幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方知识要点一、同底数幂的乘法2. 幂的运算法则(重点) ：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m·a n=a m+n（都是正整数）二、幂的乘方与积的乘方1、幂的乘方2、积的乘方（a m）n=a m n (m、n都是正整数)幂的乘方，底数a，指数mn。
（ab）n=a n b n（N是正整数）。
积的乘方等于每个因式分别乘方后的积。
例题1、计算：(1)741010⨯； (2) -25x x •(3)3()()x x ⋅－－ (4) 1m m yy ⋅＋例2、例3、例4、例5、已知a m =2,a n =3,求a m+n 的值。
例6、已知x ＋y ＝a ，求（x ＋y ）3（2x ＋2y ）3（3x ＋3y ）3的值．练习一、二、填空题：1. 111010m n ＋－=________,456(6)－=______.2. 234x x xx －=________,25()()x y x y －－=_________________.3. =___________.4. 若34m a a a ,则m=________;若416a x x x ,则a=__________;若2345y xx x x x x ,则y=______;若25()x a a a ,则x=_______. 5. 若2,5m n a a ,则m n a =________.三、解答题:(每题8分,共40分)1、计算下列各题:31010010100100100100001010⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＋(1)x ·x ·x 3 (2) (a+b)(a+b)2(a+b)3(3)2x 3(-x)-x(-x)4 (4)x ·x m-1+x ·x m-2（5）(x-y)2(x-y)3(y-x)2(y-x)3； 6）(a-b-c)(b-a-c)2(c-a+b)3；（7）(-x)2(-x)3+2x(-x)4-(-x)x 4； （8）x ·x m-1·x 2·x m-2。
初中数学知识点精讲精析 幂的乘方与积的乘方
第二节 幂的乘方与积的乘方要点精讲一、乘方的概念在a n 中，相同的乘数a 叫做底数（base number ），a 的个数n 叫做指数（exponent ），乘方运算的结果a n 叫做幂．a n 读作a 的n 次方，如果把a n 看作乘方的结果，则读作a 的n次幂．a 的二次方（或a 的二次幂）也可以读作a 的平方；a 的三次方（或a 的三次幂）也可以读作a 的立方．二、幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母表示为：（a m ）n =a （m ×n ） 幂的乘方 m,n 为正整数特别的：a mn =a （mn ）三、积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘．用字母表示为：（a ×b ）n =a n ×b n n 为正整数这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方．如：（a ×b ×c ）n =a n ×b n ×c n注意注意:1．负数乘方的符号法则．2．积的乘方等于积中“每一个”因式乘方的积，防止有的因式漏乘方错误．3．在计算（-2xy 3z 2）4=（-2）4x 4（y 3）4（z 2）4=16x 4y 12z 8的过程中，应把y 3 , z 2 看作一个数，再利用积的乘方性质进行计算．相关链接科学记数法将一个绝对值大于10的数写成“a 乘10的n 次方（或叫做n 次幂）”，（其中大小关系是“1≤a 的绝对值<10”且n 为正整数）的形式叫做科学记数法（1）当有了负整数指数幂的时候，小于1的正数也可以用科学记数法表示．例如：0．00001=10的负5次方，即小于1的正数也可以用科学记数法表示为a 乘10 的负n 次方的形式，其中a 是正整数数位只有一位的正数，n 是正整数．任何非0实数的0次方都等于1．典型分析1． 算的结果是（ ） 32)2(xA ．B ．C ．D ．【答案】Ｂ【解析】 故选B ．2.计算的结果是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】C 。
2.1.2 幂的乘方与积的乘方
(a3)4 =(a3· a3 · a3· a3)(乘方的意义)
也就是(a3)4=a3×4.
= a3+3+3+3(同底数幂的乘法法则)
= a3×4 =a12.
4个 a3
如何证明刚才的猜想呢?
(am)n = am ·am ·… ·am （幂的意义）
n个am
= am+m+…+m （同底数幂的乘法性质）
n个 m
解： -(xyz )4 + (2x2y2z2 )2 = -x4y4z4 + 4x4y4z4 = 3x4y4z4.
1、下列计算正确的是（ D ）
A．x3+x3=x6 B．a6+a2=a3
C．3a+5a=8ab
D．（ab2）3=a3b6
2、计算 - 1 a b 的结果正确的是（ C ） 2 A. 1 a 4b2 B. 1 a 6b3 4 8 C.- 1 a 6b3 D.- 1 a 5b3 8 8 21a63 2 3 5 7 3、化简[-a · (-2a) · (-a) ] 的结果是 .
