《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节
《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
概率统计和随机过程课件第二章随机变量及其分布
n 重Bernoulli 试验概型感兴趣的问题为： 在 n 次试验中事件 A 出现 k 次的概率，记为
Pn (k) 一般地，若 P (A ) p ,0 p 1 则 P n ( k ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 , 1 , 2 , , n
10
第二章 随机变量及其分布
A, B, C 两两独立
7
常利用独立事件的性质计算它们的并事件 的概率
若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立，则
n
n
P( Ai ) 1(1P(Ai))
i 1
i1
n
P ( A i)P (A 1 A 2 A n)
i 1 1 P (A 1 A 2 A n )
n
1P(A 1A 2 A n)1P(Ai )
n B i
B1 AB1
A
ABn
Bn i 1 BiB j
AB2
n
A AB i
i 1
B2
( AB i )( AB j )
4
n
n
P(A)P(ABi) P(Bi)P(ABi)全概率公式
i1
i1
意 义 ： 事 件 组 B n 一 般 是 导 致 A 发 生 的 所 有 可 能 的 “ 原 因 ”
13
引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件
在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量
随机变量的函数一般也是随机变量
可以根据随机事件定义随机变量
设 A 为随机事件，则可定义
XA 10,,
A A
称 XA 为事件A 的示性变量
14
如，若用X 表示电话总机在9:00~10:00接到 的电话次数，则
第二章 随机变量及其分布 《概率论》PPT课件
P(x1<X x2 ) = P(X x2 ) – P( X x1 )= F(x2)-F(x1)
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
P(
X
2)
C 31 C
C
3 5
2 2
3 10
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
定义1 设离散型随机变量X所有可能取值为
x1 , x2 , ,称 P(X xk ) pk , k 1,2, 为离
散型随机变量X的分布律.
[注] 1） 其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, k=1,2, …
性质2 分布函数关于 x是单调不减函数;
性质3 lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
x
性质4 F ( x) 至多有可列个间断点，且 F ( x)
在间断点上F ( x)右连续。即
。
F (x 0) F(x)
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
这个实值函数 X ( ) 为定义在 上的
随机变量，简记为R.V. X。
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函
数. .
X( )
R
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
[注] ① 随机变量是定义在样本空间的一个实 值函数，但和普通函数又有本质的差异：
随机变量的随机性 随机变量的取值由试验结果而定，由于试验
[注] 1）若将 X 看作数轴上随机点的坐标，那
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些 值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。 可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？ （2）“3”点出现两次的概率？ 解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10
第2章 随机变量及其分布 ppt课件
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布列．
解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，…，6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R = (，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={；a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
