 设直线1l 的方程为2y x b =+，……………………7分联立方程224y x b y x=+⎧⎨=⎩ 得2220y y b -+= ……………………8分由480b ∆=-=得12b =，所以直线1l 的方程为122y x =+ ……10分 直线1l 与l 的距离为1|4|952105+=……………………11分 所以19527352104ABP S ∆=⨯⨯=……………………12分 21.（Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA AD ==，∴1A AD ∆为等边三角形∵O 为AD 的中点 ∴1A O AD ⊥， ……………………2分 又1CD A O ⊥，且CD AD D =I ， ……………………3分 ∴1A O ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图） 则(0,1,0)A -，1(0,0,3)A ，……………………4分 设(1,,0)P m ([1,1])m ∈-，……………………5分平面1A AP 的法向量为1(,,)n x y z =u r，∵1(0,13)AA =u u u r ，(1,1,0)AP m =+u u u r ， 且11130(1)0n AA y z n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 取1z =，得1(3(1),3,1)n m =+-u r……………………7分 平面11A ADD 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r……………………8分由题意得12213(|cos ,||23(1)311n n m <>==+++⨯u r u u r ，……………………9分解得13m =-或53m =-（舍去），……………………11分 ∴当BP 的长为32时，二面角1D A A P --的值为3π.……………………12分 22．（Ⅰ）连接1PF ，由2||22MF =，∴2||||22PM PF +=，又∵1||||PM PF =，∴1212||||22||2PF PF F F +=>=，……………………3分由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 的方程为2212x y +=．……………………5分 （Ⅱ）依题意2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得：222(21)4220k x kmx m +++-=……6分设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++……7分 又221212,11F M F N kx m kx mk k x x ++==--，依题意得：220F M F N k k +=，……9分 即：1212011kx m kx m x x +++=--，化简得：12122()()20kx x m k x x m +-+-= ∴2222242()()202121m kmk m k m k k -+---=++g ，整理得：2m k =-……12分 ∴直线l 的方程为(2)y k x =-，因此直线l 经过定点，该定点坐标为(2,0)． ……………………………………14分。
福建省福建师范大学第二附属中学高二数学上学期期末考试试题 理
福建师大二附中2017-2018学年第一学期高二期末考数学理科试卷（满分150分，完卷时间：150分钟） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. “”是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 过点（1，1）的抛物线y =ax 2的焦点坐标为（ ）A.B.C.D.3. 与向量a =（1，3，-2）平行的一个向量的坐标是（ ）A. （，1，1）B. （-，-，1）C. （-，，-1）D. （，-3，-2）4. 已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线MN上，且MP =2PN ，设向量OA a =,OB b =，OC c =，则OP =（ ）A.111666a b c ++ B. 111333a b c ++ C.111633a b c ++ D. 111366a b c ++ 5. 原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 46. 若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则a 的值为（ ） A. 9 B. 6C. 3D. 27. 方程+=1（θ∈R ）所表示的曲线是（ ）A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线8. 已知a =（3，-2，-3），b =（-1，x -1，1），且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A. （-2，+∞） B. （-2，）∪（，+∞） C. （-∞，-2）D. （，+∞）9. 若双曲线C ：-y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，满足120PF PF ∙=的点P 依次记为P 1、P 2、P 3、P 4，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积为（ ） A.B. 2C.D. 210. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线11. 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A.B.C. 3D. 212. 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＞|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则的最小值为（ ） A.B. 3C. 6D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是______．14. 命题“∃x ∈Z ，x 2+x +m ＜0”的否定是______．15. 已知A （1，0，0），B （0，-1，1），OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ=______． 16. 下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号______ ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA |-|PB |=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA |=10-|PB |，且|AB |=6，则|PA |的最大值为8；③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④双曲线-=1与椭圆有相同的焦点．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）17.已知命题p：“∃x∈R，2x2+（m-1）x+≤0”，命题q：“曲线C1：+=1表示焦点在x轴上的椭圆”．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．18.如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2，（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅱ）求二面角A-FD-B的正切值；（Ⅲ）求点D到平面BEF的距离．19.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点，设λ=（1）求证：DA1⊥ED1（2）若直线DA1与平面CED1所成角为30°，求λ的值（3）当点E在棱AB上移动时，是否存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20.已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率 .（1）求椭圆的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．22.已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．福建师范大学第二附属中学高二（理）上期末考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“”是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：⇒，反之不成立，例如取α=-2π．∴“”是的充分不必要条件．故选：A．⇒，反之不成立，例如取α=-2π．即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.过点（1，1）的抛物线y=ax2的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：点（1，1）在抛物线y=ax2的图象上，可得a=1．抛物线y=x2的焦点坐标为：（0，）．故选：C．利用抛物线经过的点，推出a，然后化简抛物线方程为标准方程，求解焦点坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.与向量=（1，3，-2）平行的一个向量的坐标是（）A. （，1，1）B. （-，-，1）C. （-，，-1）D. （，-3，-2）【答案】B【解析】解：对于B：=-（1，3，-2）=-，故选：B．利用向量共线定理、坐标运算即可得出．本题考查了向量共线定理、坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（）A. ++B. ++C. ++D. ++【答案】C【解析】解：如图所示，=+，=（+），=，=-，=．∴=+=+=+（-）=+=×（+）+×=++=++． 故选：C ．利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用、和线性表示即可．本题考查了空间向量的线性运算问题，考查了数形结合的应用问题，是基础题目．5. 原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】解：逆命题：设a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；∵由ac 2＞bc 2可得c 2＞0，∴能得到a ＞b ，所以该命题为真命题；否命题：设a ，b ，c ∈R ，若a ≤b ，则ac 2≤bc 2；∵c 2≥0，∴由a ≤b 可以得到ac 2≤bc 2，所以该命题为真命题；因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可； ∵c 2=0时，ac 2=bc 2，所以由a ＞b 得到ac 2≥bc 2，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题；∴为真命题的有2个． 故选C ．先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可，这里注意c 2的取值．在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可． 考查原命题，逆命题，否命题，逆否命题的概念，以及原命题和它的逆否命题的真假关系．6. 若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则a 的值为（ ） A. 9 B. 6C. 3D. 2【答案】C【解析】解：焦点在x轴上的椭圆，可得c=，离心率为，可得：，解得a=3．故选：C．利用椭圆的离心率，列出方程求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7.方程+=1（θ∈R）所表示的曲线是（）A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】解：∵-1≤sinθ≤1，∴2≤2sinθ+4≤6，-4≤sinθ-3≤-2，∴方程+=1（θ∈R）所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，故选C．根据-1≤sinθ≤1，可得1≤2+sinθ≤3，-4≤sinθ-3≤-2，即可得出结论．本题考查方程表示的几何意义，考查双曲线的方程，考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．8.已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A. （-2，+∞）B. （-2，）∪（，+∞）C. （-∞，-2）D. （，+∞）【答案】B【解析】解：∵与的夹角为钝角，∴cos＜，＞＜0．且与不共线∴•＜0．且（3，-2，-3）≠λ（-1，x-1，1）∴-3-2（x-1）-3＜0．且x≠∴x的取值范围是（-2，）∪（，+∞）．故选B．根据两个向量的夹角是钝角，则两个向量的夹角的余弦小于零，从而得到两个向量的数量积小于零，用坐标形式表示向量的数量积，解不等式，得到变量的范围．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．9.若双曲线C：-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足=0的点P依次记为P1、P2、P3、P4，则四边形P1P2P3P4的面积为（）A. B. 2 C. D. 2【答案】C【解析】解：双曲线C：-y2=1的a=2，b=1，c==，焦点坐标为（-，0），（，0），满足=0的点P，设P（x，y），则（--x，-y）•（-x，-y）=x2-5+y2=0，即有圆x2+y2=5，联立双曲线的方程双曲线C：-y2=1，可得交点分别为P1（，），P2（-，），P3（-，-），P4（，-），它们构成一个矩形，长为，宽为，面积为×=．故选：C．求出双曲线的焦点坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得P的轨迹方程，联立双曲线的方程，求出交点，可得它们构成矩形，求出长和宽，即可得到所求面积．本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点坐标和方程的运用，考查解方程的能力，以及四边形面积的计算，属于基础题．