= amn(m，n都是正整数).
你能归纳下这个法则吗？
(am)n=amn (m,n是正整数).
于是，我们得到幂的乘方法则：
(am)n=amn(m，n都是正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
同底数幂的乘法和幂的乘方的区别：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂 的乘法法 则与幂的 乘方法则 有什么相 同点和不 同点？
=a3×3· a4×3
计算：
(1)(m ) m m ;
4 2 5 3
x4 – x2 ·x3 . (2)(a ) (a ) ; （3）x·
幂的乘方与积的乘方的逆用-定义说明解析
幂的乘方与积的乘方的逆用-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:在数学中，幂的乘方和积的乘方是常见的运算形式。
幂的乘方指的是一个数的自身多次相乘，而积的乘方是多个数相乘的结果再自身多次相乘。
本文将探讨幂的乘方与积的乘方的逆用，即如何将一个数的乘方运算转化为幂运算或者将一个积的乘方转化为乘法运算。
通过比较幂的乘方和积的乘方的逆用方法，可以帮助我们更好地理解这两种运算形式之间的关系，提高解题效率。
本文将从理论分析和实际应用两个方面对这一主题展开讨论，以期为数学领域的研究和实践提供一定的启发。
1.2 文章结构文章结构包括引言、正文和结论三部分。
引言部分主要介绍了文章的背景和意义，引起读者的兴趣；正文部分详细阐述了幂的乘方、积的乘方以及它们的逆用比较；结论部分对文章的内容进行总结，并探讨了幂的乘方与积的乘方的逆用在不同领域的应用和未来的发展方向。
整个文章结构清晰明了，逻辑性强，能让读者快速理解文章的主要内容和观点。
1.3 目的：本文旨在探讨幂的乘方与积的乘方在数学中的应用及其逆用。
通过深入分析这两种运算的特性，我们希望能够更好地理解它们在解决问题时的实际应用方式，并且帮助读者更加灵活地运用这些概念。
同时，通过对比幂的乘方和积的乘方的逆用方法，我们将探讨它们在不同领域中的实际应用，以期为读者提供更全面的知识和启发。
通过本文的阐述，我们希望读者能够深入了解数学中的这些概念，并将其运用到实际生活或学习中，从而提升自己的数学思维能力和解决问题的能力。
2.正文2.1 幂的乘方幂的乘方是数学中常见的概念，表示将一个数自身乘以自身多次得到的结果。
例如，2的3次幂表示将2乘以自身3次，即2*2*2=8。
幂的乘方可以简单地用符号表示为a^b，其中a为底数，b为指数。
在数学运算中，幂的乘方有着重要的作用，可以用来表示很大的数字以及进行复杂的计算。
幂的乘方可以带来很多好处，其中之一是简化大数的表示和计算。
通过对一个数进行幂的乘方操作，可以快速得到结果而不需要逐个相乘。
帮你梳理幂的乘方与积的乘方
帮你梳理幂的乘方与积的乘方作者：王建华来源：《初中生世界·七年级》2018年第03期同底数幂相乘时，底数不变，指数相加，很多同学能很快掌握与运用，但遇到幂的乘方、积的乘方时，却容易混淆.针对后面两种运算性质，我们结合例题进行梳理，希望能帮助同学们理解.一、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.其表达式为（am）n=amn（m，n都是正整数）.此法则中的“底数”是指幂中的底数，“指数相乘”是指幂中的指数m和幂的指数n相乘.此法则的实质是将乘方运算转化为乘法运算.例1 计算：（1）（a3）4；（2）-（xn）2.【讲解】（1）此题直接求幂的乘方运算，可按幂的乘方法则进行.运算的结果底数为a，指数为3与4的积.（a3）4=a3×4=a12.（2）观察算式特点，可看作求-1与（xn）2两项的积，其中第二项为幂的乘方，应先进行运算，注意结果不要丢掉负号.-（xn）2=-xn×2=-x2n.二、积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.表达式为（ab）n=anbn（n是正整数）.