《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题
《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二
《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二第一部分名校考研真题第6章线性空间一、选择题1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]A．B． C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题1．若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]解：取的一组基，再取的一组基则＝秩2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求（1）U＋W：（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]解：（1）令可得．所以由于为的一个极大线性无关组，因此又可得且，故为U＋W的一组基．（2）令因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：再令，则故ζ为U∩W的一组基．3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组求W的一个基．[华东师范大学研]证明：（1）显然W≠，又因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r （A，B）＝n－r＋1．任取α∈W，存在t∈K，使所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．这样，存在W到V的映射，显然，这是W形到V的一个双射．又α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则所以且可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．该方程组的一个基础解系为：其在σ之下原像即为W的一组基．4．设V 1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且，则和空间与另一个重合．[上海交通大学研]证明：因为所以由题设所以即当时，由得此时当时因为，所以，此时5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：（1）存在，使得（2）存在V中一组基，使[北京大学研]证明：（1）因V 1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在（2）令，同样有且显然，线性无关．令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成V的基），且有6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：则V成为实数域上的一个线性空间．设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，得解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以从而又，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．。
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解在考研的众多科目中，《高等代数》是许多专业都需要面对的重要课程。
对于考生来说，深入了解其考点并熟悉真题的解题思路和方法至关重要。
接下来，让我们一起详细探讨《高等代数》的考研考点以及通过真题来进行具体的分析。
首先，多项式是《高等代数》中的一个基础考点。
多项式的运算、整除性、最大公因式等概念需要考生熟练掌握。
例如，给定两个多项式$f(x)＄和$g(x)＄，求它们的最大公因式就是常见的考题类型。
线性方程组也是重点之一。
包括解的存在性、唯一性以及求解的方法。
考生要清楚如何通过高斯消元法将线性方程组化为阶梯形，从而判断解的情况。
矩阵是必考的内容。
矩阵的运算、逆矩阵的求解、矩阵的秩等都经常出现在考研真题中。
比如，给出一个矩阵，要求判断其是否可逆，并求出其逆矩阵。
向量空间也是一个重要的考点。
涉及向量空间的定义、基与维数、子空间的相关性质等。
可能会要求考生证明某个集合是向量空间，或者求向量空间的基和维数。
线性变换是一个较难的考点，但也是高频考点。
需要理解线性变换的定义、性质，掌握线性变换的矩阵表示，以及如何求线性变换的核与值域。
特征值与特征向量是另一个关键考点。
包括特征值和特征向量的计算、性质以及相似对角化的条件和方法。
很多真题会要求根据给定的矩阵求其特征值和特征向量，并判断是否可相似对角化。
下面通过一些具体的考研真题来进一步说明。
真题一：已知多项式$f(x) ＝ x^3 2x^2 ＋ 3x 1$，＄g(x) ＝ x^2 3x ＋ 2$，求$f(x)＄与$g(x)＄的最大公因式。
解题思路：运用辗转相除法，先将$f(x)＄除以$g(x)＄，得到商式$q_1(x)＄和余式$r_1(x)＄，然后将$g(x)＄除以$r_1(x)＄，以此类推，直到余式为零，此时的除数就是最大公因式。
真题二：求解线性方程组：＄＼begin{cases} 2x_1 ＋ 3x_2 x_3 ＝ 1 ＼＼ 4x_1 ＋ 6x_2 2x_3 ＝2 ＼＼ 3x_1 ＋ 4x_2 ＋ 2x_3 ＝ 5 ＼end{cases}＄解题思路：首先对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，判断解的情况。
高等代数知识点总结
分块三角矩阵的行列式
Cauchy-Binet 公式
Vandermonde 行列式
定义
性质
*
*
分块三角形行列式
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
Cauchy-Binet公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, m≥n, 则
*
*
融资项目商业计划书
单击此处添加副标题
重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
向量组等价：
S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
对于向量组S，T，下列条件等价
线性相关与线性表示： 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一
A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于
矩阵等价
*
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价 A是可逆矩阵 |A|0 秩A=n 有B使得AB=I或BA=I A是有限个初等矩阵之积 A(行或列)等价于I A的列(行)向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对某个b,Ax=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) 对于m×r矩阵G,下列条件等价 G是列满秩矩阵, G有一个r阶的非零子式 秩G=列数 G有左逆,即有K使得KG=I 有矩阵H使得(G, H)可逆 G行等价于 G的列向量组线性无关 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Gx=b有唯一解 G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点总结
