人教A版必修1指数与指数幂的运算知识点总结与典例讲解

指数与指数幂的运算知识点总结与例题讲解本节知识点 （1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一 整数指数幂1.正整数指数幂的定义:an na a a a 个⋅⋅=,其中∈n N*. 2.正整数指数幂的运算法则: （1）nm nmaa a +=⋅(∈n m ,N*);（2）nm nma a a -=÷（,,0n m a >≠且∈n m ,N*）;（3）()mn nma a=(∈n m ,N*);（4）()mm mb a ab =(∈m N*);（5）m m mb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（,0≠b ∈m N*）.3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即()010≠=a a .零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂,等于这个数的n 次幂的倒数.即:()01≠=-a a a nn . 零的负整指数幂没有意义. 知识点二 根式的概念及其性质 1.n 次方根（1）定义 一般地,如果a x n=（1>n 且∈n N*）,那么x 叫做a 的n 次方根. （2）性质:①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次方根用na 表示;②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为na ±.负数没有偶次方根;③0的任何次方根都是0,记作00=n.2.根式的定义 形如na （1>n 且∈n N*）的式子叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数.对根式na 的理解,要注意以下几点: （1）1>n 且∈n N*; （2）当n 为奇数时,∈a R ; （3）当n 为偶数时,a ≥0.根式na （1>n 且∈n N*）的符号的确定:由n 的奇偶性和被开方数a 的符号共同确定. （1）当n 为奇数时,na 的符号与a 的符号相同; （2）当n 为偶数时,a ≥0,na 为非负数. 3.根式的性质: （1）()a a nn=;（2）对于n na ,当n 为奇数时,a a nn=;当n 为偶数时,()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn . ()nna 与nn a 的联系与区别:（1）对于()nna ,当n 为奇数时,∈a R ;当n 为偶数时,a ≥0.而对于nn a ,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶性的限制,但式子的值受到n 的奇偶性的限制. （2）当n 为奇数时,()=nna a a nn =.知识点三 分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是nm nm a a =（0>a ,∈n m ,N*,且1>n ）于是在条件0>a ,∈n m ,N*,且1>n 下,根式都可以写成分数指数幂的形式.2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定nmnm nm aaa11==-（0>a ,∈n m ,N*,且1>n ）3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂nm a 不能理解为nm个a 相乘,它是根式的一种新的写法; （2）分数指数nm不能随意约分. 如()()214233-≠-,事实上,()()424233-=-,式子是有意义的;而()3321-=-在实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的()()424233-=-,但()()434355-=-没有意义.所以对于分数指数幂nm a ,当a ≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的意义时,要求0>a . 知识点四 有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）sr s r a a a +=⋅（,0>a s r ,∈Q ）;（2）()rs sra a=（,0>a s r ,∈Q ）;（3）()rr rb a ab =（0,0>>b a r ∈Q ）.有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）sr sraa a -=÷（,0>a s r ,∈Q ）;（5）r r r b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（0,0>>b a r ∈Q ）.常用结论:（1）当0>a 时,0>ba ; （2）若,0≠a 则10=a ;（3）若sr a a =（0>a ,且1≠a ）,则s r =;（4）乘法公式适用于分数指数幂.如b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22122121212121（0,0>>b a ）.知识点五 无理数指数幂一般地,无理数指数幂αa （0>a ,α是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.知识点六 运用公式进行指数幂的运算（条件求值） 常用公式:（1）平方差公式 ()()b a b a b a -+=-22.（2）完全平方公式 ()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+.（3）立方和公式 ()()2233bab a b a b a +-+=+. （4）立方差公式 ()()2233bab a b a b a ++-=-.（5）完全立方和公式 ()3223333b ab b a a b a +++=+.（6）完全立方差公式 ()3223333b ab b a a b a -+-=-.常用公式变形:（1）()ab b a b a 2222-+=+,()ab b a b a 2222+-=+.（2）211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ,211222+⎪⎭⎫⎝⎛-=+x x x x .或者写成()22122-+=+--x x x x ,()22122+-=+--x x x x .（3）⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323;⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323.例题讲解例1. 已知32121=+-x x ,求32222323++++--x x x x 的值.分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:()22122-+=+--x x x x ;()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx . 解:∵32121=+-xx∴92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x ,∴71=+-x x . ∴()4727222122=-=-+=+--x x x x .()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴52502034721832222323==++=++++--x x x x .例2. 已知22121=+-a a ,求下列各式的值:（1）1-+a a ; （2）22-+a a ; （3）22--a a .分析:在求22--a a 的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出()222--a a 的值,然后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa∴42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a ,∴21=+-a a ; （2）()222222122=-=-+=+--a a a a ;（3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a∴022=--a a .例3. 已知41=+-x x ,其中10<<x ,求xx x x 122+--的值.分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x∴4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴62121=+-x x . ()1424222122=-=-+=+--x x x x∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x∵10<<x ,∴22-<x x ,∴3819222-=-=--x x .