人教A版必修1指数与指数幂的运算知识点总结与典例讲解

指数与指数幂的运算知识点总结与例题讲解

本节知识点 （1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一 整数指数幂

1.正整数指数幂的定义:

a

n n

a a a a 个⋅⋅=,其中∈n N*. 2.正整数指数幂的运算法则: （1）n

m n

m

a

a a +=⋅(∈n m ,N*);

（2）n

m n

m

a a a -=÷（,,0n m a >≠且∈n m ,N*）;

（3）()

mn n

m

a a

=(∈n m ,N*);

（4）()m

m m

b a ab =(∈m N*);

（5）m m m

b a b a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛（,0≠b ∈m N*）.

3.两个规定

（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即()010

≠=a a .

零的零次幂没有意义.

（2）任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂,等于这个数的n 次幂的倒数.即:

()01

≠=

-a a a n

n . 零的负整指数幂没有意义. 知识点二 根式的概念及其性质 1.n 次方根

（1）定义 一般地,如果a x n

=（1>n 且∈n N*）,那么x 叫做a 的n 次方根. （2）性质:

①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次

方根用n

a 表示;

②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为n

a ±.负数没有偶

次方根;

③0的任何次方根都是0,记作00=n

.

2.根式的定义 形如n

a （1>n 且∈n N*）的式子叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数.

对根式n

a 的理解,要注意以下几点: （1）1>n 且∈n N*; （2）当n 为奇数时,∈a R ; （3）当n 为偶数时,a ≥0.

根式n

a （1>n 且∈n N*）的符号的确定:由n 的奇偶性和被开方数a 的符号共同确定. （1）当n 为奇数时,n

a 的符号与a 的符号相同; （2）当n 为偶数时,a ≥0,n

a 为非负数. 3.根式的性质: （1）

()

a a n

n

=;

（2）对于n n

a ,当n 为奇数时,a a n

n

=;当n 为偶数时,()()

⎩⎨

⎧≤-≥==00a a a a a a n

n . ()n

n

a 与

n

n a 的联系与区别:

（1）对于

()n

n

a ,当n 为奇数时,∈a R ;当n 为偶数时,a ≥0.而对于

n

n a ,是一个恒有意义

的式子,不受n 的奇偶性的限制,但式子的值受到n 的奇偶性的限制. （2）当n 为奇数时,

()

=n

n

a a a n

n =.

知识点三 分数指数幂

1. 规定正数的正分数指数幂的意义是

n

m n

m a a =（0>a ,∈n m ,N*,且1>n ）

于是在条件0>a ,∈n m ,N*,且1>n 下,根式都可以写成分数指数幂的形式.

2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定

n

m

n

m n

m a

a

a

1

1=

=

-

（0>a ,∈n m ,N*,且1>n ）

3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:

（1）分数指数幂n

m a 不能理解为

n

m

个a 相乘,它是根式的一种新的写法; （2）分数指数

n

m

不能随意约分. 如()()2

14

233-≠-,事实上,()()4

2

4

233-=-,式子是有意义的;而()332

1-=-在

实数范围内是没有意义的.

（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.

如上面提到的()()4

2

4

233-=

-,但()()4

34

355-=-没有意义.

所以对于分数指数幂n

m a ,当a ≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的意义时,要求0>a . 知识点四 有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）s

r s r a a a +=⋅（,0>a s r ,∈Q ）;

（2）()

rs s

r

a a

=（,0>a s r ,∈Q ）;

（3）()r

r r

b a ab =（0,0>>b a r ∈Q ）.

有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）s

r s

r

a

a a -=÷（,0>a s r ,∈Q ）;

（5）r r r b a b a =⎪⎭

⎫ ⎝⎛（0,0>>b a r ∈Q ）.

常用结论:

（1）当0>a 时,0>b

a ; （2）若,0≠a 则10=a ;