10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线【答案】B【解析】解：如图所示：正方体ABCD-A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1．又已知PR2-PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选B．作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2-PQ2=RQ2=1，又已知PR2-PM2=1，故PQ=PM，即P到点M的距离等于P到AD的距离．本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ 是解题的关键．11.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2-3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos=（r1）2+（r2）2-r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°-θ）≤=故选：A根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．12.已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A. B. 3 C. 6 D.【答案】C【解析】解：由题意可知：F1F2=F2P=2c，又∵F1P+F2P=2a1，F1P-F2P=2a2，∴F1P+2c=2a1，F1P-2c=2a2，两式相减，可得：a1-a2=2c，∵==，∴===4+2+，∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，∴的最小值为6，故选：C．通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是______．【答案】y2=8x【解析】解：∵双曲线的方程为，∴a2=3，b2=1，得c=2，∴双曲线的右焦点为F（2，0），也是抛物线的焦点设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故答案为：y2=8x．根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．14.命题“∃x∈Z，x2+x+m＜0”的否定是______．【答案】∀x∈R，使x2+x+m≥0【解析】解：∵命题“∃x∈Z，x2+x+m＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使x2+x+m≥0故答案为：∀x∈R，使x2+x+m≥0．根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．本题主要考查全称命题与特称命题的转化，属基础题．15.（理）已知A（1，0，0），B（0，-1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=______．【答案】【解析】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，-1，1）=（1，-λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．16.下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号______ ．（写出所有真命题的序号）．①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④双曲线-=1与椭圆有相同的焦点．【答案】②③【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|-|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10-|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2-5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．①利用双曲线的定义判断．②利用椭圆的定义判断．③利用椭圆和双曲线的离心率的取值范围判断．④利用双曲线和椭圆的方程和定义判断．本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知命题p：“∃x∈R，2x2+（m-1）x+≤0”，命题q：“曲线C1：+=1表示焦点在x轴上的椭圆”．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：若p为真，则：，解得：m≤-1或m≥3，若q为真，则：，解得：-4＜m＜-2或m＞4．∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p，q一真一假．若p真q假，则：，解得：3≤m≤4或-2≤m≤-1或m≤-4．若p假q真，则：解集为ϕ．综上，实数m的取值范围为：3≤m≤4或-2≤m≤-1或m≤-4．【解析】若p为真，则△≥0，解得m范围；若q为真，则，解得m范围．由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p，q一真一假．解出即可．本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、椭圆的标准的方程、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2，（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅱ）求二面角A-FD-B的正切值；（Ⅲ）求点D到平面BEF的距离．【答案】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，∴OG∥DE，且OG=DE．∵AF∥DE，DE=2AF，∴AF∥OG，且OG=AF，∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．∴FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．（2）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵DE=DA=2AF=2，∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0），∴=（0，-2，1），=（-2，-2，0），设平面BDF的法向量=（a，b，c），则，∴=（-1，1，2），∵平面ADF的法向量（0，1，0），∴二面角A-FD-B的余弦值为，∴正切值为；（3）解：设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，∴=（1，1，2），∴点D到平面BEF的距离d==．【解析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，由已知条件推导出四边形AFGO 是平行四边形，由此能够证明AC∥平面BEF．（Ⅱ）以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDF的法向量、平面ADF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-FD-B的正切值；（Ⅲ）利用向量法能求出点D到平面BEF的距离．本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查平面与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．19.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点，设λ=（1）求证：DA1⊥ED1（2）若直线DA1与平面CED1所成角为30°，求λ的值（3）当点E在棱AB上移动时，是否存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），E（1，λ，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）．∴=（1，0，1），=（-1，-λ，1），∴=-1+0+1=0，∴．即：DA1⊥ED1．（2）解：C（0，1，0），=（1，λ-1，0），=（0，-1，1）．（0≤λ≤1）．设平面CED1的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1-λ，1，1）．∵直线DA1与平面CED1所成角为30°，∴sin30°===，化为λ2-6λ+5=0，解得λ=1或5．∵0≤λ≤1，∴λ=1．（3）解：假设当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°．∵AD1⊥平面A1DCB1，可取=（1，0，1）为平面A1DCB1的法向量．由（2）可知：平面CED1的法向量为=（1-λ，1，1），∴cos60°==，又0≤λ≤1，解得λ=1．∴当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置点E即取B点时，使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°．【解析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，可得：D（0，0，0），E（1，λ，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）．只要证明：=0即可；（2）设平面CED1的法向量为=（x，y，z），利用，可得．由于直线DA1与平面CED1所成角为30°，可得sin30°==，解出即可；（3）假设当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°．由于AD1⊥平面A1DCB1，可取为平面A1DCB1的法向量．由（2）可知：平面CED1的法向量为=（1-λ，1，1），利用cos60°=，解出即可．本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率 .（1）求椭圆的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程．【答案】解：(1)设椭圆方程为，由已知，又，解得，所以，故所求方程为.(2)由题知直线的斜率存在且不为，设直线与椭圆相交代入椭圆方程得作差得，即得所以直线方程的斜率.故直线方程是即.【解析】主要考查椭圆的标准方程和利用点差法求中点弦问题。
福建省师大附中10-11学年高二上学期期末考试数学理试题
福建省师大附中2010-2011学年高二上学期期末考试数学（理科）试卷（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答案卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1、准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ *** ）A.x y 22-=B.x y 42-=C.x y 22=D.x y 42= 2、已知命题x x R x p sin ,:>∈∀，则p 的否定形式为( *** ) A ．x x R x p sin ,:<∈∃⌝ B ．x x R x p sin ,:≤∈∀⌝ C ．x x R x p sin ,:≤∈∃⌝ D ．x x R x p sin ,:<∈∀⌝ 3、两个非零向量的模相等是这两个向量相等的（ *** ） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、若双曲线2214x y m-=的焦距为6, 则m 的值等于（ *** ） A ．32 B ．8 C ．5 D ． 5-5、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ *** ） A.111222a b c -+ B.111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+6、如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ *** ） A ．1715 B ．21C ．178D ．237、过抛物线 y 2 = 8x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6，那么AB ＝ （ *** ）A ．6B ．8C ．9D ．108、已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =（ *** ）A ．2B ．4C ． 6D ．89、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点， 则ON 等于（ *** ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．3210、方程)022≠+==ab b ax y ay x （与的图像只可能是下图中（ *** ）二、填空题：（每小题5分，共15分）11、已知向量(1,0,1)a =-，(1,2,3),b k R =∈，且()ka b -与b 垂直，则k 等于*****.12、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 ****** .13、以下四个命题中：①“若对所有满足22a b =的,a b ，都有a b =”的否命题；②若直线l 的方向向量为=(1,1-,2),平面α的法向量为=(-2,0,1), 则l ∥α.③曲线192522=+y x 与曲线125922=-+-k y k x （0﹤k ﹤9）有相同的焦点； ④,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 四点共面；其中真命题的序号为*****.三、解答题：（本大题共3题，共35分） 14、（本小题10分）某隧道的横段面是由一段抛物线及矩形的三边组成的，尺寸如图所示。
福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2022-学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
15.函数 ，那么 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】
先求出导函数 ，令 ，求出 后再求 ．
【详解】由题意 ， ， ，即 ，
∴ ．
故答案为：3.
