大学数学初等数论精品PPT课件
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初等数论ppt
费马 [法]1601-1665，是数学史上 哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马 德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
概率论等方面有巨大贡献。
被选为彼得堡科学院院士.
希尔伯特[德]1862～1943，他领 导的数学学派是19世纪末20世纪 初数学界的一面旗帜，希尔伯特 被称为“数学界的无冕之王”。 著《数论报告》、《几何基础》、 《线性积分方程一般理论基础》.
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于 费马、欧拉、拉格朗日、勒让德 和高斯等人的工作。1801年，高 斯的《算术探究》是数论的划时 代杰作。
19初等数论PPT课件
个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立.令a-qb=r,则 a=bq+r,而0≤r<b
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有 非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存 在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理， 我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并 设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明， 尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受， 若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷 格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性 质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的 最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来 接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法： 如果把数学归纳法作为公理，可推出最小 整数原理，如果把最小整数原理作为公理， 可推出数学归纳法。
整除的概念
定义 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如 果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有 非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存 在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理， 我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并 设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明， 尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受， 若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷 格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性 质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的 最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来 接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法： 如果把数学归纳法作为公理，可推出最小 整数原理，如果把最小整数原理作为公理， 可推出数学归纳法。
整除的概念
定义 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如 果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;
初等数论一-夏子厚精品PPT课件
• A = { y|y =a1x1 a2x2 anxn，xiZ，1 i n } • 中的最小正数，则对于任何yA，y0y；特别地，
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己） • （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
第一节 整除与带余数除法
《初等数论》课程内容
• 第二章 不定方程
• 第一节 二元一次不定方程 • 第二节 多元一次不定方程 • 第三节 勾股数x2 y2 = z2
《初等数论》课程内容
• 第三章 同余性质
• 第一节 同余的概念及其基本性质 • 第二节 完全剩余系 • 第三节 欧拉函数与简化剩余系 • 第四节 欧拉定理与费马定理
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除数 ），并且记作：ba；如果不存在整数q 使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不 被b整除，记作：b a。|
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
初等数论(一)
Number Theory （Chap1）
修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经
常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法
和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
为什么要这样学？
第一节 整除与带余数除法
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己） • （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
第一节 整除与带余数除法
《初等数论》课程内容
• 第二章 不定方程
• 第一节 二元一次不定方程 • 第二节 多元一次不定方程 • 第三节 勾股数x2 y2 = z2
《初等数论》课程内容
• 第三章 同余性质
• 第一节 同余的概念及其基本性质 • 第二节 完全剩余系 • 第三节 欧拉函数与简化剩余系 • 第四节 欧拉定理与费马定理
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除数 ），并且记作：ba；如果不存在整数q 使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不 被b整除，记作：b a。|
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
初等数论(一)
Number Theory （Chap1）
修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经
常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法
和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
为什么要这样学？
第一节 整除与带余数除法
初等数论绪论课件
数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念， 它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间 的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制 、八进制和十六进制等。不同进制之间可以 进行转换，例如将十进制数转换为二进制数 或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到 数的符号表示，如正数、负数和零的表示方 法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合 律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不 满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念， 它是指将一个合数表示为其质因数的 乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干 个质数的乘积。例如，将数28进行质 因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分 解是数论中一个重要的工具，它在解 决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学 家对数论的深入研究和突 破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中 有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现 数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量 子力学和统计力学的数学结构
初等数论第三章课件
, n 1)时，每一项3i xi 各取3个值， 3x1 x0共通过3n 1 个数；
② 在这3n 1 个数中，若有 3n 1 xn 1 3n xn x0 =3n xn 3n 1 xn 1 3x1 3x1 x0 3n ( xn xn ) 3n 1 ( xn 1 xn 1 ) 则x0 x0 x0 x0 3 x0 x0 x1 ) 3( x1
同余的一个应用——检查因数的一些方法
A、一整数能被3（9）整除的充要条件是它的十进位 数码的和能被3（9）整除。
证：a Z , 将a写成十进位数的形式： a an10 an 110
n
i n n
n 1
a0 , 0 ai 10.
i n
因10 1(mod 3), 故10 1(mod 3), ai 10 ai (mod 3), 从而 ai 10i ai (mod 3),即a ai (mod 3).
