复变函数第一章1
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《复变函数》第1章
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
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§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
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, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
第一章复变函数
z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章1
2 − 2i = 22 + (−2)2 = 2 2
Arg(2 − 2i) = arctan
； ，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如 下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是： 结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得 到． 复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是 加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一 个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3） 的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯 上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ） （1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记 ， ，将它们代入方程 = z 得
Arg(2 − 2i) = arctan
； ，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如 下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是： 结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得 到． 复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是 加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一 个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3） 的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯 上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ） （1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记 ， ，将它们代入方程 = z 得
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数基础
（）, （0 )
当
0
z z0
时, 有
f (z) A ,
则称A为
f
( z )当z
z0时的极限，记作
lim
z z0
f (z) A
或当z z0时，f (z) A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f (z)就落入A的
A
一个预先给定的
z1 (z 1)(z 1)
z2 3 lim
z1 z 1 2
zi
例5.
lim
zi
z(z2
1)
例6. lim z Re(z)
z0
z
例7. 设函数 f (z) 在 z0连续且 f (z0 ) 0 , 则必可找到 z0的小邻域, 在这邻域内 f (z) 0 .
例8. 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，故不连续。
z z0
4)
设
lim
z z0
h(
z
)＝h0
,
lim
h h0
f (h)＝A,则
lim f [h(z)] A lim f (h)
z z0
h h0
以上定理可用定理1证,也可用极限定义证!
其他性质
1) 若f (z)在 z0处有极限,其极限是唯一的.
2) lim f (z) 0 lim f (z) 0;
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
复变函数
(cos sin )nnin nn i ez φφφρρ=+=1212z z z z +≤+1212z z z z -≥-1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++121112212222222222x x y y y y z x x i z y y x x -+=+++n sin )i i n nφφφ=+=2*,zzz zz z z ==数学物理方法教学提纲第一篇复变函数论第一章复变函数1.1 复数与复数运算复数的代数式：z=x+iy R e z=x I m z=y 复数平面，实轴和虚轴复数z 可以用复数平面上的矢量来表示。
复数的三角式：复数的指数式：复数的模记作 复数的辐角记作：Argz复数的辐角值可以取无穷多个值，彼此相差2π的整数倍 幅角的主值： π2arg 0 z ≤arg 2Argz z k φπ==+ (0,1,2,k =±±……）共轭复数：(cos sin )i z x iy i e φφφ-*=-=ρ-=ρ复数的和：121212()()z z x x i y y +=+++两个复数的和对应于两个矢量的合矢量，并且有 复数的差：121212()()z z x x i y y -=-+-，并且有 复数的积：复数的商：复数的乘、除、乘方和开方的运算采用三角式或指数式比代数式方便12()121212)1212cos(sin()i z z i e φφρρφφφφρρ+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+=11121222[cos()sin()]z i z ρφφφφρ=-+-整数次幂： n(整数) 可以取n 个不同的值。
注意点：i z e φ=ρcos sin z i φφ=ρ(+)z ||00()()lim lim z z w f z z f z z z∆→∆→∆+∆-=∆∆1.2 复变函数复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 的每一点Z ，按照一定规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则称w 为Z 的函数（复变函数），记作w=f(z)，z ∈E邻域：以复数Z 0为圆心，以任意小正实数ε为半径做一个圆，则园内所有点的集合称为Z 0的邻域。
《复变函数》第一章 复数与复变函数
( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
第一章第二节复变函数
b0 b1z b2 z2 ... bm zm
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
第一章 复变函数
N
A′.
A. S
1.2 复变函数
(一)复变函数的定义
当在复数平面上的一个点集E,对于E的每一点, 按照 一定的规律,有一个或多个复数值ω与之相对 应, 则ω为z的函数——复变函数.z称为复变函数ω 的宗量, 定义域为E, 记为: ω=f (z), z∈E (二) 一些基本概念 邻域: 对于复数z0 ,以z0 为圆心,以任意小的正 实数ε为半径 的圆内所有点的集合称为z0的邻域. 内点: 当z0 及其邻域均属于点集E时,称z0为点集 E的内点.
方法 2全微分法
v v dv dx dy e x sin ydx e x cos ydy d e x sin y x y
v e x sin y c, f z e z ic.
dv P x, y dx Q x, y dy, 1
z z0
1.3 导数
1. 导数定义: 设 函数 f（z）是区域B上的单值函
数,若在B上的某点z,极限 lim f ( z ) lim f ( z z ) f ( z ) z z z 0 z 0 存在,称此极限为f（z） df ' 或f ( z) 在z点的导数.记为 dz 由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定 义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数 情况.例如: d n n 1 d z nz , ez ez , dz dz d d sin z cos z , cos z sin z dz dz d dF d 复合函数 F ( ) dz d dz
n
z
n
e
i
1 2 k
n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,关键是开几次根就有几个根.φ1为幅角主值.