概率论与数理统计教案随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教案章节一：随机变量的概念1.1 教学目标了解随机变量的定义与分类理解随机变量分布函数的概念掌握随机变量期望的计算方法1.2 教学内容随机变量的定义随机变量的分类：离散型与连续型随机变量分布函数的定义与性质随机变量期望的计算方法1.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量的概念及其分类通过例题，讲解随机变量期望的计算方法开展小组讨论，巩固随机变量分布函数的理解教案章节二：离散型随机变量的概率分布2.1 教学目标掌握离散型随机变量的概率分布的定义与性质学会计算离散型随机变量的概率分布理解离散型随机变量期望与方差的计算方法2.2 教学内容离散型随机变量的概率分布的定义与性质几种常见的离散型随机变量概率分布：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布离散型随机变量期望与方差的计算方法2.3 教学方法采用讲授法，讲解离散型随机变量的概率分布的定义与性质通过例题，讲解几种常见的离散型随机变量概率分布的计算方法开展小组讨论，巩固离散型随机变量期望与方差的计算方法教案章节三：连续型随机变量的概率密度3.1 教学目标理解连续型随机变量的概念掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质学会计算连续型随机变量的概率密度3.2 教学内容连续型随机变量的概念连续型随机变量的概率密度的定义与性质几种常见的连续型随机变量概率密度：均匀分布、正态分布、指数分布3.3 教学方法采用讲授法，讲解连续型随机变量的概念及其概率密度的定义与性质通过例题，讲解几种常见的连续型随机变量概率密度的计算方法开展小组讨论，巩固连续型随机变量概率密度的理解教案章节四：随机变量的期望与方差4.1 教学目标理解随机变量期望与方差的概念与性质掌握计算随机变量期望与方差的方法学会运用期望与方差描述随机变量的特征4.2 教学内容随机变量期望与方差的概念与性质计算随机变量期望与方差的方法期望与方差在描述随机变量特征中的应用4.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量期望与方差的概念与性质通过例题，讲解计算随机变量期望与方差的方法开展小组讨论，巩固期望与方差在描述随机变量特征中的应用教案章节五：随机变量及其分布的综合应用5.1 教学目标掌握随机变量及其分布的基本知识学会运用随机变量及其分布解决实际问题培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力5.2 教学内容随机变量及其分布的综合应用实例实际问题中随机变量及其分布的建模方法运用概率论与数理统计思维分析问题的方法5.3 教学方法采用案例教学法，讲解随机变量及其分布的综合应用实例通过实际问题，讲解随机变量及其分布的建模方法开展小组讨论，培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力教案章节六：大数定律与中心极限定理6.1 教学目标理解大数定律的含义及其在实际中的应用掌握中心极限定理的条件及其意义学会运用大数定律和中心极限定理分析随机变量序列的性质6.2 教学内容大数定律的定义及其表述中心极限定理的定义及其表述大数定律和中心极限定理在实际中的应用6.3 教学方法采用讲授法，讲解大数定律和中心极限定理的定义及其表述通过例题，讲解大数定律和中心极限定理在实际中的应用开展小组讨论，巩固大数定律和中心极限定理的理解教案章节七：随机样本及抽样分布7.1 教学目标理解随机样本的概念掌握抽样分布的定义及其性质学会计算样本统计量的分布7.2 教学内容随机样本的概念抽样分布的定义及其性质样本统计量的分布的计算7.3 教学方法采用讲授法，讲解随机样本的概念和抽样分布的定义及其性质通过例题，讲解计算样本统计量的分布的方法开展小组讨论，巩固抽样分布的理解教案章节八：假设检验与置信区间8.1 教学目标理解假设检验的基本原理掌握构造检验统计量的方法学会判断假设检验的结果8.2 教学内容假设检验的基本原理构造检验统计量的方法假设检验的结果的判断8.3 教学方法采用讲授法，讲解假设检验的基本原理和构造检验统计量的方法通过例题，讲解判断假设检验结果的方法开展小组讨论，巩固假设检验的理解教案章节九：回归分析与相关分析9.1 教学目标理解回归分析的概念及其应用掌握线性回归模型的建立与估计学会利用回归分析解决实际问题9.2 教学内容回归分析的概念及其应用线性回归模型的建立与估计利用回归分析解决实际问题9.3 教学方法采用讲授法，讲解回归分析的概念及其应用和线性回归模型的建立与估计通过例题，讲解利用回归分析解决实际问题的方法开展小组讨论，巩固回归分析的理解教案章节十：总结与展望10.1 教学目标总结本门课程的主要内容和知识点了解概率论与数理统计在实际中的应用激发学生继续学习概率论与数理统计的兴趣10.2 教学内容本门课程的主要内容和知识点的总结概率论与数理统计在实际中的应用对未来学习的展望10.3 教学方法采用讲授法，总结本门课程的主要内容和知识点通过案例分析，讲解概率论与数理统计在实际中的应用鼓励学生发表对概率论与数理统计学习的看法和展望重点和难点解析：1. 随机变量的概念与分类：理解随机变量的定义以及离散型和连续型随机变量的区别是本章节的核心。
第二章 随机变量及其概率分布
X 345 136
P
10 10 10
例2-4 已知一批零件共１０个，其中３个不合格，现 任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新 抽取一件，如此下去，试求取到合格零件之前取出的 不合格零件个数Ｘ的分布率.
解 Ｘ的可能取值为０，１，２，３
设Ai (i = ０,１,２,３)表示“第i次取出的零件不合格”
则称{pk}为离散型随机变量X的分布律。
说明 (1) pk ? 0, k
¥
(2) å pk = 1.
k=1
1, 2,L ;
离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ 骣 ççç桫px11
x2 L p2 L
xn pn
L L
÷÷÷÷
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例2-2 掷一枚质地均匀的骰子，记X为出 现的点数，求X的分布律。
0, 1, 2.
