第1章 水文统计

P（AB）=P（A）×P（B︱A）， P（A） ≠0
P（AB）=P（B）×P（A︱B）， P（B） ≠0
若两个事件是相互独立的，它们共同出现的 概率等于事件A的概率乘以事件B的概率，即
P（AB）+P（A）×P（B）
第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 若随机事件的试验结果可用一个数X来表示，
X随试验结果的不同而取得不同的数值，它是带有 随机性的，则将这种随机试验结果X称为随机变量。 随机变量可分为两类：即离散型随机变量和连续 型随机变量。 二、随机变量的概率分布
图1—3—1 随机变量的概率密度函数和概率分布函数
（a）概率密度函数;
(b)概率分布函数
（2）分布密度 分布函数导数的负值称为密度函数，记为f（x），即
f (x) F'(x) dF(x) d ( x)
（1－3—2）
密度函数的几何曲线称密度曲线。水文中习惯以纵坐 标表示变量x ,横坐标表示概率密度函数值f(x) ，如图 1—3－1（a）所示。
通常随机变量用大写字母X表示，它的种种可 能取值用相应的小写字母x表示。 若取n个， 则X ＝x1，X=x2 ，……，X＝xn。一般将x1， x2 ，……，xn称为系列。而可能取值出现的概 率用P表示。
1、离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示， 如表1-3-1。
X
x1
P (X=xi) p1
P(A) k n
（1—2－1）
式中： P（A）― 在一定的条件组合下，出现随机 事件A的概率 ； k― 有利于随机事件A的结果数 ； n― 在试验中所有可能出现的结果。
三、频率 设事件A在n次试验中出现了m次，则称
P( A) m n
（1—2－2）
为事件A在n次试验中出现的频率。
四、概率加法定理和乘法定理 1、两事件和的概率 两个互斥事件A、B出现的概率等于这两个事件的概率 的和，即 P（A+B）=P（A）+P（B）
求指定频率的水文特征值； （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系
延长、插补水文特征值和作水文预报； （3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范
围。
第二节 概率的基本概念
一、事件 在概率论中, 对随机现象的观测叫做随机试验, 随机试
验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、不可能事件 和随机事件三种。 二、概率 随机事件的概率计算公式
实际上，分布函数与密度函数是微分与积分的关系。 因此，已知f(x) ，则
F ( x)
P( X
x)
x
f
(x)dx
（1－3—3）
其对应关系可在图1—3－1中看出来。
（3）不及制累积概率
当研究事件X ≤x 的概率时，数理统计学中 常用分布函数G（x）表示：
G(x) P(X x)
（1－3—4）
称不及制累积概率形式，相应的水文统计用的分 布函数F（x）称为超过制累积概率形式，两者之 间有如下关系：
令
x
ki
x1 x2
xi , k x
xn n
称模比系数，
1n xi
n i1
则
（1－3—6）
k
k1 k2 kn n
1n ki
n i1
1
（1－3—7）
2、均方差
均方差是反映系列中各变量集中或离 散的程度。研究系列集中或离散程度，常
采用方差Dx或均方差 ，计算公式为
Dx
1 n
(xi
2
x)
F(x) 1 G(x)
（1－3—5）
三、随机变量的统计参数
说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的 统计参数。
统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文 计算中常用的样本统计参数有均值、均方差、变差系数和 偏态系数。
1、均值 均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观
测系列（样本）为x1，x2，…… ,xn ， 则其均值为
式中：P（A+B）— 实现事件A或事件B的概率； P（A）— 事件A的概率； P（B）— 事件B的概率。
2、条件概率 两个事件A、B，在事件A发生的前提下，事件B发生的
概率为事件B在条件A下事件B条件概率，记为 P（B︱A）
3、两事件积的概率
两事件积的概率，等于其中一事件的概率乘 以另一事件在已知前一事件发生的条件下的条件 概率，即
（1－3—8）
(xi x)2
n
源自文库
（1－3—9）
3、变差系数
水文计算中用均方差与均值之比作为衡量系 列的相对离散程度的一个参数，称为变差系数， 或称离差系数、离势系数，用Cv表示，其计算式 为
CV
x
(ki 1)2
n
（1－3—10）
上式说明，Cv是变量换算成模比系数k以后的 均方差。
x2 …… xi …… p2 …… pi ……
2、连续型随机变量的概率分布
（1）分布函数
设事件X≥x 的概率用P（X≥x）来表示，它是随随机变 量取值x而变化的，所以p（X≥x）是x的函数，称为随机变 量x的分布函数，记为F（x），即
F(x)=P(X≥x)
（1－3—1）
它代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。其几何图形如图 1—3－1（b）所示， 图中纵坐标表示变量x，横坐标表示概率分布函 数值F（x），在数学上称此曲线为分布曲线，水文统计中称为随机变 量的累积频率曲线，简称频率曲线。
水文分析与计算
主 讲：武鹏林 太原理工大学 水利科学与工程学院
第一章 水文统计
研究内容
（1）频率计算，包括随机变量及其概率 分布、水文频率曲线、水文频率计算适线 法。
（2）相关分析，包括两变量直线相 关、两变量曲线相关、复相关。
第一节 水文统计的意义
一、水文现象的特性 水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也
具有偶然性的一面。 1、必然现象是指事物在发展、变化中必然会出现的现象； 水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。 2、偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现也可能不 出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是有 规律的，一般称为统计规律。
二、水文统计规律的研究 — 水文统计 数学中研究随机现象统计规律的学科称为概
率论, 而由随机现象的一部分试验资料去研究总 体现象的数字特征和规律的学科称为数理统计学。 概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则 称为水文统计。
三、水文统计的任务
• 水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的 统计变化特性。
• 水文统计的基本方法和内容具体有以下三点： （1）根据已有的资料（样本），进行频率计算，推