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点总结高等代数是考研数学中的一门重要学科，涉及到矩阵论、线性代数、群论等多个知识点。
掌握高等代数的重点知识点对于考生来说至关重要。
本文将对上海市考研数学复习资料中的高等代数重点知识进行总结和归纳，帮助考生更好地备考。
一、矩阵论1. 矩阵的定义和运算法则2. 矩阵的特殊类型及性质（对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、幂等矩阵等）3. 矩阵的转置、共轭和伴随矩阵4. 矩阵的行列式及性质5. 矩阵的逆和可逆性6. 矩阵的秩、秩-零度定理和齐次线性方程组的解的结构7. 相似矩阵和对角化8. 矩阵的特征值和特征向量二、向量空间1. 向量空间的定义和运算法则2. 向量空间的子空间3. 向量空间的线性相关性和线性无关性4. 向量空间的基和维度5. 向量空间的坐标和坐标变换6. 线性映射和线性变换7. 线性映射的矩阵表示和矩阵的相似性8. 线性映射和线性变换的核和像三、群论1. 群的定义和运算法则2. 子群和正规子群3. 群的同态和同构4. 群的陪集和拉格朗日定理5. 群的正规系列和商群6. 群的中心和中心因子7. 群的直积和直和8. 群的有限性定理四、模论1. 环的定义和运算法则2. 子环、理想和素理想3. 除环和唯一因子分解环4. 有限环和域5. 环的同态和同构6. 环的中心和中心化因子7. 模的定义和运算法则8. 子模和陪模9. 模的同态和同构10. 模的秩和维数定理五、特殊知识点1. 特征多项式和最小多项式2. 标准型和矩阵的合同3. 广义逆和非负逆4. Stirling数和Bell数5. 哈密顿矩阵和酉矩阵6. 生成元和置换群7. 置换矩阵和循环群8. 半单群和李代数以上是上海市考研数学复习资料中的高等代数重点知识点总结。
希望考生能够针对这些知识点进行重点复习，掌握基本概念和性质，并能灵活运用于解题中。
同时，建议考生多做一些真题和模拟题，加深对知识点的理解和记忆。
祝愿每位考生都能在考试中取得理想的成绩！。
考研数学一大纲重要知识点解析高等代数部分典型题型详细解读
考研数学一大纲重要知识点解析高等代数部分典型题型详细解读高等代数是考研数学一科目中的重要组成部分，掌握了高等代数的基本知识和解题技巧，将极大地有助于我们在考试中取得好成绩。
本文将详细解读考研数学一大纲中高等代数部分的典型题型以及重要知识点。
一、行列式行列式是高等代数中的重要内容，考研数学一中经常会出现与行列式相关的题目。
掌握行列式的性质和计算方法是解答这类题目的关键。
1.行列式的定义和性质行列式是一个方阵所具有的特征数，常用记号为|A|。
行列式具有以下性质：- 行列式的第i行和第j列的元素记作a_ij，其中i表示行标，j表示列标。
- 行列式的行与列可以互换，行列式的值不变。
- 如果行列式的两行/两列完全相同，行列式的值为0。
2.行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，常用的有：- 拉普拉斯展开法：根据行列式的定义，利用代数余子式的概念，将行列式按某一行（列）展开成若干个代数余子式的乘积之和。
- 三角形法则：将矩阵化为上（下）三角矩阵，然后计算对角线上元素的积。
二、线性方程组线性方程组也是考研数学一中的重点内容，理解线性方程组的解的性质以及解的计算方法是解答这类题目的关键。
1.线性方程组的定义和性质线性方程组是形如a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1，a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2，...，a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m的方程组。
线性方程组具有以下性质：- 如果齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行向量线性相关。
- 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于未知量的个数n，则齐次线性方程组只有零解。
- 如果非齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且秩的值等于未知量的个数n，则非齐次线性方程组有唯一解。
2.线性方程组的计算方法线性方程组的计算方法有多种，常用的有：- 列主元高斯消元法：通过逐列消元的方法将线性方程组化为上（下）三角矩阵，然后回代求解未知量。
考研《高等代数》重要考点归纳
考研《高等代数》重要考点归纳第1章多项式1.1考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a －b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P 上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f （x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c 为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g （x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u （x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，fs（x）的乘积f1（x），f2（x），…，fs（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…ps （x）＝q1（x）q2（x）…qt（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有pi（x）＝ciqi（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，ps（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，rs是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝。
高代复习题及答案
V 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x 1 x 2 x 3 x 4 0 .求 V 1 V 2 与 V 1 V 2 的基与维数.
33.设 V 是 3 维线性空间， 1 , 2 , 3 为它的一个基.线性变换 : V V ，
x1 1 x 2 2 x 3 3 2 x1 1 3 x 2 2 4 x 3 3
1 40.设 1 , 2 , 3 是 3 维欧氏空间 V 的一组基，这组基的度量矩阵为 1 2
1
（3） V
(0)
(V ) .
2.已知是 n 维欧氏空间的正交变换，证明：的不变子空间 W 的正交补 W 也是的不变子空
间．
1 0 3.已知复系数矩阵 A 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 ， 2 1
（1） 求矩阵 A 的行列式因子、不变因子和初等因子； （2） 求矩阵 A 的若当标准形.（15 分）
6.设 A 为 n 阶方阵，
W1 x R | Ax 0 ， W 2 x R | ( A E ) x 0
n n
n 证明 A 为幂等矩阵，则 R W 1 W 2 .
7.若设 W= f ( x ) f (1) 0 , f ( x ) R [ x ] n , 试证：W 是 R [ x ] n 的子空间，并求出 W 的一组基及维数.
2 3
3 。 6
（１）证明： ( x , y ) 是 R 2 的内积，因而 R 2 按此内积构成一个欧氏空间， （２）求 R 2 的一组标准正交基， （３）求矩阵 P ，使得 A P P .
