聚焦新中考大一轮复习讲义数学答案

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(河南省)聚焦中考数学复习课件：专题9-综合型问题(含答案)

则D的 y＝172a，
坐标是(172a，172a)，OA 的垂直平分线的解析式是 x＝32a，则 C 的坐标是(32a，32a)，则 k＝
94a2.∵以 CD 为边的正方形的面积为27，∴2(172a－32a)2＝27，则 a2＝2(2015·钦州)如图，在平面直角坐标系中，以点 B(0，8)为端点的射线 BG∥x 轴，点 A 是射线 BG 上一个动点(点 A 与点 B 不重合)，在射线 AG 上取 AD＝OB，作线段 AD 的垂直平分线，垂足为 E，且与 x 轴交于点 F，过点 A 作 AC⊥OA，交直线 EF 于点 C，连接 OC，CD.设点 A 的横坐标为 t.
点拨：作∠DAE＝∠BAD 交 BC 于 E，作 DF⊥AE 交 AE 于 F，作 AG⊥BC 交 BC 于 G.∵∠C＋∠BAD＝∠DAC，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝EC，∵tan∠BAD＝47，∴设 DF＝ 4x，则 AF＝7x，在 Rt△ADF 中，AD2＝DF2＋AF2，即( 65)2＝(4x)2＋(7x)2，解得 x1＝－1(不合题意，舍去)，x2＝1，∴DF＝4，AF＝7，设 EF＝y，则 CE＝7＋y，则 DE＝6－y，在 Rt△ DEF 中，DE2＝DF2＋EF2，即(6－y)2＝42＋y2，解得 y＝53，∴DE＝6－y＝133，AE＝236，∴设 DG＝z，则 EG＝133－z，则( 65)2－z2＝(236)2－(133－z)2，解得 z＝1，∴CG＝12，在 Rt△ADG 中，AG＝ AD2－DG2＝8，在 Rt△ACG 中，AC＝ AG2＋CG2＝4 13.故答案为：4 13
5．(2015·乌鲁木齐)如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，OOAB＝ 34.∠AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y＝kx的图象过点 C.当以 CD 为边的正方形的面积为27时，k 的值是( D )

中考数学一轮复习各章节复习有答案完美版

中考数学一轮复习第1讲：实数概念与运算一、夯实基础1、绝对值是6的数是________2、|21|-的倒数是________________。

3、2的平方根是_________.4、下列四个实数中，比－1小的数是（）A ．－2 B.0 C ．1 D ．25、在下列实数中,无理数是( )二、能力提升 6、小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高4℃后的温度为（） A ．4℃ B ．9℃ C ．－1℃ D ．－9℃ 7、定义一种运算☆，其规则为a ☆b =＋，根据这个规则、计算2☆3的值是（） A ．65 B ．C ．5D ．68、下列计算不正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D 三、课外拓展9、实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是________。

四、中考链接10、数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（）131a 1b 1531222-+=-21139⎛⎫-= ⎪⎝⎭33-==A. 6或6- B. 6 C. 6- D. 3或3-11、如果a与1互为相反数，则a等于（）．A．2 B．2- C．1 D．1-12、下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（）A、 4.84B、0.484C、0.0484D、0.0048413、― 2×63＝14、在﹣2，2，2这三个实数中，最小的是15、写出一个大于3且小于4的无理数。

参考答案一、夯实基础1、6和-62、23、4、A5、C二、能力提升6、C7、A8、A三、课外拓展>9、a b四、中考链接10、A11、C12、C13、-214、﹣215、解：∵π≈3.14…，∴3＜π＜4，故答案为：π（答案不唯一）．第2讲：整式与因式分解一、夯实基础1．计算（直接写出结果）①a ·a 3=③(b 3)4=④(2ab )3=⑤3x 2y ·)223y x -（=2．计算：2332)()(a a -+-＝．3．计算：)(3)2(43222y x y x xy -⋅⋅-＝．4．1821684=⋅⋅n n n ，求n ＝．5．若._____34,992213=-=⋅⋅++-m m y x y x y x n n m m 则二、能力提升6．若)5)((-+x k x 的积中不含有x 的一次项，则k 的值是（）A ．0B ．5C ．－5D ．－5或57．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（）A ．－5B ．5C ．－2D ．28．若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（）A ．－5B ．－3C ．－1D ．19．如果552=a ，443=b ，334=c ，那么（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a三、课外拓展10．①已知,2,21==mn a 求n m a a )(2⋅的值.②若的求n n n x x x 22232)(4)3(,2---=值11．若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值．四、中考链接12．（龙口）先化简，再求值：（每小题5分，共10分）（1）x （x -1）+2x （x +1）－（3x -1）（2x -5），其中x =2．（2）342)()(m m m -⋅-⋅-，其中m =2-13、（延庆）已知，求下列各式的值：（1）；（2）．14、（鞍山）已知：，.求：（1）；（2）.15、计算：；参考答案一、夯实基础1．a 4，b 4，8a 3b 3，-6x 5y 3；2．0；3．-12x 7y 9；4．2；5．4二、能力提升6．B ；7．C ；8．B ；9．B ；三、课外拓展10．①161；②56； 11．8；四、中考链接12．(1)-3x 2+18x-5，19；(2)m 9，-512；13.（1）45；（2）5714.（1）9；（2）115.第3讲：分式检测一、夯实基础1．下列式子是分式的是( )A ．x 2B ．x x ＋1C ．x 2＋yD ．x 32．如果把分式2xy x ＋y 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A ．扩大3倍 B ．缩小3倍C ．扩大9倍D ．不变3．当分式x －1x ＋2的值为0时，x 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－24．化简：(1)x 2－9x －3＝__________. (2)aa －1＋11－a＝__________. 二、能力提升5．若分式2a ＋1有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ≠－1 D ．a ≠06．化简2x 2－1÷1x －1的结果是( ) A ．.2x －1 B ．2x 3－1 C ．2x ＋1D ．2(x ＋1) 7．化简m 2－163m －12得__________；当m ＝－1时，原式的值为__________．三、课外拓展8．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m －2＋42－m ÷(m ＋2)的结果是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．(m ＋2)29．下列等式中，不成立的是( )A ．x 2－y 2x －y ＝x －y B ．x 2－2xy ＋y 2x －y ＝x －yC ．xy x 2－xy ＝y x －yD ．y x －x y ＝y 2－x 2xy10．已知1a －1b ＝12，则aba －b 的值是( )A ．12B ．－12C ．2D ．－211．当x ＝__________时，分式x －2x ＋2的值为零．12．计算（—）·的结果是（） A ． 4 B ．－4 C ．2a D ．－2a13．分式方程的解是（）A ．x=－2B ．x=2C ． x=±2 D．无解14．把分式中的,都扩大3倍，那么分式的值（）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的C ．扩大为原来的9倍D ．不变四、中考链接15．(临沂)先化简，再求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝－1.(2)3－x 2x －4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2，其中x ＝3－3. 2-a a2+a aa a 24-2114339x x x +=-+-(0)xyx y x y +≠+x y 13参考答案一、夯实基础1．B B 项分母中含有字母．2．A 因为x 和y 都扩大3倍，则2xy 扩大9倍，x ＋y 扩大3倍，所以2xy x ＋y 扩大3倍．3．B 由题意得x －1＝0且x ＋2≠0，解得x ＝1.4．(1)x ＋3 (2)1 (1)原式＝(x ＋3)(x －3)x －3＝x ＋3；(2)原式＝a a －1－1a －1＝a －1a －1＝1.二、能力提升5．C 因为分式有意义，则a ＋1≠0，所以a ≠－1.6．C 原式＝2(x ＋1)(x －1)·(x －1)＝2x ＋1. 7．m ＋43 1 原式＝(m ＋4)(m －4)3(m －4)＝m ＋43.当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1. 三、课外拓展8．B 原式＝m 2－4m －2·1m ＋2＝(m ＋2)(m －2)m －2·1m ＋2＝1. 9．A x 2－y 2x －y ＝(x ＋y )(x －y )x －y＝x ＋y . 10．D 因为1a －1b ＝12，所以b －a ab ＝12，所以ab ＝－2(a －b )，所以ab a －b ＝－2(a －b )a －b＝－2.11．2 由题意得x －2＝0且x ＋2≠0，解得x ＝2.12. B13. B14. A四、中考链接15．解：(1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ＝a －2a －1·a (a －1)(a －2)2＝a a －2.当a ＝－1时，原式＝a a －2＝－1－1－2＝13.(2)3－x2x－4÷⎝⎛⎭⎪⎫5x－2－x－2＝3－x2(x－2)÷⎝⎛⎭⎪⎫5x－2－x2－4x－2＝3－x2(x－2)÷9－x2x－2＝3－x2(x－2)·x－2(3－x)(3＋x)＝12x＋6.∵x＝3－3，∴原式＝12x＋6＝36.第4讲：二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23 D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间二、能力提升6．若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012的值是__________．7．有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________.9．当－1＜x＜3时，化简：x－2＋x2＋2x＋1＝__________.10．如果代数式4x－3有意义，则x的取值范围是________．11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 －1312、若最简根式m2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= .13、若 5 的整数部分是a，小数部分是b，则a－1b= 。