A′.
A. S
1.2 复变函数
(一)复变函数的定义
当在复数平面上的一个点集E,对于E的每一点, 按照 一定的规律,有一个或多个复数值ω与之相对 应, 则ω为z的函数——复变函数.z称为复变函数ω 的宗量, 定义域为E, 记为: ω=f (z), z∈E (二) 一些基本概念 邻域: 对于复数z0 ,以z0 为圆心,以任意小的正 实数ε为半径 的圆内所有点的集合称为z0的邻域. 内点: 当z0 及其邻域均属于点集E时,称z0为点集 E的内点.
方法 2全微分法
v v dv dx dy e x sin ydx e x cos ydy d e x sin y x y
v e x sin y c, f z e z ic.
dv P x, y dx Q x, y dy, 1
z z0
1.3 导数
1. 导数定义: 设 函数 f（z）是区域B上的单值函
数,若在B上的某点z,极限 lim f ( z ) lim f ( z z ) f ( z ) z z z 0 z 0 存在,称此极限为f（z） df ' 或f ( z) 在z点的导数.记为 dz 由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定 义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数 情况.例如: d n n 1 d z nz , ez ez , dz dz d d sin z cos z , cos z sin z dz dz d dF d 复合函数 F ( ) dz d dz
n
z
n
e
i
1 2 k
n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,关键是开几次根就有几个根.φ1为幅角主值.
第一章 复变函数
3
第二节 复变函数
§1.2.1区域与约当曲线
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与复连通域
1. 区域的概念
设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。 开集 若G内的每一点都是 外点 内点，则称G是开集。 z •区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。
sin 3 3cos 2 sin 3 3sin 4sin 3
例: 求
3in0
3
1 3 1 3 即0 1, 1 i , 2 i. 2 2 2 2
0 2k 0 2k 1 cos i sin , ( k 0,1,2). 3 3
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， x iy 一对有序实数x, y ), z (
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 ， 则 标 任 意 点 ( x , y ) 一 对 有 序 实 数x , y ) P ( z x iy 平 面 上 的 点 ( x , y ) P
例5. 将z sin i cos 化 为 三 角 形 式 与 指 数 式. 形 5 5
两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
第一章 复变函数解析
lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
第一章 复变函数
a ≡ ( a ,0) ≡ a (1,0)
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数与积分变换第一章 复变函数和解析函数
|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复变函数概述1.1 复数的概念1. 实数与虚数2. 复数的表示方法3. 复数的运算规则1.2 复变函数的定义1. 函数的概念2. 复变函数的表示方法3. 复变函数的运算规则1.3 复变函数的性质1. 解析函数的概念2. 奇函数与偶函数3. 周期函数第二章：复变函数的积分2.1 复变函数的积分概念1. 积分的基本概念2. 复变函数的积分表示3. 积分的性质2.2 复变函数的积分计算1. 柯西积分定理2. 柯西积分公式3. 复变函数的积分计算方法2.3 复变函数的积分应用1. 解析函数的奇偶性2. 解析函数的周期性3. 复变函数的图像与性质第三章：复变函数的级数3.1 复变函数的级数概念1. 级数的基本概念2. 收敛级数与发散级数3. 复变函数的级数表示3.2 复变函数的级数计算1. 泰勒级数展开2. 洛朗级数展开3. 复变函数的级数计算方法3.3 复变函数的级数应用1. 解析函数的逼近2. 解析函数的计算3. 复变函数的图像与性质第四章：复变函数的微分4.1 复变函数的微分概念1. 微分的定义2. 微分的表示方法3. 微分的性质4.2 复变函数的微分计算1. 复变函数的求导法则2. 复变函数的高阶微分3. 复变函数的微分计算方法4.3 复变函数的微分应用1. 解析函数的单调性2. 解析函数的极值3. 复变函数的图像与性质第五章：复变函数的积分变换5.1 复变函数的积分变换概念1. 积分变换的定义2. 积分变换的表示方法3. 积分变换的性质5.2 复变函数的积分变换计算1. 傅里叶积分变换2. 拉普拉斯积分变换3. 复变函数的积分变换计算方法5.3 复变函数的积分变换应用1. 解析函数的变换2. 解析函数的计算3. 复变函数的应用领域第六章：复变函数的方程6.1 复变函数方程的概念1. 方程的定义2. 复变函数方程的表示方法3. 复变函数方程的性质6.2 复变函数方程的求解方法1. 解析函数的方程求解2. 非解析函数的方程求解3. 复变函数方程的求解技巧6.3 复变函数方程的应用1. 复变函数方程在数学分析中的应用2. 复变函数方程在物理学中的应用3. 复变函数方程在其他领域的应用第七章：复变函数的极限7.1 复变函数极限的概念1. 