武汉理工线性代数课件第三章

第三章 线性方程组

本章包含两个内容：向量和线性方程组.研究线性方程组的解是《线性代数》的最主要的任务，用矩阵方法来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组，用向量表示线性方程组的解和表达解之间的关系.

§

1 线性方程组

定义3.1 由m 个方程n 个未知量组成的线性方程组的一般形式：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* 矩阵形式是：

b Ax =

其中矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=mn m m n n a a a

a a a

a a a A 2

122221

11211，b =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m b b b 21, x =⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛m x x x

21

分别称为系数矩阵，常数项矩阵和未知量矩阵，称()b A 为增广矩阵，满足线性方程组的有序数组n x x x ,,,21 称为线性方程组的解，线性方程组的全部解组成解集，求解的过程称为解线性

方程组.对方程进行适当变化而解不变，叫做同解变换.显然，以下三种变换是同解变换：

(1) 交换两个方程的位置；

(2) 用一个非零数同乘某个方程的两边；

(3) 把一个方程乘以某个数加到另一个方程上. 2 线性方程组的消元解法 线性方程组的消元解法就是利用上述的三种同解变换，逐步消去未知量化为一元一次方程，得到这个方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。也就是两个过程：消元和回代。观察下面的例子，体会同解变换和消元法：

⎪⎩⎪

⎨⎧=--=+--=++4

2321321

321321x x x x x x x x x 〔1〕 先把第1个方程的〔-1〕，〔-2〕倍分别加到第2，3个方程上去，消去1x ：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=+--=++6

33421

3232321x x x x x x x 〔2〕 把第3个方程两边同乘〔-1/3〕并且和第2个方程换位置：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+--=+-=++4

2213232321x x x x x x x 〔3〕 再把第2个方程的2倍加到第3个方程上去，消去2x ：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=+-=++0321

332321x x x x x x 〔4〕 在中学时，我们一般从第3个方程得到3x 回代到第2个方程得到2x ，再把2x 和3x 回代到第1个方程中，得到1x 。现在我们把第3个方程乘〔1/3〕，再将其〔-1〕倍加到第1，2个方程上去，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=-=+0213221x x x x 〔5〕 然后把第2个方程的〔-1〕倍加到第1个方程上去，得到

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-==021321x x x 〔6〕 以上的解法中，方程组〔1〕变化到〔4〕的过程是消元，后面2个步骤是回代。无论是消元还

是回代，都只是未知量的系数和常数项参与了运算，未知量本身并未改变；而且对方程组所作的三种同解变换对应矩阵的三种行初等变换。因此解线性方程组相当于增广矩阵的行初等变换。 通过对消元法解线性方程组的观察和分析〔可以写出每个过程对应的矩阵〕，我们必须建立以下的观念：

✧ 线性方程组和增广矩阵一一对应，矩阵的每一行相当于一个方程；

✧ 在变换的过程中，所有的矩阵都是等价的，每一个矩阵都对应一个线性方程组，这些

方程组都是同解方程组〔也可以叫做等价方程组〕！ ✧ 消元：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵； ✧ 回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵； ✧ 解线性方程组只能用初等行变换，不可以用列变换！ 对增广矩阵()b A 作行初等变换，可以化为矩阵B ：

()B d d c c d c c c d c c c c b b b a a a a a a a a a b A r r rn rr n

r

n r r m mn m m n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛−→−⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=+00

00000

00000000

01222221111211212

1

22221

11211 观察到

⇔≠+01r d 方程组无解；

⇔=+01r d 方程组有解。

并且

1)(,)(01+==⇔≠+r b A R r A R d r ，即)()(b A R A R ≠； r b A R A R d r ==⇔=+)()(01

进一步地分析，当n r b A R A R ===)()( 时，方程组有唯一解；当n r b A R A R <==)()( 时，方程组含有r n -个自由未知量n r x x ,1+，可以任意取值，方程组的解有无穷多个。因此我们

得到下面的定理。

定理 非齐次线性方程组b x A n m =⨯有解的充分必要条件是)()(A R b A R = ，并且

n A R b A R ==)()( 时有唯一解，n A R b A R <=)()( 时有无穷多解。

定理3.2 齐次线性方程组=⨯x A n m 0有非零解的充分必要条件是 ()n A R <，=Ax 0仅有零解的充分必要条件是()n A R =.

