复数范围内实系数一元二次方程答案
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，其对应的点落在第四象限。
故选D。
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。
4.若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则A．2B．C．D．【答案】A【解析】，复数为纯虚数，则，解得：。
故选A。
【考点】复数的概念点评：在复数中，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当时，复数为纯虚数。
5.若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数是纯虚数，则可知 (2+ai)(1+i)=，那么可知2-a=0,故可知a=2，答案为D.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。
3实系数一元二次方程在复数范围内的解集同步练习
实系数一元二次方程在复数范围内的解集同步练习1．在复数集中解下列方程：（x＋1）（x＋3）＋2＝0．2．在复数集中解下列方程：4x²－5ax＋a2＝0（a∈R）．3．已知实系数一元二次方程x²＋x＋p＝0有两个虚根ɑ、β，且|ɑ−β|＝√3．（1）求ɑ、β在复平面上对应的两个向量之间的夹角．（2）求实数p的值．4．已知2＋i是实系数四次方程x4－2x3＋2x²－10x＋25＝0的一个根，求此方程的其他根．5．设2－3i是实系数二次方程x²＋ax＋b＝0的一个根，求系数a、b．6．已知关于x的方程x²－（2a＋1）x＋a＋2＝0（a∈R）有虚根，且虚根的立方是实数，求a的值，并解此方程．7．已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值．参考答案1．x＝－2±i2．．3．（1）120°【解析】: 设α＝α＋bi（a，b∈R），则β＝a−bi，|α−β|＝|2bi|＝|2b|＝，又因为α＋β＝−1，则α＝，所以，因此；又因为，利用复数相减的三角形法则可得α、β之间的夹角为120°（2）p＝14．方程的另三个根为2−i，【解析】: 原方程可化为（x²－4x＋5）（x²＋2x＋5）＝0，分别解方程x²－4x ＋5＝0和x²＋2x＋5 ＝0即可5．方程另一根为2＋3i，－a＝（2－3i）＋（2＋3i），b＝（2－3i）（2＋3i），得α＝－4，b＝136．设方程的虚根为x＝m＋ni（m，n∈R且n≠0），由虚根的立方是实数可得，又解得或α＝−1，检验△＜0，当时，方程两根为；当α＝−1时，方程两根为7．设方程的实根为x0，则x02+(k+2i)x0+2+ki=0．即(x02+kx0+2)+(2x0+k)i=0．∴∴x02=2，x0=±．∴或【解析】: 方程有实根，可先设出实根x0，再代入方程利用复数相等的定义求解．。
复数的乘法与除法第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集课时作业课件
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵z＋ z ＝4，∴a＝2， 又∵z·z ＝8，∴b2＋4＝8，∴b2＝4.
z ∴b＝±2，即 z＝2±2i，故 z ＝±i，故选 D.
6．若方程 x2＋x＋m＝0 有两个虚根 α、β，且|α－β|＝3，则实
数 m 的值为( A )
∴x－14＝0，且 y≠0，∴x＝14，y＝± 415，
即所求复数为 z＝14＋
15 4i
或
z＝14－
15 4 i.
解：(1)zz21＝41＋－6ii＝41＋－6ii11＋＋ii＝－2＋2 10i ＝－1＋5i. (2)∵z＝1＋bi(b∈R)，∴z＋z1＝2＋(b－1)i， ∵z＋z1 为实数，∴b－1＝0，∴b＝1，∴z＝1＋i， ∴|z|＝ 2.
——素养提升—— 14．复数 z1＝3＋2i(i 为虚数单位)是方程 z2－6z＋b＝0(b∈R) 的一个根，则 b 的值为 13 .
解析：(1＋2i)·z ＝4＋3i， z ＝41＋ ＋32ii＝4＋3i51－2i＝2－i，∴z＝2＋i.
10．方程(x－3)(x2＋2x＋2)＝0 的根是 3 或－1±i .
解析：由(x－3)(x2＋2x＋2)＝0 得 x－3＝0 或 x2＋2x＋2＝0. ∴x＝3 或 x＝－2±2 4 i＝－1±i.
13、15 题各 12 分，14 题 6 分，共 42 分
12．计算：
(1)11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3；
1 (2) i (
2＋
2i)5＋1＋1 i4＋(11＋－ii)7.
解
：
(1)
原
式
＝
复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）1、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=2(x x3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ⨯ ）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z12i7、适合方程2560z z -+=的复数z ；若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2()60a bi +-=222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。
复数范围内解一元二次方程
复数范围内解一元二次方程解一元二次方程是高中数学中的基本知识，我们首先回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
现在我们要求解的是一元二次方程在复数范围内的解。
在实数范围内，一元二次方程的解可以通过判别式来确定：Δ = b^2 - 4ac根据判别式的值，可以得到三种情况：1.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数解。
2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实数解。
3.如果Δ<0，则方程没有实数解。
然而，在复数范围内，一元二次方程的解是可以存在的。
我们来详细讨论一下复数范围内一元二次方程的解的情况。
首先，我们假设方程有解x = p + qi (p和q为实数，i是虚数单位，i^2 = -1)。
将x代入方程，可以得到：a(p + qi)^2 + b(p + qi) + c = 0ap^2 + 2apiq - aq^2 + bp + bqi + c = 0令实部和虚部分别相等，我们可以得到两个方程：ap^2 - aq^2 + bp + c = 0 (1)2apiq + bqi = 0 (2)根据(2)式可得。
如果aq = 0，则可以得到两种情况：1. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bx + c = 0，解为x = -c/b。
2. 如果q = 0，则代入(1)式可以得到ap^2 + bp + c = 0，这是一个一元二次方程，可以像在实数范围内解一样求解。
如果bp + c = 0，则(1)式可以化简为ap^2 - aq^2 = 0，即p^2 = q^2、这也是一个一元二次方程，可以类似地求解。
现在我们考虑aq≠0，进一步讨论两种可能的情况：1. 如果ap^2 - aq^2 + bp + c = 0，则可以将这个方程视为一个关于p的一元二次方程，可以求得p的值。
然后，将p代入到(2)式，可以解得q的值。
2. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bp + c = 0，解为p = -c/b。
高考数学复数典型例题附答案
1, 已知复数求k的值。
的值。
解：解：，∴由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评：点评：(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。
均为实数。
比较大小，更无正负之分，因此，（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。
2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。
的值，并求出此实根。
解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。
点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。
充要条件求解。
3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。
的取值范围。
解：设，。
由得①对应点在第二象限，故有对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得 ，即于是由②，④得再注意到a<0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。
此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。
4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；的实部与虚部都是整数。
（2）z的实部与虚部都是整数。
，则解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由 得①∴由注意到当x<0时，；当x>0时，，此时①式无解。
此时①式无解。
（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数均为整数∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。
的值。
（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。
特征。
解：解：（1）解法一：解法一：由于∴由解：由题意得1z的两个方程R∴=122ab2|=2∴4=4=1=41515i151zz z=02z，下同解法一这些都是解决复数问题的常用方法2的最小值|=11)i133=1时，上式取等号zz 2200220001452225x x x x x æö+++++ç÷èø455225+222z 224(4)4z a -+132(4)413a -+222AC ABz z w ()(03313333z z yi y x x - 33333x )33设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b Þ-=++Þ-+=-+当0b ¹时，方程组()3113k k kì-+=ïíï-=î无解无解 当0b =时，()231333230313或k k k k k k-+-=Þ+-=Þ=-Þ存在这样的直线，其方程为333或y x y x ==-16, 判断下列命题是否正确 (1) (1)若若C z Î, , 则则02³z (2) (2)若若,,21C z z Î且021>-z z，则21z z > (3) (3)若若b a >，则i b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（的点的轨迹是（ ））A.A.椭圆椭圆椭圆B. B. B.直线直线直线C. C. C.线段线段线段D. D. D.圆圆 18,.211<<-+=w w 是实数，且是虚数，设z z z.的实部的取值范围的值及求z z 解析解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=\1)(1w 可设 i yx y y y x x x y x yi x yix)()(222222+-+++=+-++=,0¹y 是实数，且w 1,0112222=+=+-\y x y x 即 ,1=\zx 2=w 此时22121<<-<<-x 得由w)1,21(,121-<<-\的实部的范围是即z x圆锥曲线圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．数学思想的掌握情况．例1．从集合{1,2,3,,11,11}} 中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||1111,,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（内的椭圆的个数是（ ）A 、43B 43 B、、72C 72 C、、86D 、90解：解：根据题意，根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．的正整数．但是当但是当m n =时22221x y m n +=是圆而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆有8972´=个．本题答案选B ．