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职高数学 《平面向量》 第一轮复习

向量的概念

一、高考要求：

理解有向 段及向量的有关概念 , 掌握求向量和与差的三角形法 和平行四 形法 , 掌握向量加法的交 律和 合律 . 二、知 要点：

1. 有向 段 : 具有方向的 段叫做有向 段 , 通常在有向 段的 点 画上箭 表 uuur

示它的方向 . 以 A 始点 ,B 点的有向 段 作 AB , 注意 : 始点一定要写在

uuur uuur uuur

点的前面 , 已知 AB , 段 AB 的 度叫做有向 段 AB 的 ( 或模 ), AB 的 度 作 uuur

| AB | . 有向 段包含三个要素

: 始点、方向和 度 .

2. 向量 : 具有大小和方向的量叫做向量 , 只有大小和方向的向量叫做自由向量 . 在本章中 到向量 , 如不特 明 , 指的都是自由向量 . 一个向量可用有向 段来表 示 , 有向 段的 度表示向量的大小 , 有向 段的方向表示向量的方向 . 用有向 uuur uuur

a 、

b 、

c 、⋯

段 AB 表示向量 , 我 就 向量 AB . 另外 , 在印刷 常用黑体小写字母

r r r

等表示向量 ; 手写 可写作 箭 的小写字母 a 、 b 、 c 、⋯等 . 与向量有关的概念有 :

(1) 相等向量 : 同向且等 的有向 段表示同一向量或相等的向量

r r

. 向量 a 和 b 同

r r r r

向且等 , 即 a 和 b 相等 , 作 a = b .

r

(2) 零向量 : 度等于零的向量叫做零向量 , 作 0 . 零向量的方向不确定 .

r uuur r

(3) 位置向量 : 任 一定点 O 和向量 a , 点 O 作有向 段 OA

a , 点 A 相 于

r r

点 O 的位置被向量 a 所 aaa 唯一确定 , 向量 a 又常叫做点 A 相 于点 O 的

位置向量 . r

r r

(4) 相反向量 : 与向量 a 等 且方向相反的向量叫做向量

a 的相反向量 , 作 a .

r

r

r

然 , a ( a) 0 . r r

(5) 位向量 : 度等于

1 的向量 , 叫做 位向量 , 作 e . 与向量 a 同方向的 位

uur uur r

向量通常 作 , 容易看出 : a

a 0 a 0 r .

││

a

(6) 共 向量 ( 平行向量 ) : 如果表示一些向量的有向 段所在的直 互相平行或

重合 , 即 些向量的方向相同或相反 , 称 些向量 共 向量 ( 或平行向

r

r r r

量). 向量 a 平行于向量 b , 作 a ∥ b . 零向量与任一个向量共 ( 平行 ).

三、典型例 ： uuur uuur uuur uuur

例 : 在四 形 ABCD 中, 如果

AB DC │AB │ │BC │

且 , 那么四 形 ABCD 是哪种四 形 ?

四、 小 ：

1. 用位置向量可确定一点相 于另一点的位置 , 是用向量研究几何的依据 .

2. 共 向量 ( 平行向量 ) 是方向相同或相反的向量 , 可能有下列情况 : (1) 有一个 零向量 ;(2) 两个都 零向量 ;(3) 方向相同 , 模相等 ( 即相等向量 );(4) 方向相同 , 模不等 ;(5) 方向相反 , 模相等 ;(6) 方向相反 , 模不等 .

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五、基础知识训练：

（一）选择题：

1. 下列命题中 : (1) 向量只含有大小和方向两个要素 . (2) 只有大小和方向而无 特定的位置的向量叫自由向量 . (3) 同向且等长的有向线段表示同一向量或相

等的向量 . (4)

uuur

正确的个数是 ( )

点 A 相对于点 B 的位置向量是 BA . A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

uuur uuur uuur

2. 设 O 是正△ ABC 的中心 , 则向量 AO,OB,OC 是( )

A. 有相同起点的向量

B. 平行向量

C. 模相等的向量

D.

相等向量

3. r r

)

a b 的充要条件是 (

r r

r r

r rr

r

A. r r

B. r

r

C. D.

│a │ │b │

│a │ │b │ a ∥ b

a ∥ b

│a │ │b │ a

与 b

同

且

且

向

uuur uuur

4.

AA BB 是四边形 ABB A 是平行四边形的 ( )

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件 5. 依据下列条件 , 能判断四边形 ABCD 是菱形的是 ( )

uuur

uuur uuur uuur

B.

uuur uuur A. AD BC

uuur

AD ∥ BC 且 AB ∥ CD

uuur uuur

uuur

uuur uuur uuur uuur

│

│ │ │

D. C. AB

DC 且 AB AD AB DC 且 AD BC

6. 下列关于零向量的说法中 , 错误的是 ( ) r

A. 零向量没有方向

B.

零向量的长度为 0

C. 零向量与任一向量平行

D. 零向量的方向任意 r

7.

r

r r

设与已知向量 a 等长且方向相反的向量为 b , 则它们的和向量 a

b 等于 ( )

A.0

B. r

C.2

r

D.2

r

a

b

（二）填空题：

uuur

uuur

8. 下列说法中 : (1)

(2) 长度不等且方向相反的两个向量

AB 与 BA 的长度相等

不一定共线 (3) 两个有共同起点且相等的向量 , 终点必相同 (4) 长度相等的两 个向量必共线。错误的说法有 .

9. 下列命题中 : (1) 单位向量都相等 (2) 单位向量都共线 (3) 共线的单位向量必相

等

(4) 与一非零向量共线的单位向量有且只有一个

. 中正确的命题的个数有 r

个.

r

r

r

r

r

r r

10. ∣∣ =0, 则 a

=0. (2)

∣∣=∣∣ 则

a

b 或 a

b .

下列命题中 : (1) 若

a

r 若

a

b ,

r

r

r r r r r

(3) 若 a

b

∣∣=∣∣ab . (4) 若 a 0 , 则 a 0 .

与 是平行向量 , 则

其中正确的命题是 (

只填序号 ).

（三）解答题：

11. 如图 , 四边形 ABCD 于 ABDE 都是平行四边形 .

uuur r uuur

(1) AE

a DB ; 若

uuur r , 求 uuur

(2) 若 CE b , 求 AB ;

uuur

(3) 写出和 AB 相等的所有向量 ;

uuur

(4) 写出和 AB 共线的所有向量 .

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