线性代数自考试题及答案
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量v = (1, 2, 3)，向量w = (4, 5, 6)，则向量v与向量w 的点积为：A. 32B. 34C. 36D. 38答案：A3. 对于线性变换T: R^3 → R^2，如果T(x, y, z) = (x + z, y - z)，那么T的秩是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB = BA，则称矩阵A和B是可交换的。
若A和B是两个n阶实对称矩阵，且AB = BA，那么：A. A和B一定可交换B. A和B一定不可交换C. A和B可交换或不可交换D. 无法判断A和B是否可交换答案：A5. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. trace(A) = trace(A^T)D. A * A^T 一定是对称矩阵答案：C6. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB = 0，则：A. 必有B = 0B. 必有A = 0C. 必有rank(A) + rank(B) ≤ max(m, p)D. rank(AB) ≤ rank(A)答案：D7. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本定理？A. 每个向量都可以由V的一组基唯一表示B. V中任意两个不同的向量都是线性无关的C. V中任意非零向量都是可逆的D. V中任意两个向量都线性相关答案：A8. 设λ是n阶方阵A的一个特征值，对应的特征向量为v，则：A. (A - λI)v = 0B. Av = vC. A^2v = λ^2vD. (A + I)v = λv答案：A9. 对于任意矩阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^2|B. det(A) = det(A^2)C. trace(A) = trace(A^2)D. A^2 一定是可逆的答案：B10. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB = Im，则：A. B一定是A的逆矩阵B. A一定是B的逆矩阵C. A和B互为逆矩阵D. A和B不一定是方阵答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 设矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则A的特征多项式为f(λ) = _______。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。
答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。
答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。
答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。
自考线性代数试题库及答案
自考线性代数试题库及答案一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量组α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (7, 8, 9)，这三个向量是否线性相关？A. 是B. 不是答案：A3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，若|A| = 0，则A是：A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 零矩阵D. 单位矩阵答案：B二、填空题4. 设矩阵B是由矩阵A通过初等行变换得到的，若B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]，则A至少包含____个非零行。
答案：三5. 对于任意的n阶方阵A，Tr(A)表示A的______。
答案：迹三、解答题6. 已知矩阵A = [2, -1; 1, 3]，求A的逆矩阵A^(-1)。
答案：首先计算A的行列式，|A| = (2 * 3) - (-1 * 1) = 7。
然后计算A的伴随矩阵，即adj(A) = [(3, 1); (-1, 2)]。
最后，A^(-1) = (1/|A|) * adj(A) = [(3/7), (1/7); (-1/7), (2/7)]。
7. 设向量空间V中的向量v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0)。
证明v1, v2, v3线性无关。
答案：要证明v1, v2, v3线性无关，我们需要证明对于任意的实数a, b, c，只要a * v1 + b * v2 + c * v3 = 0，那么a = b = c = 0。
设a * v1 + b * v2 + c * v3 = (a + b, b + c, a + c) = (0, 0, 0)，由此可得a + b = 0，b + c = 0，a + c = 0。
通过简单的代数运算，可以得出a = b = c = 0，因此v1, v2, v3线性无关。
02198自考线性代数试卷及答案
《线性代数》试题一（课程代码：02198）一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若矩阵A满足Aˆ2-5A=E，则矩阵（A-5E）ˆ-1=【】A、A-5EB、A+5EC、AD、-A2.设矩阵A是2阶方阵,且det（A）=3,则det（5A）=【】A、3B、15C、25D、753.设矩阵A,B,X为同阶方阵,且A,B可逆,若A（X-E）B=B,则矩阵X=【】A、E+Aˆ-1B、E+AC、E+Bˆ-1D、E+B4.设矩阵A1，A2均为可逆方阵，则以下结论正确的是【】5.设αˇ1,αˇ2,…,αˇk是n维列向量,则αˇ1,αˇ2,…αˇk线性无关的充分必要条件是【】A、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意两个向量线性无关B、存在一组不全为0的数lˇ1,lˇ2,…,lˇk,使得lˇ1αˇ1+lˇ2αˇ2+…+lˇkαˇk≠0C、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中存在一个向量不能由其余向量线性表示D、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示6.设α=（aˇ1,aˇ2,aˇ3）,β=（bˇ1,bˇ2,bˇ3）,其中aˇ1,aˇ2,aˇ3不全为0,且bˇ1,bˇ2,bˇ3不全为0,则αˇTβ的秩为【】A、0B、1C、2D、37.设三阶方阵A的特征值分别为1/2，1/4，3，则Aˆ-1的特征值为【】A、2，4，1/3B、1/2,1/4,1/3C、1/2,1/4,3D、2，4，38.二次型f（X1,X2,X3）=（X1+X2+X3）2的矩阵是【】9.以下关于正定矩阵叙述正确的是【】A、正定矩阵的特征值一定大于零B、正定矩阵的行列式一定小于零C、正定矩阵的乘积一定是正定矩阵D、正定矩阵的差一定是正定矩阵10.设A为3阶矩阵，且|A|=3，则|（-A）ˆ-1|=【】A、-3B、-1/3C、1/3D、3二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、在五阶行列式中，项的符号为____________。