推论1 当n m <时，齐次线性方程组=⨯x A n m 0有非零解. 这是因为当n m <时，齐次线性方程组=⨯x A n m 0的系数矩阵的秩一定小于n .

推论2 当n m =时，齐次线性方程组=⨯x A n m 0有非零解的充要条件是0=A ；仅有零解的充要条件是0≠A 。

要清楚以上定理中的n 是未知量的个数，m 是方程的个数。但是判断解的情形总是根据矩阵的秩而不是方程的个数或未知量的个数。

3 线性方程组的消元解法步骤

解非齐次线性方程组b x A n m =⨯的步骤：

(1) 写出b x A n m =⨯对应的增广矩阵)(b A ；

(2))()(A R b A R = ?假设不相等，得出无解的结论，假设相等就进行下一步；

(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，n A R b A R ==)()( 时可直接写出它的唯一解，

n A R b A R <=)()( 时，进行下一步；

(4) 根据行最简形写出等价方程组，令其中的r n -个自由未知量〔非首元所在列〕为任意常数：r n c c c -,,,21 ，并把其它未知量〔首元所在列〕用r n c c c -,,,21 表示.

增广矩阵对应原始方程组，阶梯形矩阵用于判断线性方程组有没有解和有多少解，行最简形矩阵用于求解.

解齐次线性方程组=⨯x A n m 0的步骤：

(1) 写出=⨯x A n m 0对应的系数矩阵A ；

(2)n A R =)(?假设n A R =)(，得出仅有零解的结论，假设n r A R <=)(进行下一步； (3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，写出等价方程组，令其中的r n -个自由未知量〔非首元所在列〕为任意常数：r n c c c -,,,21 ，并把其它未知量〔首元所在列〕用r n c c c -,,,21 表示.

无论非齐次还是齐次线性方程，判断解的情形只需化为阶梯形矩阵，而求解必须化为行最简形矩阵.

例3.1 解下面的线性方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x 解 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛--=80

3111021

32124)(Ab

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

----60

00102138331 ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----600034111008331

得到

3)(,2)(==Ab R A R ，说明秩不相等，所以方程组无解.

例3.2 解线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-+=+-=-+=+-1

63340533323213213

21321x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----=1631311405133312)(Ab ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-----1631362138212941 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------115701320517602941 ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----517601*********

41 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----292900770042102941B =⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-0000110042102941

发现3)()(==Ab R A R ，说明有唯一解，因此继续初等行变换，化为行最简形矩阵：

B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000110020107041 ⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛0000110020101001 得到解：

21r r - ()2132r r r +- 123r r - 1223r r r r -- 41r r - 1312r r r r -- 14r r - 24r r - 2

4r r ↔ 232r r - 246r r - 322r r - 319r r - 214r r +

⎪⎩⎪

⎨⎧===1213

21x x x 例3. 3 k 为何值时，下面的齐次线性方程组有非零解？求最小k 值时方程组的通解.

()()⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=-+=++-0

)4(20

62022531

21321x k x x k x x x x k 解 对方程组的系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.为了计算的方便，令t k =-5，

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---=1020122240

2062

225t t t k k

k

A

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+

-01222102t t

t ⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+---

-t t t t t 110)4(21201022

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+----t t t t t 110)4(4010

22 B t t t t t =⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----)9(4100)4(4010232 令

0)9(4

13

=-t t ，得0=t 或3±=t ，即852===k k k 或或时，32)(<=A R ，齐次线性方程组有非零解.

当2=k 时，3=t ， ⎝⎛-=→000240202B A ⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

-0002110101,

等价方程组：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=+0210

3231x x x x 令自由未知量c x =3，c 为任意常数，得到全部解：

⎪

⎩⎪⎨⎧==-=c

x c x c x 32

121

如果方程组的系数或常数项中含有未知参数，在对矩阵作初等行变换时，要注意运算的可行性.在本例中，如果不先换行，而作变换：122

r t

r -

使(2,1)元化为零，是不可以的，因为不能确定是否0=t 作初等行变换，有时计算比较难，如果方程的个数和未知量的个数相同时，可以

13r r ↔ 32r r ↔ 22r -

用行列式是否为零来判断解的情形和确定未知参数的值〔克莱姆法则〕，再用矩阵的初等行变换〔消元法〕求出解. 本例可以采用这种克莱姆法则和消元法结合的方式：

令091

020122

240

2

0622253=-=-+=---=

t t t t t k k

k

A 〔记t k =-5〕 得0=t 或3±=t ，即852===k k k 或或； 当2=k 时，

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=0002110101202042223r A

得到方程组的解：

⎪

⎩⎪⎨⎧==-=c

x c x c

x 32

121

3.2 向量及其运算

1 向量的定义

定义3.2 n 个有序的数n a a a ,,,21 组成的数组称为n 维向量 ，n 称为向量的维数，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数i a 是第i 个分量，每个分量都是实数的向量称为实向量，分量中有复数的向量称为复向量. 本课程仅讨论实向量.

