第14章 机械系统动力学

机械系统的等效动力学模型
研究机械系统的真实运动规律，可把机械系统转化为 一个等效构件来研究。为了使等效构件和机械中该构件的 真实运动一致，转化时必须满足动能相等和功率相等两个 条件。这样，该等效构件就可作为该机械系统的等效动力 学模型。该等效构件的转动惯量（质量）就称为等效转动 惯量（等效质量），作用在该等效构件上的力矩（力）称
分c’d的方程为 M d 600 200
π
当Md=Mr， 即
600
200 5 15 时, d' 2.925 526.
ωmin发生在C点，即360o处。
(3) (4)
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Wmax
1 (200 15) (2.925 π 2π ) 85.563 π 268 .8J 2

机械系统的等效动力学模型
（2）以速度 v 作直线移动的构件为等效构件时，等效 参量的计算公式为：
等效质量：
等效力：
me J si (
i 1
n
i
v
v ) 2 mi ( si )
n i 1
2
v
i M（ ) F i ( vsi ) cos i i Fe v v i 1 n
2
2
2
2
（2）求等效力矩
vi i M F i cos i M e1 i i 1
n
ps l m g pb
v 3 v
AB
z1 M 2 z2
m3 g
以曲柄为等效构件时的等 效转动惯量。
解
以曲柄为等效构件，系统简化为图示的等
效动力学模型。
根据功率等效原则: M e1 M11 F33 cos
等效力矩为：
利用动能等效原则有: 等效转动惯量为：
3 M e M1 F3 1
1 1 1 1 1 2 2 2 J e12 J112 J s22 m2s2 m33 2 2 2 2 2
ωmax发生在 处；
五、试题自测及答案（1 、2、3、4）
1. 一重力 G1=450N 的飞轮支承在轴径直径 d ＝ 80 mm 的轴承上，
在轴承中摩擦阻力矩作用下，飞轮转速在14s内从200 r/min
均匀地下降到 150 r/min。若在飞轮轴上再装上重力 G2=350N 的鼓轮，其对转动轴线的转动惯量 J2=2.6kgm2，此时在轴承 摩擦阻力矩作用下，飞轮连同鼓轮的转速在 20s 内从 200 r/min均匀下降到150 r/min，设轴承摩擦系数为常数，试求：
2
1 s2 J e J1 J s2 m2 1 1
3 m3 1
2
2
例2：图示齿轮连杆机构中，齿轮齿数为z1、z2 ，绕转动中心 的转动惯量为J1、J2、构件3的质量为m3，绕质心S3的转动惯 量为J3 ，摇块4绕转动中心的转动惯量J4、、lBC，M1为驱动 力矩，M2为阻力矩。 求：当取构件1为等效构件时，图示位置的Je1＝？Me1＝？
G2 )M f G1
将Mf，Mf
’代入上式： ( J 2.6)
50 350 50 (1 ) J 20 30 450 30 14
J＝1.689kgm2
f M f 1.689 50π 1 0.035 G1r 3014 450 0.04
2.单缸四冲程发动机近似的等效输出转矩Md如图所示。主轴
1. 机器的运转过程
2. 机械系统的等效动力学模型
3. 机械系统运动方程式的建立
4. 机器运转的速度波动
5. 机器速度波动的调节
机器的运转过程
机械的工作过程一般都要经历启动、稳定运转和停车 三个阶段。 启动阶段指机械由零转数逐渐上升到正常的工作转数 的过程。该阶段中机械驱动力所作的功大于阻抗力所作的 功 。经过启动阶段，机械进入稳定运转阶段，也就是机械 的工作阶段。在该阶段中，机械驱动力所作的功和阻抗力 所作的功相平衡，动能增量为零，其角速度保持不变，称 之为稳定运转。 停车阶段是指机械由稳定运转的工作转数下降到零转 数的过程。这时阻抗力所作的功用于克服机械在稳定运转 过程中积累的惯性动能。
JF
Wmax
2 m

268.8 0.49 kgm2 π 1000 2 ( ) 0.05 30
(5) 要把飞轮安装在转速为n’的高速轴上 ：
n' JF 2 n 2nm 1410r/min ' m JF
3. 一齿轮传动机构如图a所示，其中z2=2z1，z4=2z3，在齿轮4 上有一工作阻力矩M4，在其一个工作循环（ 4 2π ）中， M4的变化如图b所示。轮1为主动轮。加在轮1上的驱动力矩 Md为常数。
ps l AB
z1 M 2 pb z2
例3:已知主轴的平均角速度ωm＝20rad/s，以主轴为等效构 件的等效驱动力矩Md和等效阻力矩的变化曲线如图。等效 转动惯量J=0.3kgm2。试求：在稳定运转时，主轴的ωmax和 ωmin等于多少？其相应的主轴位置在何处？
其本身没有自调性，必须安装调速器来调节机械的非周期性
速度波动。
三、学习重点及难点
学习重点 • • 等效力（力矩）、等效质量（等效转动惯量）的 计算； 稳定运转状态下机器的周期性速度波动的调节；
•
对飞轮调速的原理和特点有较深入的了解，掌握 飞轮转动惯量的计算方法。
学习难点: • 计算飞轮转动惯量时最大盈亏功的计算。
第十四章 机械系统动力学
一、基本要求 二、基本概念和基础知识 三、学习重点及难点 四、例题精选 五、试题自测及答案
一、基本要求
1. 了解机器运转速度波动的原因、特点以及相 应的调节方法； 2. 正确建立机器的等效力学模型； 3. 熟练计算各等效量； 4. 掌握飞轮转动惯量的计算方法。
二、基本概念和基础知识
JF
Emax Emin
2 m
机器速度波动的调节
（2）非周期性速度波动的调节 对非周期性速度波动的调节，就是使驱动力矩和阻力矩 恢复平衡关系。对于选用电动机作为原动机的机械，电动机 本身具有自调性，能自动的使驱动力矩和阻抗力矩重新达到 平衡。对于选用蒸气机、汽轮机或内燃机等为原动机的机械，
，
解
△Wmax＝(1/2)×40π＝20π J

