高考数学(理科)二轮配套课件：专题7(第3讲)统计与统计案例
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所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.
故选A.
热点三 统计案例
例3 (1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售
价格y和房屋的面积x的数据.
思维启迪 回归直线
房屋面积 11
10 过 样 本 点 中
x/m2
110 80 135
5
5
心(
)；
x，y
销售价格y/ 24. 21. 18. 29.
系 统 抽 样 方 法 抽 取 42 人 做 问 卷 调 查 ， 将 840 人 按
1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落
入区间[481,720]的人数为( )
A.11
B.12
C.13 D.14
思维启迪 系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽
取号码的间隔相同；
解析 由 840 ＝20，即每20人抽取1人， 42
数字特 样本数 频率分布直方
征
据
图
出现次 取最高的小长
众数 数最多 方形底边中点
将数据按大小依 把频率分布直方 次排列，处在最 图划分左右两个 中位数 中间位置的一个 面积相等的分界 数据(或最中间两 线与x轴交点的横 个数据的平均数) 坐标
每个小矩形的面 样本数据的算术 积乘以小矩形底 平均数
(2)方差：s2＝1n[(x1－ x)2＋(x2－ x)2＋…＋(xn－ x)2]. 标准差： s＝ 1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人
数为( )
思维启迪 根据第一组与第二组
的人数和对应频率估计 样本总数，然后利用第 三组的频率和无疗效人 数计算；
A.6
B.8 C.12 D.18
解析 志愿者的总人数为0.16＋200.24×1＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12. 答案 C
所以x＝10.
0.40 x
(2)(2014·陕西)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方
差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，
10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )
A.1＋a,4
B.1＋a,4＋a
A
C.1,4
D.1,4＋a
解析 x1＋x2＋10…＋x10＝1，yi＝xi＋a，
K2＝52×20×4×322×0－161×6×36122＝633670.
C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d ＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝522×0×8×322×4－161×2×3682＝1130.
D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c ＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
0.066 ＋ 0.071 ＋ 0.073 ＋ 0.073 ＋ 0.084 ＋ 0.086 ＋ 0.097)÷12≈0.068 9，
x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋
0.069 ＋ 0.079 ＋ 0.087 ＋ 0.092 ＋ 0.094 ＋ 0.096)÷12≈0.067 5，
答案 31.244 2
(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、 智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生， 得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性 最大的变量是( )
表1
成 绩 性别
不及 格
男6
及格 14
总计 20
女 10 22 32
总计 16 36 52
表2
Biblioteka Baidu式训练1
(1) 某 校 高 一 、 高 二 、 高 三 分 别 有 学 生 人 数 为
495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问
卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按
1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法
抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( )
A.15
点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验
思
维 问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后
升 华
代入K2(χ2)计算公式求其值，根据K2(χ2)取值范
围求解即可.
变式训练3 (1)已知x、y取值如下表：
x0 1 4 5 68
1.
9.
从所得的散y点1图.3分析8可知5：.6y 6与.1x 7线.4性相3关，且y^＝
4.变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，
n
y2)，…，(xn，yn)，通过求 Q＝ (yi－a－bxi)2 最小时，
i＝1
得到线性回归方程y^＝b^x＋a^的方法叫做最小二乘法.
5.独立性检验 对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y， 其样本频数列联表是
y1 x1 a
y2 总计 则 K2(χ2)＝
nad－bc2
b a＋b a＋bc＋da＋cb＋d
x2 c d c＋d
总 计
a＋c b＋d
n
(其中 n＝a＋b＋c＋d 为样 本容量).
热点分类突破
➢ 热点一 抽样方法 ➢ 热点二 用样本估计总体 ➢ 热点三 统计案例
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用
(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、
频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图
要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其
思 高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频
维
升 率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率
华
分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征
数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均
根据上万表元可得线性8 回归6 方程4y^＝b^2x＋2a^中2 的b^＝0.196 2，
则面积为 150 m2 的房屋的销售价格约为________万元.
解析 由表格可知 x＝15(115＋110＋80＋135＋105)＝109， y ＝15(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. 所以a^＝ y－b^ x＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2. 所以所求线性回归方程为y^＝0.196 2x＋1.814 2. 故当 x＝150 时，销售价格的估计值为 y^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元).
(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别 如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原 因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本 容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.200,20 C.200,10
B.100,20 D.100,10
解析 该地区中、小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 则样本容量为10 000×2%＝200， 其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%＝20，故选A. 答案 A
s2＝ 1 [(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋ (0.09172－0.068 9)2]≈0.000 212.
s2＝ 1 [(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋ (0.09162－0.067 5)2]≈0.000 429.
所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地. 答案 A
K2＝522×0×143×2×301－6×6×3622＝3176507.