自考试题线性代数题库及答案
自考试题线性代数题库及答案线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
以下是一套自考试题线性代数题库及答案，供学习者参考。
一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)C. \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)D. \( D = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)答案： C2. 设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，\( I \) 是 \( n\times n \) 的单位矩阵，若 \( A^2 = I \)，则 \( A \) 称为：A. 正交矩阵B. 反对称矩阵C. 正交变换矩阵D. 反射变换矩阵答案： D二、填空题1. 设向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \)，向量 \( \mathbf{w} =(4, 5, 6) \)，这两个向量的点积为 __________。
答案： 322. 若 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是一个\( n \times p \) 矩阵，则 \( AB \) 的行列数为 __________。
答案： \( m \times p \)三、解答题1. 证明：若 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^n =I \)，则 \( A \) 必定可逆。
解答：由于 \( A^n = I \)，我们可以得出 \( A \) 的 \( n \) 次幂是单位矩阵。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案线性代数是数学中的一个重要分支，其应用广泛而深入。
对于参加自考线性代数考试的考生来说，熟悉并掌握相关的试题及答案是非常重要的。
本文将为大家提供一些常见的自考线性代数试题及答案，希望能对广大考生有所帮助。
第一部分：选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 整数D. 行列式答案：C2. 在矩阵运算中，AB≠BA时，那么A和B一定是什么关系？A. 逆矩阵关系B. 对称矩阵关系C. 反对称矩阵关系D. 非方阵关系答案：D3. 线性方程组Ax=b，若有解，则必须满足下列哪个条件？A. 矩阵A可逆B. 矩阵A不可逆C. 矩阵A是对称阵D. 矩阵A的秩为0答案：A第二部分：填空题1. 设A为3×3矩阵，|A|=-2，那么A的行列式展开式中，元素a11、a12、a13分别是多少？答案：a11=-2，a12=0，a13=02. 矩阵的秩与其行数、列数之间有何关系？答案：矩阵的秩小于等于其行数和列数的最小值。
3. 矩阵的转置运算满足什么性质？答案：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ第三部分：计算题1. 计算矩阵乘法：A = 2 1 3B = 0 -10 1 2 2 1-1 0 1 1 2答案：AB = (2*0 + 1*2 + 3*1) (2*-1 + 1*1 + 3*2)(0*0 + 1*2 + 2*1) (0*-1 + 1*1 + 2*2)(-1*0 + 0*2 + 1*1) (-1*-1 + 0*1 + 1*2)= 7 64 31 3第四部分：解答题1. 证明以下等式成立：(A + B)C = AC + BC证明：设A、B、C都是m×n的矩阵，按矩阵乘法的定义，左边的矩阵乘积为：(A + B)C = [(a11 + b11)*c11 + (a12 + b12)*c21 + ... + (a1n + b1n)*cn1][(a21 + b21)*c12 + (a22 + b22)*c22 + ... + (a2n + b2n)*cn2] ...[(am1 + bm1)*c1n + (am2 + bm2)*c2n + ... + (amn + bmn)*cnn]右边的矩阵乘积为：AC + BC = [a11*c11 + a12*c21 + ... + a1n*cn1] + [b11*c11 + b12*c21 + ... + b1n*cn1][a21*c12 + a22*c22 + ... + a2n*cn2] + [b21*c12 + b22*c22+ ... + b2n*cn2]...[am1*c1n + am2*c2n + ... + amn*cnn] + [bm1*c1n + bm2*c2n + ... + bmn*cnn]可以观察到左右两边的每一项是相等的，因此左边的矩阵乘积等于右边的矩阵乘积，得证。
自考本线性代数试题及答案
自考本线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 0; 0, 1]C. [2, 3; 4, 5]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设A为n阶方阵，若存在常数k使得A^2 = kA，则称A为幂等矩阵。
若A是幂等矩阵且|A|≠0，则k的值是：A. 0B. 1C. -1D. n答案：B3. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. tr(A) = tr(A^T)D. A + A^T 总是对称矩阵答案：C4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB=BA，则称A和B可交换。
若A和B可交换，且|A|=5，|B|=3，则|AB|的值是：A. 15B. 5C. 3D. 无法确定答案：A5. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本假设？A. 向量加法满足交换律B. 向量加法满足结合律C. 标量乘法对向量加法满足分配律D. 所有选项都是答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 设向量α=(1, 2, 3)^T，β=(-4, 5, -6)^T，向量α和β的点积α·β等于______。
答案：-37. 若矩阵A的特征值为2，则矩阵2A的特征值为______。