向量可以写成一列或写成一行，分别称为列向量或行向量，记作：

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n a a a 21α或 ),,,(21n a a a =α

一个行向量的转置是一个列向量，一个列向量的转置是一个行向量.一个列〔行〕向量可以看成一个列〔行〕矩阵.对于向量，我们有以下的说明：

(１) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； (２) 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

(３) 当没有明确指明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

定义3.3 每个分量都是零的向量称为零向量，记作0；将向量α的每个分量变成相反数得到的向量称为α的负向量，记作α-. 有不同维数的零向量.

定义3.4 假设干个维数相同的向量组成的集合称为向量组.

线性方程组的一个解是一个向量，称为解向量，解的集合称为解向量组.

向量组：)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(21 ===T

n T

T

εεε称为初始单位向量组，有不同维数的初始单位向量组.

2 向量的线性运算

定义3.5 当且仅当两个向量βα,的维数相同且对应的分量相等时称这两个向量相等，记作：

βα=.

即：假设有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α，⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n b b b 21β，那么),,2,1(n i b a i i ==⇔=βα

下面我们定义向量的加法和数乘运算，暂时不作向量的乘法运算.

(1) 加法

设有两个n 维向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 21β，称向量⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++n n b a b a b a

2211为α与β和，记作：βα+，即：

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+n n

b a b a b a 2211βα

(2) 数乘

设有n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α和数k ，称向量⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛n ka ka ka

21为数k 与向量α的乘积，记作αk ，即:

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n ka ka ka k 21α 根据负向量和数乘运算的定义，我们得到向量的减法：

()⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=-+=-n n b a b a b a 2211βαβα

行向量的线性运算类似上述列向量的运算.

定义3.6 向量的加法和数乘运算统称为线性运算.

既然向量可以看成列矩阵或行矩阵，那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相同，也就具有相同的算律，这里不再重复.

3 向量与矩阵、方程组的关系

一个矩阵n m A ⨯的每一行元素可以构成一个向量，得到m 个n 维的行向量，称为矩阵n m A ⨯的行向量组.

每一列元素可以构成一个向量，得到n 个m 维的列向量n ααα,,,21 ，称为矩阵n m A ⨯的列向量组.用分块矩阵的观点看，矩阵n m A ⨯以列向量为子块：)(21n A ααα =，也可以以行向

量为子块T

m A )(21ααα =.

如果矩阵)(21n A ααα =是n 阶方阵，那么它的行列式可以写成n A ααα 21=. 线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* 它的每个未知量的系数组成一个列向量，得到n 个m 维列向量T

m j j j j a a a ),,,(21 =α，

),,2,1(n j =，常数项也组成一个m 维列向量β，用向量的线性运算表示为：

βααα=+++n n x x x 2211

那么齐次线性方程组可表示为

=+++n n x x x ααα 22110

在方程组中n ααα,,,21 是未知量n x x x ,,,21 的系数，而在向量的运算中，可以把

n x x x ,,,21 看成是向量n ααα,,,21 的系数.这在向量关系的讨论中很重要.

例 3.4 已知向量()()()1,3,5,1,5,3,2,0,

3,0,1,2321--=-==ααα，求一个向量α

使得

()()()αααααα+=-++321432成立.

解 先将所求向量α用向量321,,ααα表示出来，再作向量的线性运算.

由于

()()()()321321425

1

432αααααααααα++=⇒-=-++ 所以

()()()[]1,3,5,145,3,2,03,0,1,2251

--+-+=

α ()()3,3,4,015,15,20,05

1

-=-= 例3.5已知向量()()()4,5,,,0,1,0,,2-=-==c b a γβα，且=++γβα0.求：c b a ,,的值. 解 ()()()4,5,,0,10,,2-+-+=++c b a γβα

()=+-+=4,5,1b a c 0

根据向量相等的定义

04,05,01=+=-=+⇒b a c 1,4,5-=-==⇒c b a

§3.3 向量组的线性相关性

1 线性组合

线性组合研究一个向量与一个向量组的关系.