n
n 1
3 x1 x
也是模3 =2H+1的绝对最小完全剩余系。（再由 模2H+1的绝对最小完全剩余系具有唯一性得到结论）
① 3n xn 3n 1 xn 1 xi 1, 0,1(i 0,1, 故3n xn 3n 1 xn 1
3x1 x0共有n 1项，当
i ! p( p 1)
( p i 1) Z i! ( p i 1)
当i 1, 2, 故C ip pq,
, p 1时, (i !, p) 1 即p C ip
i ! ( p 1)
( p i 1)，
例3、（ 1）求所有的正整数n，使得2n 1能被7整除； （2）证明：对于任何正整数n，2n +1不能被7整除。
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件1-5
例5 求[1
练习：
1 1.证明 : 对任意x R, 有 x x 2 x 2 2.设m , n是整数 , n 1, 证明 :
m | m1 n , 当n m 1 n m 1,当n | m 1 n 3.证明 : x , y R, 有
17
18
9解 : i 2 i 3 i 5 i 6 i 10 i
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
500
500 2
500 3
500 5
500 6
500 500 500 500 500 500 500 8解 : 500 7 11 57 5 11 7 11 5 7 11 312 5
(3)[ n x ] n [ x ], n Z ; (4)[ x ] [ y ] [ x y ], x y x y;
例如： [2.3] 2,[ 2.3] 3,[2] 2,[ ] 3,[ ] 4；
2.3 0.3,2.3 0.7,2 0, 0.1415 ,
证明(7):a b时显然.设m是任一不大于a而为b的倍数的
正整数, 则
0 m bm1 a , 0 m1
a a 注：若记 a b q (余r )，则 b[ ] q , b = r . b b
a . b a 故满足上条件的m的个数等于m1的个数 ,因而等于 . b 证明(8)由[ x ] x y [ y ] 1, 得[ x ] [ y ] 1, [ x ] [ y ];
初等数论第一章课件
(i)m是任一正整数，则
(am, bm) (a, b)m
(ii)若
是a,
b的任一公因数，则
a
,
b
a, b
，
特别
a (a, b)
,
b (a, b)
1
对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设
a1, a2 , , an是任意n个正整数，令 (a1, a2 ) d2 , (d2 , a3 ) d3, , (dn1, an ) dn.
q及r，使得
a bq r，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例
当a 5, b 2时，可有
5 （ 2）（ 3）（1），即q 3, r 1;
或5 （ 2）（ 2）1，即q 2, r 1
证明分析：作序列
，- 3 b ,- 2 b ,- b ,0, b ,2 b ,3 b , 2 2 2 22 2
2、整除的基本定理
定理1（传递性）：ab，bc ac
定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数
定理3 若a1 , a2, , an都是m的倍数，q1, q2, , qn 是任意n个整数，则a1q1 a2q2 anqn是m的倍数
3、带余数除法
定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b () 成立，而且q及r是唯一的。 ()式中的q及r分别叫a被b除所得的不完全商和余数。
[a1, a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3, ,[mn1, an ] mn. 于是我们有
定理5 a1, a2, , an是n个正整数，则 [a1, a2 , , an ] mn.
初等数论ppt
二
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。 李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文 词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元 一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项 式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与 现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以 后才完全作到这一点。
第一章 整数的整除性
第一节 整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的 奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有 奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整 数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇 数的个数必为偶数个。
初等数论-程耀ppt课件
}
筛法求素数
考虑：如果一个数是合数，那么它的素因子 都比它小？？？
这样说来：如果我们的当前数是 a ,那么所有 a的倍数〔当然是2倍以上啦〕都不会是素数 ，可以这样看吧？ 于是，我们可以一种新的素数判定方法。
筛法求素数
• 方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍 数。
• 举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 • 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 • 29 30 • ①筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19
if( ! prime[ i ]){ for ( int j = i * i ; j <maxn;j+=i) prime[ j ]=1;
} }
miller_rabin素性判定
• miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定 型的。但是，只要运行次数足够多，一般出 错的概率是非常小的，一般10次就好了！
}
witness函数
• witness函数用来搜集n是合数的证据。
• bool witness(LL a,LL n){
•
LL m=n-1;
• int t=0; LL y;
•
while(!(m&1)){ m>>=1;t++;}//这个地方是通过一个推论来优化的
，x^2=1(mod n),当那个n是合数的时候，就会出现非平凡平方根！
证明：令d = gcd( a , b); a*x + b*y=d ...................① b*x1+(a%b)*y1=d..............②
那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。 把①②两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来 替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1-a/b*y1;
筛法求素数
考虑：如果一个数是合数，那么它的素因子 都比它小？？？
这样说来：如果我们的当前数是 a ,那么所有 a的倍数〔当然是2倍以上啦〕都不会是素数 ，可以这样看吧？ 于是，我们可以一种新的素数判定方法。
筛法求素数
• 方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍 数。
• 举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 • 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 • 29 30 • ①筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19
if( ! prime[ i ]){ for ( int j = i * i ; j <maxn;j+=i) prime[ j ]=1;
} }
miller_rabin素性判定
• miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定 型的。但是，只要运行次数足够多，一般出 错的概率是非常小的，一般10次就好了！
}
witness函数
• witness函数用来搜集n是合数的证据。
• bool witness(LL a,LL n){
•
LL m=n-1;
• int t=0; LL y;
•
while(!(m&1)){ m>>=1;t++;}//这个地方是通过一个推论来优化的
，x^2=1(mod n),当那个n是合数的时候，就会出现非平凡平方根！
证明：令d = gcd( a , b); a*x + b*y=d ...................① b*x1+(a%b)*y1=d..............②
那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。 把①②两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来 替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1-a/b*y1;
初等数论最小公倍数ppt课件
有[a,b]|M,
且有[a,b]
ab (a,b)
。
证：由M的定义知有M=ac=bd,又设
a (a,b)a1,b (a,b)b1 有 a1c b1d
因为 (a1,b1) ab1所以b1 | c，即 c b1t
有M=a b1t =(a,b) t,显然当t=1时最小，
即
[a, b]
ab (a,b)
17
D 不存在对任意整数恒取素数的多项式
人们曾试图找一个能表示素数的多项式， 但都 失败了.
例给出了x2 x 41 ，当x=0,1,2,…39时都
是素数,但当x=40时就是合数
x2 x 72491 , 当x=0,1,2,…,11000时都是 素数,但当x=110001时就是合数.
用反证法可证不存在对任意整数恒取素数 的多项式（略）
.
所以M=[a,b]t,即有[a,b]|M.
2
例:设正整数m是a,b的公倍数,则
证明：
且
3
推论：设a,b,m是正整数，则[ma, mb]=m[a,b] 证：由 [ma, mb] m2ab mab m[a,b]
(ma, mb) (a,b)
下面给出n个整数的最小公倍数的方法
定理2：设 a1, a2 , an为n个整数，又
§3 最小公倍数 定义： n是大于1的整数，整数 a1, a2 , an 的公共倍数称为 a1, a2 , an的公倍数，正 公倍数中最小的一个称为 a1, a2 , an 的最
小公倍数。记成 [ a1, a2 , an ]
例 [2，-8]=8 下面考虑两个数的最小公倍数
1
定理1：设M是正整 数a,b的任一公倍数，则
又a3 | m m3 | m … mn | m
初等数论
a (aa2 ) ( aa ( m ) ) a2 a ( m ) (mod m)
进而得到
a (aa2 ) (aa ( m ) ) a ( m ) a2 a ( m ) a2 a ( m ) (mod m).
由于 a 2 ,, a ( m ) 与 m 互素，得
其中 fj(x)( 1 ≤j ≤k )是整系数多项式,称为同余方程组。若整数 c 同时满足同余方程组
f j (c) 0(mod m j ),
1 ≤j ≤k ，
孙子定理和大衍求一术
在我国古代的《孙子算经》 （纪元前后）里提出了这样的一个问题： “今 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” “答曰：二十三”. 孙子给出解法： “术曰：三三数之剩二，置百四十；五五数之剩三，置 六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之即 得.” 所谓“孙子定理”，便是蕴含在这解法中的数学原理。它要解决的问题的 一般形式是： “已知 m1、m2、m3 是两两互素的正整数，求最小正整数 x ，使它被
c 如果 a, b Œ ，则方程无整数解。
如果 a, b |c ，则方程一定有整数解。根据辗转相除法可以知道： 一定存在整数 x0 , y0 使得 ax0 by0 a, b ，则（
cx0 cy0 , ） a, b a, b
就是方程 ax by c 的一组整数解。设 a1 则不定方程的一切整数解可以表示为
m1、m2、m3 除所得余数分别为 a1 、 a2 、 a3 .”