例2．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=______________．． 解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=， 同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++== 例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值；（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程． 解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214x b +=，解得21221xb =±-，，所以1212S b x x =- 2222111b b b b =-£+-= ．当且仅当22b =时，S 取到最大值1． （Ⅱ）由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî，得2221()2104k x kbx b +++-=，2241k b D =-+① 2121AB k x x =+- 2222411214k b k k -+=+=+．②．②AyxOB例3图设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为21b d k=+， 所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0D >，故直线AB 的方程是的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．方法和综合解题能力．二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．的基本技能和基本方法进行考查．例4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAFD 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（，则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30º．30ºB ．45º．45ºC ．60º．60ºD ．90º．90º解：解：D D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x abc-=>>=的焦点右准线方程，x ab y =渐近线，则),(2c ab c a A ，所以2212a c ab c S OAF =´´=D ，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90°，故选D ．点评：本题考查双曲线中焦距，本题考查双曲线中焦距，准线方程，准线方程，准线方程，渐近线方程，渐近线方程，渐近线方程，三角形面积，三角形面积，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．渐近线夹角等知识的综合运用．例5． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（的最大值为（ ））A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时三点共线时所求的值最大，此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．例例6．已知双曲线222x y -=的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．点．（Ⅰ）若动点M 满足1111F M F A F B FO=++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；的轨迹方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（Ⅰ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111F M F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++ìí=+î，即12124x x x y y y +=-ìí+=î，，于是AB 的中点坐标为422x y -æöç÷èø，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y yxx x x-==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB为常数．为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-¹±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k mm m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-． 当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．为常数．三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．例例7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-；由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y，即M 点的纵坐标为1516，故选B ．例8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)l >．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM AB为定值；为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f l =的表达式，并求S 的最小值．的最小值．解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0l >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →， 即得1122(,1)(,1)x y x y l --=-，îïíïì－x 1＝λx 2 ①①1－y 1＝λ(y 2－1) 1) ②② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2 ③③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－＝－44λy 2＝－＝－44，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x (x－－x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x (x－－x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为的坐标为((x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－，－1)1)1)．．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－，－2)2)2)··(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM ABM 中，中，FM FM FM⊥⊥AB AB，因而，因而S ＝12|AB||FM||AB||FM|．．|FM||FM|＝＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)4)＋＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．＋＋λ＋λ)＝|AB||FM||AB||FM|＝(λ＋λ)λ＋1λ≥2m ÷ø，m+=m +=2my -，2my -，211-+122y y +-24m - Oyx1 1- l FP B QMFO Axyyy P BOA 1d 2d2q解：（Ⅰ）在P AB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．方程为：2211x y l l -=-．（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即21115110112l l ll l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l l ì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k l l l =--=--． 因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l l l -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î． 由①②知，51223l -£<．。
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业及答案解析
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。
2021年沪教版高一数学暑假作业：实系数一元二次方程【含答案】
2021年沪教版高一数学暑假作业：实系数一元二次方程【含答案】一、单选题1．设1z ，2z 是非零复数，且满足22112230+=z z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）．A ．12z z >B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案. 【详解】因为22112230+=z z z z ，且20z ≠， 所以21122()310z z z z +=，所以21231(4z z =-， 所以1231142z i z =±-=±， 所以12312z i z =±， 所以123131||||12244z i z =±=+，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题. 2．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，代入方程得22220,20,a b a b ab ⎧⎪-++⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个.故答案选：C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.3．已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =（ ） A ．12 B ．72 C ．12或72 D ．不存在【答案】A【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，所以∆<0，可得1a <，利用根与系数的关系可得()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->，设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈，则12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩，根据123x x +=，可得2294m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，()()2244441610a a a a ∆=--+=-<，所以1a <()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x +=，即221223x x m n +=+=，即2294m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+，即()2294424a a a -+=-=，解得12m =或72m =. 又1222x x m a +==，1a <，则1m <，所以12m =所以12a = 故选：A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题4．若实系数方程20x mx m ++=有虚根，则实数m 的取值范围是________.【答案】(0,4)【分析】由已知可得∆<0，求解即可. 【详解】实系数方程20x mx m ++=有虚根，24(4)0,04m m m m m ∴∆=-=-<<<.故答案为：(0,4).【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基础题.5．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.