复数讲义(绝对经典)教学文稿

复数

一、复数的概念

1． 虚数单位i:

（1）它的平方等于1-，即21i =-；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:

i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：

41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．

2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)

i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪

+=⎧⎨+≠⎨⎪

+≠⎩⎩

实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：

形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:

通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0

6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘

7． 两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，

c ，

d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =

二、复数的几何意义

1． 复平面、实轴、虚轴：

复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，

是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．

2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，

，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．

这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．

三、复数的四则运算

1． 复数1z 与2z 的和的定义：

12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++

2． 复数1z 与2z 的差的定义：

12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-

3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+

4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：

设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：

（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：

满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：

()()a bi c di +÷+或者

a bi

c di

++

8． 除法运算规则：

设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+

由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨

-⎪=⎪+⎩

， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222

ac bd bc ad

i c d c d +-=

+++

②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将

i

i

a b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()i

i (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-=

==

++-+ 222222

()()i i ac bd bc ad ac bd bc ad

c d c d c d ++-+-=

=++++．

∴(()(i)i a b c d +÷+=

2222

i ac bd bc ad

c d c d

+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -

，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．