大学物理复习提纲

第一章：量子力学基础 一、微观粒子的运动特征

1. 黑体辐射和能量量子化

能量子：ε0=h ν0

2、光电效应和光的波粒二象性

光的能量是量子化的，最小能量单位是νεh =0，称为光子。 光子有动量：P = mc = λ

h 3、实物微粒的波粒二象性

任何运动着的实物微观粒子都具有波粒二象性。与实物微观粒子联系着的这种波叫德布罗意波。

h

p

λ=

，E h ν= 德布罗意波的实验验证：电子具有波动性的实验，中子、质子、氢原子和氦原子等微粒流具有波动性。

德布罗意波的统计解释

在波强度大的地方，粒子出现的概率大；在波强度小的地方，粒子出现的概率就小；在波强度为零的地方，粒子出现的概率为零（没有出现）。

P ∝ Ψ2

德布罗意波长的计算

例1：已知一块石头的质量为0.1kg ，飞行速度为1m/s ，该石头的德布罗意波的波长为多少？

解：m s

m kg s J mv h p h 33

1

3410626.611.010626.6---⨯=⋅⨯⋅⨯===λ 例2：已知一个电子的质量kg m 3110110.9-⨯=，如果电子在电势差为100V 的加速电场中运动，则其德布罗意波的波长为多少？ 解：

mqu

h

mE h p h 22=

==

λ

pm

m V c kg s

J 6.12210226.110010602.110110.9210626.610193134=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=

----

4、不确定度关系

不确定度关系又称为测不准原理。它可以用数学关系表达为：

π

4h p x ≥

∆•∆ h p x ≥∆•∆

文字表述：具有波动性的微观粒子，不能同时有确定的坐标和动量。当它的某个坐标被测量得越精确，则其相应的动量就越不精确。

例3：质量为0.01kg 的子弹，运动速度为1000 m/s ，若其速度的不确定度是其运动速度的1%，则其位置的不确定度为多少？ 解：

m s

m kg s J v m h x 33

1

3410626.61000%101.010626.6---⨯=⋅⨯⨯⋅⨯=∆=∆ 对于象子弹这样的宏观物体，其位置的不确定度数量级为10-33m ，与自身的运动空间做比较，显然位置的不确定度值是完全可以忽略的。

二、量子力学基本假设

1、波函数

假设1：对于一个微观体系（原子、分子体系），它的状态和有关情况可以用波函数Ψ（x ，y ，z ，t ）来表示。

在原子、分子等微观粒子体系中，我们把Ψ称为原子轨道，或者分子轨道。而2ψ由于与粒子在空间某处出现的概率成正比，所以称之为概率密度，2ψ也是我们在化学中常说的电子云。

2、物理量和算符

3、本征态、本征值和薛定谔（Schrödinger）方程

假设3：若某物理量A 的算符∧

A 作用于某一状态函数Ψ，等于某一常数a 乘以Ψ，

即：A a ψψ∧

= （1-1）

算符∧

H 的本征方程为：ψψE H =∧ （1-2）

即：222

()8h V E m ψψπ

∧

-∇+= （1-3） 方程（1-3）就叫薛定谔（Schrödinger）方程。

4．态叠加原理

假设4：若1ψ，2ψ，…，n ψ为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的ψ也是该体系可能的状态。

11221

n

n n i i i c c c c ψψψψψ==++=∑…+

1c ，2c ，…，n c 称为线性组合系数，可以取0≤i c ≤1的任意常数。i c 的大

小反映i ψ对ψ贡献的多少。 5、Pauli 原理（泡利不相容原理）

假设5：在同一个原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据同一个轨道。

三 一维势箱中粒子的运动规律

ψψE H =∧

222()8h V E m ψψπ∧

-∇+= （0V V ∧==） 描述体系的能量和体系中电子的运动状态波函数分别为：

22

2

8n h E ml

= (123n =，，……)

, n x l πψ= (123n =，，……)

第二章：原子的结构与性质

单电子原子：H ，He +，Li 2+（结构与氢原子相同叫类氢原子） 单电子原子的Schrödinger 方程

22220()84h Ze E r

ψψμππε-∇-= （2-1） 222222222

201118()(sin )()0sin sin 4Ze r E r r r r r h r

ψψψπμθψθθθθϕπε∂∂∂∂∂++++=∂∂∂∂∂ Φ方程、Θ方程、R 方程。通过对这三个方程的求解，可以得到单电子原子Schrödinger 方程的最终解为：

(,,)()()()()(,)r R r R r Y ψθϕθϕθϕ=ΘΦ= （2-8）

单电子原子波函数的意义

R 方程的解：()nl R r （引入主量子数n ） Θ方程的解：()lm θΘ （引入角量子数l ）

Φ方程的解：()m ϕΦ （引入磁量子数m ）

nlm ψ 原子轨道波函数，俗称：原子轨道（AO ，Atomic Orbital ） 2nlm ψ 概率密度函数，简称：概率密度，俗称：电子云

()nl R r 波函数的径向部分

(,)lm Y θϕ 波函数的角度部分，也称：球谐函数

2(,)lm Y θϕ 电子云的角度分布