极限的定义2. 复变函数极限的表示方法3. 复变函数极限的性质7.2 复变函数极限的计算方法1. 复变函数的无穷小与无穷大2. 复变函数的极限计算法则3. 复变函数极限的计算技巧7.3 复变函数极限的应用1. 解析函数的连续性2. 解析函数的导数3. 复变函数极限在其他领域的应用第八章：复变函数的泰勒级数8.1 泰勒级数的概念1. 泰勒级数的定义2. 泰勒级数的表示方法3. 泰勒级数的性质8.2 泰勒级数的计算方法1. 泰勒公式的推导2. 泰勒级数的展开与收敛性3. 泰勒级数的计算技巧8.3 泰勒级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 泰勒级数在其他领域的应用第九章：复变函数的洛朗级数9.1 洛朗级数的概念1. 洛朗级数的定义2. 洛朗级数的表示方法3. 洛朗级数的性质9.2 洛朗级数的计算方法1. 洛朗公式的推导2. 洛朗级数的展开与收敛性3. 洛朗级数的计算技巧9.3 洛朗级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 洛朗级数在其他领域的应用第十章：复变函数的选讲10.1 复变函数的解析延拓1. 解析延拓的概念2. 解析延拓的方法3. 解析延拓的应用10.2 复变函数的解析函数族1. 函数族的概念2. 解析函数族的性质3. 解析函数族的应用10.3 复变函数的积分变换及其他1. 其他积分变换的介绍2. 积分变换的应用3. 复变函数在其他领域的应用重点和难点解析重点环节一：复数的概念和运算规则重点：理解实数与虚数的概念，掌握复数的表示方法，熟悉复数的四则运算规则。
复变函数第一章第一节
例3
化简(1) 5 12i ; (2) i i .
(1) 5 12i x iy,
解
5 12i ( x 2 y 2 ) 2 xyi,
x 2 y 2 5, 2 xy 12
x 3, y 2,
5 12i (3 2i ).
有序实数对(x,y) 平面上一点P
代数 表示 复数 z x iy
实轴、 虚轴、复平面
y
z x iy
O
Z 平面、 w 平面
x
2.复数的向量表示
z x iy
点P( x，y )
几何表示
OP
Y
y
模 ：
r
q
P z = x + iy
q
O x
辐角：
X
模:
| z |=| OP |= r =
对于∞来说,实、 虚部与辐角的概念无意义， 其 模为 | | ，对于其它复数 z ,则有 | z | .
关于∞的运算，规定如下：
a a (a ) a a (a 0) a a , 0 (a ), ( a 0, 但可为) a 0
w k 2 k w 1,
22
两边同时平方, w k
k w 1 ,
2
2
于是 w k ,
2
2
w k,
z z1 故 k. z z2
小结
学习的主要内容有复数的四则运算、共轭 运算和模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍 了复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了 无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义） 的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或 正、负无穷大混为一谈．
复变函数
(2) z1z2 z1 z2 ;
z1 z1 (3) z z 2 2
(5)
2
(z2 0); (4) z z;
2 2
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
wn 1 r (cos
n
i sin
n
)
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
5.复数的共轭运算 根据共轭复数的定义，不难证明共 轭复数具有如下性质
(1) z1 z2 z1 z2 ;
(分配律)
注意 一般说来，任意两个复数不 能比较大小
2 复平面
（1）.复数的点表示法 （2）.复数的向量表示
（3）.复数的极坐标表示 x cos , y sin i z cos i sin e 复数的这种表示 称为复数的极坐标形 式，亦称为三角形式 和指数形式 关于复数的模、辐角，应当作如下 的说明：
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 z1 z3 )
(分配律)
注意 一般说来，任意两个复数不 能比较大小
2 复平面
（1）.复数的点表示法 （2）.复数的向量表示
（3）.复数的极坐标表示 x cos , y sin i z cos i sin e 复数的这种表示 称为复数的极坐标形 式，亦称为三角形式 和指数形式 关于复数的模、辐角，应当作如下 的说明：
z1 z1 (3) z z 2 2
(5)
2
(z2 0); (4) z z;
2 2
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
wn 1 r (cos
n
i sin
n
)
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
5.复数的共轭运算 根据共轭复数的定义，不难证明共 轭复数具有如下性质
(1) z1 z2 z1 z2 ;
(分配律)
注意 一般说来，任意两个复数不 能比较大小
2 复平面
（1）.复数的点表示法 （2）.复数的向量表示
（3）.复数的极坐标表示 x cos , y sin i z cos i sin e 复数的这种表示 称为复数的极坐标形 式，亦称为三角形式 和指数形式 关于复数的模、辐角，应当作如下 的说明：
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 z1 z3 )
(分配律)
注意 一般说来，任意两个复数不 能比较大小
2 复平面