此法则的实质是改变了运算顺序，由先乘法运算再乘方运算变为先乘方运算再乘法运算.运用此法则的关键是明确等式左边积中的因式及其个数.例2 计算：（1）（-a）3；（2）（3xy2）n.【讲解】（1）观察幂的特点，可把底数看作-1与a的积，此题按照积的乘方法则计算即可.（-a）3=（-1）3a3=-a3.（2）观察幂的特点，底数为三个因式3，x与y2的积，运用积的乘方法则可将三个因式分别乘方，其中由于第三个因式是幂的形式，乘方后便成为幂的乘方的形式，可利用幂的乘方法则进一步运算.（3xy2）n=3nxn（y2）n=3nxny2n.练一练：计算：（1）（b2）m；（2）y（yn）3；（3）（-3b）4；（4）-（xy2a）3；.答案：（1）b2m；（2）y3n+1；（3）81b4；（4）-x3y6a. （作者单位：江苏省海安县城南实验中学）。
幂的乘方与积的乘方
想一想
猜想（am）n等于什么？你的;m+…+ m m m… m (am)n= =a a ·a a =amn
幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
n m mn a =a , 其中m,n是正整数
注意： 1．公式中的底数a可以是具体的数， 也可以是代数式． 2．注意幂的乘方中指数相乘， 而同底数幂的乘法中是指数相加．
例 1 计算： (1)(106)2； (2)(am)4(m为正整数)； (3)-(y3)2； (4)(-x3)3． 解：(1)(106)2 = 106×2= 1012; (2)(am)4 = am×4= a4m； (3)-(y3)2 =-(y3×2)=-y6； (4)(-x3)3 = -(x3)3= -(x3×3)=-x9．
练一练
（b5)5 （an)3 a3n -(x2)m
1.计算（102)3
106
2计算:
b25
-x2m
(1) ( 104 )2 (2) (x5)4 (3) -(a2)5 (4) (-23)20 10 60 8 20 -a 2 10 x 3.下面的计算是否正确?如有错误请改正.
(1) (a3)2=a2+3=a5 (2) (-a3)2=-a6
4.填空： （1）108=（ 104 )2； 9 27 3 ( （2）b =(b ) ); (3)(ym)3=( y3 )m; (4)p2n+2=( Pn+1 ) 2.
5.下列计算中正确的个数有（ Ｄ ）个 ①．am· a2=a2m ②．(a3)2=a5 ③．x3· x2=x6 ④．(-a3 )2a4 ＝ a９ (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对
8.2：幂的乘方与积的乘方
• 1、能说出幂的乘方与积的乘方的运算性质 ，并会用符号表示。 • 2、会运用幂的乘方与积的乘方的运算性质 进行运算，并能说出每一步的依据。 • 3、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性 质的过程，进一步体会幂的意义，从中感 受具体到抽象、特殊到一般的思考方法， 发展数感和归纳的能力。
1、概念： （am)n 表示n个am 相乘。 2、法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3、表达式：
3
计算： ①(2b)5 ②(-xy)4 ③(-x2yz3)3 ④[(x-1)2(1-x)]3 2 ⑤( )５×３５
3
一、脱口而出：
（1）a6y3=( （2）81x4y10=( 二、计算: （1）
ห้องสมุดไป่ตู้
) 3; )2
0.125
2004
(2
2004 3
)
2 n 1 ( 2004 ) ( ) （2） 4008
一、幂的乘方
n m mn a =a , 其中m,n是正整数
计算：
1. （102)3 2. （b5)6 3. （an)3 4. -(x2)m 5.（am)n 6.（y2)3. y2. 7.2(a2)6. a3 -（a3)4 8.（-32)3（-33)2 9.（-x)2(-x)3
.