答案：48. 设矩阵B可以表示为B=P^(-1)AP，其中P是可逆矩阵，那么B和A 是______相似的。
答案：相似9. 对于任意矩阵A，tr(A)表示矩阵A的______。
答案：迹（或特征值之和）10. 设A是一个3×3的矩阵，且A^3 = A，则A的一个特征值可以是______。
答案：1三、解答题（共75分）11. （15分）证明任意n阶方阵A，|A^T| = |A|。
证明：设A是一个n阶方阵，其行列式为|A|。
根据行列式的性质，我们知道行列式与行（列）的置换有关。
对于矩阵A的转置矩阵A^T，它的行（列）与A的列（行）相对应。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个不是方阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 2]C. [1, 2; 3, 4; 5, 6]D. [1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8]答案：B2. 对于向量空间中的向量组，线性相关的定义是什么？A. 向量组中的任意向量都可以用其他向量表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为零向量C. 向量组中的向量线性组合为零向量D. 向量组中所有向量都是零向量答案：A3. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵对角线上的元素B. 使得方程Ax = λx 成立的标量λC. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 对于矩阵 A，下列哪个矩阵是 A 的伴随矩阵？A. A^TB. A^(-1)C. adj(A)D. det(A)答案：C5. 如果一个向量是另一个向量的标量倍，这两个向量是什么关系？A. 线性无关B. 线性相关C. 正交D. 单位向量答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指_________。
答案：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目7. 向量空间的基是指一组_________的向量，它们能生成整个向量空间。
答案：线性无关8. 对于任意矩阵 A，|A| 表示_________。
答案：矩阵 A 的行列式9. 如果矩阵 A 可逆，那么 A 的逆矩阵记作_________。
答案：A^(-1)10. 线性变换 T: R^n → R^m 的标准矩阵是指_________。
答案：线性变换 T 对标准基的坐标表示矩阵三、解答题（共75分）11. （15分）设 A 是一个3×3 的实对称矩阵，证明其特征值都是实数。
答案：略12. （20分）给定两个向量 v1 = [1, 2, 3]^T 和 v2 = [4, 5, 6]^T，求它们的叉积v3 = v1 × v2，并证明 v3 与 v1, v2 都正交。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。
答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。
自考线性代数章节测试题及答案
自考线性代数章节测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 向量组 {v1, v2, v3} 线性无关的充分必要条件是：A. v1 ≠ 0B. v2 ≠ 0C. v1, v2 不共线D. v1, v2, v3 构成某向量空间的一个基答案：D3. 对于n维向量空间V，下列说法正确的是：A. V中任意两个向量都线性无关B. V中存在一组基，包含n个向量C. V中所有向量都可以用一组基表示D. 以上所有说法都正确答案：D4. 如果A和B是两个m×n矩阵，那么AB的行列式等于：A. |A| * |B|B. |B| * |A|C. |A| + |B|D. 不能直接计算答案：D5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的特征矩阵？A. A的转置矩阵B. A的伴随矩阵C. A的逆矩阵D. 存在非零向量v，使得Av=λv的λ构成的对角矩阵答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指________。
答案：矩阵中最大线性无关组所含向量个数7. 对于任意矩阵A，其迹数（Trace）定义为其主对角线上元素的________。
答案：和8. 线性变换T: R^n → R^m的表示矩阵是________。
答案：T作用在标准基向量上得到的向量构成的矩阵9. 二次型f(x) = x^TAx的规范型是________。
答案：f(y) = y1^2 + y2^2 + ... + yk^210. 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是________。
答案：R(A) = R([A; b])三、解答题（共75分）11. （15分）设A是一个3×3的实对称矩阵，证明A可以表示为A = QDQ^T，其中Q是正交矩阵，D是实对角矩阵。
答案：略（需要详细解答的请告知）12. （20分）给定两个向量v = [1, 2, 3]^T和u = [4, 5, 6]^T，求向量v在向量u上的投影。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）。
A. 齐次方程组Ax=0只有零解B. 齐次方程组Ax=0有非零解C. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性相关D. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性无关答案：A2. 矩阵A与矩阵B相等的充分必要条件是（）。
A. A与B的行数相同B. A与B的列数相同C. A与B的行数相同，且A与B的列数相同D. A与B的行数相同，且A与B的列数相同，且对应元素相等答案：D3. 设A为n阶矩阵，若A的行列式|A|=0，则A是（）。
A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 正交矩阵D. 反对称矩阵答案：B4. 设A为3阶矩阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2)，则A的迹为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -3答案：C5. 设A为3阶矩阵，且A的秩为2，则A的零度为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|=______。
答案：42. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的逆矩阵A^{-1}=______。