32.设 R 4 的两个子空间为： V 1
高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二
高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二高等代数作为考研数学科目中的重点内容之一，对于考生来说是一个关键的考察点。
本文将以2021年北京大学考研真题二为基础，讨论高等代数相关知识点，帮助考生更好地备考。
1. 选择题题目一：设A是一个n阶方阵，若λ是A的特征值，那么下面哪个命题是错误的？A. λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值。
B. λ是A²的特征值，则λ是A的特征值。
C. λ是A的特征值，则λ⁻¹是A⁻¹的特征值。
D. λ是A⁻¹的特征值，则λ⁻¹是A的特征值。
解析：对于矩阵A的特征值λ和特征向量x，有A×x=λ×x。
因此，对于任意非零实数k和非零向量x，有A(kx) = kA(x)，即特征值与矩阵的乘法具有线性关系。
因此，选项A是正确的，选项B是错误的。
选项C和D中提到了矩阵的逆，根据矩阵特征值的定义，如果λ是矩阵A的特征值，则A⁻¹的特征值是λ⁻¹。
因此，选项C是错误的，选项D是正确的。
综上所述，选项B是错误的命题。
2. 解答题题目二：已知复数z满足|z|=2，求z+z⁻¹的实部和虚部。
解答：设z=a+bi，其中a和b为实数。
根据复数的模定义，有|z|=√(a²+b²)=2，可以得到一个方程，a²+b²=4。
根据复数的乘法性质，可以得到z⁻¹的表达式为z⁻¹=1/z=(a-ib)/((a+ib)(a-ib))=(a-ib)/(a²+b²)=a/(a²+b²)-i(b/(a²+b²))。
将z+z⁻¹展开并分别提取实部和虚部，得到：实部：Re(z+z⁻¹)=a+a/(a²+b²)=a(a²+b²)/(a²+b²)+a/(a²+b²)=(a³+2a)/(a²+b²)。
高等代数第三版考研题库
高等代数第三版考研题库一、线性代数部分1. 矩阵理论- 矩阵的运算：加法、乘法、转置、求逆等。
- 矩阵的秩：证明矩阵秩的性质，求解矩阵的秩。
- 线性方程组：解线性方程组，证明解的存在性与唯一性。
2. 向量空间- 向量空间的定义与性质。
- 基和维数：确定向量空间的基，计算维数。
- 线性变换：定义线性变换，计算线性变换的矩阵表示。
3. 特征值与特征向量- 特征值和特征向量的概念。
- 特征多项式：计算矩阵的特征多项式。
- 对角化：证明矩阵对角化的条件，求解对角化后的矩阵。
二、多项式代数部分1. 多项式的基本性质- 多项式的定义，次数，系数。
- 多项式的运算：加法、乘法、除法。
2. 多项式的根- 根的概念，实根与复根。
- 韦达定理：应用韦达定理求解多项式的系数与根的关系。
3. 多项式的因式分解- 因式分解的方法：配方法、公式法、分组法等。
- 多项式的最大公因式。
三、群论部分1. 群的定义与性质- 群的定义，单位元，逆元，封闭性，结合律。
2. 子群与陪集- 子群的定义，判定子群的方法。
- 陪集的概念，拉格朗日定理。
3. 群的同态与同构- 群同态的定义，同构群的概念。
四、环论部分1. 环的定义与性质- 环的定义，加法和乘法的运算规则。
2. 理想与商环- 理想的定义，主理想与零理想。
- 商环的概念，构造商环的方法。
3. 环的同态与同构- 环同态的定义，同构环的概念。
五、域论部分1. 域的定义与性质- 域的定义，域的加法和乘法运算。
2. 多项式在域上的根- 多项式在域上的分解，有限域与无限域。
3. 域的扩张- 域扩张的概念，代数扩张与超越扩张。
结束语本题库覆盖了高等代数的核心概念和理论，旨在帮助考生系统复习和深入理解高等代数的知识点，为考研做好充分准备。
希望考生能够通过练习这些题目，提高解题能力和数学思维。
请注意，这只是一个示例题库，实际的考研题库可能会根据具体的教材版本和考试大纲有所不同。
2021年考研数学高数14个高频考点汇总(上册)
2021年考研数学高数14个高频考点汇总(上册)进入六月份，不知道大家有没有完成考研数学高等数学基础阶段的复习?在此为大家发布了高数历年高频考点的汇总，希望对大家接下来的复习能有所帮助。
在完成2021考研数学高等数学完成了基础阶段的复习后，同学们应该对于高等数学的基本概念、基本原理、基本方法和各章节的知识结构有了一定的掌握。
接下来可以开始基础阶段的第二轮复习了，重点复习自己第一轮复习的薄弱知识点、各章考试的重点、难点和高频考点，为了提高大家的复习效率和复习效果，本店铺先把高等数学(上册)历年考试的高频知识点帮大家总结一下，希望对大家的复习能够起到事半功倍的效果。
1、未定式极限的计算、无穷小比较以及极限的局部逆问题(客观题和解答题必考);2、判断函数的连续性及间断点的分类(一般考客观题);3、导数定义及几何意义相关题目(客观题和解答题都可能考);4、各类函数(包括复合函数、幂指函数、隐函数、参数方程、变上限函数)的求导(客观题和解答题都可能考);5、利用7个中值定理(零点定理、介值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理、积分中值定理)证明等式或不等式(考证明题);6、利用函数单调性和最值、中值定理证明函数或数值不等式(考证明题);7、利用函数性态讨论方程的根的个数或曲线交点个数问题(考解答题);8、判断函数的极值、拐点(客观题和解答题都可能考);9、求曲线的渐近线或渐近线的条数(一般考客观题);10、不定积分和原函数的概念的理解(一般考客观题);11、不定积分的计算(一般考解答题)：12、定积分的计算和定积分性质的应用(客观题和解答题都可能考);13、定积分的几何应用和物理应用的考查(一般考解答题，有时会和其他知识结合考综合题，物理应用仅数一、数二要求);14、反常积分的计算和判断敛散性(一般考客观题)。
以上14种题型是考研数学历年考试的高频考点，其中中值定理等式的相关证明、不等式的证明、方程根的个数的讨论以及定积分的物理应用是考试的难点，希望同学们在后续的复习过程中对以上14种题型要重点掌握，要下决心攻克难点题型，最后祝2021考研的考生们考研成功!。
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库
《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库第一部分名校考研真题第1章多项式一、判断题1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述得P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、证明题1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n的根，证明：q∣a0，p∣a n[华中科技大学研]证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（b n－1x n－1＋…＋b0，b i∈z比较两边系数，得a0＝qb n－1，a n＝－pb0⇒q∣a0，p∣a n2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f （x）∣g（x）的充要条件是f k（x）∣g k（x）[浙江大学研]证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h （x）∈P（x），两边k次方得g k（x）＝f k（x）h k（x），所以f k（x）∣g k（x）（2）再证充分性．设f k（x）∣g k（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以f k（x）＝d k（x）f1k（x），g k（x）＝d k（x）g1k（x）因为f k（x）∣g k（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得g k（x）＝f k（x）·h（x）所以d k（x）g1k（x）＝d k（x）f1k（x）·h（x），两边消去d k（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1故f l（x）＝c，其中c为非零常数．