∵1 14340<1130<633670<3176507，
∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 答案 D
(1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本
点中心.回归系数的求解可直接把相应数据代入
公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心
专题七 概率与统计
第 3讲 统计与统计案例
主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题
1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统
计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会
在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.
考
情 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题， 解 重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点
热点二 用样本估计总体
例2 (1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干 名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单 位 ： kPa) 的 分 组 区 间 为 [12,13) ， [13,14) ， [14,15) ， [15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为 第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据 制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，
解析 本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，
所以3126000＝160－x 150，所以 x＝200.
(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率
思 都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被 维 抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层
升
华 抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.
B.16
C.17 D.18
解析 由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作 为一组，共分49组， 高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内， 第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生， 第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生， 故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C. 答案 C
思 值、众数和中位数、方差等.
维 升
(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数
华 据越稳定，波动越小.
变式训练2
(1)某商场在庆元宵促销活动中，对
元宵节9时至14时的销售额进行统
计，其频率分布直方图如图所示，
已知9时至10时的销售额为2.5万
元，则11时至12时的销售额为____
万元.
10
解析 由频率分布直方图可知：0.10＝2.5，
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗
粒物，如图是根据某地某日早7点至
晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的 数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎
叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A.甲
B.乙
C.甲乙相等
D.无法确定
思维启迪
直接根据公式计算方差.
解析 x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋
解析 A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b ＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝52×20×6×322×2－161×4×36102＝1
13 440.
B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c ＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
2.常用的统计图表 (1)频率分布直方图
频率 ①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频组率距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
读
处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．
主干知识梳理
1.随机抽样 (1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取.适用范围：总 体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的 规则在各部分中抽取.适用范围：总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取.适用 范围：总体由差异明显的几部分组成.
0.95x＋a^，则a^等于( )
A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80
解析 依题意得， x＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4， y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25； 又直线y^＝0.95x＋a^必过样本点中心( x， y)，
所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
720－480＝240 ＝12. 20 20
答案 B
(2)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取 的人数为150，那么该学校的教师人数是________.
200
思维启迪 分层抽样最重要的是各层的比例.
视 力 好 差 总计 性别 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52
表3
智 商 性别 男 女 总计
偏高
8 8 16
正常 总计
12 20 24 32 36 52
表4
阅
读量 丰富 不丰富 总计
性别 男 女
思维启迪
14
6
20
根据列
联表，计
2
30
32
算K2的值
A.成总绩 计 B.视力16 C.智3商6 D.5阅2读量
故选A.
热点三 统计案例
例3 (1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售
价格y和房屋的面积x的数据.
思维启迪 回归直线
房屋面积 11
10 过 样 本 点 中
x/m2
110 80 135
5
5
心(
)；
x，y
销售价格y/ 24. 21. 18. 29.
系 统 抽 样 方 法 抽 取 42 人 做 问 卷 调 查 ， 将 840 人 按
1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落
入区间[481,720]的人数为( )
A.11
B.12
C.13 D.14
思维启迪 系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽
取号码的间隔相同；
解析 由 840 ＝20，即每20人抽取1人， 42
数字特 样本数 频率分布直方
征
据
图
出现次 取最高的小长
众数 数最多 方形底边中点
将数据按大小依 把频率分布直方 次排列，处在最 图划分左右两个 中位数 中间位置的一个 面积相等的分界 数据(或最中间两 线与x轴交点的横 个数据的平均数) 坐标
每个小矩形的面 样本数据的算术 积乘以小矩形底 平均数
(2)方差：s2＝1n[(x1－ x)2＋(x2－ x)2＋…＋(xn－ x)2]. 标准差： s＝ 1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人
数为( )
思维启迪 根据第一组与第二组
的人数和对应频率估计 样本总数，然后利用第 三组的频率和无疗效人 数计算；
A.6
B.8 C.12 D.18
解析 志愿者的总人数为0.16＋200.24×1＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12. 答案 C
所以x＝10.
0.40 x
(2)(2014·陕西)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方
差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，
10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )
A.1＋a,4
B.1＋a,4＋a
A
C.1,4
D.1,4＋a
解析 x1＋x2＋10…＋x10＝1，yi＝xi＋a，
K2＝52×20×4×322×0－161×6×36122＝633670.
C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d ＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝522×0×8×322×4－161×2×3682＝1130.
D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c ＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
0.066 ＋ 0.071 ＋ 0.073 ＋ 0.073 ＋ 0.084 ＋ 0.086 ＋ 0.097)÷12≈0.068 9，
x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋
0.069 ＋ 0.079 ＋ 0.087 ＋ 0.092 ＋ 0.094 ＋ 0.096)÷12≈0.067 5，
答案 31.244 2
(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、 智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生， 得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性 最大的变量是( )
表1
成 绩 性别
不及 格
男6
及格 14
总计 20
女 10 22 32
总计 16 36 52
表2
Biblioteka Baidu式训练1
(1) 某 校 高 一 、 高 二 、 高 三 分 别 有 学 生 人 数 为
495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问
卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按
1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法
抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( )
A.15
点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验
思
维 问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后
升 华
代入K2(χ2)计算公式求其值，根据K2(χ2)取值范
围求解即可.