定义3.7 对于给定的向量组n ααα,,,21 和向量β，如果存在一组数n k k k ,,,21 使得

n n k k k αααβ+++= 2211 ()

成立，那么称向量β是向量组n ααα,,,21 的一个线性组合，或者说向量β可以由向量组n ααα,,,21 线性表示，数n k k k ,,,21 称为组合系数。 等式n n k k k αααβ+++= 2211表达了向量组n ααα,,,21 和向量β以及一组数

n k k k ,,,21 之间的关系。一般有两类问题： (1) 已知n ααα,,,21 和一组数n k k k ,,,21 ，求向量β. (2) 已知n ααα,,,21 和向量β，求一组数n k k k ,,,21 .

前一个是向量的线性运算问题，后一个是求线性组合的系数问题.如何求组合系数呢？

可以认为()式是一个线性方程组，它以n k k k ,,,21 为未知量， n ααα,,,21 为系数，β为

常数项，显然线性方程组的解就是组合系数。因此有

定理 向量β是向量组n ααα,,,21 的一个线性组合的充分必要条件是以n ααα,,,21 为列向量的矩阵的秩和以βααα,,,,21n 为列向量的矩阵的秩相等，即：

()()βααααααn n R R 2121=

判断向量β是否是向量组n ααα,,,21 的一个线性组合并求出组合系数，和判断线性方程

组是否有解及求解的步骤相同.如果方程组有唯一解，表示法唯一；如果方程组有无穷多解，则表示法不唯一。

注意：求组合系数时，应把所有的向量写成列向量组成矩阵，并且作初等行变换，不可以作列变换！

定义 3.8 设有两个向量组：(A ) s ααα,,,21 ，(B ) t βββ,,,21 ，如果(A )组的每个向量都可以由 (B ) 组线性表示，称(A )可由 (B )线性表示；如果(A )与(B )可以互相表示，则称向量组(A )与向量组(B )等价.

等价向量组的性质： ○

1 自反性：每个向量组与自身等价； ○

2 对称性：假设向量组(A )与向量组(B )等价，则(B )与(A )等价；

○

3 传递性：假设向量组(A )与(B )等价，且向量组(B )与(C )等价，则向量组(A )与(C )等价. 设向量组(A )s ααα,,,21 可由向量组(B )t βββ,,,21 线性表示，那么存在tj j k k ,,1 使得

s j k k t tj j j ,,2,1,

11 =++=ββα

即：存在矩阵s t ij k K ⨯=)(使得

BK A =

其中，),,,(),,,,(2121t s B A βββααα ==。称K 为向量组(A )由向量组(B )线性表示的系数矩阵。 更简单地说，矩阵方程BX A =有解，那么向量组A 由向量组B 线性表示，其解X 为表示矩阵。

例3.6 问向量()9,5,2,8--=β能否由向量组：

()()()7,1,3,1,3,1,1,1,1,1,1,3321-=--==ααα

线性表示？假设能，写出其表示式。

解 ()⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-−→−⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----=0000

000027

210231

0197315

111231

181

13,,,321r βααα

()()321321,,,,,αααβαααR R =∴

β可由向量组321,,ααα线性表示，且有32102

7

23αααβ⋅+-=。

2 线性相关与线性无关

线性相关和线性无关研究一个向量组与零向量的关系.

定义3.9 对于给定的向量组n ααα,,,21 ，如果存在一组不全为零的数n k k k ,,,21 使得

=+++n n k k k ααα 22110 (3.3.2)

成立，称向量组n ααα,,,21 线性相关；如果当且仅当021====n k k k 时(3.3.2)式成立，那么称n ααα,,,21 线性无关. 对于给定的向量组n ααα,,,21 ，如何判断是否有一组不全为零的数n k k k ,,,21 使=+++n n k k k ααα 22110 呢？如何求出这组数呢？

可以将(3.3.2)式看成一个齐次线性方程组，它以n k k k ,,,21 为未知量，n ααα,,,21 为系

数，那么就变成了讨论齐次线性方程组是否有非零解.因此得到下面的定理：

定理 3.4 向量组n ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是()n R n <ααα 21，线性无关的充分必要条件是()n R n =ααα 21. 推论1 n 个n 维向量n ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是021=n ααα ，线性无关的

充分必要条件是021≠n ααα .