所以f（x）＝d（x）f1（x）＝cd（x）⇒f（x）∣g（x）3．设f（x），g（x）都是P[x]中的非零多项式，且g（x）＝s m（x）g1（x），这里m≥1．又若（s（x），g1（x））＝1，s（x）∣f（x）．证明：不存在f1（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，∂（r（x））＜∂（s（x））使①[浙江大学研]证明：用反证法，若存在f1（x），r（x）使①式成立，则用g（x）乘①式两端，得f（x）＝r（x）g1（x）＋f1（x）s（x）②因为s（x）∣f（x），s（x）∣f1（x）s（x），由②式有s（x）∣r（x）g1（x）．但（s（x），g1（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．这与∂（r（x））＜∂（s（x））矛盾．4．设f（x）是有理数域上n次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f （x）的一根的倒数也是f（x）的根．证明：f（x）每一根的倒数也是f（x）的根．[南开大学研]证明：设b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再设c是f（x）的任一根．下证1/c也是f（x）的根．令g（x）＝f（x）/d，其中d为f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与f（x）有相同的根，其中g（x）是首项系数为l的有理系数不可约多项式．设g（x）＝x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，（a0≠0）．由于b n＋a n－1b n－1＋…＋a1b＋a0＝0①（1/b）n＋a n－1（1/b）n－1＋…＋a1（1/b）＋a0＝0⇒a0b n＋a1b n－1＋…＋a n－1b＋1＝0⇒b n＋（a1/a0）b n－1＋…＋（a n－1/a0）b＋1/ a0＝0 ②由g（x）不可约及①，②两式可得1/a0＝a0，a i/a0＝a n－i（i＝1，2，…，n－1）．故a0＝±1，a i＝±a n－i（i＝1，2，…，n－1）③由③式可知，当f（c）＝0时，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，从而f（1/c）＝0．5．设f（x）是复系数一元多项式，对任意整数n有f（n）都是整数．证明：f（x）的系数都是有理数．举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n，有f （n）是整数．［浙江大学研］证明：设f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]由于∀n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．下证g（x）∈Q[x]．事实上，令g（x）＝a0＋a1x＋…＋a m x m，a m≠0，a i∈R，i＝1，2，…，m则有a0＋a1＋…＋a m＝g（1）∈Z，a0＋a1·2＋…＋a m·2m＝g（2）∈Z，⋮a0＋a1（m＋1）＋…＋a m（m＋1）m＝g（m＋1）∈Z.记则有（a0，a1，…，a m）T＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））①又显见∣T∣＝m!（m－1）!…2!1!≠0，由①式得（a0，a1，…，a m）＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））T－1这里T－1是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），…，g（m＋1）均为整数，所以a0，a1，…，a m∈Q．因此f（x）＝g（x）∈Q[x]．取f（x）＝x2/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n2－1）/2可见存在不是整系数的多项式f（x），对任一整数n，有f（n）＝（n2－1）/2∈Z．。
最新高等代数全国考研试题精选打印版.doc（PDF版）
《高等代数》试题库一、选择题1．在F[x]里能整除任意多项式的多项式是（）。
A．零多项式B．零次多项式C．本原多项式D．不可约多项式2．设g(x)=x+1是f(x)=x-k x+4kx+x-4的一个因式，则k=（）。
6242A．1B．2C．3D．43．以下命题不正确的是（）。
A.若f(x)|g(x),则f(x)|g(x)；B.集合F={a+bi|a,b∈Q}是数域；C.若(f(x),f'(x))=1,则f(x)没有重因式；D．设p(x)是f'(x)的k-1重因式，则p(x)是f(x)的k重因式4．整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的( )条件。
A.充分B.充分必要C.必要D．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。
A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)=g(x)B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)±h(x))C.如果f(x)g(x)，那么∀h(x)∈F[x]，有f(x)g(x)h(x)D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)6．对于“命题甲：将n(>1)级行列式D的主对角线上元素反号,则行列式变为-D；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有( )。
A.甲成立,乙不成立；B.甲不成立,乙成立；C.甲,乙均成立；D．甲,乙均不成立7．下面论述中,错误的是( )。
A.奇数次实系数多项式必有实根；B.代数基本定理适用于复数域；C．任一数域包含Q；D．在P[x]中,f(x)g(x)=f(x)h(x)⇒g(x)=h(x)A 11 A 12 ... A 1n A21...An1 A22...An2 .........A2n...Ann8．设D=aij ，Aij为aij的代数余子式,则=( )。
A.DB.-DC.D/D．(-1)n D49.行列式31-250a 中，元素a 的代数余子式是（）。
考研数学高等代数：重点知识点与解题技巧
矩阵与行列式的典型题型
• 矩阵的加法和减法 • 矩阵的乘法和除法 • 矩阵的转置和逆矩阵 • 行列式的计算和性质 • 矩阵的秩和行列式的值 • 矩阵的相似和合同 • 矩阵的对角化和实对称矩阵 • 矩阵的初等变换和线性方程组 • 矩阵的范数和条件数 • 矩阵的奇异值和特征值
线性方程组的典型题型
多项式的运算与因式分解
添加标题
多项式的加法和减法
添加标题
80
多项式的因式分解
添加标题
因式分解的应用和实例
添加标题
多项式的乘法和除法
添加标题
因式分解的方法和技巧
添加标题
多项式与多项式函数的关系和区 别
多项式函数与泰勒级数
多项式函数： 由多项式组成 的函数
0 1
泰勒级数：将 函数展开为无 穷级数的形式
添加标题
行列式计算：利用行列式的性质 和公式进行计算
添加标题
矩阵的秩：求解矩阵的秩的方法 和技巧
添加标题
矩阵的对角化：求解矩阵的对角 化的方法和技巧
线性方程组求解技巧
项标题
高斯消元法：通过 行变换将系数矩阵 化为阶梯形，然后
进行回代求解
项标题
矩阵法：利用矩阵 的性质和运算法则 求解线性方程组
项标题
度和质量
03
复习方法：采用适合自己的复习方法，如
做题、看书、听课等