聚焦新中考大一轮复习讲义数学

A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。

现在知道：A、B、C、D、E五人已经分别赛过5.4、3、2、l盘。

问：这时F已赛过盘。

2 (三帆中学考题)甲、乙、丙三人比赛象棋，每两人赛一盘.胜一盘得2分.平一盘得1分，输一盘得0分.比赛的全部三盘下完后，只出现一盘平局.并且甲得3分，乙得2分，丙得1分.那么，甲乙，甲丙，乙丙(填胜、平、负)。

3(西城实验考题)A、B、C、D、E、F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛(每人都与其它选手赛一场)，每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C，问：第五天A与谁对阵?另外两张球台上是谁与谁对阵?4 (人大附中考题)一个岛上有两种人：一种人总说真话的骑士，另一种是总是说假话的骗子。

一天，岛上的2003个人举行一次集会，并随机地坐成一圈，他们每人都声明：“我左右的两个邻居是骗子。

”第二天，会议继续进行，但是一名居民因病未到会，参加会议的2002个人再次随机地坐成一圈，每人都声明：“我左右的两个邻居都是与我不同类的人。

”问有病的居民是_________(骑士还是骗子)。

5 (西城实验考题)某班一次考试有52人参加，共考5个题，每道题做错的人数如下：题号 1 2 3 4 5人数 4 6 10 20 39又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人?预测1学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：(1)是一位姓王的中年女老师，教语文课;(2)是一位姓丁的中年男老师，教数学课;(3)是一位姓刘的青年男老师，教外语课;(4)是一位姓李的青年男老师，教数学课;(5)是一位姓王的老年男老师，教外语课。

他们听到的情况各有一项正确，请问：真实情况如何?预测2某次考试，A，B，C，D，E五人的得分是互不相同的整数。

A说：“我得了94分。

”B说：“我在五人中得分最高。

2020年中考数学第一轮复习第十七讲三角形与全等三角形知识点+真题学生版(后含答案)

2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十七讲三角形与全等三角形【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11对应练习1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2019青岛中考）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥ BD ，垂足为F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°对应练习2－1（2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝°对应练习2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A.45°B. 60°C. 75°D. 85°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1对应练习3－1 （天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．对应练习3－2 （宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ．考点四：全等三角形开放性问题例4 （云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．对应练习4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC ∥EF ，只需补充一个条件，就得△ABC ≌△DEF ．第十七讲三角形与全等三角形参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1答案：C 对应练习1－1答案：B 考点二：三角形内角、外角的应用例2答案：C 对应练习2－1答案：68 对应练习2－2 答案：C 考点三：三角形全等的判定和性质MOCD B例3 答案：B 对应练习3－1 答案：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，证明：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，∠E ＝∠CAE ＝AC∠EAM ＝∠CAN∴△AEM ≌△ACN （ASA ）．对应练习3－2 答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．考点四：全等三角形开放性问题例4 答案：解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS ”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA ”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS ”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．对应练习4－1 答案：BC=EF ，解析：∵AF=DC ，∴AF+FC=CD+FC ，即AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFC=∠BCF ，∵在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF＝∠EFC ∠BC ＝EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：BC=EF ．【聚焦中考真题】一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．（泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，45．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°6．（河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远7．（铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D8．（台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．13．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．14．（柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？30．（荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．第十七讲三角形与全等三角形参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=21∠A ，∠A2=21∠A1=221∠A ，… ∴∠A2 015=201521∠A=20152m 。

中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案

中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案一、解答题1．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．2．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．3．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32EG ，MN 的长．4．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．5．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．6．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]①②7．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC．(1)如图1，求证：CF⊥EF;(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

2020年中考数学第一轮复习第四节因式分解知识点+真题(后含答案)

2020年中考数学第一轮复习第一章数与式第四节因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积【注意：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。

】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【注意：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。

】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【注意：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】三、因式分解的一般步骤1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先。

2、二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用法来分解。

3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【注意：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【中考真题考点例析】考点一：因式分解的概念A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x +2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2. （2019山东东营）因式分解：x(x-3)-x+3= ．对应练习2－1．（2019年济南）分解因式：244m m -+=_____．（）（）对应练习2－2．（2019年莱芜）分解因式：a 3﹣4ab 2= ．考点三：因式分解的应用例1. 答案：6，1对应练习1－1．答案：D考点二：因式分解例2. 答案：B对应练习2－1．答案：2(2)m -对应练习2－2．答案：a （a+2b ）（a ﹣2b ）考点三：因式分解的应用例3. 答案：4对应练习3－1．答案：18【聚焦中考真题】一、选择题：1．（2019年山东临沂）将a 3b －ab 进行因式分解，正确的是（）A ．a(a 2b －b)B ．ab(a －1)2C ．ab(a+1)(a －1)D ．ab(a 2－1)2．（2019潍坊）下列因式分解正确的是（）A ．3ax 2－6ax=3(ax 2－2ax)B ．x 2+y 2=(－x+y)(－x －y)C ．a 2+2ab －4b 2=(a+2b)2D ．－ax 2+2ax －a=－a(x －1)23.（南昌）下列因式分解正确的是（） A ．x 2-xy+x=x （x -y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a -b ）2C ．x 2-2x+4=（x -1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x -3）4．（张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+95．（佛山）分解因式a 3-a 的结果是（）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）6．（恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）2二、填空题：7.（2019年威海）分解因式:2x 2－2x ＋＝ .8．（2019年淄博）分解因式：=++x x x 6523 ．A ．3x -6x=x （3x-6）B ．-a +b =（b+a ）（b-a ）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）233．（内江）若m-n=6，且m-n=2，则m+n= ．参考答案一、选择题：1-5 CDBDC 6 C二、填空题：6.答案：()221 12x-7.答案：()()32++xxx8.答案：m(x+y)(x-y)9.答案：m(m-5)10.答案：B11.答案：2)2 (-ba12.答案：x(2-x)(2+x)13. 答案：5(x+2)(x -2)14. 答案：m(m+2)(m -2)15. 答案：b(a+2b)(a -2b)17. 答案：-91(3x+1)(3x -1)16. 答案：3(a+2b)(a -2b)17. 答案：2x(x -2)18. 答案：2m(m+2)(m -2)19. 答案：2（a+2b ）(a -2b)20. 答案：22）（-x21. 答案：a(b+1)(b -1)22. 答案：(x -1)23. 答案：a(a -2)24. 答案：x(x+y)25. 答案：(a+3)(a -3)26. 答案：x -227. 答案：(x+y)(x -y)28. 答案：(x+3y)(x -3y)29. 答案：a(m+2n)(m -2n)30. 答案：))((22x y x y y x -+ 31. 答案：332. 答案：2433. 答案：x(x+1)(x -1)34. 答案：-31。

中考数学一轮复习各章节复习有答案完美版

中考数学一轮复习第1讲：实数概念与运算一、夯实基础1、绝对值是6的数是________2、|21|-的倒数是________________。

3、2的平方根是_________.4、下列四个实数中，比－1小的数是（） A ．－2 B.0 C ．1 D ．25、在下列实数中,无理数是( )A.2B.0C.5D.13二、能力提升6、小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高4℃后的温度为（）A ．4℃B ．9℃C ．－1℃D ．－9℃7、定义一种运算☆，其规则为a ☆b =1a ＋1b，根据这个规则、计算2☆3的值是（）A ．65B ． 15C ．5D ．6 8、下列计算不正确的是（）（A ）31222-+=- （B ）21139⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （C ）33-= （D ）1223= 三、课外拓展9、实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是________。

四、中考链接10、数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（）A. 6或6-B. 6 C . 6- D. 3或3-11、如果a与1互为相反数，则a等于（）．A．2 B．2- C．1 D．1-12、下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（）A、 4.84B、0.484C、0.0484D、0.0048413、―2×63＝14、在﹣2，2，2这三个实数中，最小的是15、写出一个大于3且小于4的无理数。

