复变函数第一章1

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之 相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数 中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研 究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论 为解析函数论。
0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉 在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分 导出的两个方程。而比他更早时，法国数学 家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中， 就已经得到了它们。因此，后来人们提到这 两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方 程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西 和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究， 所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条 件”。
• 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的 时候，就用复变函数论解决了飞机机 翼的结构问题，他在运用复变函数论 解决流体力学和航空力学方面的问题 上也做出了贡献。
0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数论不但在其他学科得到了广 泛的应用，而且在数学领域的许多分 支也都应用了它的理论。它已经深入 到微分方程、积分方程、概率论和数 论等学科，对它们的发展很有影响
• 复变函数中的许多概念，理论和方法 是实变函数在复数领域的推广和发展 。
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im( z)2;
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z).
以上各式证明略.
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学 和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如 流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。
• 比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所 谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对 它们的计算就是通过复变函数来解决的。
0.2 复变函数论的发展简况
( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 )
2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ). 或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2Re(z1 z2 ).
复变函数与积分变换
2010-2011 学年第一学期
课程内容与重点
• 复数，基本概念和性质 • 解析函数与基本初等函数 • 复变函数的积分 • 级数 • 留数 • 共形映射（保形映射）* • 傅立叶变换 • 拉普拉斯变换
课程要求
• 80%考试，20%平时（作业、考勤等）。 • 两个作业本（统一），每周交一个留一
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x. 有序数对z=(x,y) = x+iy 称为复数的Hamilton定义。
1 1
i i
7
(i )7
i.
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
例4
计算 i 2 1i i
.
i 1
解
i2 1i i
(i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
i 1
i2
(15 20) (15 20)i 7 1 i.
25
55
z1 7 1 i. z2 5 5
例6 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
个。 • 按时交作业。补交、抄袭作业者扣分。 • 8次随机考勤，缺1/3者不能参加期末考试
第一章 复数与复平面
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
二、内容提要
复 球 面
扩 充
复 平 面
曲线 与区域
四则运算.
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
i8 i4 i4 1;
……
一般地，如果n是正整数, 则
i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
由m2 3m 4 0知m 4或m 1. 但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
实数 x (x,0) x i 0
复数
虚数
纯虚数 z 非纯虚数
(0, y) 0 z (x, y)
i y(y xiy
0) (x
0,
y
0)
➢ 两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
极限 的计算
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根
复 数 表 示 法
复变函数
几何表示法 向量表示法
极限 连续性
判别定理
三角及指数表示法
0.1 导论
• 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数 方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长 时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发 展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般 形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
例2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积.
解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2 z 2 .
结论： 两个共轭复数z,z 的积是一个实数z 2.
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
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附录： 向Hamilton 学习
Hamilton.William Rowan（威廉.罗万. 哈密顿，1805——1865）爵士，无疑是 使爱尔兰人在数学领域中享有 盛益的最伟大的人物，同时也是有 名望的物理学家和天文学家。他 1805年生于都柏林，除了短时间外 出访问外，一生都是在这里度过 的。他才一岁时，被委托给一位叔 叔教育，这位叔叔的热心在于给他 侧重语言上的教育，不久之后，他 就成了孤儿。Hamilton是个神童，3 岁时能阅读英文，5岁时能阅读、
拓展阅读：虚数符号的由来
许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号 表示他的成果，即
x 3 94 24
由于 9 4 是负数，所以他认为不可能解这方程。
4
而第一个对负数开方运算进行研究并得到 虚数及其 运算方法的人是卡尔达诺，在1545年，在他所著的 《大术》中，记载了以下的乘法运算：
i 2i i2 1
i
2
1 3i 2i
(1 3i)(2 i) (2 i)(2 i)
2 i 6i (2)2
i2
3i 2
1
i.
例5
设
z1
5 5i,
z2
3
4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
.
解 z1 5 5i (5 5i)(3 4i) z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
➢ 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚 部同时等于0.
说明 两个数如果都是实数, 可以比较它们的大小, 如果不 全是实数, 就不能比较大小, 也 就是说
复数不能比较大小！
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
x y 1 , 2
i
1 2
1 2
i
,
i
1 2
1 2
i
,
i i 2.
三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
思考题
复数为什么不能比较大小？
思考题答案
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0, (1) 若 i 0, 则 i i 0 i, 即 1 0, 矛盾; (2) 若 i 0, 则 i i 0 i, 同样有 1 0, 矛盾. 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
翻译拉丁、希腊和希伯莱文，8岁就会讲意大利 语和法语，而且能用拉丁文描写美丽的爱尔兰 江山，12岁就读完了用拉丁文写的Euclid的《几 何原理》，据说他到十三岁时就掌握了十三种 语言。在14岁时，有波斯大使到达他的家乡都 柏林访问，他还用波斯文写了一篇欢应词。这 使得他逐步喜爱上了古典文学,沉醉于诗的写作 之中,他成为当时的伟大诗人Willam Wordsworth 的亲密朋友和相互赞赏者。然而遗憾的是却没 有什么真正的成就。
一次出现了虚数的名称。「imaginaires」 代表虚ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，及「reelles」代表实的。
➢ 1777年，欧拉在一篇递交给彼得堡科学院
的论文《微分公式》中首次以i来表示:
√-1，但很少人注意到。
➢直到1801年，高斯才有系统 地使用这个符
号，并沿用至今。
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数论的全面发展是在十九世纪， 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪 的数学那样，复变函数这个新的分支统 治了十九世纪的数学。当时的数学家公 认复变函数论是最丰饶的数学分支，并 且称为这个世纪的数学享受，也有人称 赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
0.2 复变函数论的发展简况
例1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则y 0,
由m2 5m 6 0知m 6或m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
当中 相等于根号，
是
减（即负），表示√-15，这就
是最早表示虚数的方法。当时，
他称负数的平方根为「诡辩
量」，并且怀疑运 算这些数的
合理性，因此，卡尔达诺称正
数的根为真实的根（real root），
负数的根为虚构的根（fictitious
root）。但实和虚的用法与现代
的不同。
➢1637年，在笛卡儿的《几何学》一书中第
Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
例7 设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re(z1 z2 ).
证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
• 为复变函数论的创建做了最早期工作 的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉 斯也随后研究过复变函数的积分，他 们都是创建这门学科的先驱。
• 后来为这门学科的发展作了大量奠基 工作的要算是柯西、黎曼和德国数学 家维尔斯特拉斯。
0.2 复变函数论的发展简况
• 二十世纪初，复变函数论又有了很大 的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典 数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 阿达玛等都作了大量的研究工作，开 拓了复变函数论更广阔的研究领域， 为这门学科的发展做出了贡献。
例8 化简(1) 5 12i ; (2) i i.
解 (1) 5 12i x iy, 5 12i ( x2 y2 ) 2xyi,
x2 y2 5,
x 3, y 2,
2xy 12
5 12i (3 2i).
(2) i x yi,
x2 y2 0, 2xy 1