04
定期检查：定期检查自己的复习进度和效
果，及时调整复习计划
精选教材与辅导资料
教材推荐：《高等代数》、《线性代数》等 辅导资料推荐：《考研数学复习全书》、《考研数学真题解析》等 视频课程推荐：张宇、汤家凤等名师的考研数学课程 复习策略：先理解基础知识，再通过做题巩固，最后总结解题技巧和思路。
高等代数II知识考点整理
高等代数II知识考点整理●线性映射●线性映射●定义V,U是\mathbb{K}上的线性空间，\varphi : V\rightarrow U●\varphi(\alpha +\beta )=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)●\varphi(k\alpha )=k\varphi(\alpha)●双射\varphi : V\rightarrow U,单射且满射●单射\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)\Rightarrow \alpha=\beta●满射/映上的映射任意\beta \in U，存在\alpha \in V,使得\varphi(\alpha)=\beta●逆映射●双射存在逆映射●同构●定义●两个空间存在线性双射，则为同构●映射到自身的双射为自同构●命题●gf=1_A,fg=1_B，则f是双射且g是f的逆射f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow A●线性映射\varphi : V\rightarrow U●\varphi(0)=0●\varphi(k\alpha +l\beta )=k\varphi(\alpha)+l\varphi(\beta)线性映射等价命题●若\varphi同构，逆映射也是同构●线性映射运算●运算●加法●(\varphi+\psi)(\alpha)=\varphi(\alpha)+\psi(\alpha)●数乘●(k\varphi)(\alpha)=k\varphi(\alpha)●线性映射空间●定义●\mathcal{L}(V,U)：V到U的线性映射全体●共轭空间●V\rightarrow \mathbb{K}的线性函数空间●有限维时称为对偶空间●命题●线性映射空间是线性空间●共轭空间是线性空间●代数●定义●是线性空间●乘法封闭并满足●乘法结合律●存在单位元●分配律●数乘相容●命题●\mathcal{L}(V)是\mathbb{K}上的代数●线性映射复合一般不满足交换●线性映射与矩阵●相似●定义n阶方阵A,B●存在n阶非异阵P，B=P^{-1}AP●则A \approx B●命题●相似是一种等价关系●表示矩阵E=(e_1,e_2,\cdots,e_n)是V的基，F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)是U的基●\varphi:V\rightarrow U●\varphi(E)=FA●A为表示矩阵●定理●线性映射\varphi=\psi\Leftrightarrow\psi(e_i)=\varphi(e_i),i=1,2,\cdots,nV\rightarrow U,\{e_i\}为V的一组基●\{B_i\}\subset U,有且仅有一个线性映射,满足\varphi(e_i)=\beta_i,i=1,2,\cdots,n●\mathcal{L}(V,U)到M_{m\times n}(\mathbb{K})存在一个线性同构T●存在交换图●保持乘法：T(\varphi\psi)=T(\varphi)T(\psi)●T的性质●T(I_V)=I_n●\varphi为自同构\Leftrightarrow T(\varphi)可逆●T(\varphi^{-1})=T(\varphi)^{-1}●表示矩阵和过渡矩阵\varphi \in \mathcal{L}(V)，基\{e_i\}到\{f_i\}过渡矩阵为P●B=P^{-1}APA是\varphi在\{e_i\}的表示矩阵，B是在\{f_i\}的表示矩阵●像与核●定义线性映射\varphi:V\rightarrow U●像Im\varphi=\varphi(V)\subset U●映射的秩像的秩●dim\varphi=dim Im\varphi●核Ker\varphi=\{v\in V|\varphi(v)=0\}\subset V●零度核的秩●限制子空间V'\subset V,U'\subset U●\varphi':V'\rightarrow U'映射法则与\varphi相同●命题●像与核都是子空间●线性映射为满射\Leftrightarrowdim\varphi=dimU●线性映射为单射\Leftrightarrow零度为0●线性映射为单射，则限制映射也是单射●dim\varphi=rank(A),dim Ker\varphi=n-rank(A)A为表示矩阵，dimV=n，dimU=m●线性映射维数公式：dim Ker\varphi+dim Im\varphi=dimV●线性映射可逆\Leftrightarrow为单射或是满射●不变子空间●定义●子空间U经变换后的空间仍在U内\varphi(U)\subseteq U●可把映射限制在U上，记为\varphi|_U●命题●像与核是不变子空间●将r维不变子空间的基扩充为n维空间的基，表示矩阵形状如下●\left[\begin{matrix} A_{(r)} & B\\ O& D_{(n-r)} \end{matrix}\right]●逆命题成立表示矩阵形状为分块上三角阵，则左上角的矩阵的基生成不变子空间●子空间的直和表示矩阵为分块对角阵V=V_1\oplus V_2●多项式●次数deg●定理●deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)●无零因子f(x)\neq 0,g(x)\neq 0\Rightarrow f(x)g(x)\neq 0●消去律f(x)\neq 0,f(x)g(x)=f(x)h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)●常数倍不改变次数deg(cf(x))=degf(x),c\in \mathbb{K}/\{0\}●多项式的和的次数小于其中最大的次数deg(f(x)+g(x))\leqmax\{deg f(x),deg g(x)\}●整除●命题●f(x)|g(x)\Rightarrow cf(x)|g(x)●f(x)|f(x)●f(x)|g(x),g(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●f(x)|g(x),f(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x)●f(x)|g(x),g(x)|f(x)\Rightarrow f(x)=cg(x)●定理●f(x)=g(x)q(x)+r(x)确定f(x),g(x)，得到唯一分解deg r(x)<deg g(x)●g(x)|f(x)\Leftrightarrow g(x)除f(x)后余式为0●最大公因式●定义●d(x)=(f(x),g(x))●d(x)|f(x),d(x)|g(x)●任一公因式h(x)|d(x)●最小公倍式●定义●m(x)=[f(x),g(x)]●f(x)|m(x),g(x)|m(x)●任一公倍式m(x)|l(x)●定理●辗转相除法d(x)=(f(x),g(x))，存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)●gck.