【答案】2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.三、解答题6．已知一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2，求下列各式的值：（1）x 12+x 22；（2）|x 1-x 2|.【答案】（1）254（241 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2， 所以1232x x +=-，122x x ⋅=-，（1）x 12+x 22()212129252444x x x x =+-⋅=+=， （2）|x 1-x 2|22121212941()()484x x x x x x =-=+-⋅+=. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考查了运算能能力，属于中档题.7．已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=． 【答案】12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根．则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.8．已知复数12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两根，且复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，若122123z z i +=-，其中i 是虚数单位.（1）求复数12,z z ；（2）若复数z 满足1z =，求1z z -的最大值和最小值.【答案】（1）1243,43z i z i =+=-；（2）最大值6，最小值4；【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可；（2）根据1z z -的几何意义，结合圆的性质进行求解即可.【详解】（1）因为122123z z i +=-，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数12,z z 互为共轭复数，因为复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，所以设1(0,0)z a bi a b =+>>，则2z a bi =-，所以31242()12333a a a bi a bi i b b ==⎧⎧++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩， 所以1243,43z i z i =+=-；（2）因为复数z 满足1z =，设(,)z x yi x y R =+∈，所以221x y +=，所以复数z 在复平面上对应的点在单位圆221x y +=上，1z z -表示点(4,3)到圆221x y +=上一点的距离， 显然1z z -22(40)(30)16-+-=， 22(40)(30)14-+-=. 所以1z z -的最大值6，最小值4.9．方程20x px p ++=3p 的值． 【答案】27p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ，2x ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -，由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=，利用根与系数的关系式代入，可得到关于p 的方程，解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ，2x ， 则()22121212333x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=，由韦达定理可得 243-=p p ．当243-=⇒=p p p 27当2431-=-⇒=p p p 或3p =.【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.10．方程220x x m ++=的两个虚根为1z ，2z ，且12212<+-z z i ，求实数m 的范围． 【答案】251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩，再根据模长公式化简不等式可得403b <<，由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．因为方程220x x m ++=有虚根，m R ∈，所以2240m ∆=-<，解得1m ，根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩，∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩，即211a m b =-⎧⎨=+⎩， 因为12212<+-z z i ，所以22124|||12|z z i <+-，所以224|1||(2)|bi b i -+<-+，所以2244(2)b b +<+，所以2340b b -<，所以403b <<， 所以21609b <<， ∴225119m b <=+<． ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.11．已知方程240x x m ++=的两根为α，β且满足||6-=αβ，求实数m 的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没有，请说明理由.||6-=αβ，得2||36-=αβ.∴2()436+-=αβαβ.由方程的根与系数的关系，得2(4)436--=m .解方程，得5m =-.【答案】有错误，理由见解析，5m =-或13m =.【分析】利用举反例的方法，说明错误原因.按照0∆≥和∆<0进行分类讨论，由此求得m 的所有可能取值.【详解】上面解法有错误，原因是当x C ∈时，2z 不一定等于2||z .如z i ，则221,1z z =-=. 正确解法：（1）当1640m ∆=-≥，即4m ≤时，有,R αβ∈，此时解答同上面解法； （2）当∆<0，即4m >4416m i -±-=24--m i . 依题意|||24|6-=-=m i αβ.解方程，得13m =.综上所述，5m =-或13m =.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.12．方程2236(1)10x m x m --++=的两个虚根的模之和为2，求实数m 的值. 2【分析】设1x ，2x 是方程的两个根，计算∆<0得到353522-+<<m ，计算11x =，代入数据计算得到答案.【详解】设1x ，2x 是方程的两个根，因为方程有两个虚根，∴∆<0，即()2236(1)4310--⨯+<m m ，化简得2310-+<m m ， 解不等式得353522+<<m ， ∵122x x +=，且12x x =，∴11x =111=x x ，2113+=m . ∴22m =，∴2m =±，检验取2m .【点睛】本题考查了方程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.13．设1x ，2x 是方程22230()++-=∈x ax a a a R 的两根，求12x x +（用含a 的解析式表示）.【答案】()21223(18)28(01)2(80)a a a a a x x a a a a ⎧≥≤-⎪++=≤<--<<⎩或 【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若0∆≥，再对两实根的符号讨论，结合根与系数关系，即可得出结论；若∆<0，方程两根为共轭虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）当方程有实根时，2298()(8)0a a a a a ∆=--=+≥，得0a ≥或8a ≤-，若2120x x a a =-≥，得1a ≥或0a ≤.∴当1a ≥或8a ≤-时，12,x x 同号，121232a x x x x ++==； 当01a ≤<时，12,x x 异号， ()221212121284a a x x x x x x x x -++==+-= . （2）当方程有虚根时，(8)a a ∆=+<0，得80a -<<. ∴1211112222+===x x x x x x x ()22=-a a .综上：()21223(18)28(01)2(80)a a a a a x x a a a a ⎧≥≤-⎪++=≤<--<<⎩或 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.14．若1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，12(3)+⋅=a i z ω||2ω≤. 求：（1）实数a 的取值范围；（2）|(4)|-+a ai 的最大值.【答案】（1）11a -≤≤；（226【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等，利用模的性质可得a 的范围； （2）求出|(4)|-+a ai ，结合二次函数性质可得结论．【详解】（1）1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，∴12=z z ，1122|(3)|(3)||+⋅+⋅==a i z a i z z z ω2||2a =≤，所以||1a ≤； （2）222|(4)|(4)2(2)8-+=-+=-+a ai a a a 11a -≤≤上单调递减，所以当1a =-时取到最大26【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便．1212z z z z =，1122z z z z =．。
学案1：7.2.2 复数的乘、除运算
7.2.2复数的乘、除运算【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？2．复数乘法的运算律有哪些？3．如何在复数范围内求方程的解？【新知初探】1．复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝．(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有■名师点拨对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)(a，b，c，d∈R)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． ■名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．【自我检测】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．( )(2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( )(1＋i)(2－i)＝( )A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i(2019·高考全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( )A ．－1－iB ．－1＋IC ．1－iD ．1＋i复数z ＝4－i1＋i 的虚部为________．【探究互动】探究点一 复数的乘法运算【例1】(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3iC.3＋i D ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝() A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z .【规律方法】复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，(a ＋b i)3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋(3a 2b －b 3)i.【跟踪训练】1．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________．2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .探究点二 复数的除法运算【例2】计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i； (2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i.【规律方法】复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．