实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验. 实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬
币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验.
(3) 二项分布
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为 0, 1, 2, , n. 当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
随机变量及其分布PPT精选文档
F(x)
x f(t)dt
则称X为连续型随机变量，并称f(x) 为X的概率密度函数.
24
注：由高等数学知识可知：连续型随 机变量的分布函数一定是处处连续的， 且在f(x)的连续点处，有
F ( x)f( x) .
概率密度名称的由来：
25
2 概率密度函数的性质
(1)f(x)≥0;
(2) +f(x)dx 1 . -
泊松分布：设X去一切非负整数值， 其分布律为:
P ( X = k )k ke ! , 0 , k0 , 1 , L
则称X服从参数为λ的泊松分布，记为 X～P(λ). 稀有事件的发生适用于泊松分布. 泊松分布的概率值可以通过查表求得.
17
例4.某电话交换台每分钟接到的电话呼 唤次数服从参数为4的泊松分布.求
注： X(ω)的取值具有随机性.
3
举例 例1：测试灯泡的寿命，样本空间为
Ω={t:t∈[0,+∞}, 用X表示灯泡的寿命，则X就是随机变量，
它随随机试验结果的不同而取不同的值： {X=20}表示灯泡的寿命是20单位时间， {X≤100}表示灯泡寿命不超过100. 例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面的
35
例2.(3σ原则)设随机变量X～N(μ,σ2), (1)求P(μ-σ<X< μ+σ); (2)求P(μ-2σ<X< μ+2σ); (3)求P(μ-3σ<X< μ+3σ);
例3.设轴的长度X ～N(10,0.01).若轴的 长度在（10-0.2,10+0.2）内算合格，求 4根轴中： （1）恰有3根合格的概率； （2）至少有3根合格的概率.
具有以上二性质的任一函数f(x)必是某 连续型随机变量的密度函数.
《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布知识点
第二章随机变量及其分布2.1随机变量为全面研究随机试验的结果，皆是随机现象的统计规律性，需要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.2.1.1随机变量的定义定义一：设Ω为随机试验E 的样本空间，若对Ω中的每一个样本点ω都有一个确定的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX X =为定义在Ω上的随机变量.随机变量通常用大写字母X、Y、Z 或希腊字母ηξ，等表示，而表示随机变量所取的值时，一般用小写字母x,y,z 等表示.2.1.2引入随机变量的意义随机变量因其取值方式不同，通常分为离散型和非离散型两类.非离散型随机变量最重要的是连续型随机变量.2.1.3随机变量的分布函数定义二：设X 是一个随机变量，称+∞<<-∞≤=x x X P x F },{)(为X 的分布函数.对任意实数)(,2121x x x x <，随机点落在区间（21,x x ]内的概率为：)()(}{}{)(121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=<<分布函数的性质：(1)1)(0≤≤x F (2)非减(3),0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x 事实上，由事件+∞≤-∞≤x x 和分别是不可能事件和必然事件(4)右连续)()(lim 00x F x F x x =+→2.2离散型随机变量及其概率分布2.2.1离散型随机扮靓及其概率分布定义三：设X 是一个随机变量，如果他的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个，则称X 是离散型随机变量.设随机变量X 的全部可能取值为，，，，，n i x i ...21=X 取各个可能取值的概率n i x p x X P i i ，，，，...21)()(===，则称为随机变量X 的分布律，离散型随机变量X 的分布律也可以表示为：X X1X2...Xn ...P(X)P(x1)P(x2)...P(xn)...离散型随机变量X 的分布律满足：(1)),...(,...,2,1,0)(非负性n i x p i =≥(2))(1)(1规范性=∑+∞=i i x p 易得X 的分布函数为：)(}{}{)(∑∑≤≤===≤=xx i xx i i i x p x X P x X P x F 即，当i x x <时，0)(=x F ；当1x x <时，0)(=x F ；当21x x x <<时，)()(1x p x F =；当32x x x <<时，)()()(21x p x p x F +=；......当n n x x x <<-1时，)(.....)()()(21n x p x p x p x F +++=；......2.2.2常用离散型随机变量的分布1.两点分布（“0-1”分布）定义四：若一个随机变量X 只有两个可能取值21x x ，，且其分布为：10,1)(,)(21<<-====p p x X P p x X P 则称X 服从21x x ，处参数为p 的两点分布.2.二项分布若随机变量X 的全部可能取值为0，1，2，...，n，且其分布律为，，，，，n k q p C p k X P k n k k n ...,210,)(===-其中，0<p<1,q+p=1,则称为X 服从参数为n，p 的二项分布，或称X 服从参数为n，p 的伯努利分布，记为)(~p n B X ，3.