概率论大题附答案

假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ． 解 以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则

496

4100

C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν．

从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．

解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有311C 个基本事件，其中有利于1A 的

取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有2

5C 10=种不同取法）；

有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；

有利于3A 的取法有5×2

5

C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得

111102550()0.06()0.15()0.30165165165

P A P A P A =

=====&&&&&&，，． 考虑一元二次方程 02

=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．

解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=∆．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}∆<和{0}∆>．下表给出了事件{

0}∆<和{0}∆>所含基本事件的个数．

由对称性知{0}∆<和{0}∆>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率

β为

17

0.47

αβ==

≈．

． ()1()1P AB P AB r =-=-， ()()1P A B P AB r +==-，

()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P AB P A B p q r =+=-+-，

([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．

假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．

解 引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完

全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知

12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．

由贝叶斯公式，有

1111122()(|)2

(|)()(|)()(|)3

P H P A H P H A P H P A H P H P A H α==

=+．

假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步进行调试， 经调试以概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器

(1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．

解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知

1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====， ，

，．

(1) 10台仪器都能出厂的概率

0112210

100()()(|)()(|)

0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=⨯+===≈　；

．

(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =．易见，10台中至少两台不能出厂的概率

10

9

{2}1{0}{1}

10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--⨯⨯≈．

设B A ,是任意二事件，证明：

(1) 若事件A 和B 独立且B A ⊂，则()0P A =或()1P B =；

(2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件．

证明 (1) 由于B A ⊂，可见

()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，． 因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．

(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见

()()()0P A P B P AB ==，

因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．

补充：

第二节 事件的关系和运算

1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用事件A ,B ,C 的运算关系表示下列事件：

⑴ A ,B ,C 三个都发生；⑵ A 发生而B ,C 都不发生；⑶ A ,B 都发生, C 不发生； ⑷ A ,B ,C 恰有一个发生；⑸ A ,B ,C 恰有两个发生；⑹ A ,B ,C 至少有一个发生；

⑺ A ,B ,C 都不发生.

解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC ABC ABC ++ (5)ABC ABC ABC ++ (6) A B C ++ (7) ABC

第三节 事件的概率

解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，

()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.40.30.6=+-= ()1()10.10.9P AB P AB =-=-=

()()1()10.60.4P AB P A B P A B =+=-+=-= ()()()0.40.10.3P AB P A P AB =-=-=

解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()P A B P A P AB -=-

()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=， ()1()10.40.6P AB P AB =-=-=

3. 已知()09.P A =,()08.P B =,试证()07.P AB ≥. 解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，

()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.90.81≥+-0.7=

解：由条件()()0P AB P BC ==，知()0P ABC =，

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+

11115

00044488

=

++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问 ⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值是多少？ ⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值是多少？