【跟踪训练】1.1＋2i 1－2i＝( ) A ．－45－35i B ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i2．计算：(1)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ；(2)（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i .探究点三 i 的运算性质【例3】(1)复数z ＝1－i1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为()A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i1－i 2 019等于________．【规律方法】(1)i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i1＋i ＝－i ，1＋i1－i ＝i.③1i ＝－i.【跟踪训练】已知z ＝－1－i2，求z 100＋z 50＋1的值．探究点四 在复数范围内解方程【例4】在复数范围内解下列方程．(1)x 2＋5＝0；(2)x 2＋4x ＋6＝0.【规律方法】在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a. ②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i 2a. (2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．【跟踪训练】1．在复数范围内解方程2x 2＋3x ＋4＝0.2．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．【达标反馈】1．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( )A ．－2B ．－12C.12 D ．22．已知i 为虚数单位，则复数i 2－i的模等于( ) A. 5 B.3 C.33 D.553．计算：(1)2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．【参考答案】【新知初探】1．(1)(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ．(2) z 2z 1 z 1(z 2z 3) z 1z 2＋z 1z 3【自我检测】答案：(1)× (2)√ (3)√答案：D解析：选D.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i(1－i)＝1＋i. 解析：z ＝4－i 1＋i ＝（4－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－5i 2＝32－52i. 答案：－52【探究互动】探究点一 复数的乘法运算【例1】【解析】 (1)选B.(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i) ＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.【跟踪训练】1．解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.答案：－5－15i2．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. 探究点二 复数的除法运算【例2】【解】 (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 【跟踪训练】1. 解析：选D.1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝1－4＋4i 1－（2i ）2＝－3＋4i 5＝－35＋45i ，故选D. 2．解：(1)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ＝i （2－3i ）2－3i ＋－i （2＋3i ）2＋3i＝i －i ＝0. (2)（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i i －2＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i. 探究点三 i 的运算性质【例3】【解析】 (1)z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 019＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝1504·(－i)＝－i. 【答案】 (1)B (2)－i【跟踪训练】解：因为(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i ，所以z 100＋z 50＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1 ＝⎝⎛⎭⎫－12100(1－i)100＋⎝⎛⎭⎫－1250(1－i)50＋1 ＝1250(－2i)50＋1225(－2i)25＋1＝i 50－i 25＋1＝i 2－i ＋1＝－i. 探究点四 在复数范围内解方程【例4】【解】 (1)因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5， 又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x ＝±5i ， 所以方程x 2＋5＝0的根为±5i.(2)法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以(x ＋2)2＝－2， 因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ， 即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， 则(a ＋b i)2＋4(a ＋b i)＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0， 又因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0， 解得a ＝－2，b ＝± 2.所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.【跟踪训练】1．解：因为b 2－4ac ＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，所以方程2x 2＋3x ＋4＝0的根为x ＝－3±－（－23）i 2×2＝－3±23i 4. 2．解：因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根，所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0，即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0， 整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－12，q ＝26. 【达标反馈】1．解析：选D.因为(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i 是纯虚数，所以b ＝2.2．解析：选D.因为i 2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i （2＋i ）5＝－15＋25i ， 所以|i 2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D. 3．解：(1)2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018 ＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 009＝i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1 009 ＝－1＋i ＋(－i)1 009＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.。
复数范围内解一元二次方程
复数范围内解一元二次方程实系数一元二次方程ax+bx+c=0在实数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x +x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。
设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数解：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数解：x=。
当Δ＜0时，方程无实数解。
方程的根与系数的关系：x+x=-，xx=。
实系数一元二次方程ax+bx+c=0在复数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。
设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x=。
当Δ＜0时，方程有两个共轭虚数根：x=。
注意：实系数一元二次方程在复数范围内求解时，①由于求根公式仍可使用，故方程的根与系数的关系也仍成立；②若Δ＜0，则意味着方程有一对共轭的虚数根。
二下面对两道例题进行解算。
例1：已知实系数一元二次方程2x+rx+s=0的一个根为-3+2i，求r，s的值。
解：由题设得方程另一根为-3-2i，由韦达定理得s=2（-3+2i）（-3-2i）=2 6，r=-2（-3+2i-3-2i）=12。
例2：若关于x的方程x+5x+m=0的两个虚数根x，x满足|x-x|=3 ，求实数m的值。
解：方法一：方程x+5x+m=0有两个虚根，则有Δ=25-4m＜0，m＞。
又|x-x|=|-|==3，4m-25=9，m=。
方法二：|x-x|=3，|x-x|=9，即|（x-x）|=9，|（x+x）-4xx|=9。
又x+x=-5，xx=m，|25-4m|=9。
又25-4m＜0，4m-25=9，m=。
三上面我们解决了实系数一元二次方程求解问题，那么对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程又应该如何求解呢？例1：求方程x-2ix-5=0的解。
解：配方，得（x-i）-4=0，即（x-i）=4，x=2+i，x=-2+i。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
上海宝山世外学校高中国内部2023-2024学年高一年级第二学期数学学科期中考试试卷答案
上海宝山世外学校高中国内部2023/2024学年第二学期期中考试 高一数学 试卷(考试时间: 120分钟 满分: 150分)班级 学号 姓名一. 填空题(本大题共有12题, 满分54分, 第1~6题每题4分, 第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知角α的终边经过点P(-3,4), 则cosα= .【答案】−35.2、复数 11−i的共轭复数的模是 .【答案】223、在复数范围内，方程.x²-2x+2=0的解为 .【答案】 1+3或 1−i.4.在△ABC 中, AB =c ,AC =b , 若点D 满足 BD =2DC ,则 AD =¯.【答案】23b +1c 5.已知 sin (π2+2α)=−13,则cos(π+2α)= 【答案】−136 关于x 的实系数一元二次方程. x²+kx +3=0有两个虚根x ₁和x ₂，若 |x 1−x 2|=22,则实数k= .【答案】 k =2或 k =−2.7.已知向量ā在向量b 方向上的投影向量为-2b ，且 |b |=3,则 a ⋅b =¯..(结果用数值表示)【答案】 −18.8 已知点A 的坐标为( (43,1),，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π/3至OB ，则点B 的坐标为【答案】1329.正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分【答案】 2710.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点, 现测得AB=5km, AD=7km, ∠ABD=60°,∠CBD=23°,∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为 km(精确到0.1km).【答案】5.811.在△ABC中, a=2, b=3, 若该三角形为钝角三角形, 则边C的取值范围是 .【答案】(1,5)∪(13,5).12 将函数f(x)=4cos(π2x)和直线g(x)=x-1的所有交点从左到右依次记为.A₁,A₂,……,Aₙ,若P的坐标为(0,5),则|PA1+PA2+⋯+PAn|的值为 .