深度解析-数学归纳法

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( × )

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋

3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )

(6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )

1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a

n ＋1＝1－a n ＋

21－a (a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

答案 C

解析 当n ＝1时，n ＋1＝2，

∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.

2．(2016·黄山模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4

＋ (12)

)时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立

B ．n ＝k ＋2时等式成立

C ．n ＝2k ＋2时等式成立

D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立

答案 B

解析 因为n 为正偶数，n ＝k 时等式成立，

即n 为第k 个偶数时命题成立，

所以需假设n 为下一个偶数，即n ＝k ＋2时等式成立．

3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12

n (n －3)条时，第一步检验n 等于( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．0 答案 C

解析 凸n 边形边数最小时是三角形，

故第一步检验n ＝3.

4．用数学归纳法证明

1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22

，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )

A ．k 2＋1

B ．(k ＋1)2

C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22

D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2

答案 D

解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.

故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.

5．(教材改编)已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2，则a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________.

答案 3 4 5 n ＋1

题型一 用数学归纳法证明等式

例1 设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)

(n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．

证明 ①当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，

右边＝2(1＋12

－1)＝1， 左边＝右边，等式成立．

②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，

那么，当n ＝k ＋1时，

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )

＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k

＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1k ＋1

]－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，

∴当n ＝k ＋1时结论成立．

由①②可知当n ∈N *时，f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．

思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．

(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．

用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n 2

(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)

(n ∈N *)． 证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13

， 右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13

， 左边＝右边，等式成立．

②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立．

即121×3＋223×5＋…＋k 2

(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)

，