第七章 异方差模型

有 Var(i* ) 1 同方差 满足经典假设，用最小二乘法估计参数
min
ˆ å
i 1
n
*2 i
1 * 2 ˆ ˆ )2 å (Yi Yi ) å 2 (Yi Y i
* i 1 i 1
n
n

i
2 2. 未知时 i
Y b b X b X
i 0 1 1i 2
2、图示法
ˆ
ˆ
X
X
ˆ
ˆ Y
ˆ
ˆ Y
a) b) c)
Eviews步骤： quick/graph,在随后的对话框中输入残差序列 名和因变量名 从Graph type中选Scatter Diagram 如果残差的绝对值分布比较随机，无明显规 律，可判定不存在异方差。

例：sample5.313的消费支出Y和收入X数据的异方差 图检验。
加权最小二乘法的机理

以递增型为例。设权术WI与异方差的变异趋势相反。 Wi=1/2i。Wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变 为同方差。
加权最小二乘法的原理
大乘小，小乘大，加权为同方差
权数w由小到大
误差随E由大到小
2 1. i 已知时
Yi b0 b1 X1i b2 X 2i bk X ki i
第七章 异方差模型
本章内容：


普通回归中的异方差 时间序列中的条件异方差模型简介 使用Eviews建立ARCH模型
第一节 异方差的概念
一. 异方差的性质 随机误差项的方差受到解释变量的影响，随解 释变量取值的变化而变化，称随机误差项存在 异方差。 同方差性(Homoskedasticity)：等同的(home)分 散程度(skedasticity);
30wenku.baidu.com
20
RESID
10
0
-10
-20 50 100 Y 150 200
二、正式方法 1 Goldfeld-Quandt检验
1.
建立两个子样本：按大小排列样本观测值，去除中间c个观测值 （c一般为样本容量的1/4到1/3）
2 2 原假设（同方差）： H0 : 1 2 ；
2.
2 备择假设（异方差）：H1 : 12 2
（储蓄）

（收入）
对收入低的家庭，收入中扣除必要的生活费支出外， 用于其他支出和消费的部分也较小，随机项波动程度 小，即方差小 对收入高的家庭，收入中扣除必要的生活费支出外， 用于其他支出和消费的部分也较大，随机项波动程度 小，即方差大 因此，随机误差项的方差随解释变量（收入）的增加 而递增


Example 2
效的估计.
例子： 一元线性回归模型：
Yi b0 b1 X i i
2 2 2 假定： Var(i ) X i
随机项μ的方差与自变量X的平方成正比 两边除以Xi ：
Yi b0 i b1 Xi Xi Xi 1 b1 b0 vi Xi
1 Yi 符合经典假设，用OLS求出 X 对 X 回归方程 i i ˆ
3. 4.
分别对两个子样本利用最小二乘估计进行回归，得出残差平方和
选择统计量： nc RSS 2 /( k ) RSS nc nc 2 2 F ~ F( k, k) nc RSS1 2 2 RSS1 /( k) 2 5. 若 F F 拒绝H0，存在异方差；若 F F ，接受H0 ，同方差
ˆ )=E( b å x i u i b 2 2 2
å xi
)=
b2
3¡ ¢ · ½ ² î Var(
该形式不具有最小方差
)=Var( b 2
2 2 2 å x i Var (u i ) å xi i å xi u i )= = 2 2 2 ( å xi ) 2 (å xi ) 2 å xi
拒绝原假设，认为有异方差存在。

其他异方差检验：布劳殊-培干-戈弗雷(Breusch-PaganGodfrey)、reset检验、帕克(Park)检验等等。
第四节 异方差的处理


2 情形一： 已知时
i
2 情形二： 未知时
i
加权最小二乘法(WLS)



WLS的思路： 根据误差最小建立起来的OLS法，同方差下，将各个样 本点提供的残差一视同仁是符合情理的。各个i 提供 信息的重要程度是一致的。 但在异方差下，离散程度大的i对应的回归直线的位臵 很不精确，拟合直线时理应不太重视它们提供的信息。 即Xi对应的 i 偏离大的所提供的信息贡献应打折扣， 而偏离小的所提供的信息贡献则应于重视。 因此采用权数对残差提供的信息的重要程度作一番校正， 可以提高估计精度。这就是WLS（加权最小二乘法）的 思路。
如果某种回归形式的拟合 优度高，系数的t检验显 著，说明 ˆ i 受到Xi的影 响，即存在异方差

ˆ |u i |
ˆ |u i |
b 1 b 2 X i vi
b 1 b 2 X i2 v i
3、 Spearman等级相关系数检验
1. 2. 3.
利用最小二乘法进行回归分析，计算残差 原假设：同方差；备择假设：异方差
i
i
RSS2 1536 .8 df 11
4、计算统计量
RSS2 / df 1536 .8 / 11 F 4.07 RSS1 / df 377.11/ 11
5、查表5%显著水平的F临界值为2.82，故否定原假设， 认为存在异方差性。
2 、Glejser检验

基本思想：看看残差与解 释变量是否存在因果关系 方法：
ˆ b
2
Ô Ú Í ¬ · ½ ² î Ê ±£ ¬ Var(
ˆ b
2
)=

2
该形式具有最小方差
2 å xi
2、t 检验失效
b 2 b2 t ~ t (n 2) ˆ(b ) S 2
ˆ ) 2 ( X X ) 1 Var( b 2 u 22

