中考数学解答重难专题专题一 第23题圆的综合题

专题一第23题圆的综合题

(2010～2019.23)

【专题解读】圆的综合题近10年每年必考，分值均为8分．涉及三角形：①相似三角形(6次)；②锐

角三角函数(2次)；③全等三角形(1次，2012年19题考查相似三角形，故23题考查全等三角形)．设问形式：①证明角相等或线段相等；②线段平行；③线段垂直；④切线的判定；⑤计算线段长、线段比例关系；

⑥求正切值等．

1.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，BC是⊙O的切线，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED.

(1)求证：∠B＋∠FED＝90°；

(2)若FC＝6，DE＝3，FD＝2.求⊙O的直径．

第1题图

2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F.

(1)求证：AC＝CF；

(2)若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．

第2题图

3.如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.

(1)求证：PO平分∠APC；

(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.

第3题图

4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AD交⊙O于点E，AC平分∠BAD，

(2)若sinP＝，BH＝3，求BD的长．

连接BE.

(1)求证：AD⊥CD;

(2)若CD＝4，AE＝2，求⊙O的半径．

第4题图

5.(2019西工大附中模拟)如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，交CP于点H，连接AC、CD.

(1)求证：∠PBH＝2∠HDC；

3

4

第5题图

6.(2019陕西定心卷)如图，在△Rt ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC、BC上，DE∥△AB，DCE 的外接圆⊙O与AB相切于点F.

(1)求证：CD·C B＝CA·C E；

(2)若BE＝5，⊙O的半径为4，求CD的长．

第6题图

7.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O交于点D，点E在⊙O上，且DE＝DA，AE 与BC相交于点F.

求证：(1)∠CAD＝∠B；

(2)FD＝CD.

(2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．(2)若3AE＝4DE，求的值．第7题图

8.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD、BD、ED.

(1)求证：BD＝ED；

(2)若CE＝3，CD＝4，求AB的长．

第8题图

9.如图，在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC外接圆的切线，过点A作AE⊥CE于点E.

(1)求证：∠ACE＝∠B；

(2)若AE＝2，AB＝8，求CE的长．

第9题图

10.如图，在△Rt ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC，AB相交于点D、E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.

(1)求证：AD是⊙O的切线；

1

2

第10题图

11.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点，连接ED、EG.

(1)求证：GE是⊙O的切线；

EG

OD

(2)若EB＝10，CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．

第11题图

12.(2019西工大附中模拟)如图，已知四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O 的切线与DA的延长线交于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC.

(1)求证：DB平分∠ADC；

1

2

第12题图

∴

DE DF32

＝，

即＝，

参考答案

1.(1)证明：∵∠A＋∠DEC＝180°，∠FED＋∠DEC＝180°，∴∠FED＝∠A，

∵BC是⊙O的切线，AC为⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，

∴∠B＋∠A＝90°，

∴∠B＋∠FED＝90°；

(2)解：∵∠CFA＝∠DFE，

∠FED＝∠A，

∴△FED∽△FAC，

AC CF AC6

解得AC＝9，即⊙O的直径为9.

2.(1)证明：如解图，连接BE,

∵CA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠CAB＝90°，∠AEB＝90°，

∴∠CAF＋∠BAE＝90°，∠FBE＋∠EFB＝90°，

∵E是弧BD的中点，

︵︵

∴DE＝BE，

∴∠BAE＝∠FBE，

∴∠CAF＝∠EFB＝∠AFC，

∴AC＝CF；

第2题解图(2)解：如解图，连接AD，

在△Rt ABC中，AB＝4，AC＝3,

∴BC＝AB2＋AC2＝5.

∵CF＝AC＝3，

∴BF＝BC－CF＝2.

∵AB是⊙O的直径，

∵cos∠ABC＝＝＝，

∴BD＝，

∴AD＝AB2－BD2＝，

DF＝BD－BF＝.

∴tan∠BAE＝tan∠DAE＝＝.

∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°，

∴∠ADB＝90°，

BD AB4

AB BC5

16

5

12

5

6

5

DF1

AD2

3.证明：(1)如解图，连接OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，OA、OB为⊙O的半径，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

又∵OA＝OB，

∴PO平分∠APC；

第3题解图(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠CAP＝∠OBP＝90°，

∵∠C＝30°，

∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°，

∵PO平分∠APC，

11

22

∴∠POB＝90°－∠OPB＝90°－30°＝60°，

又∵OD＝OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠OBD＝60°，

∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，

∴∠DBP＝∠C，

∴DB∥AC.

4.(1)证明：如解图，连接OC，交BE于点F，

∴DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，