【点睛】此题考查导数的运算，属于根底题．
16.过原点与曲线 相切的直线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设切点坐标，写出切线方程，由切线过原点，再求出切点坐标，从而得切线方程
【详解】 是等腰直角三角形， 到 的距离是 ，当平面 平面 时， 到平面 的距离最大为 ，又 ，∴ ．A正确；
取 中点 ，连接 ，∵ 是 的中点，∴ ，而 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
由 与 平行且相等得 是平行四边形， ，同理得 平面 ，
而 ，∴平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，C正确，
在上述过程中得 ，又 ，∴ 为定值，B正确；
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．
6.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔 〕
当 ， ， 递减， ， ，因此 在 上有且只有一个零点．
当 时， ， 递增， ， ，因此在 在 上有且只有一个零点，
时，， ， ， 时， 递减， 时， 递增， ， 时， ， 在 上有一个零点，
∴ ， 在 上有一个零点，
时， ，
假设 或 ， 有一个零点，假设 ， 无零点，假设 ， 有两个零点．
因此满足题意的 的取值范围是
假设存在某个位置，使 ，取 中点 ，连接 ，显然 ，而 ，∴ 平面 ， 平面 ，∴ ，那么 ，但 ， ，不可能相等，所以不可能有 ．D错．
福建师大附中上学期高二期末考试数学理科试题
福建省师大附中2008-2009学年度上学期高二期末考试卷数学选修2—1（理）（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第1卷和第2卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第1卷共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、命题“若△ABC不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是(**)A、“若△ABC是等腰三角形,则它的任何两个内角都相等”B、“若△ABC任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形”C、“若△ABC有两个内角相等,则它是等腰三角形”D、“若△ABC不是等腰三角形,则三角形存在两个相等的内角”2、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（** ）A 、(0, +∞) B、 (0, 2) C、 (1, +∞) D、 (0, 1)3、中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程是（**）A、54y x=±B、45y x=±C、43y x=±D、34y x=±4、已知a，b均为单位向量，它们的夹角为︒60那么|a+3b|等于（**）A、7B、10C、13D、45、在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+babyaxbyax与的曲线大致是（ ** ）6、若方程221,[0,2)cos sinx yαπαα+=∈表示双曲线，则α的取值范围是（***）A、),2(ππB、)2,23(ππC、)23,()2,0(πππY D、)2,23(),2(ππππY7、在下列命题中：①若向量a、b平行，则向量a、b所在的直线平行；②若直线a、b是异面直线，则直线a、b的方向向量一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p ＝x a＋y b＋z c．其中正确命题的个数为（** ）命题人：林芬审核人：江泽A 、0B 、1C 、2D 、38、正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为（ **）A 、12B 、4C 、2D 、29、已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中点P 到y 轴的距离为（ **）A 、103B 、163C 、323D 、 10、设A 、B 两点的坐标分别为(－1,0), (1,0)，条件甲：点C 满足0>⋅； 条件乙：点C 的坐标是方程 x 24 + y 23 =1 (y ≠0)的解. 则甲是乙的（ ** ）Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件Ｃ、充要条件 Ｄ、既不是充分条件也不是必要条件二、填空题：（本大题2小题，每小题5分，共１0分，答案填在答卷上） 11、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝是_____**_______ 12、椭圆x 2m + y 24 = 1 的焦距为2，则m 的值等于 **三、解答题：（本大题共4题，满分40分，每题10分） 13、（本题满分10分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根；q ：不等式244(2)10x m x +-+>的解集为R ； 若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围。
数学---福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试(理)
福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试（理）一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要 求）1.向量),1,2(y x a --=，),1,,1(--=x b 若a ∥b ，则y x +=（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．22．若双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 2y x =±C. 12y x =± D. 22y x =± 3．下列命题中是真命题的是（ ）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题; ④“29x =，则3x =”的否命题. A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①④ 4.若1>k ，则关于y x ,的方程1)-1222-=+k y x k （表示的曲线是( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线5.与圆1)3(:221=++y x C 外切，且与圆93-x :C 222=+y ）（外切的动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）A. )01822<=-x y x （ B . 1822=-y x C.)015422<=-x y x （ D. 15422=-y x 6．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若=，=，=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7.设12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）1649422=+y x 3:4:21=PF PF 21F PF∆A.4B.6C.D.8．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知P 为抛物线y x 22=的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(， 则|PA|+|PM|的最小值是（ ）A.221 B.10 C.219D.8 10．给出以下命题： ①若cos ＜，＞=﹣，则异面直线MN 与PQ 所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足，则点M ∈平面ABC ；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F(-c,0)作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，若是若E 是线段FP 中点，则双曲线的离心率为（ ）A.215+ B. 5+1 C.25D. 512．如图,正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分13．在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中2224()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值是（ ） A.3 B. 5 C. 2 D. 2二、填空题（每小题5分，共25分）14.直线l 与双曲线x 2﹣4y 2=4相交于A 、B 两点，若点P （4，1）为线段AB 的中点，则直 线l 的方程是 ． 15. 已知1:12p x ≤≤， ()():10q x a x a --->，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，则a 的 取值范围为__________．16.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m ，当水面上涨2m 时，水面宽变为12m ，此时 桥洞顶部距水面高度为_________米. 17.在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，∠BAC=2π，AB=AC=AA 1=1，已知G 和E 分别为A 1B 1 和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD ⊥EF ，则线 段DF 的长度的取值范围为____________.18．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，长轴AB 上的100等分点从左到右依次为点1M ，2M ，⋅⋅⋅，99M ，过i M （1i =，2，⋅⋅⋅，99）点作斜率为k （0k ≠） 的直线i l （1i =，2，⋅⋅⋅，99），依次交椭圆上半部分于点1P ，3P ，5P ，⋅⋅⋅，197P ，交椭 圆下半部分于点2P ，4P ，6P ，⋅⋅⋅，198P ，则198条直线1AP ，2AP ，⋅⋅⋅，198AP 的斜率乘 积为 ．三、解答题（要求写出过程，共60分） 19. (本小题满分8分)已知命题p :方程11222=-+m y x 表示焦点在y 轴的椭圆，命题q :关于x 的方程0422=+-m x x 没有实数根。
福建师大附中高二数学上学期期末考试(理)新人教版【会员独享】
A 福建师大附中09-10学年高二上学期期末考试卷数学选修2-1(理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、命题“∀x ∈R ，221x x+-≥0”的否定是（***）A ．∃x ∈R ，2210x x+-<B ．∃x ∈R ，221x x+-≥0 C ．∃x ∈R ，221x x+-≤0 D ．∀x ∈R ，2210x x -+<2、平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（***）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若B A =11，,,111A D A ==则下列向量中与B 1相等的是（***）A ．+--2121B ．++2121C ．+-2121D ．++-21214、设椭圆的标准方程为22135x yk k+=--，若其焦点 在x 轴上，则k 的取值范围是（***）A ．k >3B ．3<k <5C ．4<k <5D ．3<k <45、正方体1111D C B A ABCD -中，O 是平面AC 的中心，E 、F 分别是1、的中点，则异面直线OE 与1FD 所成角的余弦值是（***） A ．510 B ．515C ．54D ．326、若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（***）A ．6B ．2C ．8D ．4 7、若双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为12，离心率为35，则双曲线的方程是（***） A ．1442x -2562y =1 B ．642y -362x =1 C ．642x -362y =1 D ．362x -642y =18、已知P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为043=-y x ，21,F F 分别是双曲线的左右焦点，若3||2=PF ，则||1PF 等于（***） A ．11 B ．5 C ．5或11 D ．7 9、抛物线x y =2上的点到直线022=+-y x 的最短距离是（***）A ．