4.1 线段的比--(公开课)

4.1.2 线段的比（第2课时）●教学目标（一）教学知识点 1.知道比例线段的概念.2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用. （二）能力训练要求1.通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力.2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力. （三）情感与价值观要求认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.●教学重点成比例线段的定义. 比例的基本性质及运用. ●教学难点比例的基本性质及运用. ●教学方法 自学法●教具准备 投影片两张：第一张（记作§4.1.2 A ） 第二张（记作§4.1.2 B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？［生］表示两个比相等的式子叫比例.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么dc b a =或a ∶b=c ∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项.比例的基本性质为：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：如果dcb a =（b,d 都不为0），那么ad=bc. ［师］上节课学习了两条线段的比，本节课就来研究比例线段. Ⅱ.新课讲解1.成比例线段的定义［生］（1）CD=2，HL=4， OA=415422=+, OF=41281022=+ BE=52122=+, GM=524222=+ （2）2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以，21===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有 21====GL BD GH BC FG AB OM OE . ［师］由上面的计算结果，对照比例的概念，请说出怎样的四条线段叫做成比例线段？［生］四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.2.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a,b,c,d 四个数满足dcb a =,那么ad=bc 吗？反过来，如果ad=bc,那么dcb a =吗？与同伴交流. ［生］若dcb a =,则有ad=bc. 因为根据等式的基本性质，两边同时乘以bd,得ad=bc,同理可知若ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么dcb a =.3.线段的比和比例线段的区别和联系［师］线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.4.例题图4－5（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d dc +; （2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 解：（1）由dcb a ==3,得a=3b,c=3d.因此，bbb b b a +=+3=4 ddd d d c +=+3=4 （2）d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k,得a=bk,c=dk.所以b b bk b b a +=+=k+1, dddk d d c +=+=k+1. 因此：ddc b b a +=+. 5.想一想（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f ed c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. （4）如果d c b a ==…=nm （b+d+…+n ≠0）,那么b an d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.解：（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵d c b a = ∴d c b a =-1－1 ∴dd c b b a -=-. （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++设f e d c b a ===k ∴a=bk,c=dk,e=fk∴ba k f db f d b k f d b fk dk bk f d b ec a ==++++=++++=++++)( （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=± ∵d cb a = ∴dc b a =+1+1 ∴dd c b b a +=+ 由（1）得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. （4）如果d c b a ==…=n m（b+d+…+n ≠0）那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a=bk,c=dk,…,m=nk∴ba k n db m d b k n d b nk dk bk n d b mc a ==++++++=++++++=++++++ )(.Ⅲ.课堂练习1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用. Ⅴ.课后作业 习题4.21.解：因为a 、b 、c 、d 是成比例线段，所以有d c b a = 即 23=d 6解得：d=4所以线段d 的长为4 cm2.解：因为ba=2所以a=2b因此bb b b b a +=+2=3 3.解：因为BC=BD=5122=+ CD=2GH=GL=522422=+ HL=4所以△BCD 的周长为BC+BD+CD=25+2 △GHL 的周长为GH+GL+HL=2（25+2）因此△BCD 的周长与△GHL 的周长比为1∶2. Ⅵ.活动与探究1.已知：d c b a ==f e=2（b+d+f ≠0）求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b ec a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）f b e a 55--.解：∵d c b a ==f 3=2∴a=2b,c=2d,e=2f∴（1）f d b f d b f d b f d b f d b e c a ++++=++++=++++)(2222=2 （2）fd b f d b f d b f d b f d be c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2 （3）f d b f d b f d b f d b f d b e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2 （4）f b f b f b e a 510255--=--=f b f b 5)5(2--=2 2.已知a ∶b ∶c=4∶3∶2,且a+3b －3c=14. （1）求a,b,c （2）求4a －3b+c 的值. 解：（1）设a=4k,b=3k,c=2k ∵a+3b －3c=14 ∴4k+9k －6k=14 ∴7k=14 ∴k=2∴a=8,b=6,c=4（2）4a －3b+c=32－18+4=18 ●板书设计4.1.1 线段的比(第一课时)●教学目标（一）教学知识点 1.知道线段比的概念. 2.会计算两条线段的比. （二）能力训练要求 会求两条线段的比.（三）情感与价值观要求 通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心.●教学重点会求两条线段的比. ●教学难点会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. ●教学方法 自主探索法 ●教具准备投影片一张：例题（记作§4.1.1 A ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. ［生］课本P 38中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片； 两个大小不同的正方形，等等.［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.Ⅱ.新课讲解1.两条线段的比的概念 ［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作ba；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？［生］对.［师］大家同意他的观点吗？［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对.［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =nm ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.做一做量出数学书的长和宽（精确到0.1 cm ）,并求出长和宽的比.［生］长为21.1 cm,宽为14.8 cm,长和宽的比为21.1∶14.8=211∶148［师］如把单位改成mm 和m,比值还相同吗？［生］改为mm 作单位，则长为211 mm ，宽为148 mm ，比值为211∶148改用m 作单位，则长为0.211 m ，宽为0.148 m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148 ［师］从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？［生］只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.3.求两条线段的比时要注意的问题［师］大家能说出几点？试一试.［生］（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.4.例题Ⅲ.随堂练习1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？解：根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000因此，矩形运动场的长是2×8000=16000（cm ）=160（m ）矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m.Ⅳ.课时小节1.相似图形→两条线段的比.2.两条线段的比定义：两条线段的长度之比表示法：线段a 、b 的长度分别为m 、n ,则a ∶b =m ∶n .求法：先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比.注意点：（1）两线段的比值总是正数.（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.比例尺：图上长度与实际长度的比.Ⅴ.课后作业习题4.11.解：一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，这两条线段的比是5∶1.2.解：早上8点旗杆的高与其影长的比为30∶40=3∶4中午12点旗杆的高与其影长的比为30∶10=3∶13.解：等腰直角三角形ABC 与等腰三角形DEF腰的比为10∶12=5∶6底边的比为102∶8=52∶4Ⅵ.活动与探究为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a （其中a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a 的值.解：方案（1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*） ∴1311a a = 解得：a =3图4－1方案（2）：由（*）得axa 112111-==∴x =a 1,a =2方案（3）：由（*）得211ya = ∴y =a 21且11za = ∴z =a 1由a a 211+=a 得a =621图4－2方案（4）：由（*）得ana ba 11111-==m aa a 11-= ∴b =a 1n =1－21am =a 2－1 ∵m +n =1 ∴1－21a +a 2－1=1 ∴a =2522 （负值舍去）。