答案：\(\begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix}\)3. 若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与向量β的夹角的余弦值为______。
答案：\(\frac{1}{3}\)4. 设矩阵A的特征值λ1=2，λ2=3，对应的特征向量分别为α1和α2，则矩阵A+E的特征值λ3=______，对应的特征向量为______。
答案：3，α1；4，α25. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的秩为______。
自考线性代数(经管类)试题及答案
高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．3阶行列式011101110||ij a 中元素21a 的代数余子式21A （C）A ．2B ．1C ．1D ．21011121A ．2．设矩阵22211211a a a a A ，121112221121a a a a a a B，01101P ，11012P ，则必有（A）A ．B AP P 21B ．B AP P 12C ．B P AP 21D ．B P AP 121101011021AP P 22211211222112110111a a a a a a a a B a a a a a a 121112221121．3．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足E ABC ，则1B （ D）A ．11C A B ．11ACC ．ACD ．CA由E ABC，得E ABC 111，CA B 1．4．设3阶矩阵0100010A，则2A 的秩为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．32A00010000100010000100010，2A 的秩为1．5．设4321,,,是一个4维向量组，若已知4可以表为321,,的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4321,,是4321,,,的极大无关组，4321,,,的秩为3．6．设向量组4321,,,线性相关，则向量组中（A ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设321,,是齐次线性方程组0Ax 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ B）A ．2121,,B ．133221,,C ．2121,,D ．133221,,只有133221,,线性无关，可以作为基础解系．8．若2阶矩阵A 相似于矩阵3202B ，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵A E 相似的矩阵是（ C）A ．4101B ．4101C ．4201D ．4201B 与A 相似，则4201BE 与A E相似．9．设实对称矩阵120240002A ，则3元二次型Ax x x x x f T ),,(321的规范形为（D ）A ．232221z z z B ．232221z z z C ．2221z z D ．2221z z 232212332222123322221321)2(2)44(2442),,(x x x x x x x x x x x x x x x x f ，规范形为2221z z ．10．若3阶实对称矩阵)(ij a A是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（D ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知3阶行列式696364232333231232221131211a a a a a a a a a ，则333231232221131211a a a a a a a a a _______________．632323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，61333231232221131211a a a a a a a a a ．12．设3阶行列式3D 的第2列元素分别为3,2,1，对应的代数余子式分别为1,2,3，则3D _______________．4132)2()3(12323222221213A a A a A a D ．13．设0121A，则E AA22_______________．112211201120)(222E AEA A．14．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（2）倍加到第1列得到矩阵B ．若4321B，则A_______________．将B 的第2列的2倍加到第1列可得41125A．15．设3阶矩阵333220100A，则1A _______________．001012103100020033001010100100220333100010001333220100),(E A 0102/113/12/1010001000101012230102000601012206100020066，1A102/113/12/10．16．设向量组)1,1,(1a ，)1,2,1(2，)2,1,1(3线性相关，则数a___________．0363213103210311121112111aa a aa a a ，2a．17．已知Tx )1,0,1(1，Tx )5,4,3(2是3元非齐次线性方程组b Ax 的两个解向量，则对应齐次线性方程组0Ax有一个非零解向量_______________．Tx x )6,4,2(12（或它的非零倍数）．18．设2阶实对称矩阵A 的特征值为2,1，它们对应的特征向量分别为T)1,1(1，Tk ),1(2，则数k ______________．设db b a A，由111A，即1111d b b a ，11d b b a ，可得b a1，b d1；由222A，即kk bbb b 12111，kkb bbkb22)1(1，可得1k ．19．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,0，且矩阵B 与A 相似，则||E B _______________．E B 的特征值为4,1,1，44)1(1||E B．20．二次型232221321)()(),,(x x x x x x x f 的矩阵A_______________．2332222121233222222121321222)2()2(),,(x x x xx x xx x x xx x x xx x x f ，11121011A．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．已知3阶行列式||ij a 4150231x x 中元素12a 的代数余子式812A ，求元素21a 的代数余子式21A 的值．解：由8445012x x A ，得2x，所以5)38(413221A ．22．