a3
1、(4· 2n)· (4· 2n)等于 （ Ｄ） A．4· 2n B．42n+4 C．22n D．22n+4 Ｄ ）个 2、下列计算中正确命题的个数有（ ①a m· a2=a2m ②(a3)2=a5 ③x 3· x2=x6 ④(-a3 )2.a4 ＝ a９ (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对
1、若a2n=5，求a6n 2、若am=2，a2n=7，求a3m+4n 3、比较2100与375的大小。
七年级下册数学幂的乘方与积的乘方
一、概述乘方是数学中常见的运算方式，而在七年级下册数学课程中，乘方的概念和运算更是重要的一部分。
其中，幂的乘方和积的乘方是学习乘方的重要内容，通过对这两个概念的深入理解和掌握，可以帮助学生更好地应用乘方运算解决实际问题，提高数学能力。
二、幂的乘方1. 幂的概念幂指的是将一个数自身相乘若干次，比如2的3次幂即为2乘以2乘以2，记作2^3。
2. 幂的运算规则a. 同底幂相乘：若a^n × a^m，即底数相同，指数相加，底数不变。
b. 同底幂相除：若a^n ÷ a^m，即底数相同，指数相减，底数不变。
c. 幂的乘方：(a^n)^m = a^(n×m)，即一个数的幂再乘以一个数的幂等于这个数的幂的乘积。
3. 举例说明若有2^3 × 2^2，则根据同底幂相乘的规则，底数2不变，指数相加得到2^(3+2)=2^5，因此2^3 × 2^2=2^5。
三、积的乘方1. 积的概念积的乘方指的是将一个数的积自身相乘若干次，比如(2×3)的4次幂即为2×3乘以2×3乘以2×3乘以2×3，记作(2×3)^4。
2. 积的乘方运算规则a. 积的乘方展开：(a×b)^n = a^n × b^n，即括号中的积的乘方等于括号里的各项的乘方相乘。
b. 积的乘方合并：a^n × a^n = (a^n)^2 = a^(2n)，即同底数的乘方相乘等于底数不变，指数相加。
3. 举例说明若有(2×3)^4，则根据积的乘方展开的规则，括号中的积的乘方等于2的4次幂乘以3的4次幂，即(2^4) × (3^4)。
四、应用举例1. 计算器计算通过计算器进行幂的乘方和积的乘方的计算。
2. 实际问题通过应用题来帮助学生更好地理解幂的乘方和积的乘方在解决实际问题中的应用。
五、总结通过对幂的乘方和积的乘方的理解和掌握，学生可以更好地进行乘方运算、解决实际问题。
同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方
幂的运算一1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数)同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
学习这个法则时应注意以下几个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。
（5）不要与整式加法相混淆。
乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1=(- )1+2+3②底数为- ，不变。
=(- )6③指数相加1+2+3=6= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。
幂的乘方与积的乘方(课件)八年级数学上册(人教版)
（4） − 2
3
= 9 ⋅ 12 = 21
+1 2
= −2
2+2
⋅ 4 3 ； (4) − 2
+1 2
.
12．在比较216 和312 的大小时，我们可以这样来处理：
∵216 =(24 )4 =164 ，312 = 33 4 =274 ，16＜27，
∴164 ＜274 ，即216 ＜312 ．
解：原式＝
4
=
5
5
4
2019
= ．
5
×
4
4 2019
5
2019
×
×
5
4
5 2020
−
4
(2) (−8)2020 × (−0.125)2022
解：原式=82020 × 0.1252022
=(8 × 0.125)2020 × 0.1252
=0.1252
=
1
64
三种幂的运算法则逆运用的规律
逆用公式(以下m，n都是
C．c>a>b
D．a<b<c
7．计算：（ 2 ）3 ⋅ 2 − （ 4 ）2 + 2 ⋅ 6 ＝_____．
x8
8．已知2 = ，32 = ，则23+10 =______．
a3b2
9．已知，满足方程3 + 2 = 4，则8 ⋅ 4 =______．
16
10．比较大小：230 ______3
同理：
( ab )
(ab) (ab) (ab)
3
(a a a) (b b b)
a b
3 3
推理验证
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问题
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问
题
背景
在数学中，幂是一种常见的运算方式。
幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中的相关问题。
本文将探讨这些问题的定义、性质和解决方法。
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法是指将底数相同的幂进行相乘的运算。
如果我们有两个同底数幂，即a^m和a^n，那么它们的乘积可以表示为
a^(m+n)。
简单说，就是将它们的指数相加，而底数不变。
例如，我们有2^3和2^4，它们的底数都是2。
根据同底数幂的乘法规则，它们的乘积为2^(3+4)，即2^7。
幂的乘方
幂的乘方是指将幂的结果再次进行幂运算的操作。
如果我们有
一个幂a^m，再对其进行幂运算，即(a^m)^n，那么它可以简化为
a^(m*n)。
换句话说，就是将它们的指数相乘。
举个例子，我们有2^3，如果我们对其进行幂的乘方，即
(2^3)^2，根据幂的乘方规则，它可以简化为2^(3*2)，即2^6。
积的乘方
积的乘方是指求积的幂的运算。
如果我们有一个积a*b，对其
进行乘方运算，即(a*b)^n，那么它可以展开为a^n * b^n。
简单说，就是将积的每个因子都进行乘方。
举个例子，我们有积2*3，我们对其进行乘方运算，即(2*3)^3，根据积的乘方规则，它可以展开为2^3 * 3^3。
结论
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中常见的问题。
通过了解它们的定义和规则，我们可以更好地进行幂运算的简化和
求解。
使用这些规则，我们可以轻松计算出任何同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的结果。
1.2幂的乘方与积的乘方
mn
（m，n都是正整数）． ，指数 相乘 ．
幂的乘方，底数 不变
活动3
例2:计算:
(1) (103)5; (3) (am)2; (2) (a4)4; (4) -(x4)3.
