概率论与数理统计 期末试卷及答案

华中师范大学2010--2011 学年第一学期

_____ 专业 ___ 级《 概率统计 》期末试卷（A ）

考试形式：（ 闭卷 ） 考试时间---------监考老师：---------

一、填空题（共20 分，每小题 2 分）

1．设,7.0)(,6.0)(==B P A P B A ,独立，则=)(A B P 0.28 .

2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5. 在袋中同时取3只，最大号码为4的概率是 0.3 .

3．设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ， 则==)4(X P 2

3

2-e . 4. 设随机变量服从⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-1.02.07.030

1P X ，则=)(X E _-0.4 ,=)(X D 1.44 . 5. 若)9,3(~N X ，则}6|{|

6.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨

⎧≤>=-0

0)(2

1

x x ke x f x , 则=k 0.5 ,

==)2(X P 0 .

7.设随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2

σ

=DX ，则由切比雪夫不等式有

≥<-)5(σμX P ____

25

24

_______ . 8. 设A n 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 为A 在每次试验中发生的概率，则对任意

的0>ε，有=⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧≥-∞

→εp n n P A n lim 0 . 9．若总体),0(~2

σN X ，621,,,X X X 是来自X 的样本，令统计量

26542321)()(X X X X X X Y +++++=，则当=c

2312

σ 时，cY 服从2χ分

布，自由度为 2 .

10. 设总体X 的均值μ已知，方差2

σ未知.n X X X ,,,

21 为来自X 的一个样本,

∑=-=n

i i X C 1

22

)(ˆμσ

为2σ的无偏估计，则C = __n 1

___ .

二、选择题（共10 分，每小题 2 分）

1、设随机变量X 在[]4,2上服从均匀分布，则{}=<<43X P （ B ）

A.{

}5.25.1<

2、设相互独立的随机变量Y X ,具有同一分布，且X 的分布律为（ A ）

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛212121P X

令{}Y X Z ,m ax =，则{}==1Z P （ ）.

A.

41 B.2

1

C.31

D.1

3、如果X 和Y 满足()()Y X D Y X D -=+，则必有（ B ）

A. X 与Y 独立

B. X 与Y 不相关

C.()0=Y D

D.()()0=⋅Y D X D

4、设1,2,2,3,4为来自均匀分布总体),0(θU 的样本值，则未知参数θ的最大似然估计为

（ C ）

A. 1.2

B. -1

C. 4

D. 2.4

5、设总体),(~2

σμX ，,μ2

σ均未知,现从中抽取容量为n 的样本，2

,S X 分别为样本均值

和样本方差，则μ的置信水平为α-1的置信区间为（ A ） A.))1(),1((2/2/-+

--

n t n

S X n t n

S X αα B.))1(),1((2/2/-+

--

n z n

S X n z n

S X αα

C.))1(),1((2/2/-+

--

n t n

X n t n

X αασ

σ

D.))1(),1((2/2/-+

--

n z n

X n z n

X αασ

σ

班级： 姓名： 学号： .

O …………O …………O …………O 装………O 订………O 线…………O …………O ………………………

三、计算及证明（共60 分，每小题 10 分）

1、设某地区应届初中毕业生有70%报考普通高中，20%报考中专，10%报考职业高中，录取率分别为90%，75%，85%，试求： （1） 随机调查学生，他如愿以偿的概率；

（2） 若某位学生按志愿被录取了，那么他报考普通高中的概率是多少？

解：A 表示该学生被录取，1B 表示该生报考普通高中，2B 表示该生报考中专，3B

表

示该生报考职业高中.

(1)

()()()865

.03

1

==∑=i i i B A P B P A P （5分）

(2)

()()()()

7283

.0111==

A P

B A P B P A B P （5分）

2、证明题：

若随机变量(

)2

,~σμN X ，则σ

μ

-=

X Z ()1,0~N .

解法一：σ

μ

-=

X Z 的分布函数为

{}{}()dt e

x X P x X P x Z P x

t ⎰+∞

---

=

+≤=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤-=≤σμσμσ

πμσσμ2

2

221

（5分）

令

u x =-σ

μ

，得

{}()x du e

x Z P x u Φ==

≤⎰∞

--

2

2

21

π

所以σ

μ

-=

X Z ()1,0~N . （5分）

解法二：令()σ

μ

-=

x x g ，则

()x g 在()+∞∞-,上严格单调递增

其反函数为()μσ+=z z h ，()σ='z h ，()+∞∞-∈,z （4分）

σ

μ

-=

X Z 的密度函数为()()()()22

121z X Z e

z h z h f z f -=

'⋅=π

所以σ

μ

-=X Z ()1,0~N . （6分）

3、已知随机变量()Y X ,的联合分布律为 X

Y

-1 0 1

-1

81

8

1 81 0 81 0

81 1

8

1 8

1 8

1 试求：（1）()X D ，()Y D ，()Y X ,cov

（2）问Y X ,是否相关，是否独立。

解：(1)X 与Y 的边缘分布律分别为

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-838283101P X

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-838283101P Y ()()0==Y E X E ()0=XY E ()()86

2

2

==Y E X

E

()()8

6

=

=Y D X D （3分） ()()()()0,cov =-=Y E X E XY E Y X （3分）

（2）()0,cov =Y X ，从而0=XY ρ 所以X 与Y 不相关.

又}1{}1{}1,1{-=-=≠-=-=Y P X P Y X P ，故二者不独立。 （4分）

4、已知 ()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨

⎧+∞

<<<=-其它

0,y x Axe y x f y

，

求：① 常数A ；② ()2<+Y X P ；③ 边缘密度函数()x f X ,()y f Y .