Minitab两因素方差分析

第二步：在每个区组内对各试验单元以随机方式实施不 同处理．这样的设计称为随机化区组设计．
若区组大小＝处理个数 v，这样的设计称为随机化完全 区组设计．
若区组大小＜处理个数 v，这样的设计称为随机化不完 全区组设计．
以上各种设计都是平衡的，若各区组大小不尽相同，称 为不平衡区组设计．
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随机化完全区组设计的数据
假如此种差异很微小，实施随机化设计是妥当的． 假如此种差异不可忽略，就要采取随机化区组设计．
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•随机化区组设计：分二步进行．
Minitab
第一步， 将 20 块棉田按差异大小排序，将害虫最多的４
块棉田分为第１个区组，将害虫最少的４块棉田分为第５个区
组，其它按序入组．
第二步，在１个区组内随机的实施一种杀虫剂．
平方和的性质
•可以证明：平方和的期望分别为 v E(SA) (v 1) 2 b ai2, i 1 b E(SB ) (b 1) 2 v b2j , j 1 E(Se ) (v 1)(b 1) 2,
Minitab
Minitab
在随机化完全区组设计中一般假定有 v 个处理和 b 个区组，
共需进行 n= v×b 次试验，记 yij 表示第 i 个处理在第 j 个区组内
进行试验所得到的观察值．
区组
处理
1
1
y11
2
y 21
2…
y12
…
y 22
…
b (处理)和 均值
y1b
T1
T1
y2b
T2
T2
v
y v1
yv2
…
y vb
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总平方和分解公式
Minitab
在模型中，全部 vb 个观察值的总平方和有如下分解式：
vb
ST
( yij y) 2，
fT vb 1
i1 j 1
v
b
vb
b (Ti y)2 v (B j y)2
( yij Ti B j y) 2
i 1
j 1
i1 j 1
v
处理平方和： S A b (Ti y)2，f A v 1
区组 1 区组 2 区组 3 区组 4 区组 5
A1
A2
A4
A2
A3
A3
A4
A1
A3
A2
A4
A1
A2
A4
A1
A2
A3
A3
A1
A4
特点：每个处理（一种杀虫剂）在每个区组内仅出现一次；每
个区组内各种处理也仅出现一次，且其次序是随机的．
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Minitab
例：金属的硬度是用硬度计测定的，硬度计上的杆尖是关键 部件．如今要比较四种不同质料的杆尖的差异，如何安排试验？
的准确性．
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各平方和的简化计算公式
Minitab
ST
v i 1
b
yi2j
j 1
T2 , vb
fT vb-1
SA
T12
T22
b
Tv2
T2 , vb
f A v-1
SB
B12
B22 v
Bb2
T2
,
vb
f B b-1
Se ST SA SB ,
fe (v-1)(b 1)
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效应
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参数估计
Minitab
利用最小二乘法，可获得各种效应的最小二乘估计．
ˆ y
aˆi Ti y，i 1,2, , v bˆ j B j y，j 1,2, , b. 由此可得各拟合值 yˆ ij 与残差 eij ：
yˆ ij ˆ aˆi bˆ j Ti B j y
eij yij yˆ ij yij Ti B j y
区组 1
区组 2
区组 3
区组 4
①②
②③
③④
④①
④③
①④
②①
③②
图 金属试件的随机化区组设计
（①②③④表示 4 种不同杆尖）
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随机化区组设计的一般定义
设(某因子)有 v 个处理需要比较，有 n 个试验单元M用ini于tab 试验．
第一步：把 n 个试验单元均分为 k 个组（k=n/v），使每 个组内的试验单元尽可能相似，这样的组称为区组．
•若每种杆尖要取 4 个硬度值，按随机化设计需要有 16 块同 类金属．这时存在一个潜在问题，金属试件间在硬度上稍有不 同，就会对比较杆尖产生影响．而不同炉钢在硬度上总是有差 异的．
•只取 4 块金属试件，在每块试件上每个杆尖各测一次（见 图），而测试点可以随机选择．这时一块试件就是一个区组，４ 个杆尖就是４个处理．这样就完成一个随机化完全区组设计．
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区组设计的例子
Minitab
例 有４种杀虫剂 A1, A2 , A3 , A4 ，它们被称为４种处理．
为了比较４种杀虫剂对棉田中害虫的杀虫效果高低，特选了 20 块田，每块 1 亩．如何安排试验呢？
•随机化设计：将 20 块田随机的均分为４组，分别实施４种 处理．其数据分析用单因子方差分析．
评论：20 块棉田试验单元间总有差异，如害虫多少，植物长 势，土地肥沃程度等．这些差别对杀虫效果会带来影响，从而对 比较产生干扰．
其中
yij －第 i 个处理在第 j 个区组内的试验结果．
－总均值，是待估参数．
ai －第 i 个处理的效应，且满足 a1 a2 av 0 ．
b j －第 j 个区组的效应，且满足b1 b2 bb 0 ．
ij －试验误差，服从 N (0, 2 ) ． 2 为误差方差．
由此可见： yij ~ N( ai bj , 2 ) ．
(区组)和
B1
B2
…
Bb
Tv
Tv
vb
T yij
i1 j1
均值
B1
B2
…
Bb
y T /vb
其中：T 为全部 vb 个数据的总和， y 为总均值．
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随机化完全区组设计的统计模型 Minitab
在 v 个处理和 b 个区组场合的统计模型如下：
yij ai b j ij，i 1, ,2 , v, j 1,2, , b
两因素方差分析
1
两因素方差分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Minitab
数据收集—区组设计
2
区组设计
Minitab
随机化完全区组设计 平衡不完全区组设计(BIB设计)
3
区组
Minitab
把全部试验单元分为若干个组，使得每个 组内各试验单元之间的差异尽可能的小，这样 的组被称为区组．
如何建立区组被称为区组设计．
在区组设计中，因子的水平被称为处理．
i 1 b
区组平方和： S B v (B j y)2，f B b 1
j 1
vb
误差平方和： Se
( yij Ti B j y)2
i1 j1
即有 ST S A S B Se , fT f A f B f e ．
注意：设立区组的目的，就是把区组平方和从总平方和分解出来，
免其对处理平方和与误差平方和的干扰，从而加强以后判断