大学数学初等数论精品PPT课件
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二、整除
1、定义:设a,b是整数,b≠0。如果存在 一个整数q使得等式:
a=bq 成立,则称b能整除a或a能被b整除,记作 b∣a;如果这样的q不存在,则称b不能整除 a。
2、整除的性质
(1)如果b∣a, c∣b,则c∣a. (2)如果b∣a,则cb∣ca. (3)如果c∣a,则对任何整数d, c∣da. (4)如果c∣a, c∣b,则对任意整数m,n,有
2605=1180×1+885 1180=885×1+295 885=295×3 所以(2605,3245)=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=295×24+170, 295=170×1+125 170=125×1+45 125=45×2+35 45=35×1+10 35=10×3+5
10=5×2 所以(2605,3245,7250)= (295,7250)=5.
练习
求(125,610). 求(51306,1224). 求(538,244,555).
§1.3最小公倍数 一、定义
设 a1,a2,a3,..., an 是 n 个不全为零的整数, 若整数 m 是它们之中每一个的倍数,那 么 m 就叫做 a1,a2,a3,..., an 的一个公倍数。整
促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称, 内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中 最基本的概念和理论,希望大家能对这 门学问产生兴趣,并且对中小学时代学 习过的一些基本概念,例如整除性、最 大公因子、最小公倍数、辗转相除法等, 有较深入的了解。
第一章 整数的整除性
§1.1整除的概念
一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数 一个性质: 整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
§1.2最大公因数和辗转相除法
一、最大公因数
1、定义 设a1,a2,…,an是n个不全为零的整数,若整
数d是它们之中每一个的因数,那么d就叫做 a1,a2,…,an的一个公因数。整数的公因数中 最大的一个叫做它们的最大公因数,记作
(a1,a2,…,an) 。
2、互质
设a1,a2,…,an是n个不全为零 的整数,若
(am,bm)=(a,b)m. (4)若(a,b)=1,c为任一正整数,则有
(ac,b)=(c,b) (5)若(a,b)=1, b∣ac,则有b∣c. (6)若a,b,c是任意三个正整数,则(a,b)=d的充分必要条件是:
(a ,b) 1 dd
4、辗转相除法
1、定理:
设 a,b 是任意两个正整数,且 a >b ,且有
解:因为735000=238948×3+18156, 238948=18156×13+2920 18156=2920×6+636 2920=636×4+376 636=376×1+260 376=260×1+116 260=116×2+28 116=28×4+4 28=4×7
所以(735000,238948)=4.
a bq r,
0< r <b ,
其中 q , r 都是正整数,则有
பைடு நூலகம்
(a,b) (b, r)
2、辗转相除法 定理:
若 a, b 是任意两个正整数,且 a > b ,由带余除法,有下列等式
a bq r, 0< r <b ,
b rq1 r1,
0< r1 < r ,
则有 (a,b) rn .
(a1,a2,…,an) =1,
则称a1,a2,…,an 是互质的。
注:三个互质比一定两两互质。 比如(3,4,6)=1,但(3,6)=3,(4,6)=2.
3、最大公因数的性质
(1)当b∣a时,(a,b)=b. (2)a,b的一切公因数都是(a,b)的因数. (3)若a,b是正整数,m是任一正整数,则有
例2:求(2605,-5125).
解:因为5125=2605×1+2520, 2605=2520×1+85 2520=85×29+55 85=55×1+30 55=30×1+25 30=25×1+5 25=5×5
所以(2605,-5125)=5.
例3:求(2605,3245,7250).
解:先求2065和3245的最大公因数。 因为3245=2605×1+1180,
近代初等数论的发展得益于 费马、欧拉、拉格朗日、勒让德 和高斯等人的工作。1801年,高 斯的《算术探究》是数论的划时 代杰作。
“数学是科学之王,数论是数 学之王”。 -----高斯
欧几里德
高斯
费马
欧拉
拉格朗日
毕达格拉斯
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高 等分析的巧妙工具,数论得到进一步的发 展,从而开阔了新的研究领域,出现了代 数数论、解析数论、几何数论等 新分支。 而且近年来初等数论在计算器科学、组合 数学、密码学、代数编码、计算方法等领 域内更得到了 广泛的应用,无疑同时间
初等数论的大部份内容早在古希腊欧 几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几 里得证明了素数有无穷多个,他还给出求 两个自然数的最大公约数的方法, 即所谓 欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有 杰出之贡献,现在一般数论书中的“中国 剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中
的下卷第26题,我国称之为“孙子定理”。
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初等数论 线性代数 射影几何 概率统计
初等数论
赵争 Email:
序言
数论是研究整数性质的一门很 古老的数学分支, 其初等部分是以
整数的整除性为中心的,包括整除性、 不定方程、同余式、连分数、素数 (即整数)分布 以及数论函数等内 容,统称初等数论(Elementary Number Theory)。
c∣ma+nb.
(5)如果a∣b, b∣a,则a=±b.
3、质数、合数
质数(素数) 合数 质因数 分解质因数 算术基本定理
4、带余除法
定理: 设a,b是两个整数,其中b>0,则存
在两个唯一的整数q及r,使得 a=bq+r,0≤r<b
成立.我们称r是b除a的余数。 可以看出:b整除a的充要条件是r=0。
r r1q2 r2 ,
…
…
0< r2 < r1 ,
rn2 rn1qn rn , 0< rn < rn1 ,
rn1 rn qn1 rn1 , rn 1 0 ,
一个推论
若a,b是正整数,且(a,b) =d,则必存在整数m和n,使得
d=ma+nb
注:证明可由带余除法逆向代入证得。
例1:求(735000,238948).