推论2 )(N k k n ∈+个n 维向量一定线性相关，即向量组中所含向量个数大于维数时必定线性相关.

根据上面的讨论，n 个m 维向量组成的向量组n ααα,,,21 ：

当n m <时，一定线性相关；

当n m =时，可用行列式n ααα 21是否为零判断其线性相关性；

无论n 和m 哪个大，都可以用初等变换求秩来判断是否线性相关，与判断齐次线性方程组是否有非零解的步骤相同.

求线性关系式的一组系数n k k k ,,,21 ，就是要求出相应的齐次线性方程组的任一组非零解。 下面是一些关于线性组合和线性相关的简单有用的结论：

✧ 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关； ✧ 含有零向量的向量组线性相关；

✧ 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例； ✧ 初始单位向量组线性无关；

✧ 任何向量可由初始单位组线性表示； ✧ 零向量是任何向量组的线性组合；

向量组中的任何一个向量可以由该向量组线性表示.

定义3.10 由向量组中的一部分向量组成的新向量组称为原向量组的部分组.

定理3.5 一个向量组线性无关，则它的任何部分组线性无关；如果向量组的一个部分组线性相关，则原向量组线性相关.

例3.7 证明：两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例. 证明 必要性：设向量()n a a a ,,,21 =α和()n b b b ,,,21 =β线性相关，即存在不全为零的数21,k k ，使得

βα21k k +=0

不妨设01≠k ，那么由βα21k k +=0βα1

2

k k -=⇒， 即有

),,2,1(1

2

n i b k k a i i =-

=

成立，即对应分量比例.

充分性：如果βα,对应分量比例成比例，就是存在数k 使得

),,2,1(n i kb a i i ==

即

βαk = =-⇒βαk 0

记11=k ，k k -=2，那么存在不全为零的数21,k k 使得

=+βα21k k 0

即βα,线性相关。

例3.8 设向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组3132212,,2αααααα+-+线性相关. 证明 证明向量线性相关，一般用定义或用矩阵的秩，也有用其它相关定理的。下面我们给出两种常用方法的证明过程，希望同学们掌握. (一) 用定义证明 设有数321,,k k k 使得

()()()=++-++31332221122ααααααk k k 0

即

()()()=+-++++33222113122αααk k k k k k 0

由于321,,ααα线性无关，根据线性无关的定义上式成立的条件是

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=+=+0

2020

322131k k k k k k 其系数行列式02

10012

1

1

=-，根据克莱姆法则，这个齐次线性方程组有非零解，即存在不全

为零的数321,,k k k 使得

()()()=++-++31332221122ααααααk k k 0

根据线性相关的定义，向量组3132212,,2αααααα+-+线性相关。 (二) 用矩阵的秩证明

对向量组3132212,,2αααααα+-+组成的矩阵作初等变换

()()3132323132212)(2223

1

αααααααααααα+--−−→−+-+-c

c

()31322202

1

αααα+-−−→−-c c

那么，()()32202,,23132313221<≤+-=+-+ααααααααααR R

所以，向量组3132212,,2αααααα+-+线性相关.

例3.9 设有向量组〔A 〕：()()()0,1,0,1,1,0,1,2,1,1,2,0321=-=--=ααα，向量组〔B 〕：

()()2,4,3,5,1,2,0,521---==ββ，问向量组〔A 〕是否线性相关？向量组〔B 〕能否用向

量组〔A 〕线性表示？表示式是什么？

解 对向量组〔A 〕和〔B 〕组成的矩阵进行初等行变换：

()

=T

T T T T 21321ββααα

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛------210

11421013001255120

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛------551

20421013001

221011

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛----55120631101201021011

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛----3110051100

12010

21011

⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛---200

00511001201021011

⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛----200

003110012010

11001

由此可知：

()3321=αααR ，向量组〔A 〕

：321ααα线性无关； ()()33211321==αααβαααR R ，所以1β可以由向量组〔A 〕

：321ααα线性表示，表示式为32112αααβ++-=；

()42321=βαααR 而()3321=αααR ，所以2β不能由向量组〔A 〕：321ααα线性表示.

因此，向量组〔B 〕不能用向量组〔A 〕线性表示. 例3.10 k 为何值时，向量组()()()T T T

k k 1,1,2,1,1,,1,1,

,1,1,1321===ααα

(1) 线性无关；

(2) 线性相关，并且求出线性关系式.

