华中科大量子力学考试题及解答1

华中 一． 见华中98 T2 二． 见华中98 T3 三． 见华中98 T4
四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。

势
⎩⎨⎧>≤=0x ,E 0
x ,0)x (U 43
，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？
解：写出分区薛定谔方程为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0
x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222
12
1212 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ+ψ≤=ψ+ψ⇒0x ,0)2k (dx d 0x ,0k dx d 2222212
1212
其解为⎪⎩⎪⎨⎧>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e x
i 2ik x
ik x 12
k
由x=0处的连续性条件，可得到：
D i )R 1(ik )0()0(D R 1)0()0(2
k 2121=+⇒ψ'=ψ'=+⇒ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从
而
几
率
流
密
度
为
x x 22k D x x 2R x e ˆ9k 8e ˆ|D |J ,e ˆ9k e ˆ|R |k J ,e ˆk J μ=μ=μ-=μ-=μ=
所以，反射几率 91|J ||J |R R == 透射几率：
98|J ||J |D D =
= 满足 R+D=1
五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0<x<a)中,忽略自旋相关力，求：
1.粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态。

2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。

解：1.（参见汪P274 T9.1.4） 求粒子体系的能量本征值和本征函数：
忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量 )n n (a 2E E E 222
12
2221+μπ=+=
考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对称的，
第一最低能态：n 1=1,n 2=1,
22
211a 22E μπ=
，则 )]
s ()s ()s ()s ([a x
sin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ=
ψ--
由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。

第二最低能态：n 1,n 2分别取1和2，22
212a 25E μπ=
可组成如下四个态：
三重态：
)x ,x ()x ,x (21S 21A )
3,2,1(12χψ=ψ
)
s ()s (]a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1212112
2121)
2,1(±±χχππ-ππ=ψ
)]
s ()s ()s ()s (][a x
sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121)
3(12
21212121χχ+χχππ-ππ=
ψ--
单态： )x ,x ()x ,x (21A 21S )
4(12
χψ=ψ
)]
s ()s ()s ()s (][a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121)
4(12
21212121χχ-χχππ+ππ=
ψ--
第三最低能态： n 1=n 2=2，
22
222
a 28E μπ=
可组成如下态：
)]
s ()s ()s ()s ([a x 2sin a x 2sin a 2z 2z 1z 2z 1212221212121χχ-χχππ=
ψ--
由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且为非简并态。

2．第二最低能态：为简并态
先计算子空间中的微扰矩阵元：
dx
V H )
k (12*
a
0)
k (12
k k ψψ='⎰ k=1,2,3,4
dx
V H H )
k (12*
a
)
1(12
1k k 1ψψ='='⎰ k=2,3,4
dx
V H )
k (12*
a
0)
2(12
k 2ψψ='⎰ k=3,4
dx
V H )
k (12*
a
)
3(12
k 3ψψ='⎰ k=4
一
阶微
扰
修正
E 12(1)
满
足
方
程
E H H H H H E H H H H H E H H H H H E H )
1(12
4443
42
41
34
)
1(12
3332
3124
23)
1(12
2221
1413
12
)
1(1211
=-'''''-'''''-'''''-'
第三最低能态：为非简并态
一阶微扰修正E 22(1)
满足积分公式：
⎰
ψψ=
'a
22*
2222dx
V E。