复数范围内实系数一元二次方程答案

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）

1

、若实系数一元二次方程的一个根是133

+，则这个方程可以是 228039

x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=

112()()44

x x +-

- 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）

(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a

+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；

(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ）

(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ⨯ ）

(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）

5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．

解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．

由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4

x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z

12

i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ；

若z R ∈，则2

5602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±

若z为虚数，设(,,0)

z a bi a b R b

=+∈≠

，则2

()60

a bi

+-=

22

222

60

260

20

a b

a b abi

ab

⎧⎪--=

-+-=⇒⎨

=

⎪⎩

22

2

2

60

605601 0

a b

b b b b

a

⎧⎪--=

⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨

=

⎪⎩

所以，方程的解为2,2,3,3,,i i

---。

8、解方程210

x ix i

-+-=

（1）x R

∈（2）x C

∈

解：（1）1

x=（2）11

x orx i

==-

9、已知复数Z满足84

Z Z i

+=-，且Z是关于x的实系数一元二次方

程2250

x mx

++=的一个根，求m的值。34

Z i

=+6

m=-

10、如果虚数z满足38

z=，那么3222

z z z

+++的值是_____．分析：若设i(0)

z a b b

=+≠，代入求值，过程复杂，不易求解，但

运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．

解：∵32

8(2)(24)0

z z z z

=∴-++=

，．

∵z是虚数，∴z≠2．

∴2240

z z

++=，即2222

z z

++=-．

故3222826

z z z

+++=-=．

说明：该题也可通过设z=x+yi(x、y∈R)求解，但过程繁复.

可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，

11、已知关于x的方程2(4)30()

x i x pi p

++++=∈R有实根，则p的值是．p=1或3

12、已知关于x的方程2(4)30()

x i x pi p

++++=∈R有纯虚根，则p的值是

．2±

13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围； (,1)(1,3)(3,)-∞+∞U U

14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+=

15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且

||αβ-=k 的值是 2± ．

16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实

数a 的值是

1742

or ．

17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，

则k 的值是 ．1-

18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，

求实数a 的值.

【解】

如果α∈R ，则0∆≥,∴(,8][0,)a ∈-∞-+∞U ，又∵∈R ，∴α=1或-1 当α=1时，代入得：a 2+2a+2=0不可能.

当α= -1时，代入得：a 2-4a+2=0∴2a =如果α是虚数，则0∆<，∴(8,0)a ∈-，并且|α|=1， 则α也是此方程的根，于是：αα=2

2a a - 但是αα=|α|2=1，∴22a a -=1，解得：a=2（舍去）或者a=-1

所以，所求的2a =，或者-1

19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。

解法一：设m a bi(a,b R )=+∈，设方程的实根为t ，代入方程得：