55 B ．552 C ．5 D ．52 10、已知n m ,为两个不相等的非零实数，则方程0=+-n y mx 与mn my nx =+22所表示的曲线可能是（***） A B C D二、填空题（每小题5分，共15分）11、已知向量、的夹角为︒603=4=，则=-⋅+)()2(*****；12、若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则m 的值为*****； 13、以下四个命题中：① “若x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为零”的否命题； ②若A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，有OM 313131++=，则点M 与点A 、B 、C 共面；③若双曲线116922=-y x 的两焦点为21F F 、，点P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ,则21F PF ∆的面积为16；④曲线192522=+y x 与曲线125922=-+-k y k x （0﹤k ﹤9）有相同的焦点； 其中真命题的序号为*****.三、解答题：（本大题共3题，共35分） 14、（本小题10分）设命题:p 关于x 的方程0222=-+a ax x 无实根， 命题:q 关于x 的不等式042>++ax x 的解集为R . 如果命题“p ∧q ”为假命题，“⌝q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 15、（本小题13分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点.（1）证明:PA//平面BDE ；（2）求二面角B —DE —C 大小的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在点F ，使PB⊥平面DEF ？证明你的结论. 1６、（本小题12分）已知抛物线x y 42=与直线b x y +=2相交于B A ,两点，53||=AB . (1) 求b 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，当△PAB 的面积为39时，求点P 的坐标.第II 卷 共50分一、填空题（每小题5分，共10分）17、如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水 坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝所成的二面角 为O120，测得从C 、D 到库底与水坝的交线的距离 分别为30DA =米、40CB =米，320AB =米， 则甲乙两人相距*****米. 18、已知)(131211)(*N n n n f ∈+⋅⋅⋅+++=，经计算得,25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f 27)32(,3)16(>>f f ，据此规律猜想，有*****；二、选择题：（每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 19、已知双曲线的两个焦点21F F 、，过2F 作垂直于实轴的直线交双曲线于Q P 、两点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（***）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+20、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（***）A ．()0,0123322>>=+y x y x B ．()0,0123322>>=-y x y x C ．()0,0132322>>=-y x y x D ．()0,0132322>>=+y x y x三、解答题（本大题共3题，共30分） 21、(本小题10分)如图，在平行四边形ABCD中，01,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿对角线BD 折起，折后的点C 变为1C ，且12AC =． （1）求点B 到平面1AC D 的距离；（2）E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的 长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为030？22、(本小题10分)在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2≥n ，q 为非零常数）． （1）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明:数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 23、(本小题10分)如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率122e F F =、分别为椭圆C 的左、右焦点，A （0，b ），且,221-=⋅F F 过左焦点F 1作直线l 交椭圆于P 1、P 2两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的倾斜角32,3[ππα∈，直线21,OP OP与直线334-=x 分别交于点S 、T ，求||ST 的取值范围福建师大附中09-10学年高二上学期期末考试卷数学选修2-1(理科)参考答案第I 卷一、选择题：1-5 A B D C B 6-10 D D A A C 二、填空题：11、-17 12、5 13、①③ 三、解答题：14、解： ∵方程0222=-+a ax x 无实根 ∴△0842<+=a a 解得02<<-a∴:p 02<<-a又∵不等式042>++ax x 的解集为R ∴△0162<-=a 解得44<<-a∴:q 44<<-a∵命题“p ∧q ”为假命题，“⌝q ”为假命题 ∴p 为假命题，q 为真命题 ∴⎩⎨⎧<<--≤≥4420a a a 或 ∴4024<≤-≤<-a a 或15、解：（1）解法一：连接AC 交BD 与点O ，则点O 为AC 的中点， 在△PAC 中，点O 为AC 的中点，点E 为PC 的中点， ∴PA ∥EO∵⊄PA 平面BDE,⊂EO 平面BDE ∴PA//平面BDE解法二：以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A （2，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1）， B （2，2，0），同解法一作辅助线，则O(1,1,0) 则)2,0,2(-=，)1,0,1(-= ∴2-= ∴PA ∥EO∵⊄PA 平面BDE,⊂EO 平面BDE ∴PA//平面BDE ；解法三：同解法二建系，)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 111001,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ⎧⋅=+=⎧⎪=-=-⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩得取得 ∵11220,,//.PA n PA n PA BDE PA BDE ⋅=-=∴⊥⊄∴，又平面平面（2）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量. 设二面角B —DE —C 的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>∴121212cos cos ,||||3n n n n n n θ⋅=<>===⋅⨯故二面角B —DE —C 的余弦值为33 （3）∵)1,1,0(),2,2,2(=-=DE PB ∴.,0220DE PB DE PB ⊥∴=-+=⋅假设棱PB 上存在点F ，使PB⊥平面DEF ，设)10(<<=λλPB PF ， 则)22,2,2(),2,2,2(λλλλλλ-=+=-=， 由0)22(244022=--+=⋅λλλλ得 ∴PB PF 31)1,0(31=∈=，此时λ 即在棱PB 上存在点F ，31=PF PB ，使得PB⊥平面DEF16、解：（1）设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由⎩⎨⎧=+=xy b x y 422得4x 2+4(b -1)x +b 2=0,Δ=16(b -1)2-16b 2>0. ∴21<b .又由韦达定理有x 1+x 2=1-b ,x 1x 2=42b ,∴|AB |=,2154)(21212212b x x x x -⋅=-+⋅+,即53)21(5=-b . ∴b =-4.(2)设x 轴上点P （x ,0),P 到AB 的距离为d ,则5425402-=--=x x d , S △P BC =21·53·542-x =39， ∴ |2x -4|=26. ∴ x =15或x =-11. ∴ P (15,0) 或（-11，0）第II 卷一、填空题 17、70 18、 或 二、选择题 19、C 20、D 三、解答题 21、解法一：（1）22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥又AB BD ⊥ 11AB BC D C D AB ∴⊥⇒⊥平面11C D BD C D AB⊥⊥1C D ABD ⇒⊥平面1ABD AC D ⇒⊥平面平面过点B 做BF AD ⊥于F ，则BF 即为B 到平面1AC D的距离，则3BF == （2）过E 作1EH BC ⊥于H ，则//EH AB ，故1EH BC D ⊥平面，连DH ， 则EDH ∠就是DE 与平面1BC D 所成的角．设1||C E x =，∵1AB =，12AC =，故知0130AC B ∠=，则12EH x =， 同理可知，0160DC E ∠=，在1DC E ∆中，由余弦定理得22212cos601DE x x x x =+-=-+．若030EDH ∠=，则2DE EH x ==，故有221x x x =-+，解得1x =，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030． 解法二：22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥ 又AB BD ⊥ ∴AB ⊥平面BC 1D 依题意，建立空间直角坐标系B-xyz 则A(0,0,1),C 1 (1,2,0),D(0, 2,0)∴),1,2,0(),1,2,1(1-=-=AC )1,0,0(=设 1(,,)n x y z =是平面1AC D 的一个法向量，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅0202111z y n z y x AC n 解得⎩⎨⎧==y z x 20，令y=1，∴)2,1,0(1=n∴B 到平面1AC D 的距离3632===d（2）设1AC λ=，则)1,2,(λλλ-E ∴)1,22,(λλλ--=[] 又)1,0,0(=是平面BC 1D 的一个法向量 依题意得2160cos |)1(31||,cos |22==-+-=><o λλλ有λ>0得，21=λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030． 22.解： （Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）211a a -=，32a a q -=，……21--=-n n n q a a ，（2n ≥）． 将以上各式相加，得211n n a a q q --+++=（2n ≥）． 所以当2n ≥时，11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩上式对1n =显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =（2）设直线l 的方程为3-=my x∵倾斜角]32,3[ππα∈∴]33,33[-∈m 则P 1（x 1,y 1）,P 2（x 2,y 2）的坐标轴满足方程组0132)4(3142222=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+m y y m m y x y x=++-+-=+-=+=+3)432(3)41(,41,43222221221221m m m m m x x m y y m m y y 43422+-⨯m m由P 1（x 1,y 1）,P 2（x 2,y 2），得直线OP 1、OP 2的方程为x x yy OP x x y y OP 222111:,:==∴点S 、T 的坐标为)334,334(),334,334(2211x y T x y S ----∴2221122211314|x )(3|334||334||mm x y y x y x y ST -+=-=-= 令]332,1[],33,33[,12∈-∈=+t m t m 由 ∴]3,54[t -4t 4||2∈=ST。