参考答案一、夯实基础1、6和-62、2±3、24、A5、C二、能力提升6、C7、A8、A三、课外拓展9、a b>四、中考链接10、A11、C12、C13、-214、﹣215、解：∵π≈3.14…，∴3＜π＜4，故答案为：π（答案不唯一）．第2讲：整式与因式分解一、夯实基础1．计算（直接写出结果）①a ·a 3=③(b 3)4=④(2ab )3=⑤3x 2y ·)223y x -（= 2．计算：2332)()(a a -+-＝．3．计算：)(3)2(43222y x y x xy -⋅⋅-＝．4．1821684=⋅⋅n n n ，求n ＝．5．若._____34,992213=-=⋅⋅++-m m y x y x y x n n m m 则二、能力提升6．若)5)((-+x k x 的积中不含有x 的一次项，则k 的值是（）A ．0B ．5C ．－5D ．－5或57．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（）A ．－5B ．5C ．－2D ．28．若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（）A ．－5B ．－3C ．－1D ．19．如果552=a ，443=b ，334=c ，那么（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a三、课外拓展10．①已知,2,21==mn a 求n m a a )(2⋅的值.②若的求n n n x x x 22232)(4)3(,2---=值11．若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值．四、中考链接12．（龙口）先化简，再求值：（每小题5分，共10分）（1）x （x -1）+2x （x +1）－（3x -1）（2x -5），其中x =2．（2）342)()(m m m -⋅-⋅-，其中m =2-13、（延庆）已知，求下列各式的值：（1）；（2）．14、（鞍山）已知：，.求：（1）；（2）.15、计算：；参考答案一、夯实基础1．a 4，b 4，8a 3b 3，-6x 5y 3；2．0；3．-12x 7y 9；4．2；5．4二、能力提升6．B ；7．C ；8．B ；9．B ；三、课外拓展10．①161；②56； 11．8；四、中考链接12．(1)-3x 2+18x-5，19；(2)m 9，-512；13.（1）45；（2）5714.（1）9；（2）115.第3讲：分式检测一、夯实基础1．下列式子是分式的是( )A ．x 2B ．x x ＋1C ．x 2＋yD ．x32．如果把分式2xy x ＋y 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．扩大9倍 D ．不变3．当分式x －1x ＋2的值为0时，x 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－2 4．化简：(1)x 2－9x －3＝__________. (2)aa －1＋11－a＝__________. 二、能力提升5．若分式2a ＋1有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ≠－1 D ．a ≠06．化简2x 2－1÷1x －1的结果是( ) A ．.2x －1 B ．2x 3－1 C ．2x ＋1D ．2(x ＋1) 7．化简m 2－163m －12得__________；当m ＝－1时，原式的值为__________．三、课外拓展8．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m －2＋42－m ÷(m ＋2)的结果是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．(m ＋2)29．下列等式中，不成立的是( )A ．x 2－y 2x －y ＝x －yB ．x 2－2xy ＋y 2x －y＝x －yC ．xy x 2－xy ＝y x －yD ．y x －x y ＝y 2－x 2xy10．已知1a －1b ＝12，则aba －b 的值是( )A ．12 B ．－12 C ．2 D ．－211．当x ＝__________时，分式x －2x ＋2的值为零．12．计算（2-a a—2+a a）·a a 24-的结果是（）A ． 4B ．－4C ．2aD ．－2a13．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（）A ．x=－2B ．x=2C ． x=±2D ．无解14．把分式(0)xyx y x y +≠+中的x ,y 都扩大3倍，那么分式的值（）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变四、中考链接15．(临沂)先化简，再求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝－1.(2)3－x 2x －4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2，其中x ＝3－3.参考答案一、夯实基础 1．B B 项分母中含有字母． 2．A 因为x 和y 都扩大3倍，则2xy 扩大9倍，x ＋y 扩大3倍，所以2xy x ＋y 扩大3倍．3．B 由题意得x －1＝0且x ＋2≠0，解得x ＝1.4．(1)x ＋3 (2)1 (1)原式＝(x ＋3)(x －3)x －3＝x ＋3；(2)原式＝a a －1－1a －1＝a －1a －1＝1. 二、能力提升5．C 因为分式有意义，则a ＋1≠0，所以a ≠－1.6．C 原式＝2(x ＋1)(x －1)·(x －1)＝2x ＋1. 7．m ＋43 1 原式＝(m ＋4)(m －4)3(m －4)＝m ＋43.当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1. 三、课外拓展8．B 原式＝m 2－4m －2·1m ＋2＝(m ＋2)(m －2)m －2·1m ＋2＝1. 9．A x 2－y 2x －y ＝(x ＋y )(x －y )x －y＝x ＋y . 10．D 因为1a －1b ＝12，所以b －a ab ＝12，所以ab ＝－2(a －b )，所以ab a －b ＝－2(a －b )a －b＝－2.11．2 由题意得x －2＝0且x ＋2≠0，解得x ＝2.12. B13. B14. A四、中考链接15．解：(1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ＝a －2a －1·a (a －1)(a －2)2＝a a －2.当a ＝－1时，原式＝aa －2＝－1－1－2＝13.(2)3－x2x－4÷⎝⎛⎭⎪⎫5x－2－x－2＝3－x2(x－2)÷⎝⎛⎭⎪⎫5x－2－x2－4x－2＝3－x2(x－2)÷9－x2x－2＝3－x2(x－2)·x－2(3－x)(3＋x)＝12x＋6.∵x＝3－3，∴原式＝12x＋6＝36.第4讲：二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间二、能力提升6．若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012的值是__________．7．有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________. 9．当－1＜x ＜3时，化简：x －32＋x 2＋2x ＋1＝__________.10．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 14 －1312、若最简根式m2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= .13、若 5 的整数部分是a，小数部分是b，则a－1b= 。

2025年广东省中考数学一轮复习：图形初步认识(附答案解析)

第1页（共21页）2025年广东省中考数学一轮复习：图形初步认识
一．选择题（共10小题）
1．如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（
）
A ．核
B ．心
C ．数
D ．养
2．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（
）
A ．三角形
B ．正方形
C ．六边形
D ．七边形
3．如图，点B 在点A 的北偏西50°方向，点C 在点B 的正东方向，且点C 到点B 与点A 到点B 的距离相等，则点A 相对于点C 的位置是（
）
A ．北偏东25°
B ．北偏东20°
C ．南偏西25°
D ．南偏西20°
4．如图是一个正方体的展开图，每个面上都有一个汉字，折叠成正方体后，与“负”相对的面上的汉字是（
）
A ．强
B ．课
C ．提
D ．质。

[初中数学]中考数学一轮复习第1-22讲教案+导学案+精练(66套)-人教版44

[初中数学]中考数学一轮复习第1-22讲教案+导学案+精练(66套)-人教版44第2讲:整式与因式分解一、复习目标1、在识记整式和因式分解知识点的基础上理解并能熟练的应用整式和因式分解知识点。

2、能结合具体情境创造性的综合应用因式分解解决问题。

二、课时安排1课时三、复习重难点1、分解因式及利用因式分解法解决问题。

2、整式的合并及变形计算。

四、教学过程(一)知识梳理整式的有关概念单项式定义：数与字母的________的代数式叫做单项式，单独的一个________或一个________也是单项式单项式次数：一个单项式中，所有字母的________ 叫做这个单项式的次数单项式系数：单项式中的叫做单项式的系数多项式定义：几个单项式的________叫做多项式积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：(ab)n＝________(n为整数) 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即：a m÷a n ＝________(a≠0，m、n都为整数)整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m ＋n)(a＋b)＝整式的除法：单项式除以单项式，与分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别这个单项式，然后把所得的商相加乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________完全平方公式：(a±b)2＝________常用恒等变换：(1)a2＋b2＝____________＝____________(2)(a－b)2＝(a＋b)2－因式分解的相关概念及分解基本方法公因式定义：一个多项式各项都含有的的因式，叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法定义：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋mc＝________运用公式法：平方差公式a2－b2＝___________完全平方公式a2＋2ab＋b2＝________ ，a2－2ab ＋b2＝________二次三项式x2+(p+q)x+pq=________（二）题型、方法归纳考点一整式的有关概念技巧归纳：注意单项式次数、单项式系数的概念考点二同类项、合并同类项技巧归纳：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．考点三整式的运算技巧归纳：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号． (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆 (3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，一定不能把同底数幂的指数相除．（4）整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．考点四因式分解的相关概念及分解基本方法技巧归纳：(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．（三）典例精讲1、如果□×3ab=3a2b，则□内应填的代数式是（）A.abB.3abC.aD.3a答案：C2、在下列代数式中，次数为3的单项式是( )A．xy2 B．x3－y3C．x3y D．3xy[解析]由单项式次数的概念可知次数为3的单项式是xy2. 所以本题选项为A.3、如果单项式231123ba y yx x与是同类项，那么a，b的值分别为( )A．2，2 B．－3，2 C．2，3 D．3，2[解析] 依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得 D点析：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．4、下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6 B．a3÷a2＝aC．(a3)2＝a9 D．a2＋a2＝ a5[解析]因为a2·a3＝a2＋3＝a5，a3÷a2＝a3－2＝a，(a3)2＝a3×2＝a6，a2＋a2＝ 2a2.故选B.点析：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号．(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a3·a5 ＝a8和a3＋a3＝2a3. (a m)n和a n·a m也容易混淆．(3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3, 一定不能把同底数幂的指数相除．5、先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x ＝－3[解析] 按运算法则化简代数式，再代入求值．解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5，当x＝－3时，原式＝(－)2－5＝3－5＝－2.点析：整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．6、分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )A．(x－1)(x－2) B. x2 C．(x＋1)2D. (x－2)2[解析] 首先把x－1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解．(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.点析： (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．7、①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图3－1②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( ) A．2mn B．(m＋n)2 C．(m－n)2 D．m2－n2[解析] 中间空的部分的面积是(m＋n)2－2m·2n＝(m＋n)2－4mn＝(m－n)2.点析：(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算．（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握整式、同类项、合并同类项的有关概念及整式的运算、因式分解的相关概念及分解基本方法。

中考数学一轮复习资料第38讲与圆有关的概念(解析版)

