2020年九年级数学中考复习题型 解直角三角形(带答案)

解直角三角形
题型一 利用勾股定理求面积
例 1.在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )
A ．5
B ．25
C ．7
D ．10
【解析】根据勾股定理得到225AD AE DE =+=，根据正方形的面积公式即可得到结论．
【答案】解：在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，
225AD AE DE ∴=+=，
四边形ABCD 是正方形，
∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，
故选：B ．
变式训练1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )
A ．24
B ．56
C ．121
D ．100
【解析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：
E F G S S S =+
A B C D S S S S =+++
100=；
即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；
故选：D ．
题型二 勾股定理逆定理的应用
例2-1.在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )
A ．4a =，5b =，6c =
B ．::5:12:13a b c =
C ．2a =，3b =，5c =
D ．4a =，5b =，3c =
【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【答案】解：A .222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B .设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C .(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D .222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A ．
例2-2.如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=︒．
（1）连结AC ，求AC 的长；
（2）求ADC ∠的度数；
（3）求出四边形ABCD 的面积
【解析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．
【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，
20AB cm =，15BC cm =，
∴由勾股定理可得：2222201525AC AB BC cm ++=；
（2）在ADC ∆中，7CD cm =，24AD cm =，
222CD AD AC ∴+=，
90ADC ∴∠=︒；
（3）由（2）知，90ADC ∠=︒，
∴四边形ABCD 的面积2112015724234()22
ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=. 变式训练1.下列说法中，正确的有( )
①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ∆是直角三角形；
②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形； 71017ABC ∆为直角三角形；
④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ∆是直角三角形；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度；
②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90︒的角；
7x ，10x 17x ，则有2271017x +=；
④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．
故选：C ．
变式训练2.如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC ∠=︒，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．
【解析】连接AC ，在Rt ADC ∆中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在
ADC ∆中，
已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD ∆与Rt ABC ∆的面积之差．
【答案】解：连接AC ，
90ABC ∠=︒，12AB =，9BC =，
15AC ∴=，
39CD =，36DA =，
222215361521AC DA +=+=，
22391521CD ==，
ADC ∴∆为直角三角形，
ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形
1122
AC AD AB BC =⨯-⨯ 11153612922
=⨯⨯-⨯⨯ 27054=-
216=．
故四边形ABCD 的面积为216．
题型三 利用勾股定理求最短路径
例3.如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且
35
PC BC =，则最短路线长为( )
A．20cm B．13cm C．14cm D．18cm
【解析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．
【答案】解：
如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，
则90
C
∠=︒，
1
105
2
AC cm cm
=⨯=，
20
BC cm
=，
3
5
PC BC
=，
12
CP cm
∴=，
由勾股定理得：2222
51213()
AP AC CP cm
=+=+=，
即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，
故选：B．
变式训练1.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()
A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
【解析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(23)3dm
+⨯，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，
由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++⨯=，
解得17x =．
故选：B ．
变式训练 2.如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )
A ．12cm
B ．11cm
C ．10cm
D ．9cm
【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【答案】解：将长方体展开，连接A 、B '，
则13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，
根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=．
故选：C ．
变式训练3.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )
A ．73厘米
B ．10厘米
C ．82厘米
D ．8厘米
【解析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．
【答案】解：如图所示：最短路径为：P A '→，将圆柱展开，
2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ''=+=÷+-+=，
最短路程为10PA cm '=．
故选：B ．
题型四 利用勾股定理解折叠问题
例4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE ∆的面积．
【解析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB ∠=︒，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．
【答案】解：6AC cm =，8BC cm =
2210AB AC CB cm ∴=+=
将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，
6AC AE cm ∴==，90DEB ∠=︒
1064BE cm ∴=-=
设CD DE x ==，
则在Rt DEB ∆中，2224(8)x x +=-
解得3x =，
即DE 等于3cm
BDE ∴∆的面积14362
=⨯⨯= 答：BDE ∆的面积为26cm
变式训练1.如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、
C 两点恰好落在A
D 边的P 点处，且90FPH ∠=︒，3BF cm =，求FH 的长．
【解析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．
【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，
设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，
在Rt PFH ∆中，90FPH ∠=︒，
222FH PH PF ∴=+，
222(9)3x x ∴=-+，
5x ∴=，