41r r ↔ 1

3r r +

1

22r r + 242r r - 23r r - 34r r -

21r r -

解 对给出的向量组成的矩阵A 进行初等行变换：

()⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==111

1211111321k k A ααα B k k =⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--001010100

111

(1) 显然，1≠k 时，有一个三阶子式

()010

010101

002

≠-=--k k k 所以()3=B R ，即()3,,321=αααR ，那么321,,ααα线性无关；

(2) 而1=k 时， ()2=B R ，即()2,,321=αααR ，此时321,,αααB 作初等行变换，化为

行最简形：

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=00

0000100111B

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛000000100

011

得到线性关系式：00321=⋅+-ααα.

3 线性组合与线性相关有关定理

定理3.6 向量组n ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是n ααα,,,21 中至少有一个向量是其余n -1个向量的线性组合.

定理3.7 如果向量组n ααα,,,21 线性无关，添加一个向量后βααα,,,,21n 线性相关，那么

β可由n ααα,,,21 线性表示，且表示式唯一.

定理3.8 如果向量组(A )s ααα,,,21 可由向量组(B )t βββ,,,21 线性表示，且t s >，那么向量组(A )线性相关.

推论1 如果向量组(A )s ααα,,,21 可由向量组(B )t βββ,,,21 线性表示，且向量组(A )线性无

关，那么t s ≤.

此推论即是上面定理的逆否命题.

推论2 如果两个向量组(A )s ααα,,,21 与(B )t βββ,,,21 可以互相表示，且向量组(A )和(B )都线性无关，那么t s =.即两个线性无关的等价向量组所含向量个数相同.

定理3.9 矩阵A 经过初等行变换化为B ，那么矩阵A 与B 的行向量组等价；对应位置的列向量〔部分〕组具有相同的线性相关性.

也就是矩阵A 与B 的行向量组可以互相表示；而在A 与B 中取相同列的向量，A 中的几个向量与B 中〔相同位置〕的几个向量，要么都线性相关，要么都线性无关.为下一节求最大无关组和求表示式提供了依据.

定义3.11 在m 维向量组(A )的每个向量后面〔或者前面〕添加k 个分量，得到m +k 维的向量组(A ’)，称(A ’)是(A )的加长向量组.

定理3.10 如果向量组线性无关那么其加长向量组也线性无关，如果加长向量组线性相关那么原向量组也线性相关.

4,3,2=i 1r r i -

4,3,2=i 1r r i -

§ 向量组的秩和最大线性无关组

1最大无关组

最大无关组研究的问题是：一个向量组中有没有一部分向量是线性无关的？最多有多少个向量是线性无关的？

定义3.12 设r i i i ααα,,,21 是向量组n ααα,,,21 中的r 个向量n r ≤，如果

(1)

r

i i i ααα,,,2

1

线性无关；

(2) n ααα,,,21 可r

i i i ααα,,,2

1

由线性表示.

那么称r

i i i ααα,,,2

1

是向量组n ααα,,,21 的一个最大线性无关部分组，简称最大无关组.

定义中条件(2)意味着每一个向量都可以用r

i i i ααα,,,2

1

线性表示，可以将其改写为“其余向量可以用r

i i i ααα,,,2

1

线性表示”.

注意理解最大无关组的两个关键词：最大、线性无关. 只有一个零向量的向量组没有最大无关组.

根据定义可知，向量组与它的最大无关组等价，两个最大无关组等价.

有了最大无关组，很多研究向量组的问题就变成研究它的最大无关组问题，研究两个向量组的关系就变成研究它们的最大无关组之间的关系，例如：两个向量组等价相当于它们的最大无关组等价.

最大无关组一般不唯一，但有下面的结论： 定理3.11 最大无关组所含向量个数相同.

2 向量组的秩

定义3.13 一个向量组的最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.

如果向量组(A )：n ααα,,,21 的最大无关组中含有r 个向量，那么向量组的秩为r ，记作：()r A R =或()r R n =ααα,,,21 .

规定：只有一个零向量的向量组的秩为零.

为了更好地理解最大无关组和向量组的秩，假设()r R n =ααα,,,21 ，我们作以下说明： ✧ 任何r -1个向量都不可能是向量组的最大无关组； ✧ 任何r +1个向量都是线性相关的；

✧ 任何含有r 个向量的线性无关部分组都是最大无关组.