这个问题的实质就是要求解同余方程组
x a1 (mod m1 ), x a2 (mod m2 ), x a3 (mod m3 )
孙子定理和大衍求一术
进而得到
a (aa2 ) (aa ( m ) ) a ( m ) a2 a ( m ) a2 a ( m ) (mod m).
由于 a 2 ,, a ( m ) 与 m 互素，得
其中 fj(x)( 1 ≤j ≤k )是整系数多项式,称为同余方程组。若整数 c 同时满足同余方程组
f j (c) 0(mod m j ),
1 ≤j ≤k ，
孙子定理和大衍求一术
在我国古代的《孙子算经》 （纪元前后）里提出了这样的一个问题： “今 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” “答曰：二十三”. 孙子给出解法： “术曰：三三数之剩二，置百四十；五五数之剩三，置 六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之即 得.” 所谓“孙子定理”，便是蕴含在这解法中的数学原理。它要解决的问题的 一般形式是： “已知 m1、m2、m3 是两两互素的正整数，求最小正整数 x ，使它被
c 如果 a, b Œ ，则方程无整数解。
如果 a, b |c ，则方程一定有整数解。根据辗转相除法可以知道： 一定存在整数 x0 , y0 使得 ax0 by0 a, b ，则（
cx0 cy0 , ） a, b a, b
就是方程 ax by c 的一组整数解。设 a1 则不定方程的一切整数解可以表示为
m1、m2、m3 除所得余数分别为 a1 、 a2 、 a3 .”
这个问题的实质就是要求解同余方程组
x a1 (mod m1 ), x a2 (mod m2 ), x a3 (mod m3 )
孙子定理和大衍求一术
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件1-4
且
a p1 p2 pn q1q2 qm ,
p1 a q1q2 qm , 则必有某个q j , 使得p1 q j , 从而p1 q j . 同理 , 又有某个pi , 使得q1 pi , 所以q1 pi . 又p1 p2 pn , q1 q2 qk , 可知p1 q1 . 从而重复上述这一过程 , 得到n k , pi qi , 所以结论成立.
k 1 2 1 1 1 pk p1 1 1 p2 (2)a的不同的正约数之和为 1 p1 1 p2 1 pk 1
例2
写出51480的标准分解式。
解：51480 = 225740 = 2212870 = 236435 = 2351287 = 2353429 = 23532143 = 233251113。
7
推论3.3 设a,b是任意两个正整数，且
a p11 p2 2 pk k , b p1 1 p2 2 pk k , i , i 0,
则 ( a , b ) p1 p2 pk
1
2
k
i 1,2, k . , i min i , i , i 1,2, , k .
证明：令k 2ak pk，pk为奇数，k 1, 2, , n. 设 是满足 2 n的最大整数， 1. 则在1,2, 3,4,5, , n中，有且仅有一个k含因子 2 . 1 1 1 从而，在 2 p1 p2 pn (1 )的展开式中， n 2 3 有且仅有一项为奇数，其他均为偶数，其和为奇数.
§1.4 质数
一、质数与合数
算术基本定理
证明 : 假设q不是质数 ,由定义 , q除1及本身外还有一正因数q1 ,
初等数论课件
初等数论课件《初等数论》课件⼗堰⼴播电视⼤学-------任鹏第⼀部分⼤纲说明⼀、课程的作⽤与任务“初等数论”课程是中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业的⼀门限选课。
数学与应⽤数学专业的学⽣学习⼀些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的⼀些课程。
通过这门课的学习，使学⽣获得关于整数的整除性、不定⽅程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常⽤的⽅法，加强他们的理解和解决数学问题的能⼒，为今后的学习奠定必要的基础。
⼆、课程的⽬的与要求初等数论是研究整数性质的⼀门学科，历史上遗留下来没有解决的⼤多数数论难题其问题本⾝容易搞懂，容易引起⼈的兴趣，但是解决它们却⾮常困难。
本课程的⽬的是简单介绍在初等数论研究中经常⽤到的若⼲基础知识、基本概念、⽅法和技巧。
通过本课程的学习，使学⽣加深对整数的性质的了解，更深⼊地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
三、教学要求有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等⽅法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
第⼆部分学时按排⼀、学时和学分1、本课程共54学时，学时分配为：2、学分本课程共3学分。
⼆、教材1、⽂字教材是学⽣学习的主要⽤书，它是教和学的主要依据。
根据远程开放教育要求和电⼤学⽣⼊学时⽔平参差不齐的实际情况，⽂字教材除主教材外，并配辅助教材。
⽂字教材是学⽣获得知识和能⼒的重要媒体，教材中对概念的叙述要直观⽆误，论证要清楚，要适合成⼈开放教育、以业余学习为主的特点，要便于学⽣⾃学。
2、本课程要积极探索基于⽹络环境的远程开放教育的教学模式、学习模式，充分利⽤IP课程的卫星、⽹络传播的优势，充分发挥IP 课程的教学内容可选和交互性，为学⽣⾃主学习本课程提供更⽅便的教学资源。