泊松分布定义五：若一个随机变量X 的分布律为：...210,0,!)(，，，=>==-k k e k X P kλλλ则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作)(~λP X .易见：(1)...210,0)(，，，=≥=k k X P (2)1!!}{00=====-+∞=-+∞=-+∞=∑∑∑λλλλλλe e k e k ek X P k k k k k 4.二项分布的泊松近似引言：对于二项分布B(n,p)，当实验次数n 很大时，计算其概率很麻烦.例如:10001,5000(~B X 定理1：（泊松定理）在n 次伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （注意这与实验的次数有关），如果∞→n 时，λ→n np （λ》0为常数），则对于任意给定的k,有!)1(lim k ep p C kkn kk nn λλ--∞→=-(np =λ)2.3连续型随机变量及其概率密度2.3.1连续型随机变量及其概率密度定义六：设)(x F 为随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有⎰∞-=x dt t f x F )()(，则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X 的概率密度函数或分布密度函数，简称概率密度.概率密度具有下列性质：(1)0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 连续型随机变量的性质：(1)连续型随机变量X ，若已知其密度函数)(x f ，则根据定义，可求其分布函数)(x F ，同时，还可求得X 的取值落在任意区间(a,b]上的概率为⎰=-=≤<ba dxx f a F b F b X a P )()()(}{(2)连续型随机变量X 取任意指定值)(R a a ∈的概率为零，因为⎰∆-→∆→∆=<<∆-==axa x x dxx f a X x a P a X P )(lim }{lim }{00故对连续型随机变量X ，则有⎰=-=<<=≤≤ba dxx f a F b F b X a P b X a P )()()(}{}{(3)若)(x f 在点x 处连续，则)()('x f x F =2.3.2常用连续型随机变量的分布1.均匀分布定义七：若连续型随机变量X 的概率密度=)(x f 其他bx a ab <<⎪⎩⎪⎨⎧-,,01则称X 在区间（a,b）上服从均匀分布，记作),(~b a U X 易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 求得其分布函数：.;;,,,10)(b x b x a a x a b ax x F ≥<<≤⎪⎩⎪⎨⎧--=2.指数分布定义八：若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ其中，0>λ是常数，则称X 服从参数λ的指数分布，简记为)(~λe X .易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 易求出其分布函数：⎩⎨⎧>-=-其他。
【精品】概率论与数理统计PPT课件第二章 随机变量及其分布
离散型随机变量的定义 定义 2.1
如果随机变量 X 只取有限个值
x1 , x2 , , xn
或可列个值
x1 , x2 ,
则称 X 是离散型随机变量,简称为离散随机 变量
22
离散型随机变量的概率分布 定义 2.2
设X 是离散型随机变量，称
为X 的概率分布; 称 pk 是概率分布列,
34 16 16
7 16
P0.5 X 3 PX 1 PX 2
31 16 16
4
16
29
例4 设随机变量 X 的分布列为
PX
n
c
1 4
n
试求常数c
n 1， 2， L
解: 由分布列的性质，得
该级数为等比级数，故有
1
32
例5 (续) 以 p = 1/2 代入，得
X0
1
2
3
4
pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
33
二. 几种常用的离散型随机变量
1.两点分布 (Bernoulli分布) 如果X 只取 0或 1，概率分布是
或
则称随机变量 X 服从参数为 p的两点分布
记作
34
两点分布的概率背景 任何一次试验，当只考虑两个互逆的结果
即
对于实数的集合A,我们用 X A
表示事件
X A
即
12
说明 4、 在许多实际问题中, 一个随机变量X 的 含义是十分清楚的, 所以一般不再关心随机变 量X 在样本空间上是如何定义的. 可以认为X 的所有取值就是我们的样本空间. 只是在必要
概率统计教学资料-第2章随机变量及其分布8节 25页PPT文档
2019/9/6
8
第七节 条件分布
一、离散随机变量的条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散随机变量，其分布律为
P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y ) 关于 X 和关于 pi pij, i1,2, j1
fY(y)f(x,y)dx
3/2 y
0
24 13
xdx
13 12
(23
y)2
0, 其他
2019/9/6
0 y 1
7
小结： 二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：
边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。
难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。
P{Xxi ,Y P{Y yj }
yj
}
p ij , i 1,2, pj
(2)若P{X= xi}>0, 则 在 X= xi 条件下Y 的条件分布律 P { Y y j|X x i} P { X P { X x i ,Y x i }y j} p p ii j,j 1 ,2 ,
0
1
2
3
pi .