2020届中考数学一轮复习讲义考点三十八：与圆有关的概念聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

(如图中的AB)3.直径经过圆心的弦叫做直径。

(如图中的CD)直径等于半径的2倍。

4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

3、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

名师点睛☆典例分类考点典例一、垂径定理【例1】(2019•广西北部湾经济区•3分)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______寸．【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【举一反三】(2018年湖北省黄梅濯港镇中心学校数学中考模拟)关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是()A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．故选：C．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角线段，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.考点典例二、求弦心距【例2】(2018贵州黔东南中考模拟)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm【答案】B．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．【举一反三】如图，半径为5的⊙A 中，弦B C ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A.241B. 234C. 4D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理. 【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF.在△ADE 和△ABF 中，∵AD ABDAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△ABF(SAS).∴DE=BF=6. ∵AH⊥BC，∴CH=BH.又∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线. ∴AH=12BF=3．故选D．考点典例三、最短路线问题【例3】(2019年黄冈市中考模拟)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为()A．B．1 C． 2 D． 2【答案】A.【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴22×2，即PA+PB的最小值2．故选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．【举一反三】(2018浙江温州中考模拟)如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ． 6B ． 1132C ． 9D ． 332【答案】C ．【解析】试题分析：如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交⊙O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1，∵AB =10，AC =8，BC =6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C =90°，∵∠OP 1B =90°，∴OP 1∥AC∵AO =OB ，∴P 1C =P 1B ，∴OP 1=12AC =4，∴P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1=1，如图，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2最大值=5+3=8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是9．故选C ．考点：切线的性质；最值问题．课时作业☆能力提升一．选择题1．(山东省济南市长清区2018届九年级3月质量(模拟)检测数学试题)如图，直径为10的A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧A 优弧上一点，∠OBC=30°，则点C 的坐标为( )A. ()0,5B. ()0,53 C. 50,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 50,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A故选A ．点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CAB 的度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65° 【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题【答案】C点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.3.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为( ) A. 25cm B. 45cm C. 25cm 或45cm D.5 23cm 或43cm 【答案】C ．【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm ，OD=OC=5cm. 当C 点位置如答图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ，∴2222OM OA AM 543=-=-=cm.∴CM=OC+OM=5+3=8cm. ∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4845=+=+=cm. 当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm ，∴MC=5﹣3=2cm.∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4225=+=+=．综上所述，AC 的长为25cm 或45cm . 故选C ．考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4. (2019•黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，点C是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m【答案】A【解析】∵OC⊥AB，∴AD=DB=20 m，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=(r-10)2+202，解得r=25 m，∴这段弯路的半径为25 m，故选A．5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=22，则PA+PB的最小值是()A．22B．2C．1 D．2【答案】D.6. (西藏拉萨北京实验中学等四校2018届九年级第一次联考数学试题)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于()A. 80B. 60C. 50D. 40【答案】D【解析】试题解析：由圆周角定理得,1402A BOC∠=∠=，故选D.点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.学&科网二．填空题7.(安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=120°，若⊙O的半径为2，则弦BC的长为__________．【答案】23．∵四边形ABEC 是圆内接四边形, 120BAC ∠=，60E ∴∠=，120BOC ∴∠=，又∵OD ⊥BC ，602BOD BC BD ∴∠==，，3sin60232BD OB ∴=⨯=⨯=， 22 3.BC BD ∴==故答案为： 2 3.点睛:圆内接四边形的对角互补.8. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟考试)如图，△ABC 是⊙O 的内接锐角三角形，连接AO ，设∠OAB=α，∠C=β，则α+β=______°。

文档聚焦新中考数学答案

第一章《数与式》自我测试时间90分钟分值100分一、选择题每小题3分满分30分12011·绍兴明天数学课要学“勾股定理”小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”能搜索到与之相关的结果个数约为12 500 000这个数用科学记数法表示为A1.25×105 B1.25×106 C1.25×107 D. 1.25×108 答案 C 解析12 500 0001.25×107科学记数法22011·广州四个数50.1213中为无理数的是 A5 B0.1 C.21 D. 3 答案 D 解析3是无限不循环小数是无理数32011·成都已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示则下列判断正确的是 Am0 Bn04所以最大的数为π. 182011·嘉兴分解因式2x28________. 答案 2x2x2 解析2x282x242x2x2 192011·桂林若a11m1a2111aa3121a… 则a2011的值为____________用含m的代数式表示答案 11m 解析当a111m时a21111m1mm11m1 a3111m11m1m a411m a51m1 …… 而20113×6701所以a201111m. 202011·绵阳观察下面的图形它们是按一定规律排列的依照此规律第________个图形共有120 个答案 15 解析第n个图形有123…n21nn1当21nn1120n2n240n16n15∴n16舍去或n15. 三、解答题21题每小题6分2223题各6分2425题各8分满分40分2112011·呼和浩特计算121212218 解原式3 22212 3 21. 22011·邵阳已知11x1求12xx1的值解∵1x11∴x11∴2x1x12113. 222011·宁波先化简再求值a2a2a1a其中a5. 解原式a24aa2a4当a5时原式1. 232011·黄石先化简再求值xyxxyyxyxyyx244442232其中x21y21. 解原式yx24y2x2y2·4xyx22xyx2y yx2yx2yx2y2·xx2yx2y xy. 当x21y21时原式212122121. 242011·茂名解分式方程21232xx2x. 解方程两边乘以x2得3x2122xx2 3x2122x24x x24x120 x2x60 解得x12x26 经检验x6是原方程的根 x2是增根舍去∴原方程的根是x6. 252011·北京列方程或方程组解应用题京通公交快速通道开通后为响应市政府“绿色出行”的号召家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车已知小王家距上班地点18千米他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米他从家出发到达上班地点乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的73.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米解设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米依题意得182x937×18x 解得x27 经检验x27是原方程的解且符合题意答小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米。