【答案】30二、选择题(本大题共有4题, 满分18分, 第13、14题每题4分, 第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列说法正确的是 ( )A. 四边形一定是平面图形B.不在同一条直线上的三点确定一个平面C.梯形不一定是平面图形D.平面α和平面β一定有交线【答案】B14. 设z₁、z₂为复数, 则.z21+z22=0是z₁=z₂=0的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C15.设函数f(x)=asinx+bcosx,其中a>0,b>0,若f(x)≤f(π4)对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是 ( )Af(π2)>f(π6)в f(x)的图像关于直线x=3π4对称C. f(x)在[π4,5π4]上单调递增D.过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像必有公共点【答案】D16 给定方程: (12)x+sin x−1=0,给出下列4个结论：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若x₀是方程的实数根，则x₀>−1.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知复数z是纯虚数，(z+2)²−8i是实数.(1) 求z; (2) 若1z1=1z+2−z,求|z1|.【答案】z=2i，2824118. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知平面内给定三个向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1).(1) 若a=mb−nc,求实数m，n的值；(2) 若(a−kc)⋅(kb)<6,求实数k的取值范围.【答案】m=59,n=−89, (−2,32)19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.(1) 若c=2,C=π3,且△ABC的面积.S=3,求a, b的值;(2) 若sinC+sin(B--A)=sin2A, 判断△ABC的形状.【答案】a=b=2,△ABC 为等腰或直角三角形20. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知函数 f (x )=3sin ωx cos ωx +sin 2ωx−12(其中常数ω>0)的最小正周期为π.(1) 求函数y=f(x)的表达式;(2)作出函数y=f(x),x∈[0,π]的大致图像,并指出其单调递减区间;(3) 将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度得到函数y=g(x)的图像,若实数x ₁,x ₂满足. f (x₁)g (x₂)=−1,且 |x₁−x₂||的最小值是 π6,求φ的值.【答案】 y =f (x )=sin (2x−π6)， [π3 , 5π6]，φ=π3或 2π3【解析】(1)∵函数f (x )=3sin ωx cos ωx +sin 2ωx−12=32sin 2ωx +1−2cos 2ωx2−12=sin (2ωx−π6)(其中常数 ω>0)的最小正周期为 2π2ω=π,∴ω=1.函数 y =f (x )=sin (2x−π6).(2)作出函数 y =f (x ),x ∈[0,π]的大致图像:作图：2x-π6-π6π2π3π211π6xπ12π37π125π6πf(x)-12010—1-12作图：结合图像，可得其单调递减区间为[π3,5π6].(3)将y=f(x)=sin(2x−π6)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数y=g(x)=sin(2x+2−π6)的图像，若实数x₁, x₂满足f(x₁)g(x₂)=−1,则f(x₁)与g(x₂)一个等于1，另一个等于.−1,且|x₁−x₂|的最小值为|T2−φ|=π6,即|122π2−φ|=π6求得φ=π3或2π3.21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)在平面直角坐标系中，我们把函数y=f(x)，x∈D上满足.x∈N°,y∈N*(其中N⁺表示正整数)的点P(x,y)称为函数y=f(x)的“正格点”.(1)写出当m=π2时, 函数f(x)=sin mx, x∈R图像上所有正格点的坐标;(2)若函数f(x)=sinmx, x∈R,m∈(1,2)与函数g(x)=lgx的图像有正格点交点, 求m的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由.(3) 对于 (2) 中的m值和函数f(x)=sinmx, 若当x∈[0,59]时，不等式log a x>22f(x)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(4k+1,1)(k∈N),4,(2581,1)【解析】(1) 因为 m =π2,一所以 f (x )=sin π2x,所以函数 f (x )=sin π2x 的正格点为(1,1),(5,1), (9,1), ……, (4k+1,1)(k∈N).(2)作出两个函数图像，如图所示：可知函数. f (x )=sinmx,x ∈R,与函数 g (x )=lg x 的图像只有一个“正格点”交点(10,1),所以 2kπ+π2=10m,m =4k +120π, k ∈Z,又 m ∈(1,2),可得 m =9π20,根据图像可知，两个函数图像的所有交点个数为4;(3)由 (2) 知 f (x )=sin 9π20x,x ∈(0,59]所以 9π20x ∈(0,π4],所以f (x )=sin 9π20x ∈(0,22],故22f (x )∈(0,12],当 a >1时，不等式 log a x >22f (x )不能恒成立，当 0<a <1时， 由下图可知log a 59>22sin π4=12,由loga 59>12=logaa,.综上，实数a的取值范围是2581<a<1。
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(讲义)解析版
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。
人教A版(2019)高一数学必修第二册 讲义 7
7.2负数的四则运算一、复数的加、减法运算1．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则：(1)z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有：(1)z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．二、复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→ ，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1——→与复数z 1－z 2对应．复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发三、复数模的综合问题两个复数差的模的几何意义(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．四、复数乘法的运算法则和运算律1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3律(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤①首先按多项式的乘法展开；②再将i2换成－1；③然后再进行复数的加、减运算．①(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R )；②(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )；③(1±i)2＝±2i.五、复数除法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i≠0)是任意两个复数， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a ＋b i 型，则分子、分母同乘a －b i ；若分母为a －b i 型，则分子、分母同乘a ＋b i ，即分子、分母同乘分母的共轭复数．复数的除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．六、在复数范围内解方程在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a； ②当Δ<0时，x ＝－b ±－b 2－4ac i 2a. (2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此根代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．考点一 复数的加减运算及集合意义【例1】(2020·东台市创新学校高二月考)复数()(353)4i i ++-=( ) A ．6i -B ．6i +C ．1i -+D ．16i -+【练1】(2020·全国高一课时练习)已知i 为虚数单位，设12z x i =+，23(,)z yi x y R =-∈，且1256z z i +=-，则12z z -=______.考点二 复数的乘除运算【例2】(2020·北京海淀区·人大附中高三期中)设i 为虚数单位，则11i i-+的虚部为______．【练2】(2020·江西省奉新县第一中学)已知21z i i =++，则复数z =_________.考点三 复数范围内解方程【例3】(2020·辽宁高一期末)若虚数12i -是关于x 的方程20x ax b +=-(a ，R b ∈)的一个根，则a bi +=( )A ．29B ．29C ．21D ．3【练3】(2021·上海市大同中学高二期末)已知方程2(21)30x i x m i --+-=有实根，则实数m =__________；课后练习1.（2021·南京模拟）设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3+4i,则z1z2＝（）A. 25B. -25C. 7−24iD. −7−24i2.（2021·武昌模拟）复数4i的虚部为（）1+√3iA. 1B. －1C. －iD. i3.（2021·厦门模拟）已知复数z满足(−1+3i)z=10，则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限(a∈R)是纯虚数，4.（2021·德阳模拟）设i是虚数单位.若复数z=a−21−i则a的值为（）A. -3B. 1C. -1D. 35.（2021高一下·延庆期末）1+i在复平面上所对应的点的坐标为 .1−i6.（2021高一下·聊城期末）写出一个虚数z，使z2的实部为0，则z=．7.（2021·嘉定模拟）若复数z=(1+i)⋅i（其中i为虚数单位），则共轭复数z̅= .8.（2021高二下·桂林期末）已知i为虚数单位，则(2−3i)(i+1)=．9.（2021高一下·金华期末）(√3−√2i)(√3+√2i)=．10.（2021高二下·顺德期末）已知复数z=(m2−m−6)+(m−1)i，（m∈R），（Ⅰ）若z在复平面内对应的点在虚轴的上半轴（不含原点），求复数z；（Ⅱ）若z2∈R，求实数m的值．11.（2021高一下·常州期末）（1）计算： (2-2i)4(1+√3i)3 （i 为虚数单位）；（2）已知 z 是一个复数，求解关于 z 的方程， z ⋅z̅−3i ⋅z̅=1+3i （i 为虚数单位）.12. （2021高一下·张家港期中）（1）已知复数 −1+3i 是关于x 的方程 x 2+px +q =0 (p,q ∈R) 的一个根，求 p +q 的值；（2）已知复数 z 1=5−10i ， z 2=3+4i ， 1z =1z 1+1z 2 ，求 |z| ．13. （2021高一下·深圳期末）己知z ，z 1 ， z 2均为复数，在复平面内，z 1对应的点的坐标为(3，4)，z 2对应的向量坐标为(0，1)，且zz 1=-1+7i(其中i 为虚数单位)。
人教A版数学必修第二册第七章【《复数》常考题型综合训练(三)】
