高等代数课件北大版第四章矩阵
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高等代数课件(北大版)第四章矩阵
第一节：矩阵的概念及基本运算
矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义
定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:
$$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}$$
其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算
1.2.1 矩阵的加法
定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：
$$A=\begin{pmatrix}
1 &
2 &
3 \\
4 &
5 &
6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
-1 & -2 & -3 \\
-4 & -5 & -6 \\
-7 & -8 & -9
\end{pmatrix},$$
则 $C=A+B$ 得：
$$C=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
1.2.2 矩阵的数乘
定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
例如：
$$A=\begin{pmatrix}
1 &
2 &
3 \\
4 &
5 &
6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix},
k=2,$$
则 $kA$ 得：
$$kA=\begin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
14 & 16 & 18
\end{pmatrix}$$
1.2.3 矩阵的乘法
定义1.4：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{n \times p}$，则矩阵 $C=AB$ 定义为矩阵$C$ 的元素为 $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$，其中 $1 \leq i \leq m$，$1 \leq j \leq p$。
例如：
$$A=\begin{pmatrix}
1 &
2 &
3 \\
4 &
5 &
6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 &
3 & -2 \\
-3 & -1 & 2
\end{pmatrix},$$
则 $C=AB$ 得：
$$C=\begin{pmatrix}
-6 & 2 & 5 \\
-15 & 8 & 2 \\
-24 & 14 & -1
\end{pmatrix}$$
1.2.4 矩阵的转置
定义1.5：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，则矩阵 $A^T$ 定义为矩阵 $A$ 的行和列互换后得到的矩阵。
例如：
$$A=\begin{pmatrix}
1 &
2 &
3 \\
4 &
5 &
6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix},$$
则 $A^T$ 得：
$$A^T=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}$$
第二节：矩阵的性质
2.1 矩阵的相等
定义2.1：设 $A,B$ 为同阶矩阵，若矩阵 $A$ 的每一元素都等于矩阵 $B$ 的对应元素，则称矩阵 $A$ 等于矩阵 $B$，记作 $A=B$。
2.2 矩阵的乘法结合律
定理 2.1：设$A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{n \times p},C=(c_{ij})_{p \times q}$，则 $(AB)C=A(BC)$。
证明：
根据矩阵乘法的定义，易得：
$$[(AB)C]_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{p}(AB)_{ik}c_{kj}=\sum\limits_{k=1}^ {p}(\sum\limits_{l=1}^{n}a_{il}b_{lk})c_{kj}$$