已知矩阵0111A，211B，矩阵X 满足X B AX ，求X ．解：由X BAX，得B XA E)(，于是13/113/131313121121113120111112)(11BA EX ．23．求向量组T)3,1,1,1(1，T)1,5,3,1(2，T)4,1,2,3(3，T)2,10,6,2(4的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．解：24131015162312311854012460412023110700070041202311000007004120231100001004120231100100402020110000100201020110010*********，321,,是一个极大线性无关组，432120．24．设3元齐次线性方程组00321321321ax x x x ax x x x ax ，（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．解：（1）1010111)2(1111111)2(1212112111111||aaaaa aaaa a a aa aA 2)1)(2(a a，2a 或1a 时，方程组有非零解；（2）2a时，0330211A1102110110101，333231x x x x x x ，基础解系为111，全部解为111k ，k 为任意实数；1a 时，000000111A ，3322321x x x x x x x ，基础解系为11，101，全部解为1011121k k ，21,k k 为任意实数．25．设矩阵504313102B ，（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P ，使BPP1．解：（1）)67)(1(5412)1(54313102||2B E)6()1(2，特征值121，63．对于121，解齐次线性方程组0)(x B E：0000010144303101B E ，332231x x x x x x ，基础解系为0101p ，1012p ；对于63，解齐次线性方程组0)(x B E ：04/3104/10114353104BE，3332314341x x x x x x ，基础解系为14/34/13p ．3阶矩阵B 有3个线性无关的特征向量，所以B 相似于对角阵；（2）令6010001，1104/3014/110P ，则P 是可逆矩阵，使得BP P 1．26．设3元二次型3221232221321222),,(x x x x x x x x x x f ，求正交变换Py x，将二次型化为标准形．解：二次型的矩阵为110121011A ．111121011111201110121011||A E)3)(1(1101)3(11131001，特征值01，12，33．对于01，解齐次线性方程组0)(x A E ：00011010111121011A E ，333231x x x x x x ，1111，单位化为3/13/13/11p ；对于12，解齐次线性方程组0)(x A E ：0001010101111010A E ，332310x x x x x ，1012，单位化为2/102/12p ；对于33，解齐次线性方程组0)(xA E：0210101210111012AE，3332312x x x x x x ，1213，单位化为6/16/26/13p ．令6/12/13/16/203/16/12/13/1P，则P 是正交矩阵，使得APP T3010000，经正交变换Py x 后，原二次型化为标准形23222130y yyf．四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022A A，证明A 的特征值只能是0或2．证：设是A 的特征值，则满足方程022，只能是0或2．。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为（）。
A. -1/2B. 1/2C. 2D. -22. 若向量α=(1, 2, 3)，则向量α的模长为（）。
A. √14B. √13C. 6D. √153. 设A为3×3矩阵，且|A|=0，则下列说法正确的是（）。
A. A可逆B. A不可逆C. A的秩为3D. A的秩为24. 若A是n阶方阵，且A^2=I（单位矩阵），则A的特征值只能是（）。
A. 0B. ±1C. 2D. -25. 设A为3阶方阵，且A的行列式为-1，则A的迹为（）。
A. -1B. 1C. 0D. 3二、填空题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置矩阵为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 &4\end{bmatrix}\]。
2. 若向量组α1=(1, 0, 0)，α2=(0, 1, 0)，α3=(0, 0, 1)，则向量组α1，α2，α3是线性__的。
3. 设A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2)，则矩阵A的特征值为__。
4. 设A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\]，则矩阵A与B的乘积AB为\[\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]。
5. 若矩阵A的特征值为2，3，则矩阵A的迹为__。
三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中的基是一组向量，以下哪个不是基的性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 张成整个空间D. 可以是空间中的任意向量2. 矩阵A和矩阵B相乘，结果矩阵的行列式等于：A. A的行列式乘以B的行列式B. B的行列式乘以A的行列式C. 两个矩阵的行列式之和D. 无法确定3. 对于线性变换，以下哪个说法是错误的？A. 线性变换保持向量的加法运算B. 线性变换保持标量的乘法C. 线性变换保持向量的长度D. 线性变换保持向量的点积4. 一个矩阵的特征值是指：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的行列式C. 使得矩阵的某个特征向量不为零的标量D. 矩阵的迹5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵6. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大的线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数或列数7. 线性方程组的解集可以是：A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 无限多个解8. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵的对角线元素之和D. 矩阵的转置矩阵9. 向量空间的维数是指：A. 空间中向量的个数B. 空间中基的向量个数C. 空间中任意向量的个数D. 空间中线性无关向量的最大个数10. 线性变换的核是指：A. 变换后为零向量的集合B. 变换后为单位向量的集合C. 变换后为任意向量的集合D. 变换后为非零向量的集合二、简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个例子。