福建师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
福建师大附中2018-2019学年上学期期末考试高二数学（理科）试卷试卷说明：（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准方程,计算准线,即可.【详解】,故准线方程,故选D.【点睛】本道题考查了抛物线的性质,关键掌握准线方程即可，难度较容易。
2.下列说法正确的是( )A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题B. 命题“使得”的否定是：“均有”C. 命题“若且,则”的否命题为真命题D. 命题“若，则”的逆命题为真命题【答案】A【解析】【分析】将命题的否定写出来,判定真假,即可.【详解】A选项，分析可知当，能够推出为真命题，故逆否命题也是真命题，故正确；B选项，该命题的否定应该为“均有”，故错误；C选项，命题的否定为:若,明显是假命题;D选项,命题的逆命题为:若,错误,故选A.【点睛】本道题考查了四种命题的关系以及真假判断,难度中等.3.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则( )A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】计算,代入坐标,计算结果,即可.【详解】,所以这两个向量垂直,得出.【点睛】本道题考查了向量的数量积坐标运算,考查了向量垂直判定,难度较容易.4.“且”是“方程表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程表示双曲线，则，解得则当时推出“且” 是“方程表示双曲线”反之则推不出故“且” 是“方程表示双曲线”的必要不充分条件故选5.如图，在四面体中，是底面的重心，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】不断的利用向量的加法,用表示向量,即可.【详解】则,故选D.【点睛】本道题考查了向量的加减法,考查了平面向量基本定理,难度中等.6.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )A. B. C. 6 D. 10【答案】C【解析】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.7.已知椭圆的左右焦点,，是椭圆上的动点,则的最大值为( )A. 4B.C. 5D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点，利用平面向量的数量积公式求得的表达式为,然后根据二次函数的性质求解最值即可.【详解】椭圆左、右焦点分别为，，设，，，当时，的最大值为，故选B.【点睛】本题考查椭圆的简单性质、参数方程的应用,三角函数结合配方法求解最值,考查转化思想以及计算能力.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.8.已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于点，交其准线于点，若 (其中位于之间)，且，则抛物线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的性质，反复运用三角形相似，即可得出答案。
福建师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含解析)
福建师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题中，OA a =，OB b =，OC c =，且OM 则MN 等于（221332a b c ++111222a b c +-211322a b c ++121232a b c -+．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-2022=（ ） -1B ．12D ．22222260y x y +---=20y -=的公共弦长为（．，且法向量为(,m A B =且一个方向向量为(,,n μυω=阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面)的直线321x y z==-A ．1010二、多选题 使得120PF PF ⋅= 的最大值为7是等差数列{}n a 的前n 60,则下列说法中正确的有（三、填空题四、问答题．已知ABC的边满足BM MC=, 点在AC边所在直线上且满足0AT AB⋅=．）求ABC外接圆的方程；若动圆P过点且与ABC的外接圆外切，．如图，在直四棱柱B1C1D1中，底面=3.其中O1为的交点.（1）求点B 1到平面D 1AC 的距离；（2）在线段BO 1上，是否存在一个点P ，使得直线AP 与CD 1垂直？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由.20．已知抛物线()2:20C y px p =>，点()2,4P 在抛物线C 上.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线:l y x m =+与抛物线交于不同两点,P Q ，若以线段PQ 为直径的圆过原点，求m 的值.五、证明题六、问答题，M的是M的两条切线，切点分别为参考答案：【分析】根据空间向量的线性表示，用OA 、OB 和OC 表示出MN 即可. 【详解】由题意知，MN MA AC CN =++()1132OA OC OA CB +-+ ()2132OA OC OB OC ++-211322OA OB OC ++211322++a b c 故选：C. A【分析】由111n n a a +=-，且n=-，故其法向量为(3,5,1，故其方向向量为(3,2,m =，由120PF PF ⋅=可得点没有交点，由此得以判断；，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得【详解】对于A ，因为椭圆12PF F S=C ，假设存在点使得120PF PF ⋅=，则所以点P 的轨迹是以原点为圆心，12F F 上的任一点到原点O 的最小距离是短轴顶点与原点没有交点，使得120PF PF ⋅=，故()1,1M ，所以2PM PF +-.【分析】根据空间向量的知识对选项进行分析，从而确定正确答案{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，11,AC AB AD AA BD AD AB =++=-，()()11AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-11AB AD AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB =⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-⋅ 221111111111*********=⨯⨯++⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯=，所以1AC BD ⊥，A 选项正确.111A BD D AB AD AA AB =-=+-，所以()2211BD AD AA AB =+-222111222AD AA AB AD AA AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅2221111112112112112222+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以12BD =，B 选项错误.依题意可知，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 1AC A =，⊥平面ACC 1BD 与AC 所成角为2AC AB AD =+，11BD AD AA AB =+-，()222221AC AB ADAB AB AD AD =+=+⋅+=+()()11AC BD AB AD AD AA AB ⋅=+⋅+-11AB AD AB AA AB AB AD AD AD AA AD AB =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅221111111111*********=⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯-⨯⨯=，所以1116cos 632AC BD AC BD θ⋅===⨯⋅，D 选项正确. 故选：ACD 【分析】以点C 为坐标原点，，且(12,2,A F =-，(2,1,2AE =-142A F AE ⋅=+，不合乎题意，对于B 选项，设AG mAE nAF =+，其中R ∈，即()()()2,0,22,1,22,2,b n a --+-，即2=2=0n b n --42+，02a ≤≤442a -≤-≤-，所以，b 对于C 选项，其中C AGE ACG V SEC -⋅又2433C AFE CEFCEFV SS -=⋅==，故CEFS =CEFS=，故点F 只能与点B 重合，C 对；对于D 选项，()2,1,2AE =-，()2,2,AF a =-AE 的距离为22AE AF AF AE ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪⎝⎭(AG b =-22AG AE AG AE ⎛⎫⋅⎪- ⎪⎝⎭253b -=所以，2S 2422a -+=++使得等式AP AB AC λμ=+成立,将各点坐标代入【详解】点使得等式AP AB AC λμ=+成立,)()13,2,3μ+--,【详解】1n n a a +-2， 4，11111111[(1)()()()]2335572121n b n n ++=-+-+-++--+21nn +， 的前n 项和21n nT n =+． 20=；（II ）22(2)8x y -+=；（III ）221(2)22x yx -=≤-.本题考查圆的性质和应用，）由0AT AB ⋅=，上，知ABC 是直角三角形．由，知直线AC 的斜率是，再由T(1,1)-在直线与AB 的交点为6020-=+=，，解得由BM MC =，知M Rt ABC 外接圆的圆心，2(20)-+能求出ABC 外接圆的方程． （III ）由动圆P 过点是该圆的半径，再由动圆与圆M 外切，知||PN |2=+【详解】（I ）（）∵0AT AB ⋅=，∴在AC 上，∴AC ⊥AB ，△ABC 边所在直线的方程为3x -在直线AC 上， 边所在直线的方程为y -∵BM MC =，M （2，0）为Rt r=(2AM =-ABC ∆外接圆的方程为1.4·2n AC x n AD x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩=1，则n →=11(0,2,0)D B →=故点B 1到平面22，则12OP OQ x x ⋅=22(82m m =+-，不满足题意，舍去；OQ ，满足题意；EHFH H =⊥平面EFH ⊂平面EFH ⊥EF ；FHBD H =，⊥平面BDF EFH =60°， tan 60FH ︒⋅由勾股定理可得：的法向量为(,,m x y =)()131=,,0,,=22213=,,,26BA m x y z BE m x y z ⋅⋅⋅⎧⎛⎪ ⎪⎝⎨⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭所以3,1,m ⎛=- ⎝设平面BED 的法向量为(11,,n x y z =())()11111=1,0,0==013=,,,,=26BD n z x BE n x y z ⋅⋅⋅⎧⎪⎛⎨ ⎪ ⎝解得：1=0x ，令y ，则1z =-所以20,1,4n ⎛=- ⎝3,1,cos ,m n m n m n⎛- ⋅⎝==⋅A BE D --的夹角为1cos ,3m n θ==.2。
师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案