FH ∴的长是5cm ．
变式训练 2.如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD '处，AD '交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）
（1）求证：AE EC =；
（2）求EC 的长；
（3）求重叠部分的面积．
【解析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA ∠=∠，就可以得出AE CE =，
（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理就可以求出结论；
（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．
【答案】解：（1）四边形ABCD 是矩形，
AB CD ∴=，AD BC =，90B ∠=︒，//AD BC ，
DAC BCA ∴∠=∠．
ADC ∆与△AD C '关于AC 成轴对称
ADC ∴∆≅△AD C '，
DAC D AC ∴∠=∠'，
D AC ACB ∴∠'=∠，
AE EC ∴=；
（2）2AB cm =，4BC cm =，
2CD cm ∴=，4AD cm =．
设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理，得
224(4)x x +-=，
解得： 2.5x =．
答：EC 的长为2.5cm ；
（3）2
AEC EC AB S ∆=， 22.52 2.52
AEC S cm ∆⨯==． 答：重叠部分的面积为22.5cm ．
题型五 勾股定理的实际应用
例5.数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【解析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，
旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，
∴旗杆的高度为15米．
变式训练1.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【解析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．
【答案】解：在Rt ABC ∆中：
90CAB ∠=︒，17BC =米，8AC =米， 2215AB BC AC ∴=-=（米)，
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，
171710CD ∴=-⨯=（米)，
22100646AD CD AC ∴=-=-=（米)，
1569BD AB AD ∴=-=-=（米)，
答：船向岸边移动了9米．
变式训练 2.勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时
AO 为2.4m ，
如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 向外移了多少米？（注意：3.15 1.77)≈
【解析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论．
【答案】解：Rt OAB ∆中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，
222226241OB AB AO m ∴=-=-=；
同理，Rt OCD ∆中，
2.6CD m =， 2.40.5 1.9OC m =-=，
22222619 3.15 1.77OD CD OC m ∴=-=-=，
1.7710.77()BD OD OB m ∴=-=-=．
答：梯子底端B 向外移了0.77米．
题型六 锐角三角函数定义
例1.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB BC =，则sin B 的值为( )
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
22
3
【解析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可．
【答案】解：设BC为x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝＝＝2x，
∴sin B＝＝＝，
故选：D．
变式训练1.如图，在Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cos A的值的有()个
（1）AD
AC
（2）
AC
AB
（3）
BD
BC
（4）
CD
BC
．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴cos A＝＝＝，
故（1），（2），（4）正确．
故选：C．
题型七网格中的锐角三角函数值
例7.如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB
∠的值为( )
A ．55
B ．255
C ．12
D ．33
【解析】由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin ∠ACB 的值．
【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B 作BD ⊥AC 于D ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， ∵S △ABC ＝2×7﹣
＝5 由勾股定理可知：AC ＝
＝5， ∵AC •BD ＝5，
∴BD ＝，
由勾股定理可知：BC ＝＝
， ∴sin ∠ACB ＝
＝
＝ 故选：A ．
变式训练 1.如图，在22⨯正方形网格中，以格点为顶点的ABC ∆的面积等于32，则sin (CAB ∠= )
A．3
3
2
B．
3
5
C．
10
5
D．
3
10
【解析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
【答案】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，
由勾股定理，得
AB＝AC＝，BC＝．
由等腰三角形的性质，得
BE＝BC＝．
由勾股定理，得
AE＝＝，
由三角形的面积，得
AB•CD＝BC•AE．
即CD＝＝．
sin∠CAB＝＝＝，
故选：B．
题型八特殊角三角函数值的计算
例8.计算：2
sin60cos45sin30tan60
︒+︒-︒︒．
【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可．
【答案】解：原式＝+﹣×，
＝+﹣，
＝．
变式训练1.计算：
（1）222sin 30sin60sin 45cos 30︒+︒-︒+︒；
（2）tan30tan 45tan 60tan 45︒+︒︒︒
． 【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【答案】解：（1）原式＝（）2+
﹣（）2+（）2
＝+
﹣+ ＝+； （2）原式＝＝．
变式训练2.22cos30tan30cos60(1tan60)︒+︒︒--︒
【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算．
【答案】解：原式＝2×
+×﹣+1
＝+1． 题型九 解直角三角形
例9.如图，在ABD ∆中，AC BD ⊥于点C ，32
BC CD =，点E 是AB 的中点，tan 2D =，1CE =，求sin ECB ∠的值和AD 的长．
【解析】利用已知表示出BC ，CD 的长，再利用勾股定理表示出AB 的长，进而求出sin ∠ECB 的值和AD 的长．
【答案】解：∵AC ⊥BD ，
∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°．
∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，
∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，
∴∠B ＝∠ECB ．
∵＝，
∴设BC ＝3x ，CD ＝2x ．
在Rt △ACD 中，tan D ＝2，
∴＝2，
∴AC ＝4x ．在Rt △ACB 中，
由勾股定理得AB ＝
＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝
＝． 由AB ＝2，得x ＝，
∴AD ＝＝＝2x ＝2×＝．
变式训练1.如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5
DBA ∠=． （1）求AD 的长；
（2）求sin DBC ∠的值．
【解析】（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．
（2）由（1）可求出CD ＝4，根据勾股定理可求出BD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，
∵等腰三角形ABC ，∠C ＝90°
∴∠A ＝45°，
∴AH ＝DH ，
设AH ＝x ，
∴DH ＝x ，
∵tan∠DBA＝，
∴BH＝5x，
∴AB＝6x，
∵AC＝6，
∴由勾股定理可知：AB＝6，
∴x＝，
∴AH＝DH＝，
∴由勾股定理可知：AD＝2；
（2）由于AD＝2
∴DC＝4，
∴由勾股定理可知：DB＝2，
∴，
变式训练 2.如图，已知Rt ABC
∠=︒，CD是斜边AB上的中线，过点A作
∆中，90
ACB
=．
AH CH
⊥，AE分别与CD、CB相交于点H、E，2
AE CD
（1）求sin CAH
∠的值；
（2）如果5
CD=，求BE的值．
【解析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由锐角三角函数定义即可得出答案；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，从而得出BE．