0
10/50
6/50
4/50 1/50 21/50
1
9/50
10/50
3/50
0
22/50
2
5/50
2/50
0
0
7/50
p. j
24/50
18/50
7/50
1/50
1
求(1)随机变量X在Y=0条件下的条件分布。
解：已P 知 (Y0)5 20 4 ,在Y0的1条 0 件 X的 下条件分布
概率论与数理统计第二章课件PPT
例2 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ B (3, 0.8)，
P( X k)C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
X
p
1
0
1
2
3 0.1
a b 0.2 0.3
求a,b满足什么条件。
a b 0.4, a 0, b 0
一旦知道一个离散型随机变量X的分布律后，我们便可求得X
所生成的任何事件的概率。特别地，对任意 a ，有 b
P a X b P X x P X x i i a x b a x b 1 1 pk
解
用泊松定理 取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.
泊松分布(Poisson distribution)
定义2 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,…，而X 的分布律为
pk P X k
路口1
路口2
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
1 1 1 P(X=3)= P( A1 A2 A3 ) =1/8 2 2 2
即
X
p
0
1
2
3
1 2
1 4
《概率论与数理统计》教学课件(共8章)第2章 随机变量及其概率分布
显然，p1+p2+p3+p4=1。
2.1 离散型随机变量
2.1.2 离散型随机变量的分布律
(2) X为直到取得白球时的取球次数。因为每次取出的黑球仍放回去，所以X的所有可能取值是一
切正整数1, 2, …,n, ….由于是放回抽样，故每次抽球的试验是独立的。由独立事件的概率乘法公式，得
X的分布律：
p1=P{X=1}=25, p2=P{X=2}=35×25=265,
概率论与数理统计
第2章 随机变量及其概率分布
2.1 离散型随机变量 2.2 连续型随机变量 2.3 分布函数 2.4 随机变量函数的分布
2.1 离散型随机变量
2.1.1 随机变量的概念
在第1章中，我们讨论了随机事件及其概率.为了全面研究随机试验的结果，我们引入随机变量这 一十分重要的概念。我们所讨论的随机事件几乎无一例外地可用随机变量来描述，用随机变量描述随 机现象是概率论中最重要的方法。
P{X>6}=P{X=7}+P{X=8}+P{X=9} =C97(0.2)7(0.8)2+C98(0.2)8(0.8)+(0.2)9 ≈0.0003.
