第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法

或简写形式：

1 ij ij kk ij E E
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——本构方程之广义Hooke定理（各向同性弹性体）
x 2 x , xy xy y 2 y , yz yz z 2 z , zx zx
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹性力学问题的基本解法——位移法的定解方程
位移法即采用三个位移分量u,v,w作为基本未知函数，为 此，必须将基本方程改用位移分量来表示。具体地说，就是 要从平衡微分方程、Cauchy方程和本构方程中消去应力分量 和应变分量，以得到仅包含基本未知函数位移分量的方程。
或简写形式：

ij kk ij 2 ij ij 2 ij
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——本构方程之Prandtl-Reuss流动法则
1 1 dS x d S x , dexy d xy d xy 2G 2G 1 1 dey dS y d S y , deyz d yz d yz 2G 2G 1 1 dez dS z d S z , dezx d zx d zx 2G 2G 1 d d m K dex
ij l j X i
位移边界条件：
u u,v v, w w
或简写形式：
ui ui
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹塑性力学问题的微分提法——三类偏微分边值问题
工程实践中，一个实际的弹塑性力学问题是如何提出的呢？ 这里给出一个具体的表述： 设在固体内给定体力Xi ，在应力边界上给定面力Xi ，在 位移边界上给定位移ui，要求确定固体内各点的应力、应变和 位移。按照上一节的讨论，这些未知量满足一组偏微分方程 和边界条件。因此，从数学的观点来看，一个实际的弹塑性
第四章 弹塑性力学问题的微分
提法与基本解法
福州大学结构工程研究所
卓卫东 博士
第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
引
言
基本方程 弹塑性力学问题的微分提法
弹性力学问题的基本解法

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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹性力学问题的基本解法——基本思想
基于上述考虑，我们在求解一个弹性力学问题时，就可 以采取两种不同的策略： ◆ 一种是以位移作为基本未知函数求解，在求出位移后， 再求得其它的未知函数，这种解法称为位移法。 ◆ 另一种是以应力作为基本未知函数求解，在求出应力
后，再求得其它的未知函数，这种解法称为应力法。
在前面三章里，我们已经建立了一个弹塑性力 学问题所满足的全部基本方程，它们包括：
平衡（运动）微分方程 几何方程和应变协调方程 本构方程
线弹性本构方程
平衡关系 几何关系 物理关系 （本构关系）
增量形式 全量形式
塑性本构方程
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
引 言（Introduction）——本章学习要点
弹塑性力学问题的微分提法 弹塑性力学问题的两种基本解法：
◇ 位移解法 ◇ 应力解法
弹塑性力学问题的几个基本原理：
◇ 解的唯一性原理
◇ 圣维南原理 ◇ 线弹性问题的叠加原理
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——平衡（运动）微分方程（Navier方程）
边界条件取为如下的形式：
xl1 xy l2 xz l3 X yxl1 y l2 yz l3 Y zxl1 zy l2 z l3 Z
以及
给定面力边界
u u,v v, w w
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给定位移边界
给定作用在固体内的体力Xi以及表面处的位移ui ，求固 体在平衡状态下的应力场和位移场。此时，边界条件全部取 为如下的形式：
u u vv ww
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹塑性力学问题的微分提法——第三类边值问题
给定作用在固体内的体力Xi，同时在固体部分边界上给定 面力，在其余边界上给定位移，求固体在平衡状态下的应力 场和位移场 ，求固体在平衡状态下的应力场和位移场。此时，
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——边界条件
静力边界条件：
或简写形式：
xl1 xy l2 xz l3 X yxl1 y l2 yz l3 Y zxl1 zy l2 z l3 Z
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——本构方程之广义Hooke定理（各向同性弹性体）
1 1 x x ( y z ) , xy xy E G 1 1 y y ( x z ) , yz yz E G 1 1 z ( x y ) , zx zx z E G
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——小 结
当固体内的部分或全部质点处于塑性阶段时，问题就相对复 杂多了。 对固体内的弹性区，它需要满足的基本方程及求解方法都与 上述一样。 对塑性区，由于材料的变形规律与加载历史有关，所以， 本构方程一般都应采用增量的形式，这样就增加了一个未知的比 例系数，不过与此同时也增加了一个屈服条件，因此，问题仍然 是可以求解的；在整个固体都是处于比例加载的情况下，本构方 程则可以采用全量的形式，此时，它需要满足的基本方程和求解 方法就与弹性区的情形相类似，但由于本构方程是非线性的，所 以在求解时会遇到数学上的困难。
引 言（Introduction）
弹塑性力学理论的主要任务是研究可变形固体 在外部因素（例如外力、温度变化等）作用下的应 力和变形分布规律。求解弹塑性力学问题的目的， 也在于求出固体内各点的应力和位移，即固体内的 应力场和位移场。
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
引 言（Introduction）
xl1 xy l2 xz l3 X yxl1 y l2 yz l3 Y zxl1 zy l2 z l3 Z
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹塑性力学问题的微分提法——第二类边值问题
分量，则可通过本构方程求得应变分量，不过这时求得的应 变分量必须满足一组补充方程，即应变协调方程，以保证固
体在变形后的连续性，然后再通过对Cauchy方程的积分求位
移分量。可见，在求解一个弹性力学问题时，并不需要同时 求出所有的未知函数。
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
或简写形式：
1 1 2 d ij dSij d Sij d kk ij 2G 3E
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——本构方程之Levy-Mises流动法则
d x d S x , d xy d xy d y d S y , d yz d yz d z d S z , d zx d zx
或简写形式：
2ui ij , j X i 0( 2 ) t
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——几何方程之Cauchy方程
u v u , xy x x y v w v y , yz y y z w u w z , zx z z x
或简写形式：
d ij d Sij
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——本构方程之依留申本构方程
i 3 1 [ x ( y z )], xy i xy i 2 i 3 1 y i [ y ( z x )], yz i yz i 2 i i 3 i 1 z [ z ( x y )], zx zx i 2 i i ( i ) x
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
弹性力学问题的基本解法——基本思想
从几何方程和本构方程中可以发现，6个应力分量、6个 应变分量和3个位移分量之间不是彼此无关的。比如说，只要 知道了位移分量，通过Cauchy方程，就可得到应变分量，再
通过本构方程，就可确定应力分量；反之，如果知道了应力
x
或简写形式：
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
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第四章 弹塑性力学问题的微分提法与基本解法
基本方程——几何方程之Saint Venant方程
2 2 2 x y xy 2 2 y x xy
2 y 2 z 2 yz 2 2 z y yz 2 z 2 x 2 zx 2 2 x z zx yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y x y z xz 2 z yz xz xy ( )2 z x y z xy