三、教学环节1、⾃学⾃学是电⼤学⽣获得知识的重要⽅式，⾃学能⼒的培养也是远程开放⾼等教育的⽬的之⼀，本课程的教学要注意对学⽣⾃学能⼒的培养。
初等数论第二章课件
第二章不定方程不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。
是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘幻灯片2建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
这是一个三元不定方程组问题。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
近年来，这个领域更有重要进展。
但从整体上来说，幻灯片3对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。
另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
幻灯片4第一节二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。
11(1)(,,,)(,)ax by ca b Z a b a b c +=∈、定理设二元一次不定方程不全为零有整数解的充要条件是：0000,1x y ax by c+=证：（必要条件）设为（）的一组整数解，则 00(,),(,),(,).a b a a b b a b ax by c ∴+=幻灯片6 11(,),(,),,,,00,,(,)(2)a b c c c a b c Z a b Z a b s t Z as bt a b =∈∈≠≠∈+=（充分条件）若设而对且，，则存在使得1111010100002(,)=,=1c asc btc a b c cx sc y tc ax by c x y +==+=在（）式两端同乘以得令，即得，故（）式有一组整数解，. 幻灯片7注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：11()(1)(1)(,)(1),(1)n n n n n n n n n i Q a P b r a b s Q t P ---+-===-=-由辗转相除法等可求得，取；1010(),(,)(,)c c ii sc s x tc t y a b a b ====再取； 00(),(,)(,)1c c iii x s y t a b a b ==则就为方程组（）的一组整数解。
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件3-1
9
10
⑧ a b(mod m ), d 是a , b及m的任一正公因数,则 a b m mod . d d d m a b 证: m ab . d d d
四、一些整数的整除特征
设a anan1 a0表示an n an1 10n1 a1 101 a0 (1) 3、9 的整除特征
16
c
c
解： 71 3(mod10), 7 2 1(mod10), 7 4 1(mod10)
r 4 k r 记 77 74 k r , 则有7 7 74 k r (7 ) 7 1 7 (mod10)
7
7
故只须考虑7 被4除得的余数r ,即7 7 (mod10)
13 14
证明 : 1000 1(mod 7, 或 mod11, 或 mod13), a an 1000n an1 1000n1 a1 1000 a0 ( 1)n an ( 1)n1 an1 ( 1)1 a1 a0
n
( 1)i ai (mod 7, 或 mod11, 或 mod13).
TH 3 设ai , bi (0 i n)，x , y都是整数，
则
① a c b d (mod m)； ② ac bd (mod m); ③ak bk (mod m).
并且x y mod( m ), ai bi mod( m ), 0 i n.
则： ai x i bi y i (mod m )
但8 3 5(mod 9) 所以结果不正确。 注：若结论成立，其结果不一定正确； 也可以检查和、差的运算。
3
TH1 ① a a (mod m)； ② a b (mod m) b a (mod m)； ③ a b，b c (mod m) a c (mod m)。
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10=5×2 所以（2605，3245，7250）= （295，7250）=5.
练习
求（125，610）. 求（51306，1224）. 求（538，244，555）.
§1.3最小公倍数 一、定义
设 a1,a2,a3,..., an 是 n 个不全为零的整数， 若整数 m 是它们之中每一个的倍数，那 么 m 就叫做 a1,a2,a3,..., an 的一个公倍数。整
二、整除
1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在 一个整数q使得等式：
a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作 b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除 a。
2、整除的性质
（1）如果b∣a， c∣b，则c∣a. （2）如果b∣a，则cb∣ca. （3）如果c∣a，则对任何整数d， c∣da. （4）如果c∣a， c∣b，则对任意整数m，n，有
例2：求×1+2520， 2605=2520×1+85 2520=85×29+55 85=55×1+30 55=30×1+25 30=25×1+5 25=5×5
所以（2605，-5125）=5.
例3：求（2605，3245，7250）.