解: (1) (103)5=103Χ5 = 1015 ; (2) (a4)4=a4Χ4=a16;
(3) (am)2= a mΧ 2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4Χ3 = - x12 .
3. 设n为正整数，且x2n=2，求9(x3n)2的值．
4. 已知2m=a，32n=b，求：23m+10n．
温故知新
1.幂的乘方的法则 语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 (a ) a
m n
mn
(m、n都是正整数） .
公式中的a可表示一 个数、字母、式子等.
2.幂的乘方的法则可以逆用.即
a
mn
( a ) (a )
m n
n m
3.多重乘方也具有这一性质.如
[(a ) ] a
m n p
mn p
（其中 m、n、p都是正整数）.
1.2 幂的乘方和积的乘方 1.2 幂的乘方和积的乘方
活动1
知识回顾
口述同底数幂的乘法法则
am · n = am+n (m、n都是正整数). a
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
计算：
（1） 93 95
9
8
；
（2）a
9
6
； （4）
6
a a
2
3 5
8
；
（3） x
2
x3 x 4
x
4
专题1.2幂的乘方与积的乘方
专题1.2 幂的乘方与积的乘方1.理解并掌握幂的乘方法则;（重点）2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用.（难点）3.理解并掌握积的乘方的运算法则；（重点）4.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.（难点）知识点01. 幂的乘方法则幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．()mn n m a a =（m ，n 是正整数）．幂的乘方法则的推导：幂的乘方是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的．()mn m n m m m a n m m m m m n m a a a a a a a a m==⋅⋅⋅⋅⋅=+++ 个个．知识点02. 逆用幂的乘方：()()m n n mmn a a a ==（m ，n 为正整数）．知识点03.()n m a 与n m a 的区别：()n m a 表示n 个m a 相乘，而nm a 表示n m 个a 相乘．知识点04. 积的乘方法则：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．()n n n b a ab =（n 是正整数）．积的乘方法则的推导：()n n b n a n ab n n b a b b b a a a ab ab ab ab =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 个个个)()()()()(．知识点05. 逆用积的乘方法则：()n n n ab b a =（n 为正整数）知识点01 幂的乘方法则典例：计算（1）(102)3 ；（2）(b 5)5； （5）(y 2)3·y;（3）(a n )3； （4）－(x 2)m ；【答案】（1）106；（2）b 25;（3）a 3n ;（4）－x 2m ;（5）y 7;【分析】运用同底数幂的乘方法则计算即可得解.【详解】解:（1）(102)3=102×3=106；（2）(b 5)5 =b 5×5=b 25;（3）(a n )3=a n×3=a 3n ;（4）－(x 2)m =－x 2×m =－x 2m ;（5）(y 2)3 · y=y 2×3·y=y 6·y=y 7;【点拨】本题考查了同底数幂的乘方，熟练掌握计算法则是解题关键.巩固练习1.计算：（1）()=24x ____；（2）()=-423____；（3）()=-53n b ____；（4）()[]=+-n m y x 2____．【答案】 （1）8x （2）83 （3）n b 15- （4） ()mn y x 2+【分析】运用同底数幂的乘方法则计算即可得解.【解析】解：（1）()82424x x x ==⨯（2）()()84242423333===-⨯（3）()()n n n n b bb b 15535353-=-=-=-⨯（4）()[]()[]()()mn nm n m n m y x y x y x y x 2222+=+=+=+-⋅【点拨】根据幂的乘方性质:幂的乘方,底数不变,指数相乘,逐一计算即可.2.计算：(1) (103)3 ;(2) (x 3)4 · x 2 ; (3) [(－x)2 ]3 ; (4) x ·x 4 – x 2 · x 3 .【答案】(1)109；(2)x 14;（3）x 6;（4）0【分析】运用同底数幂的乘方法则计算即可得解.【解析】解：（1）原式=103×3=109；（2）原式=x 12· x 2=x 14;（2）原式=(x 2)3=x 6;（3）原式=x 5–x 5=0.【点拨】本题考查的知识点是幂的乘方，解题的关键是熟练的掌握幂的乘方法则.知识点02 逆用幂的乘方典例1：若2132793=⨯⨯m m ，则m 的值是______．【答案】 4【分析】利用()()m n n m mn a a a ==（m ，n 为正整数）即可解题。