变式训练3 (1)已知x、y取值如下表：
x0 1 4 5 68
1.
9.
从所得的散y点1图.3分析8可知5：.6y 6与.1x 7线.4性相3关，且y^＝
4.变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，
n
y2)，…，(xn，yn)，通过求 Q＝ (yi－a－bxi)2 最小时，
i＝1
得到线性回归方程y^＝b^x＋a^的方法叫做最小二乘法.
5.独立性检验 对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y， 其样本频数列联表是
y1 x1 a
y2 总计 则 K2(χ2)＝
nad－bc2
b a＋b a＋bc＋da＋cb＋d
x2 c d c＋d
总 计
a＋c b＋d
n
(其中 n＝a＋b＋c＋d 为样 本容量).
热点分类突破
➢ 热点一 抽样方法 ➢ 热点二 用样本估计总体 ➢ 热点三 统计案例
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用
(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、
频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图
要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其
思 高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频
维
升 率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率
华
分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征
数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均
根据上万表元可得线性8 回归6 方程4y^＝b^2x＋2a^中2 的b^＝0.196 2，
则面积为 150 m2 的房屋的销售价格约为________万元.
解析 由表格可知 x＝15(115＋110＋80＋135＋105)＝109， y ＝15(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. 所以a^＝ y－b^ x＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2. 所以所求线性回归方程为y^＝0.196 2x＋1.814 2. 故当 x＝150 时，销售价格的估计值为 y^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元).
(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别 如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原 因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本 容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.200,20 C.200,10
B.100,20 D.100,10
解析 该地区中、小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 则样本容量为10 000×2%＝200， 其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%＝20，故选A. 答案 A
s2＝ 1 [(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋ (0.09172－0.068 9)2]≈0.000 212.
s2＝ 1 [(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋ (0.09162－0.067 5)2]≈0.000 429.
所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地. 答案 A
K2＝522×0×143×2×301－6×6×3622＝3176507.
∵1 14340<1130<633670<3176507，
∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 答案 D
(1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本
点中心.回归系数的求解可直接把相应数据代入
公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心
专题七 概率与统计
第 3讲 统计与统计案例
主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题
1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统
计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会
在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.
考
情 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题， 解 重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点
热点二 用样本估计总体
例2 (1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干 名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单 位 ： kPa) 的 分 组 区 间 为 [12,13) ， [13,14) ， [14,15) ， [15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为 第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据 制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，
解析 本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，
所以3126000＝160－x 150，所以 x＝200.
(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率
思 都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被 维 抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层
升
华 抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.
B.16
C.17 D.18
解析 由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作 为一组，共分49组， 高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内， 第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生， 第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生， 故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C. 答案 C
思 值、众数和中位数、方差等.
维 升
(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数
华 据越稳定，波动越小.
变式训练2
(1)某商场在庆元宵促销活动中，对
元宵节9时至14时的销售额进行统
计，其频率分布直方图如图所示，
已知9时至10时的销售额为2.5万
元，则11时至12时的销售额为____
万元.
10
解析 由频率分布直方图可知：0.10＝2.5，
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗
粒物，如图是根据某地某日早7点至
晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的 数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎
叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A.甲
B.乙
C.甲乙相等
D.无法确定
思维启迪
直接根据公式计算方差.
解析 x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋
解析 A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b ＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝52×20×6×322×2－161×4×36102＝1
13 440.
B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c ＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
2.常用的统计图表 (1)频率分布直方图
频率 ①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频组率距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
读
处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．
主干知识梳理
1.随机抽样 (1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取.适用范围：总 体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的 规则在各部分中抽取.适用范围：总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取.适用 范围：总体由差异明显的几部分组成.
0.95x＋a^，则a^等于( )
A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80
解析 依题意得， x＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4， y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25； 又直线y^＝0.95x＋a^必过样本点中心( x， y)，
所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
720－480＝240 ＝12. 20 20
答案 B
(2)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取 的人数为150，那么该学校的教师人数是________.
200
思维启迪 分层抽样最重要的是各层的比例.
视 力 好 差 总计 性别 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52
表3
智 商 性别 男 女 总计
偏高
8 8 16
正常 总计
12 20 24 32 36 52
表4
阅
读量 丰富 不丰富 总计
性别 男 女
思维启迪
14
6
20
根据列
联表，计
2
30
32
算K2的值
A.成总绩 计 B.视力16 C.智3商6 D.5阅2读量