八年级第九讲 平行线分线段成比例定理

名师堂八年级数学第九讲平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.

1.平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.

如图1-1若，则，(或；或)

图1-1

定理的证明

过A点作AN∥DF，交l2于M，交l3于N 点，连接BN、CM(如图(1-2)

图1-2

∵

∴AM=DE MN=EF

在△ACN中，有.

∵BM∥CN ∴S△BCM=S△BMN

∴亦即

如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？

“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：

(1)简称“上比下”等于“上比下”

(2)简称“上比全”等于“上比全”

(3)简称“下比全”等于“下比全”

把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.

2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)

主要的基本图形：

(图1) 平行线分线段成比例(图2)

图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成

比例(可看作性质1).及其逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对

应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定).

以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2).

对“A”、“X”型的特征分析：A点是两相交直线的交点，D、E和B、C是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD：AB=AE：AC中，A、D、

B在一条直线上，A、E、C在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得.

注意点：

(1)平行线分线段成比例没有逆定理

(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的

平行线本身不能参与作比例)

(3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC，则DF：FE=BG：GC

(4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关

平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.

典型例题

例1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB 于N，若AB=6cm，求AP的值.

例2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.

求证：EF：FD=CA：CB.

图2-2

证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.

证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.

例3．AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.

求证：DE∥BC.

分析：如图2-3

图2-3

练习

1．选择题：

(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( )

A．B．C．D．

(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( )

A．2 B．3C．D．

(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )

A．B．C．D．

(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )

A．B．C．D．

(5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )

A．B．C．D．

(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )

A．B．C．D．

2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长.

3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC的面积的，求EC的长.

4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？

能力提升

例1已知：如图5-19，AD为△ABC的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．

例2求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．

即图5-20中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PR⊥AB于点R，PQ⊥AC于点Q，BH为腰上的高．求证：PQ+PR=BH．

例3已知：如图5-21，△ABC中，∠A为直角．以AB，AC分别为边向外侧作正方形ABDE，ACFG，线段CD，BF分别与AB，AC相交于点X，Y．求证：AX=AY．

分析一如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段，在这些成比例的线段中，除AX，AY外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY应该能用平行线分线段成比例定理得到证明．

分析二如图5-21（b），连结线段EX，GY，得到△CEX和△BGY．这两个三角形的边CE=BG，又AX

实际等于AY，所以△CEX和△BGY应该有相等的面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD，AF，那么S△ACD=S△CEX，S△BAF=S△BGY，所以只需证明S△ACD=S△BAF．但这很简单了．

例4已知：如图5-22，C为线段AB上任意一点，以AC，BC分别为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，线段AE，CD相交于点P，线段BD，CE相交于点Q．求证：CP=CQ．

分析一参阅例3的分析一．

分析二如图5-22，△ACP和△DCQ应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而