华中科大量子力学考试题及解答1

华中 一． 见华中98 T2 二． 见华中98 T3 三． 见华中98 T4

四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。势

⎩⎨⎧>≤=0x ,E 0

x ,0)x (U 43

，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？

解：写出分区薛定谔方程为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0

x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222

12

1212 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ+ψ≤=ψ+ψ⇒0x ,0)2k (dx d 0x ,0k dx d 2222212

1212

其解为⎪⎩⎪⎨⎧>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e x

i 2ik x

ik x 12

k

由x=0处的连续性条件，可得到：

D i )R 1(ik )0()0(D R 1)0()0(2

k 2121=+⇒ψ'=ψ'=+⇒ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从

而

几

率

流

密

度

为

x x 22k D x x 2R x e ˆ9k 8e ˆ|D |J ,e ˆ9k e ˆ|R |k J ,e ˆk J μ=μ=μ-=μ-=μ=

所以，反射几率 91|J ||J |R R == 透射几率：

98|J ||J |D D =

= 满足 R+D=1

五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0

1.粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态。

2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。 解：1.（参见汪P274 T9.1.4） 求粒子体系的能量本征值和本征函数：

忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量 )n n (a 2E E E 222

12

2221+μπ=+=

考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对称的，

第一最低能态：n 1=1,n 2=1,

22

211a 22E μπ=

，则 )]

s ()s ()s ()s ([a x

sin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ=

ψ--

由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。

第二最低能态：n 1,n 2分别取1和2，22

212a 25E μπ=

可组成如下四个态：

三重态：

)x ,x ()x ,x (21S 21A )

3,2,1(12χψ=ψ

)

s ()s (]a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1212112

2121)

2,1(±±χχππ-ππ=ψ

)]

s ()s ()s ()s (][a x

sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121)

3(12

21212121χχ+χχππ-ππ=

ψ--

单态： )x ,x ()x ,x (21A 21S )

4(12

χψ=ψ

)]

s ()s ()s ()s (][a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121)

4(12

21212121χχ-χχππ+ππ=

ψ--

第三最低能态： n 1=n 2=2，

22

222

a 28E μπ=

可组成如下态：

)]

s ()s ()s ()s ([a x 2sin a x 2sin a 2z 2z 1z 2z 1212221212121χχ-χχππ=

ψ--

由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且为非简并态。

2．第二最低能态：为简并态

先计算子空间中的微扰矩阵元：

dx

V H )

k (12*

a

0)

k (12

k k ψψ='⎰ k=1,2,3,4

dx

V H H )

k (12*

a

)

1(12

1k k 1ψψ='='⎰ k=2,3,4

dx

V H )

k (12*

a

0)

2(12

k 2ψψ='⎰ k=3,4

dx

V H )

k (12*

a

)

3(12

k 3ψψ='⎰ k=4

一

阶微

扰

修正

E 12(1)

满

足

方

程

E H H H H H E H H H H H E H H H H H E H )

1(12

4443

42

41

34

)

1(12

3332

3124

23)

1(12

2221

1413

12

)

1(1211

=-'''''-'''''-'''''-'

第三最低能态：为非简并态

一阶微扰修正E 22(1)

满足积分公式：

⎰

ψψ=

'a

22*

2222dx

V E