整数规划问题.ppt

提出问题
• 某厂生产A1，A2两种品牌电视，用B1，B2两种原料， 具体数据如下，求如何安排生产使利润最大
整数规划
数学模型
n
max(min) z c j x j j 1
n
aij x j (, )bi ,
i 1,2,, m
s.t.
j 1
xj 0
j 1,2,, n
x j部分或全部为整数
松弛问题
• 若所有 xj 的解为整数，称为纯整数规划pure integer linear programming • 若部分 xj 的解为整数，称为混合整数规划mixed integer linear programming • 若xj 只取0或1，成为0-1整数规划zero-one integer linear programming
分支定界法图解整数规划
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
B2：解 （1,7/3 ）
Z21 = 17/3
B1：解 （2,23/9 ）
Biblioteka BaiduZ11 = 41/9
B2
B1
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
B1 Max Z = X1 + X2
– 若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的最 优解
2、分枝过程
– 若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数，令 bk 为 bk 的整数部分
– 构造两个新的约束条件 xk bk 和 xk bk +1，分别 加于原松弛问题，形成两个新的整数规划
3、求解分枝的松弛问题 — 定界过程
– 设两个分枝的松弛问题分别为问题 1 和问题 2 ，它们 的最优解有如下情况
整数规划的最优解不会优于其松弛问题的最优解
整数规划
注释
• 最优解不一定在顶点上达到 • 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整
数解 • 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
整数规划问题的求解方法
分枝定界法branch and bound method 分枝定界法是一种隐枚举方法（implicit enumeration）或部分
B122：解 （2，2 ）
Z122 = 4
B121：解 （3，1 ）
Z121 = 4
12 3
B12 B121 B122
Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X2 ≤ 2
X1 ， X2 ≥ 0
Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
第四章 整数规划与分配问题
Integer Linear Programming
➢数学模型 ➢割平面法 ➢分枝定界法 ➢0-1整数规划 ➢分配问题
整数规划
简述
LP虽然用途广泛，但经常地，客观上要求 L.P.最优解中不能含有非整数值（如股票的 购买之解答），整数规划就是专门用来求 解这类问题的有效工具 •重点掌握：0-1 规划灵活应用、分枝定界 法。
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
该整数规划松弛问题的解为： （X1 ，X2 ）=（3/2 ,10/3）
Z1 = 29/6
14X1 + 9X2 ≤ 51
1/3
9
51/14
整数规划 Integer Programming（IP）
整数规划
分支问题解可能出现的情况
序号
问题 1
问题 2
说明
1
无可行解
无可行解
整数规划无可行解
2
无可行解
整数解
此整数解即最优解
3
无可行解
非整数解
对问题 2 继续分枝
4
整数解
整数解
较优的一个为最优解
5 整数解，目标函 数优于问题 2
非整数解
问题 1 的解即最优解
6
整数解
非整数解，目标 问 题 1 停 止 分 枝 (剪
分支定界法图解整数规划
（3/2 ,10/3） Z1 = 29/6
B2：解 （1,7/3 ） Z21 = 17/3
X=3
B1：解 （2,23/9 ） Z11 = 41/9
B12：解 （33/14,2 ） Z12 = 61/14
X=2 1 2
B1 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥3
X2 ≤ 2
X1 ， X2 ≥ 0
Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B11 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X2 ≥ 3
X1 ， X2 ≥ 0
B12 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
12
10
整数规划 Integer Programming（IP）
整数规划问题的求解方法
≥2
X2 ≤ 2
X1 ， X2 ≥ 0
11
整数规划 Integer Programming（IP）
整数规划问题的求解方法
分支定界法图解整数规划
B2：解 （1,7/3 ）
Z21 = 17/3
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
B1：解 （2，23/9 ）
Z11 = 41/9
B12：解 （33/14,2 ） Z12 = 61/14
函数优于问题 1 枝)，其整数解为界，
对问题 2 继续分枝
• 情况 2, 4, 5 找到最优解
• 情况 3 在缩减的域上继续分枝定界法
• 情况 6 问题 1 的整数解作为界被保留，用于以后与问题 2 的后续分枝所得到的解进行比较，结论如情况 4或5 整数规划
分支定界法图解整数规划
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
枚举方法，是枚举方法基础上的改进，几乎所有的计算机计算都用 此算法。其关键是分支和定界。 例——
Max s.t.
Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1 ， X2 ≥ 0 X1 ， X2 取整数
6
分支定界法
思路与解题步骤
• 只解松弛问题
1、在全部可行域上解松弛问题