中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案

中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．23 2．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )A ．319B ．313C ．3193-D ．634．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（）A．CP 平分∠BCD B．四边形 ABED 为平行四边形C．CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D．△ABF为等腰三角形5．如图，锐角△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG的周长为10，则△ABC的周长为（）A．27-32B．28-32C．28-42D．29-526．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=43，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ 为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（）A．33B．63C．92D．97．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为()A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对8．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).A．5B．21+C．212+D．512+9．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（）A．（2）n﹣1B．2n﹣1C．（2）n D．2n10．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为85，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )A．4 6B．10 C．12 D．16二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25AC=，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．13．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，3AB=，2AC=，则BD的长为_______________．14．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．18．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．19．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________20．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，三、解答题21．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．22．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．23．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度；（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．24．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．（1）求证：AF∥CE；（2）当t为何值时，△ADF的面积为32cm2；（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．25．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．26．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G．图1 图2（1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是________；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．27．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）28．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为；（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.）（3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.29．已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF=DE ；②AF ⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．30．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB ，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解：在Rt △ABC 中，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∵D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点， ∴122DE AB ==，故选：D. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.2．C解析：C【分析】根据题意，连接CF ，由正方形的性质，可以得到△ABF ≌△CBF ，则AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，由∠BAF=∠FGC=∠BCF ，得到AF=CF=FG ，故①正确；连接AC ，与BD 相交于点O ，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF ≌△FHG ，即可得到EH=AO ，则③正确；把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，则证明△MAG ≌△EAG ，得到MG=EG ，即可得到EG=DE+BG ，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.【详解】解：连接CF ，在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°，在△ABF 和△CBF 中，45AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，∵FG ⊥AE ，∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，又∵∠BGF+∠CGF=180°，∴∠BAF=∠CGF，∴∠CGF=∠BCF∴CF=FG，∴AF=FG；①正确；连接AC交BD于O．∵四边形ABCD是正方形，HG⊥BD，∴∠AOF=∠FHG=90°，∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°，∴∠OAF=∠GFH，∵FA=FG，∴△AOF≌△FHG，∴FH=OA=定值，③正确；如图，把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABM，∴AM=AE，BM=DE，∠BAM=∠DAE，∵AF=FG，AF⊥FG，∴△AFG是等腰直角三角形，∴∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG，在△AMG和△AEG中，45AM AE EAG MAG AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMG ≌△AEG ，∴MG=EG ，∵MG=MB+BG=DE+BG ，∴GE= DE+BG ，故④正确；如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ，则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠PBN=90°，∴BP 2+BN 2=PN 2，由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△ANP 和△ANF 中，45AP AF EAG MAG AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△ANF ，∴PN=NF ，∴BP 2+BN 2=NF 2，即DF 2+BN 2=NF 2，故⑤正确；根据题意，无法证明②正确，∴真命题有四个，故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．3．C解析：C【分析】如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME 、DE 长度，然后运用勾股定理求出DE 的长度，再根据翻折的性质，当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，可以求出最小值.【详解】如图，连接EC,过点E 作EM ⊥CD 交CD 的延长线于点M.四边形ABCD 是平行四边形，6AD BC AD BC ∴==，，E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，，又 EM CD ⊥,133222ME DE DM ∴===， 3315363CM CD DM ∴=+== 根据勾股定理得： 22223153319.22CE ME CM ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，此时'AC = 3193. 【点睛】本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.4．C解析：C【解析】【分析】A.根据边角边”证明△BCF ≌△DCE ，然后利用“角边角”证明△BEP ≌△DFP ，再利用“边角边”证明△BCP ≌△DCP 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP =∠DCP ；B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED 为平行四边形；C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；【详解】解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，∴BE=CE=CF=DF，在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，即∠BEP=∠DFP，在△BEP和△DFP中，，∴△BEP≌△DFP（ASA），∴BP=DP，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴∠BCP=∠DCP，∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；∵BC=2AD，E是BC的中点，∴BE=AD，又∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；∴AB=DE，又∵DE=BF（已证），∴AE=BF，∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；连接QD，在△BCQ 和△DCQ 中，，∴△BCQ ≌△DCQ （SAS ），∴S △BCQ =S △DCQ ，∴CQ 将直角梯形ABCD 分成的两部分面积不相等，故C 选项结论不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．5．C解析：C【解析】【分析】由中点性质先得AF ＝3，再用勾股定理求出AG ＝2DG ＝AG ＝2，已知△DEG 的周长为10，所以求得EG+DE 的值，进一步证得AB=2DE,BD=2EG,从而求得△ABC 的周长.【详解】∵ E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G,∴EF ∥BC ，11AF AC 6322==⨯= ∵AD 是高∴∠ADC=∠AGF=90°在Rt △AGF 中 2222AG 3122AF FG =-=-=∵EF ∥BC∴1AG AF DG FC== ∴FG 是△ADC 的中位线∴DC=2GF=2∴2∵△DEG的周长为10，∴EG+DE=10-22在Rt△ADB中，点E是AB边的中点，点G是AD的中点，∴AB=2DE，BD=2EG∴AB+BD=2（EG+DE）=20-42∴△ABC的周长为：AB+BD+DC+AC=20-42+2+6=28-42故答案为C【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线性质等知识点.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．6．D解析：D【解析】【分析】由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．【详解】当点P运动到边AC中点（如图），即CP=3时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．∵四边形DPBQ为平行四边形，∴BC∥DP，∵∠ACB=90°，∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．而在Rt△ABC中，AB3，BC3∴根据勾股定理得：AC=6，∵△DAC为等腰直角三角形，∴DP=CP=12AC=3，∵BC∥DP，∴PC是平行四边形DPBQ的高，∴S平行四边形DPBQ=DP•CP=33=9．故选D .【点睛】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P 的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．7．C解析：C【分析】分别过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，根据正方形的性质可得EG=MP ；对于小明的说法，先利用“HL ”证明Rt △EFG ≌Rt △MNP ，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG ，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP ，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义即可证得MN ⊥EF ；对于小亮的说法，先推出∠EQM=∠EFG ，∠EQM=∠MNP ，然后得到∠EFG=∠MNP ，然后利用“角角边”证明△EFG ≌△MNP ，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN ．【详解】如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，∵四边形ABCD 是正方形，∴EG=MP ，对于小明的说法：在Rt △EFG 和Rt △MNP 中，MN EF EG MP ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △EFG ≌Rt △MNP （HL ），∴∠MNP=∠EFG ，∵MP ⊥CD ，∠C=90°，∴MP ∥BC ，∴∠EQM=∠EFG=∠MNP ，又∵∠MNP+∠NMP=90°，∴∠EQM+∠NMP=90°，在△MOQ 中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP ）=180°-90°=90°，∴MN ⊥EF ，故甲正确．对小亮的说法：∵MP ⊥CD ，∠C=90°，∴MP ∥BC ，∴∠EQM=∠EFG ，∵MN ⊥EF ，∴∠NMP+∠EQM=90°，又∵MP ⊥CD ，∴∠NMP+∠MNP=90°，∴∠EQM=∠MNP ，∴∠EFG=∠MNP ，在△EFG 和△MNP 中，90EFG MNP EGF MPN EG MP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△EFG ≌△MNP （AAS ），∴MN=EF ，故小亮的说法正确，综上所述，两个人的说法都正确．故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．8．B解析：B【分析】取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大，根据旋转的性质得到AC ′＝AC ＝2，由三角形的中位线的性质得到EM 12=AC ′＝1，根据勾股定理得到AB ＝，即可得到结论．【详解】取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∴当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大．∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，∴AC ′＝AC ＝2．∵E 为BC ′的中点，∴EM 12=AC ′＝1． ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝，∴CM 12=AB =CE ＝CM +EM 1=．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．【详解】第一个正方形的面积为1=20，第二个正方形的面积为（2）2=2=21，第三个正方形的边长为22，…第n个正方形的面积为2n﹣1，故选B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到S n的规律是解题的关键．10．B解析：B【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．【详解】PQ当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，85当PQ⊥BC时，PQ的值最小，∴PQ=8，∠Q=90°，在Rt△ACQ中，()2285816.CQ=-=在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2解之：x=10.故答案为：B．【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）. 故答案为：（-10，3）13．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB，∴四边形ABCD为菱形，∴AC与BD相互垂直平分，∴BD=22242AB AO-=故本题答案为：42【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.14．102-【分析】连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】连接AC，交EF于O，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OA＝OC，∴O是正方形的中心，∵AB＝BC＝4，∴AC＝2OC＝2，取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，∵MC＝12OC2，∴MH＝CH＝1，∴BH＝4−1＝3，由勾股定理可得MB2231+10在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝12OC2∵BG≥BM−MG102，当B，M，G三点共线时，BG最小＝10−2，故答案为：10−2．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．15．3﹣32 2【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四边形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，设AE＝x，则S△ADE＝11AD EM AE DH 22⋅=⋅，∴3×2＝x2，∴x6，∵x＞0，∴x6，即AE6，由勾股定理得：BE22(6)2-2，过F 作PQ ∥CD ，交AD 的延长线于P ，交BC 的延长线于Q ，∴∠Q ＝∠ECD ＝∠B ＝90°，∠P ＝∠ADC ＝90°，∵∠BAE ＋∠AEB ＝∠AEF ＝∠AEB ＋∠FEQ ＝90°，∴∠FEQ ＝∠BAE ，∵AE ＝EF ，∠B ＝∠Q ＝90°，∴△ABE ≌△EQF （AAS ），∴FQ ＝BE ，∴PF ＝2，∴S △ADF ＝1AD PF 2⋅＝13(22⨯⨯＝3﹣2．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．16．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，可证点B ，点A ，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，S △ABC =1242⨯=12cm 2，∵在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB ′C ，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，∴∠BAB'=180°，∴点B ，点A ，点B'三点共线，∵AB ∥CD ，AB'∥CD ，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE ，∴S △ACE =12S △AB'C =6cm 2，故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B ，点A ，点B'三点共线是本题的关键．17．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．18．【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得NG M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵∠AOB＝90°，∴OM＝12AB＝5．同理ON＝5．∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，∴222210555NG DN DG++＝＝＝．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值5故答案为：5【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．19．2【分析】由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22．【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=2，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．20．23【分析】根据EM是Rt ABE△斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM的长；根据已知条件推导出DME是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．三、解答题21．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==， 180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形 11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．22．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF ⊥BD,CF=BD,故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．理由:由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒． ∵∠BAC=90︒,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ABC=45︒,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF ⊥BD ．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF ⊥BD ．理由:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD ≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF ⊥BD ．故答案为45︒．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．23．（1）3AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=. ∴232AB AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.∴ENG ∆是等边三角形.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．【分析】（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN ＝3DN ＝3cm ，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴CF ＝AE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE ；（2）如图1，过点A 作AN ⊥CD 于N ，∵在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°，∴AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，。

2020年中考数学第一轮复习第三节整式知识点+真题(后含答案)

2020年中考数学第一轮复习第一章数与式第三节整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：单项式：。