∴24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x . 例4. （1）已知42121=+-aa ,求21212323----aa a a 的值;（2）已知9,12==+xy y x ,且y x <,求21212121yx y x +-的值;解:（1）∵42121=+-aa∴212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a ,∴142161=-=+-a a . ∴()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a ; （2）∵9,12==+xy y x∴()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵y x <,∴2121y x <,∴021212121<+-yx y x∴333121212121-=-=+-yx y x . 例5. 已知3232+=a ,求31311--++aa a a 的值.分析:借助于分式的性质. 解:∵3232+=a ∴3232113232-=+==-a a,()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a .∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa ()3333333333913232347=++=++=++-++=.解法二:∵3232+=a∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a 313232132132113232=--++=-+++=-+=aa .例6. （1）当22,22-=+=y x 时,求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x 的值;（2）若122-=xa,求xx xx aa a a --++33的值. 分析: 结论 对于二次根式C B A ±,若C B A 22-是完全平方数,则C B A ±也是完全平方数. 本题中,22+=x ,被开方数22+不是完全平方数,所以x 不能化简,当确有()222222+=+=x .解:（1）∵22,22-=+=y x∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ()22122222221222+=+-+=--+=; （2）∵122-=x a∴()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x xx x a a aa a a a a a a a a a a a a 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=. 另解:解例5的解法一.题型一 整数指数幂的运算例7. 已知a x x =+-22（a 为常数,且∈x Z ）,求x x -+88的值.分析:因为()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+,所以先由条件a x x =+-22求出x x 2222-+的值.完全立方和公式 ()3223333b ab b a a b a +++=+.解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+()()a a a a a a 3312322-=-=--=.解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴()3322a x x =+-,展开得:()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---.整理得:()382238a x x x x =+++--,∴3838a a x x =++-. ∴a a x x 3883-=+-.例8. 已知3101=+-x x ,则=--22x x _________. 解:∵3101=+-x x ∴()9822310222122=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=+--x x xx ∴()()816400498242222222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=---x x xx ∴98081640022±=±=--x x . 解法二分析:使用平方差公式得()()1122----+=-x x x x x x . 解法二:∵3101=+-x x ∴()()9644310422121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=---x x xx ∴389641±=±=--x x . ∴()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x . 例9. 若31=+-x x ,求2323-+x x 的值. 解:∵31=+-x x （这里0>x ）∴3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x . ∵02121>+-x x ,∴52121=+-xx .∴()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx ()52135=-⨯=.解法二:∵31=+-x x∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴52202323==+-xx .例10. 已知41=+-x x ,则=+-2121x x【 】（A ）2 （B ）2或2- （C ）6 （D ）6或6- 分析:题目的隐含条件为0>x . 解:∵41=+-x x∴42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x ,∴622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x∴62121=+-x x.选择【 C 】.例11. 已知212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ,则()=+1x f 【 】（A ）42-x （B ）()21+x（C ）()()2111-+++-x x （D ）322-+x x解:（换元法）设t xx =+-2121,则有∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x∴()2222t t t f =+-=,∴()2x x f =. ∴()()211+=+x x f .选择【 B 】.解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f∴2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ,∴()2x x f =.∴()()211+=+x x f .题型二 根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）()a a nn=;（2）对于nna ,当n 为奇数时,a a nn=;当n 为偶数时,()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn.注意 对于()nna ,当n 为奇数时,∈a R ;当n 为偶数时,a ≥0.而对于nn a ,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶性的限制,但式子的值受到n 的奇偶性的限制.例12. 化简下列各式: （1）()()222535-+-;（2）()()2231x x -+-（x ≥1）.解:（1）原式125532535=-+-=-+-=;（2）()()x x x x -+-=-+-313122.∵x ≥1∴当1≤x ≤3时,原式231=-+-=x x ; 当3>x 时,原式4231-=-+-=x x x . 例13. 化简: （1）()nnx π-; （2）62144+-a a （a ≤21）.分析:对于（1）,要对n 的奇偶性进行分类讨论. 解:（1）当n 为奇数时,()ππ-=-x x nn ;当n 为偶数时,()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn; （2）()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-.注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）223223-++;（2）347246625-+--+.分析: 结论 对于二次根式C B A ±,若C B A 22-是完全平方数,则C B A ±也是完全平方数.根据此结论,可知625+,246-,347-均可以化为完全平方的形式. 解:（1）原式()()221212*********2=-++=-++=-++=;（2）原式()()()222322232-+--+=22322232322232=-++-+=-+--+=.总结 形如n m 2±（0,0>>n m ）的双重二次根式的化简,一般是将其化为()2ba ±的形式,然后再化简.