解：先求2065和3245的最大公因数。 因为3245=2605×1+1180，
初等数论的大部份内容早在古希腊欧 几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几 里得证明了素数有无穷多个，他还给出求 两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓 欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有 杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国 剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
（a1，a2，…，an） =1，
则称a1，a2，…，an 是互质的。
注：三个互质比一定两两互质。 比如（3，4，6）=1，但（3，6）=3，（4，6）=2.
3、最大公因数的性质
（1）当b∣a时，（a，b）=b. （2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数. （3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有
r r1q2 r2 ,
…
…
0＜ r2 ＜ r1 ，
rn2 rn1qn rn , 0＜ rn ＜ rn1 ，
rn1 rn qn1 rn1 , rn 1 0 ,
一个推论
若a，b是正整数，且（a，b） =d，则必存在整数m和n，使得
d=ma+nb
注：证明可由带余除法逆向代入证得。
例1：求（735000，238948）.
解：因为735000=238948×3+18156， 238948=18156×13+2920 18156=2920×6+636 2920=636×4+376 636=376×1+260 376=260×1+116 260=116×2+28 116=28×4+4 28=4×7
所以（735000，238948）=4.
c∣ma+nb.
（5）如果a∣b， b∣a，则a=±b.
3、质数、合数
质数（素数） 合数 质因数 分解质因数 算术基本定理
4、带余除法
定理： 设a，b是两个整数，其中b＞0，则存
在两个唯一的整数q及r，使得 a=bq+r，0≤r＜b
成立.我们称r是b除a的余数。 可以看出：b整除a的充要条件是r=0。
2605=1180×1+885 1180=885×1+295 885=295×3 所以（2605，3245）=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=295×24+170， 295=170×1+125 170=125×1+45 125=45×2+35 45=35×1+10 35=10×3+5
§1.2最大公因数和辗转相除法
一、最大公因数
1、定义 设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，若整
数d是它们之中每一个的因数，那么d就叫做 a1，a2，…，an的一个公因数。整数的公因数中 最大的一个叫做它们的最大公因数，记作
（a1，a2，…，an） 。
2、互质
设a1，a2，…，an是n个不全为零 的整数，若
（am，bm）=（a，b）m. （4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有
（ac，b）=（c，b） （5）若（a，b）=1， b∣ac，则有b∣c. （6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：
(a ,b) 1 dd
4、辗转相除法
1、定理：
设 a,b 是任意两个正整数，且 a ＞b ，且有
a bq r,
0＜ r ＜b ，
其中 q ， r 都是正整数，则有
(a,b) (b, r)
2、辗转相除法 定理：
若 a, b 是任意两个正整数，且 a ＞ b ，由带余除法，有下列等式
a bq r, 0＜ r ＜b ，
b rq1 r1,
0＜ r1 ＜ r ，
则有 (a,b) rn .
近代初等数论的发展得益于 费马、欧拉、拉格朗日、勒让德 和高斯等人的工作。1801年，高 斯的《算术探究》是数论的划时 代杰作。
“数学是科学之王，数论是数 学之王”。 -----高斯
欧几里德
高斯
费马
欧拉
拉格朗日
毕达格拉斯
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高 等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发 展，从而开阔了新的研究领域，出现了代 数数论、解析数论、几何数论等 新分支。 而且近年来初等数论在计算器科学、组合 数学、密码学、代数编码、计算方法等领 域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间
大学数学
初等数论 线性代数 射影几何 概率统计
初等数论
赵争 Email:
序言
数论是研究整数性质的一门很 古老的数学分支， 其初等部分是以
整数的整除性为中心的，包括整除性、 不定方程、同余式、连分数、素数 （即整数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称， 内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中 最基本的概念和理论，希望大家能对这 门学问产生兴趣，并且对中小学时代学 习过的一些基本概念，例如整除性、最 大公因子、最小公倍数、辗转相除法等， 有较深入的了解。
第一章 整数的整除性
§1.1整除的概念
一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数 一个性质： 整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
练习
求（125，610）. 求（51306，1224）. 求（538，244，555）.
