垂径定理1-3课时

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24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）

一、知识探究

1、圆既是 图形，又是 图形。对称轴是 ，对称中心是 。

2、按要求作图

（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；

（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。 观察并回答：

问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：

问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。 求证：AE=BE

结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。 几何语言的写法：∵ ∴

强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析

例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为

例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为

例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。

三、课堂练习：

1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为

2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为

3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为

4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。 求证：AC=BD 。

5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。

24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）

一、知识回顾

垂径定理： 的直径 ，并且 。 按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。

结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析

例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为

典型练习：

1、下面四个命题中正确的一个是（ ）

A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心

D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）．

A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B ．过弦的中点的直线必过圆心

C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D ．弦的垂线平分弦所对的弧

3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<

4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习

1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为

（1） （2） （3）

2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点

M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．

4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。

5、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离是_________________.

6、如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°，求CD

的长．

4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。

O

.

C

A

E

B

D

24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理及推论的应用（第三课时）

一、知识回顾

垂径定理： 的直径 ，并且 。 几何语言：∵ ∴

垂径定理的推论：

的直径 ，并且 。 二、例题解析

例1：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是 CD

的圆心，其中CD=600m ，E 为 CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。

例:2：有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60米，水面到拱顶距离CD=18米，当洪水泛滥，水面宽MN=32米时，是否需要采取紧急措施？（当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施）请说明理由。

三、典型练习：

1、如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，求这个隧道所在圆的半径OA 是多少米？

2、某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道。如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶差距离为10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？

3、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，求⊙0的半径。

4、在弓形ABC 中，弦AB=24，弓形高CD=6，则弓形所在圆的半径等于多少？

5、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。已知：

AB=24cm ，CD=8cm （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径.