第三节 异方差的检验
一、非正式方法 1、问题的性质：根据所考虑问题的性质来判 断是否会遇到异方差性。例如:在投资与销售量、 利率等的关系的横截面分析中，如果样本同时含 有小、中和大型厂家，一般都预期有异方差存在.
2i
bk
X
ki

i
存在异方差： i2 2 f ( X 1i , X 2i ,, X ki ) 两边同除 f X 1i , X 2i , , X ki
i 2i
Y f X , X
1i
, , X ki

b f X , X
1i ik 2i ki
0 2i
, , X ki
例：1951年至1998年我国商品零售物价指数s和居民消费 价格指数x。Sample5.312
7 6 5 4 3 2 1 55 60 65 70 S 75 80 X 85 90 95
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2 55 60 65 70 75 W 80 85 90 95
0.04
0.03
0.02
随机扰动项ui对每一个样本点的方差是一个常数
Var(ui ) 2 , i 1,2,, n

异方差性(Heteroskedasticity).
随机扰动项ui的条件方差不再是一个常数
Var(ui ) i2
同方差
密 度 Y储蓄
Y=b0+b1x
x1
x2
X 收 入
异方差
密 度 Y储蓄
4 White检验
ˆi 1）、利用最小二乘法进行回归，计算残差
2 ˆ 2）、将 i 关于各解释变量、各解释变量的平方、两两 解释变量的乘积利用最小二乘法作回归分析。
3）、计算white检验的统计量
m n R2
2 2 (k ) 拒绝H0，存在异方差；若 m (k ) ， 4）、若 m 接受H0 ，同方差。其中k是除常数项以外的回归系数 的个数。
0i
1
1i
X 1i
i
2i
X 2i
i
ki
X ki
i
i
i
i
i
* * 得 Yi b0 X 0 b X b X b X i 1 1i 2 2i k ki i

i
* * 已知，所以 Yi , X 0 , X , X , , X i 1i 2i ki 均可观测

例：对sample5.315数据作white异方差检验 LS Y C X Z
White Heteroskedasticity Test: F-statistic 19.41959 Probability Probability 0.000022 0.006787
Obs*R-squared 16.02013


bx f X , X , , X
k 1i
f X 1i , X 2i ,, X ki

bx f X , X ,, X
1 i1 1i 2i ki i
同方差
转换后的模型符合经典假设，可以用OLS估计参数

怀特的“异方差性相一致”的方差与标准误：
White给出一种估计，可对真实的参数值做出渐近有
两边同除 i
Yi X1i X 2i X ki i 1 b0 b1 b2 bk i i i i i i
i ,X ,X ,X ,X , 令 Yi

Yi
Yi b0 b1 ln X1i b2 ln X 2i i
（产出）

（资本）
（劳动力）
对规模小的企业，在一定的劳动投入和资金投 入下，产出的波动幅度小，随机项的方差小 对规模大的企业，在一定的劳动投入和资金投 入下，产出的波动幅度大，随机项的方差大 随机误差项的方差随企业规模增大而递增
ˆ |u i | b 1 b 2 X i v i
ˆ |u i | b 1 b 2
ˆ |u i | b 1 b 2
ˆ |u i | b 1 b 2
X i vi
1 vi Xi
1 Xi vi

ˆ i 和解释变量Xi 对残差 进行各种形式的回归分析 （最小二乘估计）

1、参数的OLS估计仍然是线性无偏,但不是最小 方差的估计量 一元线性回归模型为例
1¡ ¢ Ï ß Ð Ô Ð Ô
ˆ b 2
å xi y i å xi u i = b 2 2 2 å xi å xi
å x i E (u i ) b 2 = 2 å xi
2¡ ¢ Î Þ Æ « Ð Ô E(
例：sample5.314的消费支出Y和收入X数据的异方差 的戈德菲尔德-匡特检验。 1、按X升序排序 2、去掉居中的4个观测 3、对头13个观测值作回归

ˆ 3.4094 0.6968X Y i i RSS1 377.17 df 11
对末13个观测值作回归 ˆ 28.0272 0.7941X Y
0.01
0.00 55 60 65 70 75 W2 80 85 90 95
b)变量为截面数据的模型更常出现异方差
第二节 出现异方差时的OLS估计

参数的OLS 估计仍然是线性无偏的，但不是最 小方差的估计量
t检验失效 降低预测精度：由于异方差，会使得 OLS 估计 的方差增大，从而造成预测误差变大，降低预 测精度。
ˆi
ˆ i 分别按从小到大的顺序排列，并赋予1到n中的 对解释变量Xi和 一个顺序号表示其等级 ˆ i 的等级差di 对每个下标i，计算Xi和
计算等级相关系数
4. 5.
r 1
6. 7.
6å d i2 n n
i 1 3
n
计算统计量
Z r n 1 ~ N (0,1)
当 Z Z / 2 ，等级相关系数不明显，接受原假设，同方差；否则 存在异方差


Example 3
20个国家在第二次世界大战后直至1969年期间的股 票价格(y)和消费者价格(x)的百分率变化的散点图 sample5.311 30
25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30
Y
15
10
Y1
5
0 2 4 6 X1 8 10

异方差的产生
a)变量为时间序列数据的模型可能产生异方差
Y=b0+b1x
x1
x2
X 收 入
Y
Y
等方差 Y
X
X
递减异方差
Y
递增异方差
X
复杂异方差
X
二、产生异方差的原因 模型中省略了对被解释变量有影响的解释变量


模型中变量观测值的测量误差
对被解释变量有影响的各种随机因素

异方差性还会因为异常值(outliers)的出现而产
生。
Example 1
Yi b0 b1 X i i