§1.3最小公倍数 一、定义
设 a1,a2,a3,..., an 是 n 个不全为零的整数， 若整数 m 是它们之中每一个的倍数，那 么 m 就叫做 a1,a2,a3,..., an 的一个公倍数。整
二、整除
1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在 一个整数q使得等式：
a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作 b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除 a。
2、整除的性质
（1）如果b∣a， c∣b，则c∣a. （2）如果b∣a，则cb∣ca. （3）如果c∣a，则对任何整数d， c∣da. （4）如果c∣a， c∣b，则对任意整数m，n，有
例2：求×1+2520， 2605=2520×1+85 2520=85×29+55 85=55×1+30 55=30×1+25 30=25×1+5 25=5×5
所以（2605，-5125）=5.
例3：求（2605，3245，7250）.
解：先求2065和3245的最大公因数。 因为3245=2605×1+1180，
初等数论的大部份内容早在古希腊欧 几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几 里得证明了素数有无穷多个，他还给出求 两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓 欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有 杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国 剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
（a1，a2，…，an） =1，
则称a1，a2，…，an 是互质的。
注：三个互质比一定两两互质。 比如（3，4，6）=1，但（3，6）=3，（4，6）=2.
3、最大公因数的性质
（1）当b∣a时，（a，b）=b. （2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数. （3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有
r r1q2 r2 ,
…
…
0＜ r2 ＜ r1 ，
rn2 rn1qn rn , 0＜ rn ＜ rn1 ，
rn1 rn qn1 rn1 , rn 1 0 ,
一个推论
若a，b是正整数，且（a，b） =d，则必存在整数m和n，使得
d=ma+nb
注：证明可由带余除法逆向代入证得。
例1：求（735000，238948）.
解：因为735000=238948×3+18156， 238948=18156×13+2920 18156=2920×6+636 2920=636×4+376 636=376×1+260 376=260×1+116 260=116×2+28 116=28×4+4 28=4×7
所以（735000，238948）=4.
c∣ma+nb.
（5）如果a∣b， b∣a，则a=±b.
3、质数、合数
质数（素数） 合数 质因数 分解质因数 算术基本定理
4、带余除法
定理： 设a，b是两个整数，其中b＞0，则存
在两个唯一的整数q及r，使得 a=bq+r，0≤r＜b
成立.我们称r是b除a的余数。 可以看出：b整除a的充要条件是r=0。
2605=1180×1+885 1180=885×1+295 885=295×3 所以（2605，3245）=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=295×24+170， 295=170×1+125 170=125×1+45 125=45×2+35 45=35×1+10 35=10×3+5
§1.2最大公因数和辗转相除法
一、最大公因数
1、定义 设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，若整
数d是它们之中每一个的因数，那么d就叫做 a1，a2，…，an的一个公因数。整数的公因数中 最大的一个叫做它们的最大公因数，记作
（a1，a2，…，an） 。
2、互质
设a1，a2，…，an是n个不全为零 的整数，若
（am，bm）=（a，b）m. （4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有
（ac，b）=（c，b） （5）若（a，b）=1， b∣ac，则有b∣c. （6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：
(a ,b) 1 dd
4、辗转相除法
1、定理：
设 a,b 是任意两个正整数，且 a ＞b ，且有
a bq r,
0＜ r ＜b ，
其中 q ， r 都是正整数，则有
(a,b) (b, r)
2、辗转相除法 定理：
若 a, b 是任意两个正整数，且 a ＞ b ，由带余除法，有下列等式
a bq r, 0＜ r ＜b ，
b rq1 r1,
0＜ r1 ＜ r ，
则有 (a,b) rn .
近代初等数论的发展得益于 费马、欧拉、拉格朗日、勒让德 和高斯等人的工作。1801年，高 斯的《算术探究》是数论的划时 代杰作。
“数学是科学之王，数论是数 学之王”。 -----高斯
欧几里德
高斯
费马
欧拉
拉格朗日
毕达格拉斯
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高 等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发 展，从而开阔了新的研究领域，出现了代 数数论、解析数论、几何数论等 新分支。 而且近年来初等数论在计算器科学、组合 数学、密码学、代数编码、计算方法等领 域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间
大学数学
初等数论 线性代数 射影几何 概率统计
初等数论
赵争 Email:
序言
数论是研究整数性质的一门很 古老的数学分支， 其初等部分是以
整数的整除性为中心的，包括整除性、 不定方程、同余式、连分数、素数 （即整数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称， 内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中 最基本的概念和理论，希望大家能对这 门学问产生兴趣，并且对中小学时代学 习过的一些基本概念，例如整除性、最 大公因子、最小公倍数、辗转相除法等， 有较深入的了解。
第一章 整数的整除性
§1.1整除的概念
一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数 一个性质： 整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数