福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．12y =-B ．18y =- C ．12x =-D ．18x =- 2．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题为：“若x a =且x b =， 则2()0x a b x ab -++=”B ．命题“若1x =-，则2560x x --=”的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k 的值为（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．44．如图，空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N为BC 中点，MN xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A ．211,,322- B ．121,,232-C ．111,,222-D ．221,,332-5．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么 直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．1010C ．52D ．536．0,0a c >>是方程22ax y c +=表示椭圆的（ ）α()11,2,2n =-β()22,4,n k =--//αβA ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为 （ ）A ．36 B ．13 C ．12 D ．338．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆22182y x +=有共同焦点的双曲线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在其准线上的射影是点M ，点A 的坐标(4,2)， 则||||PA PM +的最小值是（ ） A ．B ．C ．3D ．210．过点(4,0)C 的直线与双曲线221412x y -=的右支交于A B ,两点，则直线AB 的斜率k 的 取值范围是（ ）A ．||3k >B ．||3k ≤C ．||1k ≥D ．||1k <11．若点O 和点(2,0)F -分别为双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为（ ）A ．7[,)4-+∞B ．7[,)4+∞ C ．[323,)-+∞ D ．[323,)++∞ 12．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，且点A 在双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）1222=-y x 14222=-y x 14222=-x y 12422=-y x 12422=-x yA ．13B ．5C ．213 D ．233第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．若向量(1)λ=，，1a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为33，则λ的值为 . 14．已知M 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=，则 12F MF ∆ 的面积为 .15．如图，在二面角AB αβ--中，线段,AC BD αβ⊂⊂，AC AB ⊥，BD AB ⊥，4,2AC CD AB BD ====，则二面角AB αβ--的大小为 .16．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为 .三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知命题:p “方程22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”, 命题:q “方程22(2)1kx k y +-= 表示双曲线”.若“p q ∨”是真命题, “q ⌝”是真命题，求实数k 的取值范围.18．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中,11AB AD AA ===,60BAD ∠=,01145BAA DAA ∠=∠=.（Ⅰ）求1BD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面11ACC A .19．（本小题满分12分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（Ⅰ）求证平面； （Ⅱ）求直线BE 与平面所成角的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面的距离．20．(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上的一点M 的横坐标为3，焦点为F ，且||4MF =.直线42:-=x y l 与抛物线C 交于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ，且直线1l 与抛物线C 相切于点P ，求直线1l 的方程及ABP ∆的面积.ABCD ⊥BCEF ABCD BCEF //BF CE BC CE ⊥4DC CE ==2BC BF ==：//AF CDE ADEADE21．(本小题满分12分)如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=，若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．（Ⅰ）求证：1AO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）如图所示，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 到点2F 的距离是22，线段1MF 的中垂线交2MF 于点P ．（Ⅰ）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（Ⅱ）设直线：与轨迹G 交于、两点，直线与的倾斜角分别为、，且，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标．l y kx m =+M N 2F M 2F N αβαβπ+=l参考答案一、选择题：1-5 BDDAC 6-10 CDBAA 11-12 DC 二、填空题：13．5-或1 14．33 15. 3π16. ⎝⎛⎭⎫43，43，83 三、解答题：17．解:若p 成立，则910k k ->->，即15k << ……3分 若q 成立，则(2)0k k -<，即0k <或2k > ……6分若“p q ∨”是真命题, “q ⌝”是真命题∴p 真q 假 ……8分 ∴1502k k <<⎧⎨≤≤⎩∴12k <≤ ……………………10分18．解: （Ⅰ）111BD AD AB AD AA AB =-=+- ……………………2分 2211()BD AD AA AB =+-2221112()AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-+--2= ……………………4分所以12BD =……………………5分（Ⅱ）1111()022AA BD AA AD AB =-=-=，则1BD AA ⊥, ………8分 又ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ ……………………9分1,AA AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A ⋂=……………………10分所以BD ⊥平面11ACC A19．解：（Ⅰ）（法一）取中点为，连接、，且，∴，则 且．四边形为矩形， 且，且，CE G DG FG //BF CG BF CG =四边形BFGC 为平行四边形//BC FG BC FG =ABCD //BC AD ∴BC AD =//FG AD ∴FG AD =，则． ……………………2分平面，平面， ……………………3分平面．法二四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．CE ……………………1分以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：，，，，，，…………2分则，．)0,0,2(=n 为平面的一个法向量．…………3分又，∴AF CB ⊥ ……………………4分 ∵平面 ……………………5分平面．（Ⅱ）设平面的一个法向量为，，，则 ， 取，得．……………7分(2,4,0)BE =-，设直线BE 与平面所成角为，则111||410sin |cos ,|5||||252BE n BE n BE n θ⋅=<>===⨯．……………………8分 所以215cos 1sin 5θθ=-=∴四边形AFGD 为平行四边形//AF DG DG ⊂CDE AF ⊄CDE //AF ∴CDE BCEF ABCD ∴BC CE ⊥BC CD ⊥ABCD ⊥BCEF ABCDBCEF BC =DC ∴⊥BCEF DC ∴⊥C CB x CE y CD z (2,0,4)A (2,0,0)B (0,0,0)C (0,0,4)D (0,4,0)E (2,2,0)F (0,2,4)AF =-(2,0,0)CB =CDE 0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=AF ⊄CDE //AF ∴CDE ADE 1111(,,)n x y z =(2,0,0)AD =-(0,4,4)DE =-110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩11z =1(0,1,1)n =ADE θ所以BE 与平面所成角的余弦值为155……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为(2,4,0)BE =-∴11||422||2BE n d n ⋅=== ……………………11分∴点B 到平面的距离为22 ……………………12分 20．解：（Ⅰ）依题意得342p+=，所以2p = 所以抛物线方程为x y C 4:2= ……………………3分（Ⅱ）联立方程2244y x y x=-⎧⎨=⎩，设),(),,(2211y x B y x A ，消去x 得2280y y --= 从而121228y y y y +=⎧⎨=--⎩有弦长公式得534)(411||21221=-+⋅+=y y y y AB ，……………………6分 设直线1l 的方程为2y x b =+，……………………7分 联立方程224y x b y x=+⎧⎨=⎩ 得2220y y b -+= ……………………8分由480b ∆=-=得12b =，所以直线1l 的方程为122y x =+ ……10分 直线1l 与l 的距离为1|4|952105+=……………………11分 所以19527352104ABP S ∆=⨯⨯=……………………12分 21.（Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA AD ==，∴1A AD ∆为等边三角形∵O 为AD 的中点 ∴1AO AD ⊥， ……………………2分 又1CD AO ⊥，且CDAD D =， ……………………3分ADE ADE 1(0,1,1)n =ADE∴1AO ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图） 则(0,1,0)A -，1(0,0,3)A ，……………………4分 设(1,,0)P m ([1,1])m ∈-，……………………5分 平面1A AP 的法向量为1(,,)n x y z =， ∵1(0,1,3)AA =，(1,1,0)AP m =+， 且11130(1)0n AA y z n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 取1z =，得1(3(1),3,1)n m =+- ……………………7分 平面11A ADD 的一个法向量为2(1,0,0)n =……………………8分 由题意得12213(1)|cos ,|||23(1)311m n n m +<>==+++⨯，……………………9分解得13m =-或53m =-（舍去），……………………11分 ∴当BP 的长为32时，二面角1D A A P --的值为3π.……………………12分 22．（Ⅰ）连接1PF ，由2||22MF =，∴2||||22PM PF +=，又∵1||||PM PF =，∴1212||||22||2PF PF F F +=>=，……………………3分由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 的方程为2212x y +=．……………………5分 （Ⅱ）依题意，消去，得：……6分设、，则……7分 又，依题意得：，……9分 2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y 222(21)4220k x kmx m +++-=11(,)M x y 22(,)N x y 2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++221212,11F M F N kx m kx mk k x x ++==--220F M F N k k +=即：，化简得： ∴，整理得：……12分 ∴直线的方程为，因此直线经过定点，该定点坐标为．……………………………………14分1212011kx m kx mx x +++=--12122()()20kx x m k x x m +-+-=2222242()()202121m kmk m k m k k -+---=++2m k =-l (2)y k x =-l (2,0)。
福建师大附中21-22学度高二上年末考试-数学(理)