2 幂的乘方与积的乘方
2.幂的乘方与积的乘方知识点一 幂的乘方1. 幂的乘方的意义幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
如3323)(a a a •表示2. 幂的乘方的运算法则（幂的运算性质2）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
用字母表示为mn n m aa =)(（m ，n 都是正整数） 此性质可以逆用：m n n m mn a a a)()(==（m ，n 都是正整数）。
如533515)2()2(2==。
例1 计算（1）[]23)(a - （2）3223)(2)(3x x -- （3）[]{}342)(y x -例2 若n m n m b a b a 23,5,3+==则的值是（ ）A.19B.37C.52D.104知识点二 积的乘方1. 积的乘方的意义积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
如n ab ab )2(,)(4等，其中a 和b 叫做积ab 的因式；2，a 和b 叫做积2ab 的因式。
2. 积的乘方的运算法则（幂的运算性质3）积的乘方等于各因式乘方的积。
用字母表示为n n n b a ab •=)(（n 是正整数）。
此性质可逆用：n n n ab b a )(=•。
逆向应用可将算是灵活变形成简化计算。
如1)212()21(2201920192019=⨯=⨯ 例3 计算 （1）3)2(b （2）22)3(y x - （3）323)21(y x -（4）2232)()(y x y x -•-典型例题剖析题型一 幂的乘方与积的乘方的综合应用例1 已知1510511)(b a b an m =•++，求m ，n 的值题型二 幂的运算性质的逆用1. 逆用幂的运算性质解题例2 已知52=n x，求n n x x 2223)(4)3(-的值例3 已知x a =10，y b =10，试用含x ，y 的代数式表示b a 3210+例4 计算（1）1011)431()74(⨯ （2）4020225.0⨯（3）201920183)8()125.0()21(-⨯-⨯-2. 逆用幂的运算性质比较幂的大小例5 比较大小：（1）7510032和；（2）2223334445555,4,32，。
幂的乘方、积的乘方(优生用)
【拓展培优】
【拓展培优】
【拓展培优】
1.2.1幂的乘方
1、幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘， （am）n是 n 个 am相乘，读作： “ a 的 m 次幂的 n 次方”。
2、幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。 即：（am）n amn，（m、n均为正整数）
3、幂的多重乘方：
(2)原式= a2 a2 a2 a222 a23 a6
(3)原式= am am amm a2m
n个m
(4)原式= am am am amm m amn
n个a m
1.2.1幂的乘方
1、幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘， （am）n是 n 个 am相乘，读作： “ a 的 m 次幂的 n 次方”。
3、同底数同底幂数相幂乘相的乘法的则法逆则应逆应用用: :aammnn
（m、n 为正整数）
（m、n 为正整数）
1.2.1幂的乘方
（102）3 102 102 102
% +
= 1.2.1幂的乘方
sin ������
−������ ± ������2 − 4������������ 2������
②积的底数不变，指数和作为积的指数；
③本章中如无特别说明，幂的指数中的字母都是正整数；
法2、则拓法展则拓：展：
am •aamn••aan •p ap
（（mm、、nn、、pp为为正正整整数数））
数乘以数乘幂以的幂积的的积乘的法乘:法:
(a 1(a0m1)0m()b(1b0n1)0n) (a(ba)b)(1(100mm1100nn))
3、幂的多重乘方：
幂的多重乘方，底数不变，指数相乘。
12幂的乘方与积的乘方
解：(1) (62)4 = 62·62·62·62=62+2+2+2 =68 =62×4 ;
(2) (a2)3 = a2·a2·a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ;
(3) (amm)22=am·am =am+m=a2m ;
n 个am
(4) (am)n=am·am·… ·am （幂的意义）
n 个m
解. ： (1) (102)3 =102×3 =106 ;
(3) (an)3; (6) 2(a2)6 － (a3)4
(2) (b5)5 = b5×5 = b25 ; (3) (an)3 = an×3 =a3n ;
解完题后有何 感受？
(4) -(x2)m = -x2×m = -x2m ;
(5) (y2)3 ·y= y2×3 ·y = y6 ·y = y7;
2. 判断下面计算是否正确？如果有错误请改正： (1) (x3)3 = x6 ; (2)a6 ·a4 = a24 .