Wmax 20π 0.52 2 2 m J 20 0.3
max m (1 ) 25.2 rad/s
2
min m (1 ) 14.8 rad/s
2
3 2 ωmin 发生在 处。
为等效构件，其平均转速nm=1000r/min，等效阻力矩Mr为常 数。飞轮安装在主轴上，除飞轮以外构件的质量不计。
， ， ， ， ，
， ，
试计算：
（1）等效阻力矩Mr的大小和发动机的平均功率 ； （2）稳定运转时ωmax和ωmin的位置；
， ， ， ， ，
（3）最大盈亏功△Wmax； （ 4 ）欲使运转速度不均匀系数 δ＝0.05，在主轴上安装的飞
机器速度波动的调节
（1）周期性速度波动的调节 对周期性速度波动，可利用飞轮储能和放能的特性来调节。 机械周期性速度波动的程度可用机械运转速度不均匀系数 δ来 表示。
max min m
m
1 ( max min ) 2
若机械中除飞轮以外其他运动构件的等效转动惯量Jc<< JF ，则 Jc可忽略不计，可得飞轮等效转动惯量：
为等效力矩（等效力）。
机械系统的等效动力学模型
(1) 以角速度ω作定轴转动的构件为等效构件时，等效参 量的计算公式为：
等效转动惯量：
等效力矩：
i 2 v J （ ) mi ( si ) J e si
n n i 1
2

i 1
M
e i 1
n
n i M i ( ) F i ( vsi ) cos i i 1
(1) 飞轮的转动惯量；
(2) 轴承的摩擦系数。
解
设摩擦力矩为Mf： M f J J
(200 150 ) 30 14 π (200 150 ) M f ' ( J 2.6) 30 20
因为 M f fG1r, M f ' f (G1 G2 )r ，所以 M f ' (1

机械系统运动方程式的建立
等效构件为回转件时机械系统的运动方程简化式为：
2 J e M e d M edt d 2
经过推导，可得以微分形式表示的机械系统运动方程式为：
d 2 d J e M e M d M r J e dt 2 d
四、例题精选(例1、例2、例3）
例1:图示曲柄滑块机构中，曲柄1为原动件，其角速度为ω1。曲 柄1的质心S1在O点，其转动惯量为J1，作用于其上的驱动力矩 为 M1 ；连杆 2的角速度为 ω2，质量为 m2，其对质心 S2 的转动惯 量为J2；滑块3的质量为m3，其上作用的工作阻力为F3 。 试计算：
以积分方式表示的机械系统运动方程式为：
1 1 2 2 d ( M M ) d J Me d r 0 0 Je 2 2 0 0

机械系统运动方程式的建立
等效构件为往复移动的回转件时，微分形式的机械系统运 动方程式为：
dv v 2 dm F e Fd Fr me dt 2 ds
2 e1 1 2 3 4 3 2 2 2
bcl AB bcl AB p S 3l AB z1 J J J m J z2 pbl BC pbl BC pb
1 2 3 4 3
轮的转动惯量JF；
（5）欲使飞轮的转动惯量减小1/2，仍保持原有的δ值，应采 取什么措施？
， ，
解
(1)
1 200π 20π 20π 2 Mr 15 Nm 4π
平均功率为： Mrωm=1571Nm/s=1.57kW
(2)如图所示， ωmax 位于Mr与 Md 的交点 d’，斜线部
3 4 3 2 2 2 2
作构件3速度矢量多边形如右图所示:
由图可得：
v
CB
bc
v
CB 4
v l
3
bc
v
BC
l
BC
再在图中作BS3C速度影像图，得
v
S3
ps
v
因此：
vbc l AB vbc l AB v p S 3l AB z1 J m J J J J pb pb pb l l z2 BC BC v v v
以积分方式表示的机械系统运动方程式为：
1 2 1 2 F e ds ( Fd Fr )ds 2 mv 2 m0v0 s0 s0
以上两个公式在具体应用时要看使用哪个方程更简单。
s
s
机器运转的速度波动
机器速度波动的原因是其驱动功与阻抗功并不时时相 等。或者说，其等效驱动力矩与等效阻力矩并不时时相等， 其转动惯量也不能随等效力矩作相应的变化，致使机器出 现盈功或亏功，产生速度的波动。 若一个运动循环中等效驱动力矩和等效阻力矩所作的 功相等，机器动能增量为零，则等效构件的速度在一个运 动循环的始末是相等的，机器的速度波动为周期性速度波 动。 若等效驱动力矩和等效阻力矩的变化是非周期性的， 则机器的速度波动为非周期性速度波动
解题要点：
选构件1为等效构件，J1、J2、J3、J4、及m3都要转化换算
到等效转动惯量中，角速比及vS3的计算又是计算等效转动惯量
的前提。S3点的速度vS3可以通过BC杆速度影像图求出。
解
（1）求等效转动惯量：
J e1 J 1 J 2 2 J 3 J 4 m vs3 1 1 1 1