1、整式：多项式：。

单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。

【注意：1、单独的一个数字或字母都是式。

2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。

】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。

【注意：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。

】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。

③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。

④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。

【注意：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。

2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。

】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。

即（am+bm ）÷m= 。

中考数学一轮复习勾股定理(讲义及答案)及答案

一、选择题1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ，②BD ⊥CE ，③∠ACE +∠DBC=30°，④()2222BE AD AB =+．其中，正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4 2．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（）cm ．A ．9B ．10C ．18D ．203．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为( )A ．3cmB 14cmC 5D ．4cm4．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2a b +值为（）A ．25B ．9C ．13D ．169 5．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A ．5B ．7C ．5D ．5或7 6．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ︒∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）A ．2B ．4C ．3D 10 7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（） A ．123B ．2、3、4 C ．1、2、3 D ．4、5、6 8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( ) A ．5 B ．4 C 34D ．4349．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米二、填空题11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32AB 的长为__________．12．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.16．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．17．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．18．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．19．如图，直线423y x =+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______三、解答题21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．23．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．24．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.27．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)28．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“类勾股三角形”．29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．（1）如图1，若m＝8，求AB的长；（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE2DE；（3）如图3，若m＝3AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解】解：如图，① ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ，∵在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BDC=90°，∴BD ⊥CE ，故②正确；③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③错误；④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AE=AD ，∴DE 2=2AD 2，∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，在Rt △BDC 中，BD BC <，而BC 2=2AB 2，∴BD 2<2AB 2，∴()2222BE AD AB<+故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2．C【分析】将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离，根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，2222'15129A D A B BD ∴--'==．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长.【详解】解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2，又∵1010A B C D S S S S +++=⨯ ，∴36+25+25+S D =100，∴S D =14，∴正方形D 14故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.4．A解析：A【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2222a b a ab b +=++即可求解．【详解】根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =，则()2222131225a b a ab b +=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．5．D解析：D【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．【详解】当4是直角边时，斜边，当4是斜边时，另一条直角边=，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．6．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ∆≅∆，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ∆中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，则=AF FC ．AD BC ∵∥，FAO BCO ∴∠=∠．在FOA ∆与BOC ∆中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FOA BOC ASA ∴∆≅∆，3AF BC ∴==，3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．在FDC ∆中，90D ︒∠=，222CD DF FC ∴+=，22213CD ∴+=，22CD ∴=．故选A ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．7．A解析：A【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.【详解】A 、12+2）2=32∴以123,故本选项正确;B 、22+32≠42 ∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; C 、12+22≠32 ∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;D 、 42+52≠62∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选A..【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键. 8．D解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x故选：D9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；故选D．【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．10．A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．二、填空题11．【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=∴6=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键. 12．1或78【分析】分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+，解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78；【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．13．5【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22()4AD AD +='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．14．125【分析】解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：∵222225,7a b a b +=-=，将两个方程相加得：2232a =，∵a ＞0，∴a=4代入得：22425b +=，∵b ＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，∴△ABC 是直角三角形，如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，1122ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ，即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅，解得：CD=125，故答案为：125. 【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.15．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE是等腰直角三角形所以20==所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.16．10【分析】先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝c＝5代入即可求出ab的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，∴a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∵a+b＝c＝5，∴（2﹣2ab＝52，∴ab＝10．故答案为10．【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.17．25 8【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出FA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．18．639+或639-【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解．【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ，AH ∴===． 3DE =，3DH ∴=== ，DH EH ∴=，3AD AH DH =-=， 45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒， 230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ，即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ，即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．19．（0，34）. 【分析】由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2）当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32,∴52AB ===, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34，∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标.20．522,322++【分析】过B 作BF ⊥CA 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC 的长．【详解】分两种情况：①当∠C 为锐角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，由折叠可得，折痕PE 垂直平分AB ，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP 是等腰直角三角形，∴BF=DF=22，又∵BC=3，∴Rt △BFC 中，CF=221BC BF -=，∴AC=AP+PF+CF=5+22；②当∠ACB 为钝角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，同理可得，△BFP 是等腰直角三角形，∴BF=FP=22又∵BC=3，∴Rt △BCF 中，221BC BF -=，∴AC=AF-CF=3+22故答案为：5+223+22本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中， BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3∴222232BF BD FD BD =+==本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．23．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．（1）①如图1中，∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝297，∴DE＝297；（2）∵BD＝3，BC＝9，∴分两种情况如下：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝综上所述，DE的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．24．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED2CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由（1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2， ∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.25．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC平分∠BAD，∴D′点落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，设D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．28．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．29．（1）S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，(6,6)或(6,1027)-，(6,272)+【解析】【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，。

[初中数学]中考数学一轮复习第1-22讲教案+导学案+精练（66套）人教..

第22讲相似三角形及其应用一、知识梳理相似图形的有关概念相似图形相似图形形状相同的图形称为相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形相似多边形定义定义如果两个多边形满足对应角相等，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相对应边的比相等，那么这两个多边形相似等，那么这两个多边形相似相似比相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k ＝1时，两个三角形全等时，两个三角形全等比例线段定义定义防错提醒防错提醒比例线段线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即________________________，，那么，那么，这四条线段叫做成比例线段，这四条线段叫做成比例线段，这四条线段叫做成比例线段，简简称比例线段称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位长度单位黄金分割分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，如果，如果________________________，那么称线段，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，黄金比为比叫做黄金比，黄金比为________ ________一条线段的黄金分割点有割点有__________________个个平行线分线段成比例定理定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________ ___________推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边((或两边的延长线或两边的延长线))，所得的对应线段的比线段的比________ ________相似三角形的判定判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的如果两个三角形的三组对应边的________________________相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________________________________相等，那相等，那么这两个三角形相似么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________________________________，那么这两，那么这两个三角形相似拓展拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似三角形及相似多边形的性质三角形三角形(1)(1)相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比(2)(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多相似多边形边形(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比 (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方位似位似图形定义定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心位似与相位似与相似关系似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行线相交于一点，对应边互相平行位似图形位似图形的性质的性质(1)(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________________________；；(2)(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于位似图形对应点的连线或延长线相交于位似图形对应点的连线或延长线相交于________________________点；点；点； (3)(3)位似图形对应边位似图形对应边位似图形对应边______(______(______(或在一条直线上或在一条直线上或在一条直线上))； (4)(4)位似图形对应角相等位似图形对应角相等位似图形对应角相等以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于位似图形对应点的坐标的比等于________ ________位似位似作图作图(1)(1)确定位似中心确定位似中心O ；(2)(2)连接图形各顶点与位似中心连接图形各顶点与位似中心O 的线段的线段((或延长线或延长线))； (3)(3)按照相似比取点；按照相似比取点；按照相似比取点；(4)(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形顺次连接各点，所得图形就是所求的图形顺次连接各点，所得图形就是所求的图形相似三角形的应用几何图形的证明与计算与计算常见问题常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等大小等相似三角形在实际生活中的应用际生活中的应用建模思想建模思想建立相似三角形模型建立相似三角形模型常见题目类型(1)(1)利用投影，利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解； (2)(2)测量底部可以达到的物体的高度；测量底部可以达到的物体的高度；测量底部可以达到的物体的高度； (3)(3)测量底部不可以到达的物体的高度；测量底部不可以到达的物体的高度；测量底部不可以到达的物体的高度；(4)(4)测量不可以达到的河的宽度测量不可以达到的河的宽度测量不可以达到的河的宽度二、题型、技巧归纳考点一：比例线段例1已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( )A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键成比例是解答此题的关键考点2相似三角形的性质及其应用例2 2 如图△如图△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm 40 cm，，AD ＝30 cm 30 cm，从，从这张硬纸片上剪下一个长H G 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M .(1)(1)求证：求证：AM HGAD BC=(2)(2)求这个矩形求这个矩形EFGH 的周长．的周长．技巧归纳：1. 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 2. 利用相似三角形性质探求比值关系．利用相似三角形性质探求比值关系．利用相似三角形性质探求比值关系．考点3三角形相似的判定方法及其应用例3、如图在矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝6，AD AD＝＝1212，点，点E 在AD 边上，且AE AE＝＝8，EF EF⊥⊥BE 交CD 于F. (1)(1)求证：△求证：△求证：△ABE ABE ABE∽△∽△∽△DEF DEF DEF；； (2)(2)求求EF 的长．的长．技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．考点4位似例4 4 如图正方形如图正方形ABCD 的两边BC BC，，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、轴、y y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC AC＝3√2，若点＝3√2，若点A′的坐标为标为(1(1(1，，2)2)，则正方形，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是的相似比是( ( )A 、16 B B、、13 C C、、12 D D、、23技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。

(新)九年级中考数学一轮复习详解《分式、二次根式》个性化辅导讲义(附答案解析)