这一结果表明，供应6个人的需电量，超负荷的可能性仅为0.03%。也就是说，平均在大约55.6h 中，可能有一分钟超负荷。
2.1 离散型随机变量
2.1.3 几种常见的概率分布律
称X=X(ω)为该试验的一个随机变量。
本书中，用大写字母X, Y, Z, W等表示随机变量，用小写字母x, y, z, w等表示实数。
随机变量的取值随着试验的结果而定，因而在试验之前，只能知道它可能取值的范围，而不能预
知它取哪一个值。且试验的所有结果的出现都有一定的概率，因而随机变量的取值也有一定的概率。
《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布共26页word资料
第二章随机变量及其分布........................................................................................................ - 1 - 第一节随机变量及其分布函数...................................................................................... - 2 - 一随机变量概念........................................................................................................ - 2 -二随机变量的分布函数............................................................................................ - 3 -基础训练2.1 ................................................................................................................ - 6 - 第二节离散型随机变量及其概率分布............................................................................ - 6 - 一离散型随机变量及其概率分布............................................................................ - 6 -二常见的几种离散型随机变量及其分布................................................................ - 9 -基础训练2.2 .............................................................................................................. - 13 - 第三节连续型随机变量及其概率分布.......................................................................... - 13 - 一连续型随机变量及其分布的概念与性质.......................................................... - 14 -二常见的几种连续型随机变量及其分布.............................................................. - 17 -基础训练2.3............................................................................................................. - 22 - 第四节随机变量函数的分布.......................................................................................... - 22 - 一离散型随机变量函数的分布.............................................................................. - 22 -二连续型随机变量的函数分布.............................................................................. - 23 -基础训练2.4............................................................................................................. - 26 - 综合训练二........................................................................................................................ - 26 - 内容小结及题型分析二.................................................................................................... - 26 - 拓展提高二........................................................................................................................ - 26 - 阅读材料二........................................................................................................................ - 26 - 数学实验二........................................................................................................................ - 26 -第二章随机变量及其分布【本章导读】本章主要讲述随机变量与分布函数，一维离散型随机变量、连续型随机变量的概率分布，常见分布及函数的分布.【本章用到的先修知识】级数的运算，变限积分，分段函数的积分，无穷积分.【本章要点】随机变量的概念，分布函数，分布律，概率密度，常见随机变量的分布，函数的分布.在上一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果.这种表示的方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限. 在本章中，我们将介绍概率论中另一个重要的概念：随机变量. 随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究. 这样，不仅可更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用高等数学的方法来讨论随机试验.第一节 随机变量及其分布函数一 随机变量概念在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，读者可能会注意到在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系. 例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时间段正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等. 对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。
概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布剖析PPT课件
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
机
随机变量的定义
设 随 机 实 验 E的 样 本 空 间 ， 若 对 每 一 个 样 本 点
， 都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应 ,则 称 X()为 随 机 变 量 ， 简 记 为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为 的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由 于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为
第2章随机变量及其分布【概率统计精品讲义】
按不放回抽样方式,
随机抽取n件样品(0≤n≤M)
求取出的n样品C中Mk CCNn恰NnkM有k件次品A的概率？
P(X k) P( A)
(设随机变量X表示取出的次品数k ) 此X的概率分布称为超几何分布H(n, M, N).
(k 0,1,2,, n)
2020/8/7
5
二项分布
1.(0–1)分布
k e e k ee 1
k0 k!
k0 k!
2020/8/7
9
泊松分布的应用
泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域
有着广泛的应用.
例如：
1) 某服务设施在一定时间内到达的人数；
2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；
3) 汽车站台一天的侯客人数；
4)某医院在一天内的急诊病人数;
即
CMk
C nk N M
C
n N
Cnk pk qnk ,
其中 p M , q 1 M .
N
N
2020/8/7
11
泊松分布与二项分布的关系
泊松定理：
设 X ~ B(n, p), 若当n→∞时，
np （ 0 常数）, 则有
lim
n
Cnk
p
k
q
nk
k e , k
k!
0,1,2,
注： 当n充分大, p很小 (p<0.1),
……
2020/8/7
22
二维随机变量的联合分布函数 1）定义
设(X ,Y )是二维随机变量,对任意实数x,y ,则称
Fx， y PX x， Y y 是二维随机变量X， Y 的联合分布函数.