《复数》常考题型综合训练（三）【知识框架】【考点讲解】考点一：复数的概念考点二：复数的四则运算考点三：复数的乘除法运算考点四：复数的三角表示考点一：复数的概念【知识点梳理】1.把形如a+b i(a,b∈R)的数叫做复数，记，其中i叫做虚数单位，为实部，为虚部.2.复数的分类复数3.复数的模复数的模或绝对值，记作或.如果，那么是一个实数，它的模等于(就是的绝对值).由模的定义可知，==.4.复数的相等已知，若，则5.共轭复数的共轭复数为【典例例题】例1.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________．例2.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2例3.（2022年潮州市高一期末）设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D. -例4.（2023年广州市第一中学期中）（多选）实数满足，设，则下列说法正确的是（）A. z在复平面内对应的点在第一象限B.C. z的虚部是D. z的实部是1【变式训练】1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（）A．B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点位于第四象限2.（2022年广东省东莞市期末试题）已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−63.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．4．（2022年广东省深圳市高一期末试题）已知复数，m∈R．(1)若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．(2)若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．5.（2023年江苏省苏州市期中试题）已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.考点二：复数的四则运算【知识点梳理】1.复数的加、减运算法则已知，则2.复数的加、减运算运算律对任意,,∈C，有①交换律：+=+；②结合律：(+)+=+(+).【典例例题】例1.（2022秋·贵州毕节·高一期中）已知z1=1+i，z2=2−2i，则z1+2z2=（）A．4B．5+3i C．4−3i D．5−3i 【变式训练】1.（2022秋·云南·高一期中）已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2z=（）A．−1−6i B．−1+6i C．1−6i D．1+6i2.（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2(z+z)+3(z−z)=2+3i，则z=（）A．12+12i B．12−12i C．2+2i D．2−2i3.（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i4.（2022春·高一期中）如图，设向量⃗O P，⃗P Q，⃗OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0考点三：复数乘除法运算【知识点梳理】1.复数乘法的运算法则已知，则2.复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有①交换律：=；②结合律：()=()；③分配律：(+)=+.复数运算仍然满足整式运算的平方差和完全平方公式3.复数的除法运算法则已知，则【典例例题】例1.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2例2.（2022年广州市二中高一期末） 已知是虚数单位，复数，则z是（）A. B. C. D.【变式训练】1. （2022年梅州市高一期末） 已知，则（）A. B. C. D.2.（2022年揭阳市高一期末） 复数的虚部为（）A. B. C. D.3.（2023年广东省佛山市期中试题）已知复数z的共轭复数为，若，则（）A. z的实部是1B. z的虚部是C.D.4.（2022年梅州市高一期末） 已知复数，i是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求m的值和；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．5.（2022年潮州市高一期末）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.（1）求实数a的值；（2）若，求复数的模.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）设是虚数，是实数且.（1）求的值以及实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数.【巩固练习】熟练掌握复数的四则运算考点四：复数的三角表示【知识点梳理】1.复数求根复数范围内系数一元二次方程的求根公式为:（1）当时，；（2）当时，2.复数的三角表示式如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+b i都可以表示成r(+i)的形式.【典例例题】例1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若是关于的方程的一个根，则___ ________.例2.（2023年江苏省苏州市期中试题） 欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（）A. B. C. D.【变式训练】1.（2023年江苏省苏州市期中试题）（多选）若关于的方程的一个根是，则下列说法中正确的是（）A. B.C. 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D. 在复平面内对应的两点间的距离为2.（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(cos x+i sin x)n=cos nx+i sin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ6+i sinπ6)2023在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）A. B.C. －iD. ＋i【巩固练习】1.（多选）已知复数：满足，则（）A．B．z的虚部为C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根2.（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若是虚数，则都是虚数.A．①④B．②C．②③D．①②③3.在复平面内，复数z=2i−2i（）A．位于第一象限 B．对应的点为(2,−2)C．|z|=2D．是纯虚数4.（2023年江苏省苏州市期中试题）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.5.（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.6.（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（）A．2B．C．D．7.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知是复数，和都是实数，（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.答案解析【典例例题】例1.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________．【答案】【解析】【详解】因为，，，所以，所以，则，故答案为：例2.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【详解】，，故选：B例3.（2022年潮州市高一期末）设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D. -【答案】B【解析】【详解】因为，所以，所以虚部是.故选：B例4.（2023年广州市第一中学期中）（多选）实数满足，设，则下列说法正确的是（）A. z在复平面内对应的点在第一象限B.C. z的虚部是D. z的实部是1【答案】ABD【解析】【详解】实数满足，可化为，所以，解得，所以，对于A，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.【变式训练】1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（）A．B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【解析】【详解】设，则，，则，即得，即，，A 正确；的虚部为，B错误；，C错误；在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确.故选：AD.2.（2022年广东省东莞市期末试题）已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−6【答案】BD【解析】解：∵z=2−3i，∴|z|=√22+(−3)2=√13，z在复平面内对应的点(2,−3)位于第四象限，z−=2+3i，故AC错误，B正确，z(m+4i)=(2−3i)(m+4i)=2m+12+(8−3m)i为纯虚数，则{2m+12=08−3m≠0，解得m=−6，故D正确．故选：BD．3.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）5（2）【解析】【小问1详解】因为复数z 是纯虚数，所以，解得.【小问2详解】因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得.4．（2022年广东省深圳市高一期末试题）已知复数，m∈R．(1)若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．(2)若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．【答案】(1)m＝1或(2)m＝4，【解析】(1)依题意得，，解得：m＝1或(2)∵与共线，则解得：m＝4或当m＝4时，代入可以得到，满足在第一象限，成立当时，代入可得到，不满足在第一象限，舍去∵与共线且反向，则方向的单位向量为5.（2023年江苏省苏州市期中试题）已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，则，解得；【小问2详解】若，则，由②得③，将①③相加得，故，因为，则当时，，当时，，所以的取值范围为.考点二：复数的四则运算【知识点梳理】1.复数的加、减运算法则已知，则2.复数的加、减运算运算律对任意,,∈C，有①交换律：+=+；②结合律：(+)+=+(+).【典例例题】例1.（2022秋·贵州毕节·高一期中）已知z1=1+i，z2=2−2i，则z1+2z2=（）A．4B．5+3i C．4−3i D．5−3i【解答过程】由z1=1+i，z2=2−2i得，z 1+2z2=1+i+2×(2−2i)=5−3i，故选：D.【变式训练】1.（2022秋·云南·高一期中）已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2z=（）A．−1−6i B．−1+6i C．1−6i D．1+6i【解答过程】由题意知z=1−2i，z=1+2i，则z−2z=1−2i−2(1+2i)=−1−6i.故选：A.2.（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2(z+z)+3(z−z)=2+3i，则z=（）A．12+12i B．12−12i C．2+2i D．2−2i【解答过程】设z=a+b i(a,b∈R)，则z=a−b i，所以z+z=(a+b i)+(a−b i)=2a，z−z=(a+b i)−(a−b i)=2b i，所以2(z+z)+3(z−z)=4a+6b i=2+3i，所以a=12,b=12,z=12+12i.故选：A.3.（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i【解答过程】∵⃑O C＝⃑O A+⃑OB，∴⃑O C对应的复数为：1+2i−2+i=−1+3i，∴点C对应的复数为−1+3i．故选D．4.（2022春·高一期中）如图，设向量⃗O P，⃗P Q，⃗OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0【解答过程】由题图可知，⃗O P−⃗P Q+⃗O Q=⃗0，Q P=⃗0，∴⃗P Q+⃗∴z1＋z2－z3＝0.故选：D.考点三：复数乘除法运算【知识点梳理】1.复数乘法的运算法则已知，则2.复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有①交换律：=；②结合律：()=()；③分配律：(+)=+.复数运算仍然满足整式运算的平方差和完全平方公式3.复数的除法运算法则已知，则【典例例题】例1.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【详解】，，故选：B例2.