XXX(学员姓名)个性化辅导讲义年级：九年级辅导科目：数学学科教师：XXX 课题分式、二次根式教学目标1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．授课日期及时段20XX年××月××日××:××——××:××教学内容【温故知新】【知识梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.0(0)a a ≥≥；2.()2(0)a a a =≥；3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，；5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b=≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >.要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式.【例题精讲】类型一、分式的意义例．（2013-9）使式子1有意义的x的取值范围是．例.若分式21x在实数范围内有意义，则x的取值范围是类型二、分式的化简计算例.（2011-18）计算（）．【解答】解：原式＝（）•＝（）•（），•，．类型三、分式方程及应用例．（2019-18）解方程：﹣1＝．例．（18年南京中考.19）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？【点评】本题考查了一元一次不等式，解（1）的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式；解（2）的关键是利用不等式的性质【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，根据题意，得105140400.8x x+=，解得：7x=．经检验，7x=是原方程的解．答：这种大米的原价是每千克7元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．类型四、二次根式的定义及性质例．（2012-7）使有意义的x的取值范围是．例.（2014-9）使式子1有意义的x的取值范围是．类型五、二次根式的估值例.（2015-5）估计介于（）A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间例.（2017-4）若310a<<，则下列结论中正确的是()A．13a<<B．14a<<C．23a<<D．24a<<类型六、二次根式的运算例、（2011-9）计算（1）（2）＝．【解答】解：（1）（2），＝21×2﹣1，＝22+2，．故答案为：．例.（2015-9）计算的结果是．【举一反三】1、（2012-8）计算的结果是．【解答】解：原式1．故答案为：1．2、（2012-9）方程0的解是．【解答】解：去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0，去括号得：3x﹣6﹣2x＝0，整理得：x＝6，经检验得x＝6是方程的根．故答案为：x＝6．3、（2013-8）计算：的结果是．【解答】解：原式．故答案为：．4、（2013-17）化简（）．【解答】解：原式••．5、（2014-18）先化简，再求值：，其中a＝1．【解答】解：原式，当a＝1时，原式．6、（2015-9）计算的结果是．【解答】解：5．故答案为：5．7、（2015-19）计算：（）．【解答】解：（）＝[]＝[]．8、（2016-18）计算．【解答】解：．+⨯的结果是．9、（2017-10）计算1286=+⨯【解答】解：原式23862343=+63=．故答案为63．10、（2017-17）计算11(2)()a a a a++÷-．【解答】解：11(2)()a a a a++÷- 22211a a a a a++-=÷ 2(1)(1)(1)a a a a a +=+- 11a a +=-． 11、（2018-1）94的值等于( ) A ．32 B ．32- C ．32± D ．8116 【解答】解：9342=，故选：A12、（2018-10）计算368⨯-的结果是．【解答】解：原式3622=⨯-3222=-2=．故答案为2．13、（2018-17）计算53(2)224m m m m -+-÷--．【解答】解：原式2453()222(2)m m m m m --=-÷--- (3)(3)2(2)23m m m m m +--=-- 2(3)m =+26m =+．14、（2019-8）计算﹣的结果是．【解答】解：原式＝2﹣2＝0．故答案为0．【课堂总结】我的收获：1、2、……我的疑惑：1、2、……【能力训练】（2019.溧水一模.4）估计的值在（）A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间【答案】B．（2019.溧水一模.10）计算﹣×＝．【答案】6（2019.联合体一模.1）9的值等于A．3B．－3C．±3D．±3【答案】A．（2019.联合体一模.3）已知a为整数，且满足5＜a＜10，则a的值为A．4 B．3 C．2 D．1（2019.秦淮区一模.8）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【答案】x≥﹣1（2019.秦淮区一模.9）计算﹣×的结果是．【答案】1。

中考数学第一轮复习资料(全)(含答案)

•2••b中考数学第一轮复习资料课题一：数与式（一）一、考点讲解：1．了解实数的概念，会进行分类． 2．理解相反数、绝对值的意义． 3．会用适当的方法比较实数的大小．4．掌握实数的运算法则、运算律，并能熟练应用它们解决计算问题．5．了解近似数与有效数字的概念，能用科学记数法按问题的要求对结果取近似值． 6．会利用数轴解决数形结合的问题．二、经典题剖析：1．将下列各数填入相应的集合内．( 2 － 3 )°，227，21--，2,8-,3π,︒30sin ,4-，7，1.2121121112．．．．．．无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝ 2．实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab >A.1个B.2个C.3个D.4个 3．下列说法正确的是（）A ．近似数3．9×103精确到十分位.B ．按科学计数法表示的数8．04×105其原数是80400.C ．把数50430保留2个有效数字得5．0×104.D ．用四舍五入得到的近似数8．1780精确到0．001.4．唐家山堰塞湖是“5•12汶川地震”形成的最大最险的堰塞湖，垮塌山体约达2037万立方米，把2037万立方米这个数用科学记数法表示为________________立方米．5．人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，•小聪发现当台阶数分别为1级，2级，3级，4级，5级，6级，7级……逐渐增加时，上台阶的不同方法种数依次为1，2，3，5，8，13，21，……这就是著名的斐波那契数列，•那么小聪上这9级台阶共有_____种不同方法．6．若a 的倒数是－1，b+2与a －3互为相反数，c 的绝对值为2，且ac>0，试比较：b+c 与ab 的大小． 7．计算： ⑴（－13－12）×（－6）－（－2）3÷（－12）2+π0 ⑵（79－56－718）×18－1.45×6－3.55×6； 8．比较大小：（1）3 54(2)65 ____56 （3）58______51-(4) 67_____56-- (5) 已知a 2=2，b 3=3，且a>0，比较a 、b 大小. 三、针对性训练：1．-（-4）的相反数是_______； 2．2--的倒数是_______． 3．已知有理数x 、y 满足1+2y-4+z-6=0x -，求xyz 的值．4．如图，数轴上表示12A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是（）．（1）（2）（3）（4）A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-5．2008年5月5日，奥运火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的奥运圣火火种，离开海拔5200米的“珠峰大本营”，向山顶攀登．他们在海拔每上升100米，气温就下降0.6°C 的低温和缺氧的情况下，于5月8日9时17分，成功登上海拔8844.43米的地球最高点．而此时“珠峰大本营”的温度为－4°C，峰顶的温度为（）（结果保留整数） A ．－26°C B ．－22°C C ．－18°C D ．22°C 6．如图，数轴上点P 表示的数可能是（）7 B. 7- 3.2- D. 10-7．下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数，其中正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．②④8．据某网站报道：一粒废旧纽扣电池可以使600t 水受到污染，某校团委四年来共回收废旧纽扣电池3 600粒．若这3 600粒废旧纽扣电池可以使m （t ）水受到污染，用科学记数法表示m 为__________（保留2位有效数字）；用四舍五入法得到的近似数3.20×105的精确度是精确到_______位，有效数字为_________．9．下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。