2）几何意义
y
Fx, y表示平面上的随机点X,Y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
按f X (x), fY ( y)的定义知， 0 z y 1且 y 0
P(Y 8) P(X 3) 0.4
4/22/2020
1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由
于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X
的概率密度为
2x, 0 x 1
fX (x)
0,
其他
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
解：分别记X，Y的分布函数为 FX (x), FY ( y)
fZ z fX x * fY y
fห้องสมุดไป่ตู้Z z f X z y fY ydy
4/22/2020
11
例5. 设随机变量X与Y相互独立，概率密y度分别是
1, 0 x 1
e y , y 0
f X (x) 0, x 0
;
fY ( y)
0,
; y 0O
1
z
求Z=X+Y的概率密度。
解: 利用卷积公式 f Z z f X z y fY ydy
当y 0时，FY（y） P(Y y) P(2ln X y)
y
y
P(X e 2 ) 1 P(X e 2 )
y
1 FX (e 2 )
上式对y求导数，得Y的概率密度为
fY
(
y)
FY (
y)
FX
0,
(e
y
2 )(e
y
y
2 )
0
1 2
e
y 2
f
X
(e
y 2
)
1
e
y 2
,
2
y0
4/22/2020
4/22/2020
10
fZ z fX x fY z xdx fX z y fY ydy
我们称上式 为函数 f X x与 fY y的卷积，记作
fX x * fY y
因此，我们有以下结论：
如果随机变量X 与Y 相互独立，则它们的和
Z X Y的密度函数等于X 与Y 密度函数的
卷积：
fZ z f X x fY z xdx
5
二、多维随机变量函数的分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函
数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的 寿命分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。 我们想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
Z min(X ,Y )
2）
Z max(X ,Y )
3）
Z X Y
这就是求随机变量函数的分布问题。
1 y)
y 1) 3
y 2 2
4/22/2020
2
例3. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，
求随机变量Y=X2的概率密度。 解: 当X在区间[-1,2]上取值时,Y在[0,1]或[1,4]取值 由于y=x2不是单调的，
(1)当0 y 1时，有
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
fY
(
y
)
FY
(
y)
FX
(ln
y)(ln
y)
1 y
f X (ln
y)
1, y
1
y
e
0, y 1, 或 y e
4/22/2020
4
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，
(2)求Y=-2lnX的概率密度。
解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在
(0，+∞)上取值。当y 0时，FY（y） P(Y y) 0;
f Z z FZ z
f x， z xdx
4/22/2020
9
由于 X , Y 的对称性可得
f Z z f z y， ydy
特别地，如果随机变量X 与Y 相互独立，则有
f x， y f X x fY y.
此时，我们有
或者
f Z z f X x fY z xdx
f Z z f X z y fY ydy
y y
13dx
2 3
y
(2)当1 y 4时，有
1 ( y 1) 3
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
1
y
P(
y X 1) P(1 X
y)
0dx
y
1
13dx
4/22/2020
3
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (1)求随机变量Y=eX的概率密度;
解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=eX 在(1，e)
上取值。 当y 1时，FY（y） P(Y y) 0;
当1 y e时，FY（y） P(Y y) P(e X y)
P(X ln y) FX (ln y) 当y e时，FY（y） P(Y y) 1
上式对y求导数，得Y的概率密度为
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 3 pk 0.3 0.2 0.1 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8
P(Y 0) P(X 1) 0.2
P(Y 3) P(X 2) P(X 2) 0.3 0.1 0.4
4/22/2020
6
1.一般情形问题
已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y) 的概率密度。
解题步骤：
先求随机变量函数 Z gX ,Y 的分布函数 FZ z， 再求随机变量函数Z gX ,Y 的密度函数
当X [0,1]时，Y [1,2]
当y 1时，FY ( y) P(Y y) 0
f将 当 当Y (FyyY)(1y2F时)关 Y，y(于y)FyY求 2(f时yX导)(，y数31，F1)Y(得(y3yY)1的) 概PP(率(2XY2(密(yy3度91yy为0)310),13)其,1，，其 )P他1(1他 F3XXy(
fZ z FZz
4/22/2020
7
2）连续型随机变量和的分布
设 X ,Y 是二维连续型随机变量,其联合密度函数
为 f x, y ，下面计算 Z X Y 的密度函数 fZ z．
首先计算随机变量Z X Y 的分布函数 FZ z．
FZ z PZ z PX Y z
f x， ydxdy x yz
zx
dx f x， ydy
y x
O
4/22/2020
8
zx
作变换：y u x, 则有 Fz (z) dx f x， ydy
z
FZ z dx f x， u xdu
z
du f x， u xdx
由分布函数与密度函数之间的关系，上式对z 求 导，可得Z X Y 的密度函数为