清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答

清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答

微积分A (A) 答案

一．

填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）

1. ∑=∞→++n

i n i n i n n 1)2)((lim = 。答案：2ln 3ln ?

2. ∫dx e x x 2= 。

答案：C e xe e x x x x ++?222

3. =∫→3020)sin(lim x dt t x x 。答案：

31 4. ∫+x x t d t dx d 22

)sin 1ln(= 。答案：)sin 1ln(2)2sin 1ln(22x x x +?+

5. 求曲线x e y =、x y πcos ?=、21?=x 、2

1=x 围成的区域面积。答案：π2

21

21

+??e e

6. =?∫π

03sin sin dx x x 。答案：3

4 7. ∫=+)

1(2x x dx 。答案：C x x ++?

)1ln(21ln 2 8. =+∫2

1x

x dx 。答案：2ln 2)12ln(2?+

9. 悬链线 )(2

1x x e e y ?+=，1||≤x 的弧长 =L 。

答案：1

e e

10. 二阶方程 03'''2=??y xy y x 的通解为。

答案：x c x c y /231+= 11. 常微分方程组+=+=z y dx

dz z

y dx dy 22的通解为。答案：

+=?x x x x e e C e e C z y 3321 12. 设2,x x 是二阶齐次线线性常微分方程解，则该微分方程为。答案：0222=+′?′′y x

y x y 13. 0106=+′+′′y y y 的通解为。答案：x e C x e

C y x x sin cos 3231??+= 14. x

y x y dx dy tan +=的通解为。答案：Cx x

y =sin 15. 常微分方程26xy y x

y ?=?′的通解为。答案：8

12

6x x C y +=

二．

计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）

1．计算∫+4/022cos 3sin πx

x dx . 解：原式 =

∫+4

/022)tan 3(cos πx x dx ∫=+=102tan 3t dt x t = 363arctan 3110π=t 。….（10分）