（1）.复数的点表示法 （2）.复数的向量表示
（3）.复数的极坐标表示 x cos , y sin i z cos i sin e 复数的这种表示 称为复数的极坐标形 式，亦称为三角形式 和指数形式 关于复数的模、辐角，应当作如下 的说明：
复变函数第一章第一节复数
（一） 复变函数第一章１－４节）（１０学时）１、 复数（第一章 第一节） 学习内容：复数定义及运算复数的定义、相等即运算，复数的代数式，复数的模与幅度角、共轭复数。
复数及其基本运算：幅角的概念与计算；正确理解幅角的多值性；复数的三角表示与指数表示； 复数的城访与开方复数的表示及其运算： ｚ＝ｘ＋ｉｙ ｘ，ｙ∈Rz 1=y x11i +y xz 222i +=)(i )(y y x x zz 212121±+±=± )()(1221212121y x y x y y x x zz i ++-=∙)0()()(2222221122222212121≠+-+++=zyx y x y x y x y y x xzz iiy x z -= |z |=yx 22+复数的三角表示与指数表示 Z =r (c o s θ+s i n θ) Z =r θi r =|z |Argz =θθθθ2i11111r r z )isin cos (=+=θθθ2i22222r r z )isin cos (=+=)(i 212121212121r r r r z z )](isin )(cos [θθθθθθ+=+++= [rr z z 2121=)0()](isin )(cos z rr 2)(i 21212121≠=-+--θθθθθθθθθin nnnrr z)]n (isin )]n (cos [=+=)1-0,1,2,k (r )n2k isinn2k cos(r z n2k nnn1nz ｎ⋯⋯==+++==+πθπθπθ难点：幅角的概念与计算； 幅角的多值性； 复数的乘方开方。
要求：了解复数定义及其几何表示， 熟练掌握复数的运算。
例 设Ｚ＝２－２ｉ，求3z解：ｒ＝8)2(222=+-A r g z =a r c t g22-+2π=π47 3z =)32k 47isin 32k 47cos (86ππππ+++x yarctg 0,0≥>y xx y arctg +2π0,0<>y xA r g z =2π0,0>=y x 23π0,0<=y x xyarctg +π 0<x2. 曲线与区域 （第一章 第二节）学习内容：平面点集：邻域，内点，外点，边界点，边界，开集，闭集，有界集，曲线（连续曲线，简单曲线，简单闭曲线，光滑曲线，分段光滑曲线），区域，闭区域，单连通区域，多连通区域。
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2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
例7 设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re(z1 z2 ).
证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
• 复变函数中的许多概念，理论和方法 是实变函数在复数领域的推广和发展 。
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im( z)2;
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z).
以上各式证明略.
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
1 1
i i
7
(i )7
i.
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
例4
计算 i 2 1i i
.
i 1
解
i2 1i i
(i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
i 1
i2
个。 • 按时交作业。补交、抄袭作业者扣分。 • 8次随机考勤，缺1/3者不能参加期末考试
第一章 复数与复平面
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
二、内容提要
复 球 面
扩 充
复 平 面
曲线 与区域
四则运算.
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
i8 i4 i4 1;
……
一般地，如果n是正整数, 则
i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
拓展阅读：虚数符号的由来
许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号 表示他的成果，即
x 3 94 24
由于 9 4 是负数，所以他认为不可能解这方程。
4
而第一个对负数开方运算进行研究并得到 虚数及其 运算方法的人是卡尔达诺，在1545年，在他所著的 《大术》中，记载了以下的乘法运算：
0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学 和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如 流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。
• 比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所 谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对 它们的计算就是通过复变函数来解决的。
0.2 复变函数论的发展简况
例2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积.