定理3.12 如果向量组(A )可以由向量组(B )线性表示，那么()()B R A R ≤. 推论 假设向量组(A )与向量组(B )等价，则()()B R A R =.

3 向量组的秩与矩阵的秩的关系

一般用定义求向量组的秩很困难，鉴于向量和矩阵的关系，我们希望找到向量组的秩与矩阵的秩的关系.

定义3.14 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩. 定理3.13 矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩.

如果矩阵A 的秩=r ，那么A 中至少有一个r 阶子式不为零，这个子式所在的行和列〕的r 个向量都是线性无关的. 这个定理告诉我们一个求向量组的秩的方法——初等变换求向量组的秩.步骤： (1) 用向量组n ααα,,,21 组成一个矩阵()n ααα 21； (2) 对矩阵作初等变换，化为阶梯形矩阵； (3) 矩阵的秩就是向量组的秩. 求秩的时候，向量在矩阵中写成行向量或列向量都可以〔但要一致〕，对矩阵既可作初等行变换又可作初等列变换. 如果需要求出一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示，那么建议把向量写成列向量，对这样的矩阵只能作初等行变换！步骤： (1) 把向量组n ααα,,,21 中的向量写成列向量，组成一个矩阵()n ααα 21； (2) 对矩阵作初等行变换，化为行最简形矩阵；

(3) 非零行行数〔首元个数〕就是向量组的秩，并且首元所在列对应的向量就是最大无关

组； (4) 把非首元所在列的向量用首元所在列的向量表示，这个表示式就是把该列对应的向量用最大无关组表示的表示式.

例3.11已知向量：⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=73

91,1183312111514321αααα，，，求一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组线性表示.

解 用4321,,,αααα做成矩阵，对其进行初等行变换，化为行最简形矩阵.

()⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛-----=73

9111833121

11

5

14321αααα ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛

---84141427342710001

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫002100130

0110

1 ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛-002100120

010000

1

首元在第1，2列，所以21,αα是一个最大无关组，首元以外有第3，4列，所以43,αα可以用

21,αα表示，表示式为：

2132ααα+=，2142ααα+-=

例3.12 设向量组⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132,12132134321αααα，，b a 的秩为2，求参数b a ,。

解 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1321213213,4321b a αααα，， ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛3111332221b a

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-----111042310221a b a a

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----b a b a a 52004231022

1

由 ()5,22,

4321==⇒=b a R αααα，，

§ 线性方程组解的解构

1 齐次线性方程组解的结构

1〕齐次线性方程组0=Ax 解的性质

○

1 如果21,v v 是齐次线性方程组0=Ax 的解，那么21v v +也是它的解； 1413r r r r ++

125r r -

21r r - 42c c ↔ 31c c ↔ 13r r - 122r r - 12r r -

○

2 如果v 是齐次线性方程组0=Ax 的解，k 是任意实数，那么k v 也是它的解； ○

3 如果s v v v ,,,21 是齐次线性方程组0=Ax 的解，那么其线性组合 1k 1v +2k 2v +…s k s v 也是它的解，其中s k k k ,,,21 是任意常数.

实际上，当0,1321=====s k k k k 时，性质○3即是性质○1，当02===s k k 时性质○3就是性质○2.

这几条性质也说明了，齐次线性方程组如果有非零解，就有无穷多个；找到一个解就可以找到无穷多个.

2〕 0=Ax 的基础解系

我们知道，当系数矩阵n m A ⨯的秩n A R <)(时，方程组0=Ax 有非零解，其解向量组一定线性相关〔个数大于维数〕！如果我们能求出它的最大无关组，记作：s v v v ,,,21 ，那么最大无关组的任意线性组合1k 1v +2k 2v +…s k s v 就是方程组的全部解. 这句话包含两层意思：

〔1〕1k 1v +2k 2v +…s k s v 是方程组的解；

〔2〕任意一个解v 都可以写成s v v v ,,,21 的线性组合形式〔没有其它形式的解〕. 由性质○3，第〔1〕条成立，由最大无关组的定义，第〔2〕条成立.因此求出解向量组的最大无关组就是求解的根本问题.

定义3.15 如果s v v v ,,,21 是齐次线性方程组0=Ax 的非零解，且满足：

(1) s v v v ,,,21 线性无关；

(2) 任意一个解都可以由s v v v ,,,21 线性表示. 则称s v v v ,,,21 是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系.