本节课你的收获是什么？
积的乘方的运算性质：
(am)n = amn ( m,n 都是正整数 ).
幂
底数 不变 ， 指数 相乘 .
的
意
义
同底数幂乘法的运算性质：
am ·an= amn ( m,n 都是正整数 )
๔回回顾顾与& 思思考考☞
幂的意义:
n个a
a·a·… ·a= an
同底数幂乘法的运算性质：
am ·an = am+n（m,n都是正整数）
am ·an =(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m个a
n个a
推导过程
= a·a·… ·a = am+n
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幂的乘方与积的乘方
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用．
1．幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
（都是正整数）
幂的乘方
的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质．
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把的结果错误地
写成，也不能把的计算结果写成．
幂的乘方是变乘方为（底数不变，指数相乘的）乘法，如；
而同底数幂的乘法是变（同底数的幂）乘为（幂指数）加，如．2．积和乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即
（为正整数）．
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质．例如：
3．不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）．
4．同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解．在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如，
；还要防止运算性质发生混淆：
等等．
三、教法建议
1．幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质．教学时，也要注意导出这一性质的过程．可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如
对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明．以为例，再一次说明
可以写成．这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解．在此基础上再导出性质．
2．使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同，不能混淆．具体讲解可从下面两点来说明：
（1）牢记不同的运算要使用不同的性质，运算的意义决定了运算的性质．
（2）记清幂的运算与指数运算的关系：
(同底)幂相乘→指数相加(“乘”变“加”，降一级运算)；
幂乘方→指数相乘(“乘方”变“乘法”，降一级运算)．
了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律，可使自己更好掌握有关性质.
3．在教学的各个环节中，注意启发学生，不仅掌握法则，还要明确为什么．三种运算法则全讲完之后，学生最易产生法则间的混淆，为了解决这个问题除叫学生熟记法则之外，在学生回答问题和写作业时，注意解题步骤，或及时发现问题，说明出现问题的原因；要注意防止两个错误：
(1)(-2xy)4=-24x4y4．
(2)(x+y)3=x3+y3．
幂的乘方与积的乘方(一)
一、教学目标
1．理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算．
2．通过推导性质培养学生的抽象思维能力．
3．通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力．
4．培养学生严谨的学习态度以及勇于创新的精神．
5．渗透数学公式的结构美、和谐美．
二、学法引导
1．教学方法：引导发现法、尝试指导法．
2．学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题．
三、重点·难点及解决办法
（－）重点
准确掌握幂的乘方法则及其应用．
（二）难点
同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用．
（三）解决办法
在解题的过程中，运用对比的方法让学生感受、理解公式的联系与区别．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪、胶片．
六、师生互动活动设计
1．复习同底数幂乘法法则并进行、的计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解．
2．教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质．
3．设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课重点是掌握幂的乘方运算性质并能进行较灵活的应用
（二）整体感知
幂的乘方法则的应用关键是判断准其适用的条件和形式．
（三）教学过程
1．复习引入
（1）叙述同底数幂乘法法则并用字母表示．
（2）计算：①②
2．探索新知，讲授新课
（1）引入新课：计算和和
提问学生式子、的意义，启发学生把幂的乘方转化为同底数暴的乘法．计算过程按课本，并注明每步计算的根据．
观察题目和结论：
推测幂的乘方的一般结论：
（2）幂的乘方法则
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
字母表示：．（，都是正整数）
推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据．
（3）范例讲解
例1 计算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2 计算：
①
②
解：①原式
②原式
练习：①P97 1，2
②错例辨析：下列各式的计算中，正确的是（）A．B．
C．D．
（四）总结、扩展
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
幂运算种类指数运算种类同底幂乘法乘法加法
幂的乘方乘方乘法八、布置作业。