解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2 z 2 .
结论： 两个共轭复数z,z 的积是一个实数z 2.
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(15 20) (15 20)i 7 1 i.
25
55
z1 7 1 i. z2 5 5
例6 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
由m2 3m 4 0知m 4或m 1. 但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
实数 x (x,0) x i 0
复数
虚数
纯虚数 z 非纯虚数
(0, y) 0 z (x, y)
i y(y xiy
0) (x
0,
y
0)
➢ 两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数论的全面发展是在十九世纪， 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪 的数学那样，复变函数这个新的分支统 治了十九世纪的数学。当时的数学家公 认复变函数论是最丰饶的数学分支，并 且称为这个世纪的数学享受，也有人称 赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
0.2 复变函数论的发展简况
翻译拉丁、希腊和希伯莱文，8岁就会讲意大利 语和法语，而且能用拉丁文描写美丽的爱尔兰 江山，12岁就读完了用拉丁文写的Euclid的《几 何原理》，据说他到十三岁时就掌握了十三种 语言。在14岁时，有波斯大使到达他的家乡都 柏林访问，他还用波斯文写了一篇欢应词。这 使得他逐步喜爱上了古典文学,沉醉于诗的写作 之中,他成为当时的伟大诗人Willam Wordsworth 的亲密朋友和相互赞赏者。然而遗憾的是却没 有什么真正的成就。
( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 )
2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ). 或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2Re(z1 z2 ).
复变函数与积分变换
2010-2011 学年第一学期
课程内容与重点
• 复数，基本概念和性质 • 解析函数与基本初等函数 • 复变函数的积分 • 级数 • 留数 • 共形映射（保形映射）* • 傅立叶变换 • 拉普拉斯变换
课程要求
• 80%考试，20%平时（作业、考勤等）。 • 两个作业本（统一），每周交一个留一
• 为复变函数论的创建做了最早期工作 的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉 斯也随后研究过复变函数的积分，他 们都是创建这门学科的先驱。
• 后来为这门学科的发展作了大量奠基 工作的要算是柯西、黎曼和德国数学 家维尔斯特拉斯。
0.2 复变函数论的发展简况
• 二十世纪初，复变函数论又有了很大 的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典 数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 阿达玛等都作了大量的研究工作，开 拓了复变函数论更广阔的研究领域， 为这门学科的发展做出了贡献。
当中 相等于根号，
是
减（即负），表示√-15，这就
是最早表示虚数的方法。当时，
他称负数的平方根为「诡辩
量」，并且怀疑运 算这些数的
合理性，因此，卡尔达诺称正
数的根为真实的根（real root），
负数的根为虚构的根（fictitious
root）。但实和虚的用法与现代
的不同。
➢1637年，在笛卡儿的《几何学》一书中第
• 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的 时候，就用复变函数论解决了飞机机 翼的结构问题，他在运用复变函数论 解决流体力学和航空力学方面的问题 上也做出了贡献。
0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数论不但在其他学科得到了广 泛的应用，而且在数学领域的许多分 支也都应用了它的理论。它已经深入 到微分方程、积分方程、概率论和数 论等学科，对它们的发展很有影响
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附录： 向Hamilton 学习
Hamilton.William Rowan（威廉.罗万. 哈密顿，1805——1865）爵士，无疑是 使爱尔兰人在数学领域中享有 盛益的最伟大的人物，同时也是有 名望的物理学家和天文学家。他 1805年生于都柏林，除了短时间外 出访问外，一生都是在这里度过 的。他才一岁时，被委托给一位叔 叔教育，这位叔叔的热心在于给他 侧重语言上的教育，不久之后，他 就成了孤儿。Hamilton是个神童，3 岁时能阅读英文，5岁时能阅读、
➢ 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚 部同时等于0.
说明 两个数如果都是实数, 可以比较它们的大小, 如果不 全是实数, 就不能比较大小, 也 就是说
复数不能比较大小！
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
例8 化简(1) 5 12i ; (2) i i.
解 (1) 5 12i x iy, 5 12i ( x2 y2 ) 2xyi,
x2 y2 5,
x 3, y 2,
2xy 12
5 12i (3 2i).
(2) i x yi,
x2 y2 0, 2xy 1
极限 的计算
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根
复 数 表 示 法
复变函数
几何表示法 向量表示法
极限 连续性
判别定理
三角及指数表示法