一个基础解系实际上就是解向量组的一个最大无关组.如何求基础解系？

定理3.14 如果n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A R <=)(，则方程组的基础解系存在，且每个基础解系恰好含有n-r 个解，同时方程组的每一个解都是基础解系的线性组合. 根据本定理的证明过程〔见教材〕得知求基础解系的方法和过程： (1) 写出系数矩阵，施以初等行变换化为阶梯形矩阵，假设n r A R <=)(，继续作初等行变换化为行最简形矩阵〔不妨设前r 个向量线性无关，则首元位于第1~r 列，假设不是前r 个向量做法相同〕：

−→−⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=r mn m m n n a a a a a a a a a A

21

22221

11211

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛--00001

01,1,111

r n r r r n b b b b

(2) 写出等价方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧---=---=-+-+n r n r r r r

n

r n r x

b x b x x b x b x ,11,11111

(3) 令自由未知量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n r r x x x 21依次取值为初始单位向量组：⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100,,010,001 ，得出其它未知

量的值：

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛r x x 1= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111r b b ，⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--212r b b ，…，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----r n r r n b b ,,1

(4) 将所有未知量合写在一起，得到方程组的n-r 个线性无关的解，即基础解系：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0011111 r b b v ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0102122 r b b v ，…，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=---100,,1 r n r r n r n b b v

在上述步骤(3)中，自由未知量⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++n r r x x x 21只要取值n-r 个线性无关的向量就行，但一般是取初

始单位向量组，此时计算量最小〔几乎不用计算〕，表达最方便.

2 非齐次线性方程组解的结构

〔1〕非齐次线性方程组b Ax =解的性质

定义 3.16 当齐次线性方程组0=Ax 和非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵相同时，称0=Ax 为b Ax =对应的齐次方程组或导出组. 性质

○1 如果u 是方程组b Ax =的解， v 是导出组0=Ax 的解，那么v u +也是方程组b Ax =的解；

○

2 如果21u u ,都是方程组b Ax =的解，那么21u u -是其导出组的解. 这两条性质说明方程组b Ax =的解和它的导出组的解之间有关系，那么b Ax =的全部解与导出组的基础解系有着怎样的关系呢？

〔2〕线性方程组b Ax =的全部解

定理3.15 对于n 元非齐次线性方程组b Ax =，如果有r b A R A R ==)()(

r n r n v c v c v c u u --++++= 22110

定理告诉我们求方程组的全部解，只需要求出一个特解和导出组的基础解系. 我们已经学会了求基础解系，剩下的问题是求一个特解. 其实都可以用矩阵的初等行变换.

(1) 写出增广矩阵，并施以初等行变换化为阶梯形矩阵，假设r b A R A R ==)()(，继续作初等行变换化为行最简形矩阵：

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛--00001

0011,1,111r r n r r r n c c b b b b

(2) 写出等价方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧---=---=-+-+n r n r r r r r

n

r n r x

b x b

c x x b x b c x ,11,111111 (3) 假设n r =，写出它的唯一解()

T

n c c c x ,,,21 =； 假设n r <，令

()()T T n r x x 0,,0,,1 =+，求出一个特解()T r c c c u 0,,0,,,,210 =，以及导出组的基础解系

r n v v v -,,,21 〔上一个小节〕.

(4) 写出全部解：r n r n v c v c v c u u --++++= 22110.

3 线性方程组关于解的等价命题

矩阵的秩、向量组的线性关系和方程组是否有解及有多少个解之间有着密切的联系. 如果非齐次线性方程组矩阵形式b x A n m =⨯，向量形式βααα=+++n n x x x 2211，以下命题都是等价命题：

非齐次线性方程组b x A n m =⨯有解；

增广矩阵与系数矩阵的秩相等，即)()(A R b A R = ； 向量组βααα,,,,

21n 与n ααα,,,21 等价；

向量β可以由n ααα,,,21 线性表示；

两个向量组的秩相同，即()()n n R R αααβααα,,,,,,,2121 = 如果齐次线性方程组矩阵形式=⨯x A n m 0，向量形式=+++n n x x x ααα 22110，以下命题

都是等价命题：

齐次线性方程组=⨯x A n m 0有非零解；

系数矩阵的秩小于未知量的个数，即()n A R <

n ααα,,,21 线性相关；

n ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.