运算可交换((f(x),g(x)),h(x))=(f(x),(g(x),h(x)))=(f(x),g(x),h(x))●同乘t(x),公因子也乘t(x)(f(x),g(x))=d(x)\Rightarrow (t(x)f(x),t(x)g(x))=t(x)d(x)●多项式乘积分解为最小公倍式与最大公因式f(x)g(x)=(f(x),g(x))[f(x),g(x)]●互素定理●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow存在u(x),v(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1●除以公因子后两式互素(f(x),g(x))=d(x),f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x)\Rightarrow(f_1(x),g_1(x))=1●与g(x)互质的多项式乘积也与g(x)互质(f_1(x),g(x))=(f_2(x)|g(x))=1\Rightarrow (f_1(x)f_2(x),g(x))=1●互素因子乘积也是因子f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x),(f_1(x),f_2(x))=1\Rightarrow f_1(x)f_2(x)|g(x)●(f(x),g(x))=1,f(x)|g(x)h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●中国剩余定理●设 \left\{f_{i}(x) \mid i=1, \cdots, n\right\} 是两两互素的多项式, a_{1}(x),\cdots, a_{n}(x) 是 n 个多项式, 则存在多项式 g(x), q_{i}(x)(i=1, \cdots,n) , 使得 g(x)=f_{i}(x) q_{i}(x)+a_{i}(x) 对一切 i 成立.●因式分解●可约多项式●定义●可分解为次数更小的两个多项式的乘积●定理●不可约多项式一定是其他多项式的因子或者互素●不可约多项式具有素性p(x)|f(x)g(x)\Rightarrow p(x)|f(x)或p(x)|g(x)●不可约多项式可整除某多项式乘积，必可整除其中一个因子●f(x)一定能分解为数域上有限个不开约多项式之积，且分解因子在相伴意义上唯一●f(x)=c p_{1}(x)^{e_{1}}p_{2}(x)^{e_{2}}\cdot\cdot\cdot p_{m}(x)^{e_{m}}p_i(x)为首一不可约多项式●f(x)没有重因式\Leftrightarrow (f(x),f'(x))=1●f(x)/d(x)没有重因式且不可约因式与f(x)相同（不计重数）d(x)=(f(x),f'(x))●多项式函数●定理●一定存在分解f(x)=(x-b)g(x)+f(b)b\in \mathbb{K},f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x]●不可约多项式次数大于1则没有根●n次多项式最多只有n个根●不超过n次的多项式f(x)和g(x)，若有n+1个点相等，则f(x)=g(x)●复系数多项式●代数基本定理●复数域上次数大于零的多项式至少有一个复数根●推论●复数域上一元n次多项式一定有n个复根（包括重根）●复数域上不可约多项式都是一次多项式●复数域上多项式一定可分解为一次因式乘积●Vieta定理●数域上若有n个根x_i,i=1,2,\cdots,n●\sum_{i=1}^{n} x_{i}=-\frac{a_{1}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j \leq n}^{n} x_{i} x_{j}=\frac{a_{2}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j<k \leq n}^{n} x_{i} x_{j} x_{k}=-\frac{a_{3}}{a_{0}}●\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots●x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{n}}{a_{0}}●实系数多项式●定理●虚部不为0的复根成对出现●推论●实数域上的不可约多项式为一次或二次多项式●实数域上的多项式可分解为有限个一次或不可约二次因式乘积●有理系数多项式●定理●整系数多项式根为\frac{q}{p}的必要条件为q\mid a_0,p\mid a_np,q互素●整系数多项式在有理数域上可约，则可分解为两个次数较低的的整数多项式之积●Eisenstein 判别法●整系数多项式f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}● a_{n} \neq 0, n \geq 1, p 是一个素数.●若 p \mid a_{i}(i=0,1, \cdots, n-1) , 但 p \nmid a_{n} 且 p^{2}\nmid a_{0},●则 f(x) 在有理数域上不可约.●本原多项式●定义●各系数最大公约数为1●Gauss 引理●本原多项式之积仍是本原多项式●多元多项式●字典排列法元下标；元次数●定理●乘积首项为因子首项乘积●无零因子●消去律●非零多项式不恒为零●多元多项式相等等价于作为函数相等●对称多项式●定义●互换任意两个元位置多项式不变●初等对称多项式●\begin{aligned}&\sigma{}_{1}={{x}}_{1}+{{x}}_{2}+\cdots{{x}}_{n}=\sum_{i=1}^{n}{x}_{i},\\&\sigma_{2} =x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots+x_{n-1}x_{n}=\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}, \\& \cdots \: \cdots\\&\sigma_{n}=x_1x_2\cdots x_n. \\&\end{aligned}●定理●对称多项式基本定理对称多项式被以初等对称多项式为元的多元多项式唯一表示●Newton公式●引理●\begin{aligned}f\left(x\right)& =\quad(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=\quad x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_n,\end{aligned}●记 s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k(k\geq1);s_0=n●则 x^{k+1}f'(x)=(s_0x^k+s_1x^{k-1}+\cdots+s_k)f(x)+g(x)degg(x)<n●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\cdots+(-1)^{k-1}s_1\sigma_{k-1}+(-1)^kk\sigma_k=0k\le n-1●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\dots+(-1)^ns_{k-n}\sigma_n=0k\ge n●结式与判别式●公因式不为1(有公共根)的充要条件d(x)=(f(x),g(x))\neq 1\Leftrightarrow 存在f(x)u(x)=g(x)v(x)且满足deg u(x)<degg(x),deg v(x)<deg f(x)●结式/ Sylvester 行列式●定义●\begin{array}{l}f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}\\g(x)=b_{0}x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m} \end{array}●R(f, g)=\left|\begin{array}{ccccccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots &\cdots & a_{n} & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_{0} & a_{1} & \cdots & \cdots &a_{n-1} & a_{n} & \cdots & 0 \\0 & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots & a_{n-2}& a_{n-1} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots &\cdots & a_{n} \\b_{0} & b_{1} & b_{2} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m}& \cdots & 0 \\0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m-1} &b_{m} & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots& \cdots & b_{m}\end{array}\right|●R(f,g)为f(x),g(x)的结式或称 Sylvester 行列式●定理●复数域上有公根\Leftrightarrow R(f,g)=0●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow R(f,g)=0●R(f(x),g(x)(x-\lambda))=(-1)^nf(\lambda)R(f,g),R(f(x),x-\lambda)=(-1)^nf(\lambda)●R(f,g)=a_0^m b_0^n\prod\limits_{i=1}^m\prod\limits_{i=1}^n(x_i-y_j).结式的根表示，f(x)的根为x_1,x_2,\cdots,x_n,g(x)的根为y_1,y_2,\cdots,y_m●判别式●定义●判别式：\Delta(f)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}a_0^{-1}R(f,f')f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\quad●定理●\Delta(f)=a_0^{2n-2}\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)^2判别式的根表示●重根\Leftrightarrow \Delta(f)=0●特征值与特征向量●定义●映射●\varphi(x)=\lambda x●\lambda是线性变换\varphi的一个特征值●x是\varphi关于特征值\lambda的特征向量●矩阵●A\alpha=\lambda\alpha\Leftrightarrow (\lambda I_n-A)\alpha =0●\lambda是表示矩阵A的一个特征值●x的坐标\alpha是A关于特征值\lambda的特征向量●特征子空间V_\lambda为对应特征值的特征向量形成的不变子空间●特征多项式|\lambda I_n-A|●定理●相似矩阵有相同特征多项式●tr|A|=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n●|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n●任一复方阵相似于一上三角阵●f为多项式,f(A)的特征值为f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)●g为多项式,g(A)=O\Rightarrow任一特征值满足g(\lambda)=0●A^{-1}的特征值为\lambda_1^{-1},\lambda^{-1}_2,\cdots,\lambda^{-1}_n●对角化●定理●n阶A相似于对角阵\Leftrightarrow A有n个线性无关的特征向量●n维线性空间V上的线性变换\varphi●\varphi存在对角阵的表示矩阵(可对角化)\Leftrightarrow \varphi有n个线性无关的特征向量●\varphi的k个不同特征值对应的特征子空间为直和V_1+ V_2+\cdots+ V_k=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●\varphi有n个不同的特征值(特征多项式没有重根)\Rightarrow可对角化●\varphi可对角化\Leftrightarrow V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●度数与重数●一个特征值的度数小于等于重数●可对角化\Leftrightarrow 有完全的特征向量系任一特征值度数等于重数●极小多项式●定义●适合矩阵A的最小次数的非零首一多项式●定理●极小多项式可整除适合A的多项式●极小多项式唯一●相似矩阵极小多项式相同●分块对角阵的极小多项式等于各块极小多项式的最小公倍式●(x-\lambda)可整除极小多项式●极小多项式和特征多项式有相同的根(不计重数)●Cayley-Hamilton 定理●f是n阶矩阵A的特征多项式●f(A)=O●特征值估计●戈式圆盘第一定理●R_i=\sum\limits_{i\neq j}|a_{ij}|复平面上，第i行去对角元的模的和●|z-a_{ii}|\leqslant R_i表示复平面上一个圆盘，每个圆盘内有一个特征值。
贵州省考研数学复习高等代数重点梳理
贵州省考研数学复习高等代数重点梳理高等代数是考研数学里的一门重要课程，涉及到了线性代数、矩阵论、群论、域论等内容。
在备考过程中，理解和掌握高等代数的重点知识是非常关键的。
本文将对贵州省考研数学高等代数的重点内容进行梳理，帮助考生更好地复习备考。
1. 线性方程组线性方程组是高等代数的重要基础，理解线性方程组的解集结构对于后续的学习至关重要。
重点内容包括：线性方程组的概念与性质、线性方程组的解的存在性和唯一性、线性方程组的求解方法（初等变换法、矩阵法）等。
2. 矩阵与行列式矩阵与行列式是高等代数中的核心概念，也是线性代数的基础。
重点内容包括：矩阵的基本概念与运算、矩阵的初等变换与逆矩阵、矩阵的秩与 rank 定理、行列式的概念与性质、行列式的按行（列）展开与性质等。
3. 向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，对于理解线性代数的基本思想和方法非常关键。
重点内容包括：向量空间的定义与性质、子空间与直和、线性相关与生成子空间、基与维数、坐标与坐标变换等。
4. 线性变换与矩阵线性变换是高等代数的核心内容，矩阵是线性变换的一种表达方式。
重点内容包括：线性变换的定义与性质、线性变换的表示与矩阵、线性变换的核与像、线性变换的特征值与特征向量等。
5. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也是高等代数中的重点内容。
重点内容包括：特征值与特征向量的定义与性质、可对角化矩阵与相似矩阵、特征多项式与特征方程、特征值与特征向量的几何意义等。
以上是贵州省考研数学复习高等代数的重点内容梳理，希望对考生们的备考有所帮助。
在复习过程中，建议考生重点理解高等代数的基本概念和性质，掌握解题的基本方法和技巧。
同时，多做一些经典例题和习题，加深对知识的理解和应用能力。
祝各位考生取得优异的成绩！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题第1章多项式
1.1 考点归纳
一、一元多项式
1．数环与数域
（1）数环
设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a－b，a·b∈S，则称S是一个数环．
整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．
（2）数域