由()ab b a ba n m 222±+=±=±得:⎩⎨⎧==+nab mb a 所以b a ,是一元二次方程02=+-n mx x 的两个实数根.例15. 化简32-. 解:()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-. 例16. 计算:()()4123323-+-.解:原式()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=.注意 在利用根式的性质进行nna 的化简时,一定要注意当n 为偶数时,底数a 的符号.例17. 化简下列各式: （1）()()665544b a b a a -+++（0<<b a ）;（2）1212----+x x x x （21<<x ）. 解:（1）∵0<<b a∴原式()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2; （2）∵21<<x ,∴110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x .例18. 求值=-++335252_________. 解:令y x =-=+3352,52,则有4525233=-++=+y x ,1-=xy .∴()()422=+-+y xy x y x ,∴()()[]432=-++xy y x y x设t y x =+,则0>t ,有()432=+t t ,∴0433=-+t t ,01333=--+t t∴()()0412=++-t t t∵042>++t t ,∴01=-t ,∴1=t . ∴1525233=-++. 解法二:设=x 335252-++,则有()x x 3452523333-=-++=,∴0432=-+x x∴()()03313=-+-x x ,()()0412=++-x x x ∵042>++x x ,∴01=-x ,∴1=x ∴1525233=-++. 例19. 根据已知条件求值: （1）已知32,21==y x ,求yx y x yx y x +---+的值;（2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两根,且0>>b a ,求ba b a +-的值.解:（1）∵32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy; （2）∵b a ,是方程0462=+-x x 的两根 ∴4,6==+ab b a∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a∵0>>b a ,∴0>-b a ∴5220==-b a . ∴()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a .（2）解法二:∵b a ,是方程0462=+-x x 的两根,∴4,6==+ab b a∴()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a . ∵0>>b a ,∴b a >,∴0>+-ba b a∴5551==+-ba b a . 例20. 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n x 115521,∈n N*,求()n x x 21++的值.解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x .例21. 已知函数()53131--=x x x f ,()53131-+=x x x g .（1）证明:()x f 在()+∞,0上是增函数（已知31x y =在R 上是增函数）;（2）分别计算()()()2254g f f -和()()()3359g f f -的值,由此概括出函数()x f 和()x g 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式,并加以证明.（1）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,31x y =在R 上是增函数 ∴312311312311,--><x x x x∴()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴()x f 在()+∞,0上是增函数; （2）解:()()()2254g f f -0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----.同样求得()()()03359=-g f f . 猜想:()()()052=-x g x f x f . 证明: ()()()x g x f x f 52-055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx .例22. 当0,0>>y x ,且()()y x y y x x 53+⋅=+时,求yxy x y xy x -+++32的值.解:∵0,0>>y x ,且()()y x y y x x53+⋅=+∴y xy xy x 153+=+,0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx∴05=-y x ,y x y x 25,5==. ∴22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x .题型三 根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:51a ,()043>a a ,36a ,()013>a a;()0>a a a .解:551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a;()4323210a a a a a a a ==⋅=>.例24. 将根式53-a 化为分数指数幂是【 】（A ）53-a （B ）53a （C ）53a - （D ）35a - 解:选择【 A 】. 例25. 化简:()()=⋅÷⋅109532a a a a _________.（用分数指数幂表示）解:由题意可知:0>a .∴原式561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=.例26. 设0>a ,化简:434334aa a a -.解:∵0>a∴611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa.例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【 】 （A ）()()0414>-=-x x x （B ）()0551≠-=-x x x（C ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x （D ）4182y y = 解:（A ）()0414>-=-x x x ,故（A ）错;（B ）()0155151≠==--x xx x,故（B ）错; （D ）4182y y =,故（D ）错. 选择【 C 】. 例28. 下列各式正确的是【 】 （A ）35531aa=-; （B ）2332x x =（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=814121814121aaa a （D ）x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）53535311aaa ==-,故（A ）错;（B ）3232x x =,故（B ）错; （C ）85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-,故（C ）错. 选择【 D 】.题型四 根式和分数指数幂有意义的条件1.对于n 次根式na ,当n 为奇数时,∈a R ;当n 为偶数时,a ≥0. 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若()4321--x 有意义,则x 的取值范围是__________.解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴021>-x ,解之得:21<x . 即x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,.例30. 函数()()2125--+-=x x y 的定义域是【 】（A ）{}2,5≠≠x x x （B ）{}2>x x（C ）{}5>x x （D ）{}552><<x x x 或 解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y∴⎩⎨⎧>-≠-0205x x ,解之得:2>x 且5≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,55,2 .选择【 D 】.题型五 幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）s r s r a a a +=⋅（∈>s r a ,,0R ）; （2）()rs sr a a =（∈>s r a ,,0R ）;（3）()r r rb a ab =（∈>>r b a ,0,0R ）.