2013材料力学J10

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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有 两种方法：
1、比较变形曲线
2、从挠曲线微分方程入手
B
l
A
l
C
一端固定一端自由
Fcr
2 EI
(2l ) 2
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
两端固定
一端固定一端铰支
Fcr
l 4
Fcr

长度系数（无量纲）
l 相当长度（相当于两端铰支杆）
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
各种支承压杆临界载荷的通用公式：
一端自由，一端固定
两端铰支
＝2.0
＝1.0
一端铰支，一端固定
两端固定
＝0.7
＝0.5
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
临界应力可表示为
cr 2E 2
I A

{i
约束条件
截面形状尺寸
l 杆长
件、截面形状尺寸对 cr的影响。
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集中反映了杆长、约束条
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
2、欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠度曲线的近似微分方程导出的。 这个方程限于材料处于线弹性的情况。所以，欧拉公 式也只能在杆内压应力不超过比例极限p时才适用。 于是要求：
§9.1 压杆稳定的概念
压杆的稳定性试验
临界压力Fcr — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最 小轴向压力。
临界压力Fcr — 与材料的力学性能、截面几何尺寸、杆件 长度、两端约束等有关。
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§9.1 压杆稳定的概念
理想压杆：
理想直杆，荷载沿轴线作用。
均质、线弹性材料。 静力法：
压杆是否能保持稳定或是 否失稳，取决于它对弯曲的抗 力，即弹性恢复能力。因此， 根据荷载达临界值时杆可能微 弯曲的事实，求解梁弯曲的挠 曲线近似微分方程，可方便获 得失稳模态及临界荷载。
不稳定平衡
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§9.1 压杆稳定的概念
工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要 讨论压杆稳定问题，这类问题表现出与强度问题 截然不同的性质。
F
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二、临界状态和临界载荷
§9.1 压杆稳定的概念
受压杆
满足强度要求，即max []

不产生破坏，安全 产生突然的横向弯 曲而丧失承载能力 失去稳定性
F Fcr
不稳定直线平衡
微小扰动
v
弯曲
新的弯曲平衡 除去扰动 临界状态 F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡

压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变， 称为失稳 LOGO
§9.1 压杆稳定的概念
压力小于临界力
压力大于临界力
压力等于临界力
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压力等于临界力 压杆丧失 直线状态的平 衡，过渡到曲 线状态的平衡。 称为丧失稳定， 简称失稳，也 称为屈曲。
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Fcr
Fcr
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
Fcr
w
Fcr
弯矩:M(x)= － Fcrw(x) 挠曲线近似微分方程: 令: 通解:
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则:
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
Fcr
w
Fcr
边界条件： (1) x=0，w=0
Asinkx+Bcoskx=0 ， Bcoskx=0 B=0 若A=0，w≡0，与假设矛盾 ,故： (2)x=l，w=0 Asinkl=0 ，所以sinkl=0 k=nπ/l (n=0,1,2,……)
s cr
cr s 1 ( ) 2 c
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
s/2
C
cr=2E/2
c
例如Q235钢：
s＝235MPa， E＝206GPa C＝123。
p E / p 100
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§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
2E cr 2 p

E
或者是：
p
p
以Q235钢为例，材料的E=206GPa，
p=200MPa
p E / p 100
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3、临界应力的经验公式
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
当杆件足够短时，不存在失稳问题，破坏完全由压缩强度 决定。其临界应力就是屈服应力或强度极限： cr = s (或b) 当杆件的σp ＜ σcr ＜ σs、即：细长比介于大柔度和小柔 度之间时，它存在失稳问题，但它失稳时杆内的应力已超过材 料的比例极限，属于非弹性失稳。工程上常采用以实验结果为 基础的经验公式来计算临界应力。 1)直线公式： cr = a b 在上式中令cr = s ，可以求出区分中柔度和小柔度杆的 柔度值s， 例如Q235钢的材料参数，a＝304MPa，b＝1.12MPa，所以：
kL 4.49
4.492 EI 2 EI Fcr 2 L (0.7 L)2
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作业： P311 9.1\9.3
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§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
1、临界应力
cr
Fcr 2E I A ( l )2 A
惯性半径i
：i
称为杆的柔度或长细比 l i
B B D
0.7l
l 2
l 4
C A
C A
l
两端固定 Fcr
EI
2
(0.5l ) 2
EI 一端固定 Fcr 2 一端铰支 (0.7l )
2
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
两端铰支
y
F
O

x
l
两端铰支
F
x
2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式：
π 2 EI Fcr 2 (l)
n 1
kL 2n ,
n 0, 1, 2,
F k EI
2
4 2 EI Fcr L2
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
一端固支，一端铰支的压杆
内力
F
F
x
令 k2
F EI
通解
v( x )
f
L
x
M F
x
v
EI constant
tan kL kL
最小特解
从挠曲线微分方程入手推导：
不同约束下细长压杆的临界荷载 一端固支，一端自由的压杆
内力
F