（2022年广州市二中高一期末） 已知是虚数单位，复数，则z是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：故选：A【变式训练】1. （2022年梅州市高一期末） 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，故选：B.2.（2022年揭阳市高一期末） 复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由已知得，则复数的虚部为，故选：D.3.（2023年广东省佛山市期中试题）已知复数z的共轭复数为，若，则（）A. z的实部是1B. z的虚部是C.D.【答案】AC【解析】【详解】解：因为，所以，所以，，的实部为，虚部为；故选：AC4.（2022年梅州市高一期末） 已知复数，i是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求m的值和；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．【答案】（1），； （2）.【解析】【小问1详解】依题意得，，若是纯虚数，则，解得，，.【小问2详解】由（1）知，，，，复数在复平面上对应的点位于第二象限，，解得，即.5.（2022年潮州市高一期末）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.（1）求实数a的值；（2）若，求复数的模.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由已知得：，且是纯虚数，∵，∴.【小问2详解】由（1）得：，∴∴.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）设是虚数，是实数且.（1）求的值以及实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【小问1详解】设(，且)，则，∵是实数，，∴，即，则，又∵，∴，即，∴的实部的取值范围为；【小问2详解】，因为，，所以为纯虚数.考点四：复数的三角表示【知识点梳理】1.复数求根复数范围内系数一元二次方程的求根公式为:（2）当时，；（2）当时，2.复数的三角表示式如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+b i都可以表示成r(+i)的形式.【典例例题】例1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若是关于的方程的一个根，则___ ________.【答案】【解析】【详解】解：因为是关于的方程的一个根，所以时方程的另一个根，则，所以.故答案为：.例2.（2023年江苏省苏州市期中试题） 欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】，，，，，即，，.故选：A.【变式训练】1.（2023年江苏省苏州市期中试题）（多选）若关于的方程的一个根是，则下列说法中正确的是（）A. B.C. 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D. 在复平面内对应的两点间的距离为【答案】AD【解析】【详解】由条件可知，，整理为，则，，故A正确，B错误；，其共轭复数，对应的点的坐标为，在第三象限，故C错误；，对应的点为，，对应的点为，两点间的距离，故D正确.故选：AD2.（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(cos x+i sin x)n=cos nx+i sin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ6+i sinπ6)2023在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）A. B.C. －iD. ＋i【答案】D【解析】【详解】故选:D.【巩固练习】1.（多选）已知复数：满足，则（）A．B．z的虚部为C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根【答案】AD【解析】因为，所以，对A：，故选项A正确；对B：z的虚部为，故选项B错误；对C：z的共轭复数为，故选项C错误；对D：因为方程的根为，所以z是方程的一个根，故选项D正确.故选：AD.2.（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若是虚数，则都是虚数.A．①④B．②C．②③D．①②③【答案】C【解析】为复数，①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，②若，设，则，由，得，所以，正确，③若，则，正确，④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，故②③正确，故选：C.3.在复平面内，复数z=2i−2i（）A．位于第一象限 B．对应的点为(2,−2)C．|z|=2D．是纯虚数【解题思路】根据复数的除法运算化简z=4i，根据复数的相关概念一一判断各选项，即得答案.【解答过程】由题意可得z=2i−2i=2i−2ii2=2i+2i=4i，故复数z=2i−2i对应的点为(0,4)，位于y轴正半轴上，故A,B错误；|z|=√02+42=4，C错误；z=4i为纯虚数，D正确，故选：D4.（2023年江苏省苏州市期中试题）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【答案】②③【解析】【详解】对于①，因为为纯虚数，所以，解得，故①错误；对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；对于③，因为，，所以在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，而表示点Z到点的距离，所以其最小值为，故④错误．故答案为：②③．5.（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.【答案】2【解析】因为是关于x的方程的根，所以也是方程的根，所以，得，故答案为：26.（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.7.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知是复数，和都是实数，（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）设，则，因为和都是实数，则，解得，，所以.（2）设，则方程为，即，若方程有实数根，则，解得，，所以纯虚数.。
在复数范围内解实系数一元二次方程+教案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
在复数范围内解实系数一元二次方程【教学目标】1、理解实系数一元二次方程在复数集中的解的情况；2、使学生掌握在复数集中求解实系数一元二次方程的方法；3、掌握当△<0时，实系数一元二次方程的根与系数的关系；4、培养学生的计算能力和类比推理的思想，提高学生逻辑推理的核心素养。
【教学重难点】重点：在复数集内求解实系数一元二次方程难点：共轭虚根的应用【教学内容】一、复习巩固复数的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i复数的除法：a+bic+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i[练习](1)(1+i)(3−i)(2)3i−11+i二、例题与练习[例1]在复数范围内解下列方程：(1)x2+2=0 (2)2x2+3=0 (3)x2+3x+4=0小结：<解法一><解法二>【设计意图：培养学生的计算能力和逻辑思维，提高学生的逻辑思维】Q：观察实系数一元二次方程的两个根，你能发现什么吗？（根是成对出现的，有两种情况：两根均为实数或两根均为虚数，当两根均为虚数时，恰好是互为共轭虚数，即虚根成对定理）Q：在实数范围内实系数一元二次方程的两个根满足韦达定理，那么在复数范围内实系数一元二次方程的两个根是否也会满足韦达定理？（根据求根公式，当实系数一元二次方程的两根为虚数时，x1=−b+√−b2+4aci2a ，x2=−b−√4ac−b2i2a，当x1+x2=−b+√4ac−b2i2a +−b−√4ac−b2i2a=−ba，x1x2=−b+√4ac−b2i2a×−b−√4ac−b2i2a=ca，这说明复数范围内的实系数一元二次方程的两个根也满足韦达定理）【设计意图：通过类比推理，培养学生的逻辑推理能力】[例2]若1+3i是方程x2+bx+c=0(b，c∈R)的一个根，则方程的另一个根是_____.小结：利用实系数一元二次方程的两个根互为共轭虚数求解【设计意图：在理论成立的基础上进行计算，着重培养学生的计算能力】[例3]已知1−√2i是关于x的方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根，求实数a,b 的值.小结：利用实系数一元二次方程的虚根成对定理和韦达定理进行求解【设计意图：通过对上述理论知识，将理论知识与具体题目进行结合，培养学生的计算能力】作业：课本习题7.2 -6 7【板书设计】主题求解方法：1例题演示思路过程2。
新教材高中数学第十章一元二次方程在复数范围内的解集教师用书教案新人教B版必修第四册
新教材高中数学教师用书：第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集[课程目标] 1.掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程．知识点一 复数的除法[填一填](1)复数的除法如果复数z 2≠0，则满足zz 2＝z 1的复数z 称为z 1除以z 2的商，并记作z ＝z 1z 2(或z ＝z 1÷z 2)，z 1称为被除数，z 2称为除数．(2)复数的倒数给定复数z ≠0，称1z 为z 的倒数，z 1除以z 2的商z 1z 2也可以看成z 1与z 2的倒数之积．(3)运算法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(1c ＋d i )＝(a ＋b i)·c －d ic 2＋d2＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i.[答一答]怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算． (2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商a ＋b ic ＋d i看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果． 知识点二 实系数一元二次方程[填一填]当a ，b ，c 都是实数且a ≠0时，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b 2－4ac <0时，方程有两个互为共轭的虚数根．复数的模的运算性质．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2， (1)|z |＝|z －|；(2)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(3)|z 1z 2|＝|z 1||z 2|(z 2≠0)；(4)|z n|＝|z |n； (5)|z |＝1⇔z ·z －＝1；(6)|z |2＝|z －|2＝|z 2|＝|z －2|＝z ·z －.类型一 复数的除法运算[例1] 计算下列各式： (1)1－4i 1＋i ＋2＋4i3＋4i ；(2)i －2i －11＋ii －1＋i.[分析] 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．[解] (1)1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i＝1＋4＋－4＋1i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝7＋i3－4i 3＋4i 3－4i ＝21＋4＋3－28i 25＝25－25i25＝1－i. (2)i －2i －11＋ii －1＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i－2＋i＝1－3i －2－i －2＋i －2－i ＝－2－3＋6－1i5＝－5＋5i5＝－1＋i.复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减.如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.[变式训练1] 计算：(1)2－i 3－4i 1＋i2＋(1－i)2；(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6.解：(1)2－i3－4i 1＋i2＋(1－i)2＝2－i 3－4i ·2i －2i ＝2－i 8＋6i －2i ＝2－i8－6i8＋6i8－6i－2i＝10－20i 100－2i ＝110－115i.