概率论与数理统计导论第1章-1

概率论与数理统计导论

目录

第1章概率论的基本概念

1.1 样本空间与随机事件

1.2 频率与概率

1.3 等可能概型

1.4 条件概率

1.5 事件的独立性

第2章随机变量及其分布

2.1 随机变量与离散型随机变量

2.2 分布函数与连续型随机变量

2.3 二元离散型随机变量

2.4 二元连续型随机变量

2.5 随机变量的独立性

2.6 随机变量函数的分布

第3章随机变量的数字特征

3.1 数学期望

3.2 方差

3.3 协方差与相关系数

第4章统计量与抽样分布

4.1 样本与统计量

4.2 三个分布

4.3 正态总体下的抽样分布

第5章参数估计

5.1 点估计

5.2 估计量的评价准则

5.3 区间估计

5.4 正态总体参数的区间估计

第6章假设检验

6.1 假设检验的基本思想

6.2 正态总体参数的假设检验

第一章概率论的基本概念

概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科，它起源于对赌博问题的研究，而前苏联数学家柯尔莫哥洛夫建立了公理化理论体系后，才使其成为一门严格的演绎科学。

统计学是关于数据资料收集、加工、分析与解释的科学。在当今社会，建立在概率论基础上的现代统计方法，已广泛应用于自然科学，社会科学，工程技术，军事科学和生活实际等各领域。下面通过例子让我们对其应用作一个简单了解。

1.在日常生活中，有很多人会买彩票，各种彩票的中奖概率不尽相同。

2.遗传基因组学中应用统计方法进行肿瘤分型的基因筛选；生物遗传学分析子女身

高与父母身高的关系等。

3.医学研究中比较不同人群的患病率、发病率、死亡率等；新药的疗效试验分析。

4.气象学方面在气候诊断研究和短期气候预测中广泛使用统计方法。

5.科学实验和工程实践中常用的误差理论和数据处理需要用到很多概率统计知识。

6.可靠性问题涉及大工业生产及研制和使用复杂军事装备等领域，可靠性理论是以

概率统计为基础的。

7.概率统计更是经济领域的奠基石，如保险行业的生命保费与年金是以统计记录为

基础的死亡表来确定的；金融分析师要利用一系列统计数据来进行投资分析；公

司在新产品上市前，会利用对消费者的抽样调查，了解市场前景，进行产品市场

分析等等。

随着科学的发展，概率统计知识已几乎渗透到了一切科学领域，它与其他学科结合产生了各种统计学，例如医学统计学，卫生统计学，生物统计学，社会统计学，计量经济学，保险统计学，经济统计学，金融统计学，国民经济统计学，人口统计学……

1.1样本空间与随机事件

概率论是研究自然界和社会生活中形形色色随机现象的一门学科。为了研究随机现象，可以通过对随机现象进行观察、试验、记录等，通常称为进行随机试验。

随机试验（简称试验）具有以下3个特征：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的结果不止一个，试验前知道全部可能的结果；（3）试验前无法预知试验结果究竟是哪个。

例如：抛硬币，掷骰子，射击试验……

样本空间随机试验中所有可能结果组成的集合称为样本空间，用记号S表示。样本空间中的元素称为样本点，即S={e}。常见的样本空间中的元素可能有有限个，无穷可列个，或在某个区间内等。

例1.1.1写出下列随机试验的样本空间：

（1）抛一枚硬币，观察出现正反面的情况，S={正面，反面}；

（2）在一个装有2个红球3个白球的袋中，随机逐个取球，每取出一个就不再放回（称为不放回抽样），共取3次，观察取到的红球数，S={0，1，2}；

（3）在某个气象观察点观察pm2.5值，S={0,1,2,3,…}。

（4）记录某种型号节能灯的寿命，S={x：x>0}；

随机事件样本空间的子集称为随机事件，简称事件，通常用字母A,B,C,…表示。在试验时，若试验结果在事件A中，称事件A发生。样本空间有两个特殊的子集，一个是样本空间S本身，每次试验的结果一定都在S中，因此称S为必然事件；另一个是空集，记为

Φ，任何一次试验结果都不会在Φ中，因此称Φ为不可能事件。 例1.1.2 观察公交车站的等车人数，(1)写出样本空间S,(2)事件A 表示等车人数超过5人，（3）事件B 表示等车人数不超过4人；写出事件A,B 。

解：S={0,1,2,3,…},A={6,7,8,9,…},B={0,1,2,3,4} 样本空间S 是一个集合，随机事件是样本空间的子集，因此可以用集合的运算和关系来描述事件的运算和关系。

随机事件的关系与运算

(1)和事件 事件A 与事件B 至少有一个发生，称A 与B 的和事件发生，记为A ∪B ，即

{:,}⋃=∈∈或A B e e A e B ；事件1,,n A A 至少有一个发生，用1n A A ⋃⋃ 表示。

图1.1 A B ⋃（左）和AB （右）的维恩图

(2)积事件 事件A 与事件B 同时发生，称A 与B 的积事件发生，记为AB ，A •B 或A ∩B ，即{:,}=∈∈且AB e e A e B ；事件1,,n A A 同时发生，用1n A A 表示。

(3)逆事件 试验时，若试验结果在事件A 中，则事件A 发生，若试验结果不在事件A 中，称A 不发生，或称A 的逆事件发生，记为A ，即{:}

A ee A =∉。显然,A A S AA ⋃==Φ。

通常，若事件A,B 满足,A B S AB ⋃==Φ，则称A 与B 互为逆事件。

（4）差事件 事件A 发生且事件B 不发生，记为A-B 发生，即{:,}A B ee A e B -=∈∉且，

也可以表示为AB 。

图1.2 A （左）和A B -（右）的维恩图

（5）包含关系 若事件A 发生时，事件B 必定发生，称事件A 包含在事件B 中，记为A B ⊂；若A B ⊂，且B A ⊂，则A B =，即A 与B 中的样本点完全相同。

（6）不相容关系 若事件A 与B 满足AB =Φ，称A 与B 互不相容或互斥。若事件