设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．
有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．
2．一元多项式
设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，a n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环
所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为
P[x]，P称为P[x]的系数域．
二、整除的概念
1．带余除法定义
对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中
或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．
带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f （x）的余式．
2．整除定义
如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f （x）则用“g（x）f（x）”表示．
当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别
对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．
注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．
4．整除性的常用性质
（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；
（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；
（3）如果f（x）丨g i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）g l（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋u r（x）g r（x）），其中u i（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式
1．公因式定义
如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．
2．最大公因式
（1）定义
设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．
（2）引理
如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．
（2）定理
对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使
d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）
可用辗转相除法来求最大公因式．
3．多项式互素
（1）定义
P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．
（2）性质
①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；
②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；
③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；
④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．
四、因式分解定理
1．不可约多项式
（1）定义
数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．
（2）性质
①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p （x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．
②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，f s（x）的乘积f1（x），f2（x），…，f s（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．
2．因式分解及惟一性定理
（1）惟一性定理
数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…p s（x）＝q1（x）q2（x）…q t（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有p i（x）＝c i q i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解
在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为
其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，p s（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，r s是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．
五、重因式与多项式的根
1．重因式定义
如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k ＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．
2．重因式的判别
（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f（k-1）（x）的因式，但不是f（k）（x）的因式．
（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与f＇（x）的公因式．
（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与f＇（x）互素．
3．余数定理
用一次多项式x－α去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（α）．
4．多项式的根
α是f（x）的根的充分必要条件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，称α为f（x）的k重根，当k＝1时，α是单根；当k＞1是，α称为重根．六、复系数与实系数多项式的因式分解
1．代数基本定理
每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根，等价于：每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多项式（n≥0）在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算．
2．复系数多项式因式分解定理
每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积．复系数多项式具有标准分解式
其中α1，α2，…，αs是不同的复数，l1，l2，…，l s是正整数．标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）．
3．实系数多项式因式分解定理
每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．。