静电场习题与解答

静电场

1、在正方形的两个相对的角上各放置一点电荷Q ，在其它两个相对的角上各置一点电荷q ，如果作用在Q 上的力为零，求Q 与q 的关系。

分析：若使Q 所受合力为零，如图所示，两种电荷符号必然相反，大小关系有Qq QQ F F 2=。设正方形边长为a 。

解：2

22222a Qq

k F a Q k F Qq

QQ === 得 q Q 22-=

2、在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷q 108.1⨯=C Q 9

108.4-⨯-=，已知BC = 4cm ，AC = 3cm ，试求直角顶

点C 处的场强。

分析：如图，C 点场强为两电荷激发电场的合场强。

解：r q E AC q 8.110

91085.814.34108.1414

129

20=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---πε m V r Q E AC Q /107.210

161085.814.34108.441

4

4

12920⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---πε m V E E E q Q /1024.3422⨯=+=

5.18

.17

.2tan ==

=

q

Q E E θ 则 ︒=34θ 3、一均匀带电细棒，长为L ，带电量Q 。求在棒的延长线上与棒的近端相距为R 的A 点的场强。

分析：如图建立坐标系，取棒上一小段dx ，电量为dq ，与A 点距离为L-x+R ，在A 点激发的场强为dE 。则A 点的总场强只需对dE 积

分即可。

解：由分析得

)(41)(41)(41

00

2020L R R Q x R L dx L Q x R L dq dE E L

+=-+=-+==⎰⎰⎰

πεπεπε 4、一半圆形带电线，半径为R ，电荷线密度为η，求圆心

O 处的电场强度。

分析：如图建立坐标系，取线上一小段d l ，电量为dq ， 有dq = ηd l = ηRd θ。在O 点激发的场强为dE 。由于电线轴 对称，dE y

= 0则dE = dE x ，则O 点的总场强只需对dE 积分即 可。

解：由分析得

R

R Rd R

dq

dE dE dE E x 02

2

202

02cos 41cos 41

cos πεη

θθηπεθπεθπ

π

=

=====⎰⎰⎰⎰⎰-

5、在一个半径为R 的球体内，分布着电荷体密度ρ= k r ，式中r 为径向距离，k 是常数，求空间的场强分布，并画出E ——r 的关系曲线。

分析：用高斯定理对球内和球外分别求解。由于电荷分布是球对称的，电场分布必然也是球对称的，则各点电场方向与同心球面方向垂直。球内半径为r 的球体总电荷可如下计算，取半径为x ，厚度为dx 的球壳，设其电荷为dq ，则40

24kr dx x kx dq Q r

ππ===⎰

⎰。

解：当r

402

14επεπkr Q

r E d ===⋅⎰⎰S E 得 0

2

14εkr E =

当r>R 时，也取同心球面为高斯面，则

402

24επεπkR Q

r E d ===⋅⎰⎰S E 得 0

2

4

24εr kR E = E —— r 的关系曲线如右图。

6、一无限长半径为R 的圆柱体上电荷均匀分布，圆柱体单位长度上的电荷为λ，用高斯定理求（1）圆柱体内距轴线距离为r 处的电场强度；（2）圆柱体外距轴线距离为r 处的电场强度。

分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿矢径方向。取同轴圆柱面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，0=⋅S E d 。整个高斯面的电场强度通量为

⎰⎰=⋅rl E d π2S E

由于电荷均匀分布，电荷的体密度2

R

πλρ=

。用高斯定理可解得圆柱体内外的电场强度。

解：（1）取r

l r R

V rl E d 2

2

00

11

2ππλ

ερεπ=

=

=⋅⎰⎰S E 2

02R r

E πελ=

（2）取r>R 的同轴圆柱面为高斯面，则

l rl E d λεπ0

1

2=

=⋅⎰⎰S E

r

E 02πελ

=

7、一个内外半径分别为1R 和2R 的均匀带电球壳，总电量为1Q ，球壳外同心罩一个半径为

3R 的均带电球面，球面电荷为2Q ，求其电场的分布？

分析：以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上的电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而

⎰⎰

⋅=⋅2

4r E d πS E 。在确定高斯面内的电荷∑q 后，利用高斯定理

⎰⎰∑=⋅0

/ε

q d S E 即可求出电场强度的分布。

解：取半径r 为的同心球面为高斯面，由上述分析 02

/4ε

π∑=

⋅q r E

1R r <，该高斯面内无电荷，0=∑q ，故

01=E

21R r R <<，高斯面内电荷31

3

2313

1)

(R

R R r Q q --=

∑，故

2

31

3203

13

12)(4)

(r

R R R r Q E --=

πε 32R r R <<，高斯面内电荷为1Q ，故

2

0134r

Q E πε=

3R r >高斯面内电荷为21Q Q +，故

2

02

144r Q Q E πε+=

8、点电荷1q 、2q 、3q 、4q 的电量各为C 9

104-⨯，放置在一正方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心的距离均为5cm ，求：（1）、计算O 点的场强和电势；（2）、将一试探电荷

0q =C 910-从无穷远移到O 点，电场力作功多少？（3）、（2）中所述过程中0q

的电势能改

图7