例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅;（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a . 解:（1）原式()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----;（2）原式()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=------------- 例32. 化简下列各式: （1）212121211111aaa a a++------;（2）111113131313132---+++++-x xx x x x x x .解:（1）原式()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a ; （2）原式11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 31x -=.例33. 化简:()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a. 解:原式()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------ 例34. 化简下列各式:（1）436532yx xy⋅; （2）1111212331++-+++a a a a a .解:（1）原式1212143653231--==yx yx y x ;（2）原式111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a 21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532【 】（A ）1516 （B ）30173 （C ）658- （D ）0 解:()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=.选择【 A 】.例36. 化简:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a _________.解:原式656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a ba ba b a b a .例37.=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121_________.解:原式22322322232491112=-++=-++-+=. 例38. 已知3,2==n m ,则32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 的值是_________. 解:∵3,2==n m∴原式32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m . 例39. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f _________.解:⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---4343213533353f f f f 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-. 题型六 解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x; （2）0123222=-⨯++x x .解:（1）()2224333+-=⨯x x ,424233--+=x x ∴4242--=+x x ,解之得:2-=x ;（2）()0123242=-⨯+⨯x x ,设t x =2,则0>t∴01342=-+t t ,()()0114=+-t t 解之得:1,241221-===-t t （舍去）. ∴222-=x ,∴2-=x .结论 若sr a a =（0>a ,且1≠a ）,则s r =题型七 指数幂等式的证明 设参数法例41. 设c b a ,,都是正数,且c b a 643==,求证:ba c 122+=. 证明:设t cba===643,则有cbat t t 12116,2,3===. ∵236⨯= ∴ba bacttt t 2112111+=⋅=,∴ba c 2111+= 等式两边同时乘以2得:b ac 122+=. 例42. 设m b a ==52,且211=+b a ,则=m _________.分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵m ba==52,∴bam m 115,2==. ∵211=+ba ∴2111152m m m m ba ba==⋅=⨯+,∴102=m ,10±=m .∵0>m ,∴10=m . 例43. 已知333cz by ax ==,且1111=++zy x . 求证:()31313131222c b a czby ax ++=++.证明:设t cz by ax ===333,则zt cz y t by x t ax ===222,,. ∴⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222.∵1111=++z y x ,∴t z y x t =⎪⎭⎫ ⎝⎛++111 ∴t cz by ax =++222,()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴()31313131222c b a czby ax ++=++.例44. 对于正整数c b a ,,（a ≤b ≤c ）和非零实数ω,,,z y x ,若ω70===z y x c b a ,zy x 1111++=ω,求c b a ,,的值. 解:设k c b a zyx====ω70,则有ω111170,,,k k c k b k a zyx====.∴zy x k abc 111++=∵zy x 1111++=ω,∴70=abc . ∵c b a ,,为正整数,且a ≤b ≤c ∴752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴10,7,1===c b a 或7,5,2===c b a当10,7,1===c b a 时,0===ωz y ,不符合题意,舍去. ∴7,5,2===c b a .本节易错题例45. 计算()()=-++44332121_________.分析 对于对于nna ,当n 为奇数时,a a nn=;当n 为偶数时,()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn.解:原式2212212121=-++=-++=.例46. 化简()()=-⋅-43111a a _________. 分析:题目的隐含条件为1>a . 解:原式()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a .例47. 已知1,0><<n b a ,∈n N*,化简()()nn nnb a b a ++-.解:当n 为奇数时,原式a b a b a 2=++-=; 当n 为偶数时,原式b a b a ++-=. ∵0<<b a ,∴原式a b a a b 2-=---=.其它例48. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ,则()=-)4(f f _________. 解:∵()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--f ∴()()4161616)4(21====-f f f .例49. 已知集合{}4,,2a a A -=,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33,且B A =,则=+b a _______.解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,a a -≠,∴0>a∴{}b b a a a a B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴⎩⎨⎧==421b a ,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴=+b a 3.例50. 设()244+=x xx f ,若10<<x ,则=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f _________. 解:∵()244+=x xx f∴()()=+++=+++=+++=-+--24224444444244244244111x x x xx x xx xx xx f x f 12424=++x x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f .。