福建师大附中21-22学度高二上年末考试-数学（理）本试卷共4页． 满分150分，考试时刻120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试终止后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．命题“0x R ∃∈，20020x x ++<”的否定是A ．0x R ∃∈，20020x x ++≥ B ．x R ∀∈，220x x ++≥C ．x R ∀∈，220x x ++<D ．x R ∀∈，220x x ++>2．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“若x y =，则22x y =”的逆否命题是假命题C ．命题“若220a b +≠，则,a b 全不为0”为真命题D ．命题“若αβ≠”，则cos cos αβ≠”的逆命题为真命题3．抛物线2ax y =的焦点坐标为A ．)0,41(aB ．)0,4(aC ．)41,0(aD ．)4,0(a 4．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD=++，则,x y 的值是A ．11,22x y == B ．11,2x y == C ．1,12x y == D ．1,1x y == 5．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为A．10-B ．120-C . 120 D.6．过点(2,2)P -，且与2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是A ．12422=-y x B ．14222=-x y C ．14222=-y x D ．12422=-x y 7．“方程21x m +23y m=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是 A ．312m <<B ．12m <<C ．23m <<D ．13m <<8．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线22:1169x y C -=的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A B P-的值等于ABC ．54D ．459．已知抛物线x y 42-=上的焦点F ，点P 在抛物线上，点()1,2-A ，则要使||||PF PA +的值最小的点P 的坐标为 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,41 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41 C ．()22,2-- D ．()22,2-10．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别是AB AD 、的中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 的距离为BAD CA ．1010B ．11112 C ．53D ．111．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,,,A B C D 构成 的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆 的离心率是 A ．352 B ．358+ C ．512- D ．514+12．双曲线1y x=的实轴长和焦距分别为A ．2,2 B ．2,22 C ．22,4 D ．22,42第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知向量(1,0,1)a =-，(1,2,3),b k R =∈，且()ka b -与b 垂直，则k 等于 ***** .14．设1F ，2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且120F P PF ⋅=，则△12F PF 的面积为 ***** .15．已知抛物线28y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上的任意点，则线段PF 中点的轨迹方程是***** .16．有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了米，桥下的水面宽 ***** 米.17．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知测得从C、D 到库底与水坝的交线的距离分别为102DA =米、10CB =米，AB 的长为10米，CD 的yOx第11题图长为106米，则库底与水坝所成的二面角的大小为 ***** 度.18．已知平面α通过点(1,1,1)A ，且(1,2,3)n =是它的一个法向量. 类比曲线方程的定义以及求曲线方程的差不多步骤，可求得平面α的方程是 ***** .三、解答题：本大题有5题，共60分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求二面角C DF E --的余弦值.20．（本小题满分10分） 已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A B ,两点. (Ⅰ)求弦AB 的长度；(Ⅱ)若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.21．(本小题满分12分)已知双曲线C 与椭圆14822=+y x 有相同的焦点，实半轴长为3. (Ⅰ)求双曲线C 的方程； (Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ⋅>(其中O 为原点),求k 的取值范畴.22．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD 中，01,2,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿对角线BD 折起，折后的点C 变为1C ，且12AC =．(Ⅰ)求证：平面ABD ⊥平面1BC D ； (Ⅱ)E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为030？23．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，121,,A A B 是椭圆C 的顶点，若椭圆C 的离心率32e =，且过点2(2,)2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)作直线，使得21//l A B ，且与椭圆C 相交于P Q 、两点（异于椭圆C 的顶点），设直线1A P 和直线1B Q 的倾斜角分别是,αβ，求证：αβπ+=.xz yADFEB G C参考答案19．解: (Ⅰ)证法一：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG . 证法二：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直.以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间 直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0） (0,2,2),(2,2,0),(2,0,2)ED EG AB ===-,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =(Ⅱ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量.设平面DCF 的法向量为0000(,,)n x y z =，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴000FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00002020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令01z =,得0(1,2,1)n =-. 则06cos ,626n EB <>==-， ∴二面角C DF E --的余弦值为6.-20．解：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),2425o o y y d --=,∴S △P A B =21·53·2425o o y y --=12， ∴2482o o y y --=. ∴2482oo y y --=±，解得6o y =或4oy =-∴P 点为（9，6）或（4，-4）. 21．解：(Ⅰ)设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ,2,3==c a ,1=∴b ,由⎩⎨⎧>∆≠-0312k 得,312≠k 且12<k 设),(),,(2211y x B y x A ,则由2>⋅OB OA 得)2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x =2)(2)1(21212++++x x k x x k2231262319)1(222>+-+--+=kk k k k ,得.3312<<k又21k <，2113k ∴<<,即)1,33()33,1( --∈kyzx（Ⅱ）在平面1BC D 过点B 作直线l BD⊥,分别直线,,l BD BA 为x ，y ，z 建立空间直角坐标系B-xyz则A(0,0,1)，C 1(1,2,0)，D(0, 2,0)∴),1,2,0(),1,2,1(1-=-=AD AC )1,0,0(=BA设1(,2,)AE AC λλλλ==-，则(,2,1),[0,1]E λλλλ-∈∴)1,22,(λλλ--=DE解得21=λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030． 23. 解：（Ⅰ）由已知得：2222232112caab c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴2,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y += ∴2244(22)0m m =-->，即22m -<<,212122,22x x m x x m +==-,P Q 异于椭圆C 的顶点，∴,22ππαβ≠≠,∴111tan 2A Py k x α==+，1221tan B Q y k x β-==121212(1)()22(2)m x x x x m x x -+-+-=+2122(1)(22)22(2)m m m m x x ---+-=+0=∴tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==- 又,(0,)αβπ∈，∴ (0,2)αβπ+∈,故αβπ+=.。
福建师大附中21-22学度度上学期高二年末考试试卷--数学理
福建师大附中21-22学度度上学期高二年末考试试卷--数学理（满分：150分，时刻：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试终止后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是（ ）．A ．若0a =，则0ab ≠B ．若0a ≠，则0ab =C ．若0a ≠，则0ab ≠D ．若0ab ≠，则0a ≠ 2.下列命题中是假命题的有（ ）A ．02,>∈∀x R xB ．0,3>∈∀x R xC ．1tan ,=∈∃x R xD ．0lg ,=∈∃x R x 3 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）A 10B 10-C 14D 14- 4．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B =a ，11D A =b ，A A 1=c 则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）A ．cb a +--2121 B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121 D ．c b a ++-2121 5．已知数列{}na 的前n 项和2225n S n n =-+，则关于{}n a 正确的说法是（ ） A ．{}na 是公差为2-的等差数列 B ．{}n a 是公差为4的等差数列C ．{}na是公差为4-的等差数列 D ．{}na是公差为2的等差数列 6．已知等差数列{}na满足011321=+⋅⋅⋅+++a a a a ，则有（ ）A ．66=aB ．093=+a aC ．0111>+a aD ．0102<+a a7．已知方程ab by ax =+22和01=++by ax (其中0≠ab ,b a ≠)，它们所表示的曲线可能是（ ）8．已知三角形ABC 的面积是93，角A,B,C 成等差数列，其对应边分别是,,a b c ，则a c +的最小值是（ ）A ．12B ．122C ． 10D ．1029．设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ．3 C ．312+ D ．512+10．“41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x ax ”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件11．若存在实数[]4,2∈x ,使2250x x m -+-<成立，则m 的取值范畴为（ ） A.