中考数学一轮复习第六章实数(讲义及答案)含答案

中考数学一轮复习第六章实数(讲义及答案)含答案一、选择题1．一个正数a 的平方根是2x ﹣3与5﹣x ，则这个正数a 的值是（）A ．25B ．49C ．64D ．812．在下列结论中，正确的是（）.A 54=±B ．x 2的算术平方根是xC ．平方根是它本身的数为0，±1D 的立方根是2 3．观察下列各等式：231-+=-5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9-17-18-19-20+21+22+23+24=16……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（）A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1334．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个5．规定用符号[]n 表示一个实数的小数部分，例如:[]3.50.5, 1.==按照此规定, 1⎤⎦的值为（）A 1B 3C 4D 1+6．若30,a -=则+a b 的值是（）A ．2B 、1C 、0D 、1-7．+1的值在（）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间 8．下列说法中不正确的是( )A ．是2的平方根B 2的平方根C ．2D ．2 9．下列说法不正确的是（）A 3B ．12-是14的平方根C ．带根号的数不一定是无理数D ．a 2的算术平方根是a 10．有下列说法：（1）16的算术平方根是4；（2）绝对值等于它本身的数是非负数；（3）某中学七年级有12个班，这里的12属于标号；（4）实数和数轴上的点一一对应；（5）一个有理数与一个无理数之积仍为无理数；（6）如果a ≈5.34，那么5.335≤a <5.345，其中说法正确的有（）个A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．64的立方根是___________．12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f （12）＝2，f （13）＝3，f （14）＝4，f （15）＝5，… 利用以上规律计算：1(2019)()2019f f ____． 13．若()2320m n ++-=，则m n 的值为 ____.14．下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，928…，那么第n 个数是__． 15．若23(2)0y x -+-=，则y x -的平方根_________．16．比较大小：51-__________0.5．（填“>”“<”或“=”） 17．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.18．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡⎤==⎣⎦，按此规定113⎡⎤-=⎣⎦_____． 19．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．20．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．三、解答题21．下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得： 1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．（1）观察发现：1n(1)n =+__________1111122334n(1)n ++++=⨯⨯⨯+ ．（2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把112拆成两个分子为1的正的真分数之差，即112= ；②把112拆成两个分子为1的正的真分数之和，即112= ；（ 3 ）定义“⊗”是一种新的运算，若1112126⊗=+，11113261220⊗=++，111114*********⊗=+++，求193⊗的值． 22．观察下来等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…… 在上面的等式中，等式两边的数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据以上各等式反映的规律，使下面等式成为“数字对称等式”：52×_____＝______×25；(2)设这类等式左边的两位数中，个位数字为a ，十位数字为b ，且2≤a ＋b≤9，则用含a ，b 的式子表示这类“数字对称等式”的规律是_______．23．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．24．是无理数，而无理数是无限不循环小数，﹣1的小数部的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为2＜3的整数部分为2﹣2）请解答：（1的整数部分是，小数部分是；（2a b，求a+b25．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．（1）观察一个等比列数1，1111,,,24816，…，它的公比q＝；如果a n（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝，a n＝；（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…①等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②由② ﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1即（2﹣1）S＝231﹣1所以3131212121S-==--请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，a n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示a n；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+a n．26．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．（1）请直接写出最小的四位依赖数；（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．（3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤b，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq﹣np取得最小时，称“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此时规定：F（m）＝q np n++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F（20）＝2222++＝1，求所有“特色数”的F（m）的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：B【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，解得x＝﹣2，所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，所以a＝72＝49．故答案为B．【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．2．D解析：D【分析】利用算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可.【详解】5=，错误；4B. x2的算术平方根是x，错误；C. 平方根是它本身的数为0，错误；=8,8的立方根是2，正确；故选D.【点睛】此题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，正确理解相关定义是解题关键.3．C解析：C【分析】通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．【详解】解：第一行：211=；第二行：224=；=；第三行：239=；第四行：2416第n 行：2n ；∴第11行：211121=．∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．故选：C ．【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．4．B解析：B【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误； ③﹣2π是无理数，所以原说法错误； ④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误； ⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．5．B解析：B【分析】根据3＜4的小数部分，根据用符号[n]表示一个实数的小数部分，可得答案．【详解】解：由34，得4+1＜5．3，故选：B ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了无理数减去整数部分就是小数部分．6．B解析：B【解析】试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．7．B解析：B【分析】的范围，继而可求得答案.【详解】∵22=4，32=9，∴<3，∴+1<4，故选B.【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握是解题的关键.8．C解析：C【详解】解：A. 是2的平方根，正确；是2的平方根，正确；C. 2的平方根是±，故原选项不正确；D. 2，正确．故选C ．9．D解析：D【分析】根据平方根的定义，判断A 与B 的正误，根据无理数的定义判断C 的正误，根据算术平方根的定义判断D 的正误．【详解】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a，当a＜0时，算术平方是﹣a，故a2的算术平方根是a不正确．故D不一定正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，无理数的定义，熟记几个定义是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、数轴的意义实数的运算及近似数的表示方法逐一判断即可得答案．【详解】，4的算术平方根是22，故（1）错误，绝对值等于它本身的数是非负数；故（2）正确，某中学七年级共有12个班级，是对于班级数记数的结果，所以这里的12属于记数，故（3）错误，实数和数轴上的点一一对应；故（4）正确，0与无理数的乘积为0，0是有理数，故（5）错误，如果a≈5.34，那么5.335≤a<5.345，故（6）正确，综上所述：正确的结论有（2）（4）（6），共3个，故选：B．【点睛】本题考查算术平方根的定义、实数的运算、绝对值的性质及近似数的表示方法，熟练掌握相关性质及运算法则是解题关键．二、填空题11．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】8，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．12．-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f()＝2，f()＝3，f()＝4，f()解析：-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f(12)＝2，f(13)＝3，f(14)＝4，f(15)＝5，…，∴1()2019f2019，∴1(2019)()2019f f2018-2019=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键．13．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，mn=（-3）2=9．故答案为9．【解析：【分析】根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，m n =（-3）2=9．故答案为9．【点睛】此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．14．【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数解析：2213n n -+ 【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3n n -+. 15．【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是．故答案为：.【点睛】此题考查算术平解析：±1【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，∴y-3=0，x-2=0，∴==．y x3,2∴-=．y x1∴-的平方根是±1．y x故答案为：±1.【点睛】此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x与y的值是解题的关键.16．＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】∵，∵-2＞0，∴＞0．故＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于解析：＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】12＞0，＞0．＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．17．±7 7 -2【解析】试题解析：∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.解析：±77-2【解析】试题解析：∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.18．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】19．π 圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π解析：π 圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π•d=1×π=π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．故答案为：π，圆的周长=π•d=1×π=π.【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．20．1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1解析：1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1,∴这个正数是22(2)11a +==，故答案为：1.【点睛】此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 三、解答题21．（1）111n n -+；1n n +；（2）①1341-；②112424+；（ 3 ）14．【分析】（1）利用材料中的“拆项法”解答即可；（2）①先变形为111234=⨯，再利用（1）中的规律解题；②先变形为121224=，再逆用分数的加法法则即可分解；（3）按照定义“⊗”法则表示出193⊗，再利用（1）中的规律解题即可．【详解】解：（1）观察发现：()11n n =+111n n -+， 1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+ ＝11111111223341n n -+-+-+⋯+-+ ＝111n -+ ＝1n n +；故答案是：111n n -+；1n n +. （2）初步应用： ①111234=⨯=1134-； ②121112242424==+；故答案是：1134-；112424+. （ 3 ）由定义可知：193⊗＝11111111112203042567290110132++++++++ =455111111611311412-+-+-+⋯+- =13211- =14. 故193⊗的值为14．【点睛】考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．22．（1）275，572；（2）（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a].【分析】（1）观察等式，发现规律，等式的左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；等式的右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行写出即可．【详解】解：（1）∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25，（2）左边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b；右边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a；“数字对称等式”为：（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．故答案为275，572；（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．23．(1)3；(2)－24；(3)成立．【解析】【分析】（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．【详解】(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．【点睛】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．24．（1）3，﹣3；（2）1．【分析】（1）根据34<解答即可；（2）根据23得出a，根据34得出b，再把a，b的值代入计算即可．【详解】（1）∵34<<，3﹣3，故答案为：3﹣3；（2）∵23，a2，∵34，∴b＝3，a+b2+31．【点睛】此题考查无理数的估算，正确掌握数的平方是解题的关键.25．（1）12，1712，n-112；（2）24332-；（3）()11111na aa--【分析】（1）12÷1即可求出q，根据已知数的特点求出a18和a n即可；（2）根据已知先求出3S，再相减，即可得出答案；（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．【详解】解：（1）12÷1＝12，a18＝1×（12）17＝1712，a n＝1×（12）n﹣1＝112n-，故答案为：12，1712，112n-；（2）设S＝3+32+33+ (323)则3S＝32+33+…+323+324，∴2S＝324﹣3，∴S＝2433 2-（3）a n＝a1•q n﹣1，a1+a2+a3+…+a n＝() 11111na aa--．【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．26．（1）1022；（2）3066，2226；（3）67 36【分析】（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数；（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x、y即可，从而求出所有特色数;（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝q np n++，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代入F（m）＝q np n++，再比较大小即可.【详解】解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；∴特色数是3066，2226．（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝q np n ++，由（2）可知：特色数有3066和2226两个，对于3066＝613×5+14=61×50+24∵1×613－1×5＞2×61－2×50，∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61∴F（3066）＝61263= 50252++对于2226＝89×25+14＝65×34+24，∵1×89－1×25＞2×65－2×34，∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65∴F（2226）＝636 5267= 342++∵6367 5236<故所有“特色数”的F（m）的最大值为：67 36．【点睛】此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键.。

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1、1/2×2表示的意义是（），1÷1/2表示的意义是（），a÷b/c（a、b、c
都不为0）表示的意义是（）。

2、1/4＝18：（）＝（）：20＝（）＝（）÷40
3、一个长方形的长是6厘米，宽是0.4分米，长与宽的最简整数比是（），比值是（）。

4、把5千克糖平均分成6包，每包糖重（）千克，每包糖是5千克的（）。

5、一条公路长10千米，第一次修了1/2，第二次又修了千米1/4，两次共修了（）千米，还剩（）千米。

6、5吨的1/5与（）的5/5相等；比6千米的还多1/2是（）米。

7、10以内质数的和的倒数是（）。

8、一个三角形，三个内角的度数的比是2：3：5，最小的内角是（）度，最大的内角是（）度，这个三角形是（）三角形。

9、汽车4小时行了全程的2/5，每小时行45千米，全程长（）千米，行完全程需（）
小时。

10、20千克比16千克多，16千克比20千克少。

二、你会判断吗？正确的在（）里打“√”，错误的打“×”（5分）
1、自然数的倒数都比它本身小。

（）
2、在1千克水中加入40克糖，这时糖占糖水的1/26。

（）
3、一个数除以1/4，这个数就增加4倍。

（）
4、a÷1/2＝b÷1/3，那么a一定小于b。

（）
5、甲数加上它的1/3，正好是乙数，关系式是：甲数×（1＋1/3）＝乙数。

（）
三、选择正确答案的序号填在括号里。

（6分）
1、125÷100×8＝（）
①100000 ②10 ③10000
2、一个比的比值是1，如果后项乘以4，前项不变，则新的比值是。

（）
①1 ②1/4 ③4
3、一根绳子剪去2/3后，剩下的部分与剪去的比较（）
①剩下的长；②一样长；③剩下的短；④不能确定。

4、六（2）班有男生40人，男生和女生人数的比是10：9，全班有（）人。

①70 ②74 ③76 ④78
5、一件商品涨价1/10后，又降价1/10，现价比原价（）。

①贵；②便宜；③同样多。

三、解决问题：
1、实验小学五年级有3个班，一班有42人，二班的人数是一班的6/7，三班的人数比二班的2倍少16人，五年级共有学生多少人？（5分）
2、吴山农场去年种小麦150公顷，今年比去年增加了3/5，今年种小麦多少公顷？（请写出数量关系，再解答。

5分）
3、某繁华街道上，停着小轿车、小客车、公共汽车共200辆，这三种车的辆数比是
2：3：5，每种车各有多少辆？（5分）
4、一堆煤，先用去总数的1/2，又用去总数的1/3，这时用去的比剩下的多31吨，这堆煤共有多少吨？（5分）
5、打一份文稿，单独打小明要15小时，小刚要12小时，如果两人合打，几小时后可以完成这份文稿？（5分）
6、农贸公司的香蕉占水果重量的1/2，桔子占总重量的1/3，其余的是苹果。

（6分）
（1）写出香蕉、苹果重量的最简比。

（2）如果苹果是35千克，那么香蕉各有多少千克？
（3）你还能提出什么问题？并解答出来。

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