(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6＝1＋23ii 1＋23i ＋(5＋i 2·i)－[(1＋i 2)2]3＝i ＋5－i －i 3＝5＋i.类型二 实系数一元二次方程的解集[例2] 求下列一元二次方程的解： (1)3x 2＋5x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋3＝0； (3)4x 2－5x ＋2＝0.[分析] 求一元二次方程的根，最实用的方法是用求根公式法，如果Δ>0，则在实数系中有解，若Δ<0，则在复数系中有解.[解] (1)Δ＝52－4×3×1＝13， 故x ＝－5±132×3＝－5±136.(2)Δ＝(－3)2－4×2×3＝－15，故x ＝3±15i 2×2＝3±15i 4.(3)Δ＝(－5)2－4×4×2＝－7， 故x ＝5±7i 2×4＝5±7i8.在解一元二次方程的解时，要注意Δ的符号.[变式训练2] 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＋4＝0(a ∈R )的两根为α、β，且|α|＋|β|＝3，求实数a 的值．解：由已知有Δ＝(－2a )2－4(a 2－4a ＋4)＝16a －16. ①当Δ≥0即a ≥1时，由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2a >0，αβ＝a －22≥0可知两根都是非负实根，∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝2a ⇒a ＝32；②当Δ<0即a <1时，此时方程两根为共轭虚根， 设α＝m ＋n i ，则β＝m －n i.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ＝2a ，αβ＝m 2＋n 2＝a －22.∴|α|＋|β|＝2m 2＋n 2＝2|a －2|＝3⇒a ＝12；综上，a ＝32或12.类型三 复数运算的综合应用[例3] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．[分析] (1)ω是实数可得到哪些结论？(ω的虚部为0或ω＝ω)(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为0且虚部不为0，或u ＝－u )[解] (1)∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋(y －yx 2＋y 2)i. ∵ω是实数，且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x . ∵－1<ω<2，∴－1<2x <2，从而有－12<x <1.即z 的实部的取值范围是(－12，1)．(2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i1＋x ＋y i＝1－x －y i1＋x －y i 1＋x2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋x 2＋y2＝－y1＋xi.∵x ∈(－12，1)，y ≠0，∴y1＋x ≠0.∴u 为纯虚数．(3)ω－u 2＝2x －(－y1＋x i)2＝2x ＋(y1＋x )2＝2x ＋1－x21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12<x <1，∴1＋x >0.于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x－3≥22x ＋1·21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0时等号成立．∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i.该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.[变式训练3] 设z 2＝8＋6i ，求z 3－16z －100z.解：z 3－16z －100z ＝z 4－16z 2－100z＝z 2－82－164z＝6i2－164z ＝－200z ＝－200zz ·z＝－200z |z |2.∵|z |2＝|z 2|＝|8＋6i|＝10，又由z 2＝8＋6i ，得z ＝±(3＋i)，∴z ＝±(3－i)， ∴原式＝－200z|z |2＝－60＋20i 或60－20i.1．已知a 为正实数，i 为虚数单位，若a ＋ii的模为2，则a ＝( B ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：因为a ＋ii＝1－a i ，所以1＋a 2＝2，又a >0，故a ＝3，故选B.2．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( A )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：本题考查复数的乘法与除法． 10i3＋i＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝10＋30i10＝1＋3i.∴复数10i3＋i对应的点的坐标为(1,3)．3．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( D ) A ．－2－2i B ．－2＋2i C ．2－2iD ．2＋2i解析：由题意可得，z －i ＝52－i ＝52＋i2－i 2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2＋2i. 4．若x ，y ∈R ，且x1－i －y 1－2i ＝51－3i，则x ＝－1，y ＝－5. 解析：∵x 1－i －y 1－2i ＝51－3i，∴x 1－2i －y 1－i1－i1－2i＝51＋3i 1－3i 1＋3i ，∴x －y ＋y －2x i －1－3i＝1＋3i2，∴(x －y )＋(y －2x )i ＝－1＋3i22＝4－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5.。
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复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）
1
、若实系数一元二次方程的一个根是133
+，则这个方程可以是 228039
x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=
112()()44
x x +-
- 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ⨯ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．
由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z
12
i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
若z R ∈，则2
5602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±
若z为虚数，设(,,0)
z a bi a b R b
=+∈≠
，则2
()60
a bi
+-=
22
222
60
260
20
a b
a b abi
ab
⎧⎪--=
-+-=⇒⎨
=
⎪⎩
22
2
2
60
605601 0
a b
b b b b
a
⎧⎪--=
⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨
=
⎪⎩
所以，方程的解为2,2,3,3,,i i
---。
8、解方程210
x ix i
-+-=
（1）x R
∈（2）x C
∈
解：（1）1
x=（2）11
x orx i
==-
9、已知复数Z满足84
Z Z i
+=-，且Z是关于x的实系数一元二次方
程2250
x mx
++=的一个根，求m的值。
34
Z i
=+6
m=-
10、如果虚数z满足38
z=，那么3222
z z z
+++的值是_____．分析：若设i(0)
z a b b
=+≠，代入求值，过程复杂，不易求解，但
运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．
解：∵32
8(2)(24)0
z z z z
=∴-++=
，．
∵z是虚数，∴z≠2．
∴2240
z z
++=，即2222
z z
++=-．
故3222826
z z z
+++=-=．
说明：该题也可通过设z=x+yi(x、y∈R)求解，但过程繁复.
可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，
11、已知关于x的方程2(4)30()
x i x pi p
++++=∈R有实根，则p的值是．p=1或3
12、已知关于x的方程2(4)30()
x i x pi p
++++=∈R有纯虚根，则p的值是
．2±
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围； (,1)(1,3)(3,)-∞+∞U U
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+=
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 2± ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是
1742
or ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，
则k 的值是 ．1-
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
【解】
如果α∈R ，则0∆≥,∴(,8][0,)a ∈-∞-+∞U ，又∵∈R ，∴α=1或-1 当α=1时，代入得：a 2+2a+2=0不可能.
当α= -1时，代入得：a 2-4a+2=0∴2a =如果α是虚数，则0∆<，∴(8,0)a ∈-，并且|α|=1， 则α也是此方程的根，于是：αα=2
2a a - 但是αα=|α|2=1，∴22a a -=1，解得：a=2（舍去）或者a=-1
所以，所求的2a =，或者-1
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。
解法一：设m a bi(a,b R )=+∈，设方程的实根为t ，代入方程得：
222
3034034040
t at t (a bi )t i t at (bt )i bt ⎧++=++++=⇒++++=⇒⎨+=⎩ 22222125061644
a (t )t t m a
b t m t b t ⎧=-+⎪⎪≠∴⇒=+=++≥∴≥⎨⎪=-⎪⎩Q
当且仅当t =时，取等号。
即4min m =
解法二：设方程的实根为t ，代入方程得：
2343400t tm i t ,m t i t t
+++=≠∴=---Q 2222223425616164m (t )()t ,m m t t t
⇒=--+=++≥∴≥∴≥
当且仅当t =时，取等号。
即4min m =
点评：本例将m 转化为关于t 的函数，利用函数的性质从而求出m 的模 的最小值。
复数范围内实系数一元二次方程（19题）
1、若实系数一元二次方程的一个根是
133
+，则这个方程可以是 ．
2、复数集内分解221x x ++=
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+
4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ ）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
6、适合方程20z z i --=的复数z ；
7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。
10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____．
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ．
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围；
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+= ；
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，则k 的值是 ．
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。