()+∞,5 B.()+∞,13 C.()+∞,4 D.()13,∞-12．动点P 到两定点(,0)A a ,(,0)B a -连线的斜率的乘积为k （R k ∈）,则动点P 在以下哪些曲线上（ ）（写出所有可能的序号）① 直线 ② 椭圆 ③ 双曲线 ④ 抛物线 ⑤ 圆 A ．①⑤ B ．③④⑤ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 二、填空题：（每小题4分，共28分） 13 若椭圆221x my +=的离心率为32，则m 的值为_______________ 14．抛物线28y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===，则sin B 的值 _.A. B C D16．已知),(y x P 是抛物线x y 82-=的准线与双曲线12822=-y x 的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则y x z -=2的最大值为 .17. 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为 米.18．已知整数对按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是 .19. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在那个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：（本大题共5题，共62分）20．（本小题满分12分）等比数列{na }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列．（1）求{na }的公比q ；（2）若1a －3a ＝3，求n s .21．（本小题满分12分）已知双曲线的方程为5x 2-4y 2=20,左右焦点分别为F 1，F 2 （1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；（2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P 满足|PF 1|·|PF 2|=6，求椭圆的标准方程．22．（本小题满分12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的修理和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. （1）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （2）这种设备使用多青年，该公司的年平均获利最大？ 23．（本小题满分12分）如图，已知直线l 与抛物线2y x =相交于1122(,),(,)A x y B x y 与x 轴相交于点M ，若121y y =-.（1）求证：M 点的坐标为（1，0）； （2）求△AOB 的面积的最小值.24．（本小题满分14分）已知椭圆12822=+y x 通过点M （2，1），O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0） （1）当 3=m 时，判定直线l 与椭圆的位置关系； （2）当3=m 时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值；（3）如图，当l 交椭圆于A 、B 两个不同点时，求证： 直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形参考答案一、选择题： C B D D C B B A D A A C 二、填空题： 13。
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福建省师大附中2008-2009学年度上学期高二期末考试卷（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第1卷和第2卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷第1卷共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求）1、 命题 若厶ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（**）A 、 若厶ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角都相等 ”B 、 若厶ABC 任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形” C 、 若厶ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形”D 、 若厶ABC 不是等腰三角形，则三角形存在两个相等的内角”2、 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（** ）A 、（0, + g ）B （0, 2）C 、（1, + g ）D 、（0, 1）53、中心在坐标原点，离心率为-的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程是 （**）37、在下列命题中：①若向量 a 、b 平行，则向量a 、b 所在的直线平行；②若直线 a 、b 是 异面直线，则直线 a 、b 的方向向量一定不共面；③若 a 、b 、c 三向量两两共面，则 a 、b 、 c 三向量一定也共面；④已知三向量 a 、b 、c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p =xa + yb + zc.其中正确数学选修2— 1 （理）命题人：林 芬 审核人：江 泽5 4A 、 y xB 、 y x454、已知a , b 均为单位向量，它们的夹角为A 、 ，7B 、 •: ；1043 C 、 yx 3D 、 y x 460那么|a+3b|等于（** )C 、 .13D 、45、在同一坐标系中，方程2爲 1与ax by 2 0（a b 0）的曲线大致是（** ）b6、若方程cos2丄1,sin[0,2 ）表示双曲线，则的取值范围是（*** ）3 2,2 33C 、(0,-)(三)D 、(-,)(三,2 )~2a命题的个数为（** ）A 、08、正方体 ABCD — A 1B 1CD 的棱长为 为（** ）8x ，过点A （2, 0）作倾斜角为一的直线I ,若I 与抛物线交于 B 、C 两3三、解答题：（本大题共4题，满分40分，每题10分） 13、（本题满分10分）2已知命题p ：方程x + mx+ 1 = 0有两个不相等的实根；2q :不等式4x + 4（m- 2）x+ 1 > 0的解集为R ； 若p V q 为真，p A q 为假，求实数 m 的取值范围。
14、 （本题满分10分）2过点（0, 4）且斜率为—1的直线与抛物线 y 2px （ p 0）交于两点A , B ,如果OA OB （O 为坐标原点）求 P 的值及抛物线的焦点坐标。
15、 （本题满分10分）如图，在四棱锥 P — ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA 丄底面 ABCD , AB= 3 , BC=1 , PA=2 , E 为 PD 的中点.（1） 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（2） 在侧面PAB 内找一点N ，使NE 丄面PAC ,并求出N 点到AB 和AP 的距离.1 , O 是底面ABiCD 的中心，贝U 0到平面ABCD 的距离 9、已知抛物线P 到y 轴的距离为（10 r 1632B 、C 、33 3A 、B 两点的坐标分别为（—1,0）, （1,0），条件甲：点C 满足AC BC 0 ；条件乙:一 x 2 v 2点C 的坐标是方程 —+3=1 （v 0）的解.则甲是乙的（ 点，弦 10、设BC 的中点 ** )D 、 83E 、 必要不充分条件C 、充要条件二、填空题： （本大题 D 、 2小题，每小题5分, 既不是充分条件也不是必要条件 共1 0分，答案填在答卷上） 11、已知命题R , sin x < 1，则2x 12、椭圆m +的焦距为2,则m 的值等于（1） 求椭圆的方程；（2） 设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,2 1求证：IAMI 2 -|AF 1 |?|AF 2 |第2卷共50分一、填空题：（本大题2小题，每小题6分，共12分，把答案填在答卷上） 17、过三棱柱ABC — ABC 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABBA 平行的直线共有二 _____ 条18、动点P 到两定点A （a,0） , B （ a,0）连线的斜率的乘积为 k , （K € R ）则动点P 的轨迹 可以是* _ （写出所有可能的序号） ①直线、②椭圆、③双曲线、④抛物线、⑤圆 二、选择题：（每小题6分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求）19、 空间直角坐标系中，O 为坐标原点， A 、B 为两个定点，若动点 C 满足OC =a OA + 3 OB ，其中 a,3 R ,a + 3 =1,则点 C 的轨迹为（**）A 、平面B、直线 C 、圆 D 、线段2 y 220、 过双曲线M: X 2 1的左顶点A 作斜率为1的直线I ，若I 与双曲线M 的两条渐近b 2线分别相交于点 B 、C,且丨AB | = | BC|,则双曲线 M 的离心率是（** ）A.、 5三、解答题：（本大题共2题，满分26 分）16、（本题满分10分）如图，椭圆2x ~~2 a2y b 21 (a > b > 0)与过点 A (2, 0)、B (0, 1) 的直线有且只有一个公共点M ，且椭圆的离心率、10 3PB21. (本小题满分1 2分)如图斜三棱柱ABC—ABC的侧面AACC是面积为一3的菱形，/ CAA为锐角，且2平面ABBA 丄平面AAC i C且AB=AB=AC=1(1)求证AA丄BC(2 )求二面角B- AC— C i的余弦值.22、(本小题满分1 4分)已知焦点在X轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点P(0, ..2)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与P关于直线y x对称.(1) 求双曲线C的方程；(2) 设直线y kx 1与双曲线C的左支交于A, B两点，求k的取值范围；(3) 在(2)的条件下，直线I经过M(—2, 0)及AB的中点，求直线I在y轴上的截距m的取值范围。
福建师大附中高二数学(理)参考答案1 —5、CDDCA 6 —10、DABAB 11、X R,使得sinx 1 12 、1, 9213解：因为方程x + mx+仁0有两个不相等的实根，2所以△ 1=m - 4>0, ••• m>2 或m< - 2又因为不等式4x 2 +4( m - 2) x + 1>0的解集为R,所以△ 2=16( m - 2) 2- 16<0, •1< m <3因为p或q为真，p且q为假，所以p与q为一真一假，(1)当[p为真q为假时，m 2 或m 2m诚m 3m2或m 32 m 2B iBAC C iA i(2) 当[p为假q为真时，1m21 m 3综上所述m的取值范围是m2或m 3或1m2得：y x 414、解：直线方程为y=-x+4,联立方程,消去y得，X22( p 4)x 16 0 .y 2px2设A(x1,y1),B( X2,y2),得禺X2 2( p 4),乂必16, 4( p 2) 64 0所以( x i 4)( X 2 4) 8p ,由已知 OA OB 可得 X i X 2 + y i y =0,从而 16-8p=0，得 p=2. 所以抛物线方程为 y 2=4x,焦点坐标为F(1,0)2 2 一故设双曲线c 的方程为x_ y_ 1 .又双曲线C 的一个焦点为(2,0), a 2 a 2 •- 2a 2 2 , a 2 1二双曲线C 的方程为：x 2y 21.(2)由 y mx 1 得(1 m 2)x 2 2mx 20 .令 f (x) (1 m 2)x 2 2mx 2x 2 y 21不等负实根.15、解(I) AC 与PB 所成角的余弦值为3.. 7 1416解: 2x(1) + 2y 2 = 1 ；2(2) 略 17、618 、①②③⑤19、B 20、B21、解: (1 )略(2)—1522、解: (1 )设双曲线 C 的渐近线方程为y=kx ，贝U kx-y=0(n) N 点到AB 、AP 的距离分别为1, •••该直线与圆x 2 (y 2)2因此2m 1 m2，解得1,2 ..(3). ••• AB 中点为( 1 mm 2 , 1 1 2)，m直线 1的 方程为：y12(x 2)2m m 222b2 m 2m 212172(m780且- 1m 2 0令 x =0 , 得,361相切，•••双曲线 C 的两条渐近线方程为•••直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f(x)=0在(,0)上有两个1 2 172(m -) ( 2 - 2,1)，…b (4 8m (1, 2), 2 .2) (2,).。