x
F

v( x )
x
令 k2 F
EI
v( x )
通解
x
v
L M
F
x
v
EI constant
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
C2
C1 0
kL
n , 2
n 1, 3,5,
例： 求下列细长压杆的临界力。
y y x z L1 L2 b z
h
b3h 解：①绕 y 轴，两端铰支： = 1 . 0， I y , 12 ②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
= 0 . 7，
Fcry
2
EI y
s
(小柔度杆) cr s
强度问题
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§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
临界应力总图
cr cr=s, b p
cr=ab
强度极限
cr=2E/ 欧拉曲线 2
s 小柔度 中柔度 p 大柔度
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例题
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
矩形截面压杆的截面宽和高分别为 b＝12mm，h＝20mm。 杆长 l=300mm。材料为 Q235 钢，弹性模量 E=206GPa。 试求此杆在（ 1 ）一端固支，一端自由；（ 2 ）两端铰支； （3）两端固支这三种情况下的临界力。
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§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
（2）两端铰支压杆
l
i 1 300mm 86.6 3.46mm
此时s< < p，属于中柔度杆。
cr = a b = 304MPa1.12MPa86.6 = 207 MPa Fcr= crA = 207106Pa1220106m2 = 49.7 kN
Imin hb3 b 12 103 mm 3.46mm A 12bh 12 12
解：
imin
（1）一端固定，一端自由的压杆
2 300mm 173.2 p i 3.46mm
l
2E 2 206 109 Pa 6 2 Fcr 2 bh 12 20 10 m 16.3kN 2 173.2
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§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
（3）两端固支的压杆
0.5 300mm 43.3 o 61.6 i 3.46mm
l
属于小柔度杆。临界应力就是屈服极限
cr =s＝235MPa，
临界力
Fcr= crA = 235106Pa1220106m2 = 56.4 kN
短粗杆
长细杆
最大工作应力小于 材料的极限应力
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
稳定平衡、临界荷载
稳定性准则
最大工作压力 F < 临界荷载
Fcr
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§9.1 压杆稳定的概念
平衡的稳定性
弹性杆件
稳定直线平衡
微小扰动 恢复直线平衡
F Fcr
弯曲 除去扰动
F Fcr
F Fcr
F Fcr
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§9.1 压杆稳定的概念
平衡的稳定性
稳定性
稳定平衡
微小干扰力 刚体小球 离开平衡位置
干扰力
R
趋向于恢复原位置 不稳定平衡
微小干扰力 刚体小球
重力作用
平衡位置 W
离开平衡位置 重力作用
W
R
趋向于远离原位置
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§9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡 微小扰动使小球离 微小扰动就使小球 开原来的平衡位置，但 远离原来的平衡位置。 扰动撤销后小球回复到 平衡位置。
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§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
l •压杆柔度 μ四种取值情况， i i
2 E •临界柔度 p P a s s b •临界应力
P — 比例极限
I A
s — 屈服极限
2E p 欧拉公式 (大柔度杆) cr 2 p s (中柔度杆) cr a b 直线公式
载荷的概念 2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则
3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的
类别选用合适的公式计算临界应力 4、掌握简单压杆的稳定计算方法 5、了解提高压杆稳定性的主要措施
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§9.1 压杆稳定的概念
一、稳定性的概念 在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能 力，要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定性。 稳定性 — 构件在外力作用下，保持其原有平 衡状态的能力。
n 1
k2
F EI
一端固支，一端自由的压杆
Fcr
2 EI
4 L2
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
两端固支的压杆
内力
令
k2 F EI
F
x
F
m
v( x )
Fra Baidu bibliotek
L
M
通解
x
F
x
v
EI constant
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§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
C1 0
cos kL 1
第九章
压杆稳定
（4课时）
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第九章
§9.1 §9.2 §9.3
§9.4 §9.5 §9.6
压杆稳定
压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下细长压杆的 临界压力
欧拉公式的适用范围 经验公式 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
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本章重点
1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界
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2)抛物线公式 结构钢或低合金结构钢等材料制成的非细长压 杆，也可用抛物线公式计算临界应力。根据试验结 果，考虑到压杆存在载荷偏心，初始缺陷等因素影 响，抛物线公式采用如下形式 : 2 a b cr 1 1
cr s 1 ( ) 2 c 2E 令： cr 2 ； C C c E 0.57 s
1、适用条件： 3、在 Fcr作用下，
x k , w( x) A sin 挠曲线为一条半波正弦曲线 l l
l x ,w A 2
即 A 为跨度中点的挠度
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§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
例题
解： 截面惯性矩
临界压力
269103 N 269kN
Fcr 269103 137( Mpa) S 2 A 25
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§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
Fcr
y
Fcr
临界压力为n=1时，k=π/l
挠曲线方程:
当n=1时，临界压力: 欧拉公式
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§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
----欧拉公式
1 2、Fcr 2 l 理想压杆（轴线为直线，压 杆长，Fcr小，易失稳 力与轴线重合，材料均匀） Fcr EI 线弹性，小变形 刚度小，Fcr小，易失 两端为铰支座 稳