【答案】解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AHC＝90°，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得：AC＝＝CH，
∴sin∠CAH＝＝＝；
（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝2，
∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACH＝90°，
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，
∵sinB＝＝sin∠CAH＝＝，
∴AC：AB＝1：，
∴AC＝2．
设CE＝x（x＞0），则AE＝x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，
解得：x＝1，
∴CE＝1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝3．
题型十解直角三角形的应用之坡度坡角问题
例10.如图，扶梯AB坡比为1:2，滑梯CD坡比为3．若40
=，某人
BC m
AE m
=，30
m≈，从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到0.1)(2 1.41≈
3 1.73
≈5 2.24)
【解析】首先在直角△ABE中根据AE＝40m和坡比求得AB和BE，然后得出CF的长，最后在直角△CFD中求得CD的长即可，继而求出经过的路径＝AB+BC+CD的长度即可．
【答案】解：∵扶梯AB的坡比为1：2，
即BE：AE＝1：2，AE＝40m，
∴BE＝20m，
∴AB＝＝＝20（m），
∵CF＝BE＝20米，CF：DF＝1：，
∴FD＝CF＝20（m），
∴CD＝＝＝40（m），
∴经过的路径＝AB+BC+CD＝20+30+40＝70+20≈114.8（m）．
答：共经过路径长114.8m．
变式训练1.今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为20013米，斜坡BC的长为2002米，坡度是1:1，已知A点海拔121米，C点海拔721米
（1）求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度；
（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．
【解析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；
（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；
（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，
∵斜坡BC的长为200米，坡度是1：1，
∴BE＝CE＝200米，
∵A点海拔121米，C点海拔721米，
∴CD＝600米，
∴BF＝400米，
∵121+400＝521（米），
∴点B的海拔是521米；
（2）∵斜坡AB的长为200米，BF＝400米，
∴AF＝＝600米，
∴BF：AF＝400：600＝2：3，
即斜坡AB的坡度是2：3；
（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），
∴AC＝＝1000米，
即钢缆AC的长度是1000米．
题型十一解直角三角形的应用之仰角俯角问题
例11.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53︒，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45︒，已知山坡AB的坡度1:3，10
AB=米，21
AE=米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略
不计，参考数据：
4
tan53
3
︒≈，cos530.60)
︒≈
【解析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进
而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长然后根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
【答案】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，
Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝5米；
∴AH＝5米，
∴BG＝AH+AE＝（5+21）米，
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝（5+21）米．
Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE＝28米．
∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5﹣28＝（5﹣2）m．
答：宣传牌CD高为（5﹣2）米．
变式训练1.如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑-福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45︒，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40︒，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin400.64
︒≈，
︒≈，cos400.77
︒≈，tan400.84
结果保留整数）
【解析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．
【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，
则四边形DECG为矩形，
∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，
设FM＝x米，
由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，
∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，
∴GF＝GC＝5，
∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，
在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，
∴DM＝≈，
由题意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，
解得，x≈33.2，
则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），
答：该塔AB的高度约为38米．
四、易错点辨析
1.三角形构成问题中，忘记对构成三角形的前提（三边关系）进行检验.
2.忽视直角三角形致错，题中没有说明角是直角，而直接应用正弦、余弦函数的定义.
3.边角关系理解不透致错.
4.记忆特殊三角函数值不准确，造成计算错误.
五、直击中考
1.（2017河北（11））如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的( ).
【答案】A.
【解析】
试题分析：正方形的对角线的长是10214.14
，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.
2.（2015河北（16））如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，
各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )
A.甲、乙都可以
B.甲、乙都不可以
C.甲不可以，乙可以
D.甲可以，乙不可以
【答案与解析】所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．
故选A．
3.（2014河北（8））如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠【】
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】A．
【解析】
4.（2019河北（19））勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．
【答案】（1）20；（2）13；
【解析】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12﹣（﹣8）20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，
AE＝12，
设CD＝x，
∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13.
5.（2013河北（26））一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE = α，如图1所示）．
探究如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）
（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝
3
4
，tan37°＝
3
4
)
拓展在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.
图1
图2
图3
图4
延伸在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.
图5
【答案与解析】。