2. 描述如何计算矩阵的特征值和特征向量。
3. 解释什么是正交矩阵，并给出正交矩阵的一个性质。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定矩阵A = \[\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案2003年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n阶方阵A、B总有( )A．AB=BA B．|AB|=|BA|2．在下列矩阵中，可逆的是 ( )3．设A是3阶方阵( )A．-2D．24．设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关5．设有m维向量组，则 ( )A．当m<n时，(I)一定线性相关 B．当m>n时，(I)一定线性相关C．当m<n时，(I)一定线性无关 D．当m>n时，(I)一定线性无关6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )A．Ax=2x8．设矩阵的秩为2，则λ= ( )A．2 8．1C．0 D．-l9．二次型的矩阵是( )10．二次型是 ( )A．正定的 B．半正定的C．负定的 D．不定的第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错选、不填均无分。
1 1．行列式的值为___．12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__．13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____．14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____．15．设m×n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____．16．若线性方程组无解，则=______．17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______．18．设矩阵，则A的全部特征值为___．19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21．设向量22．设，矩阵X满足方程求矩阵X．23．当t取何值时，向量组线性相关?24．求下列矩阵的秩：25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A．28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围．四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关．参考答案一、单项选择题二、填空题11．O13．(1,-4,-l3)14．115．ml6．017．418．1，1，-l19．-l20．O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关．所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵由上式得28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30．证由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数2005年10月自考线性代数试题答案全国2004年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。
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1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【 B 】
A．-1 B.
C． D．1
2．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，假设|A|≠|B|，则必有【 C 】 A．|A|=0 B．|A+B|≠0
C．|A|≠0 D．|A+B|≠0
3．设，则方程的根的个数为【 B 】
A．0 B. 1
C．2 D．3
4. 设A为n阶方阵，则以下结论中不正确的选项是：【 C 】
A．是对称矩阵 B. 是对称矩阵
C．是对称矩阵 D．是对称矩阵
5．设，其中，则矩阵A的秩为【 B 】
A．0 B. 1
C．2 D．3
6. 设阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【 A 】
A．0 B. 2
C．3 D．4
7．设向量a=(1，-2，3)与=(2，k，6)正交，则数k为【 D 】
A．-10 B. -4
C．4 D．10
8．设3的阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【 A 】
A．-18 B. -6
C．6 D．18
9．已知线性方程组无解，则数a= 【 D 】
A． B．0
C． D．1
10．设二次型正定，则数a的取值应满足【 C 】
A．a>9 B．3 a9
C．-3<a< 3 D．a-3
二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)
请在每题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．设行列式，其第三行各元素的代数余子式之和为 0 。
12.设则AB= 。
13.设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为
14.设A是4x3的矩阵且r〔A〕=2，，则r〔AB〕= 2
15．已知向量组 =(1，2，-1)， =(2，0，t)， =(0，-4，5)的秩为2，则数t=
3
16．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，，r(A)=3．则方程组的通解是．17．设方程组有非零解，且 <0，则= -2 ．
18.设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数a= 2
19．设3阶方阵4的秩为2，且，则A的全部特征值为 0，-5，-5 ．
20．设实二次型，己知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的标准形为。