反函数、函数图像、函数的对称性

反函数

●知识梳理

1.反函数定义：若函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x=f －1（y ）. 在函数x=f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y=f －1（x ）.

2.互为反函数的两个函数y=f （x ）与y=f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称.

3.求反函数的步骤：

（1）解关于x 的方程y=f （x ），得到x=f －1（y ）.

（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f （x ）的值域〕.

一. 条件存在型

例1.函数f x x ax ()=--2

23在区间[]

12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (]

a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []

a ∈12， 二. 式子求解型 例2.函数y x x =

-≤23

10()的反函数是（ ）

A. y x x =

+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =

+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103

三.求定义域值域型 例3.若f

x -1

()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

四.性质判断型

例4. 函数y e e x x

=--2

的反函数是（ ）

A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；

B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数

C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；

D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数 五. 反函数求值型

例5. 设3

5

2)(-+=

=x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1

+=-x f y 的图象关于直线y=x 对

称，则 g(4)= 。

六.方程关联型

例6.已知函数f x x ()log =+⎛⎝ ⎫

⎭

⎪342，则方程f －1（x ）=4的解x=_____________。 七.不等式关联型

例7.设f －1

（x ）是函数f x a a a x x

()()=->-2

1的反函数，则f －1（x ）>1成立时x 的

取值范围是（ ）

A. a a 212-+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪，

B. -∞-⎛⎝ ⎫⎭⎪，a a 212

C. a a a 212-⎛⎝

⎫⎭

⎪， D. ()a ，+∞

八.图象挖掘型

例8.已知函数y x =log 2的反函数是y f

x =-1

()，则y f x =--11()的图象是（ ）

九.问题综合型

例9.设x R ∈，f （x ）是奇函数，且f x a a x x ()2441

2

=-+-·。

（1）试求f （x ）的反函数f －1

（x ）的解析式及f －1

（x ）的定义域；

（2）设g x x k ()log =+21，若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦

⎥1223，时，f x g x -≤1

()()恒成立，求实数k 的取值范围。

函数图像及综合应用训练题

知识归纳：一、图象变换：

①、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上

(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．

②、对称变换：

（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称； （4）函数1

()y f

x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；

（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.

③、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．

④、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；

（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1

a

倍得到． 二.对称性与周期性

①、函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称.

推广一：如果函数()x f y =对于一切x ∈R ，都有()()f a x f b x +=-成立，那么()x f y =的图像关于直线2

a b x +=

（由“x 和的一半()()

2a x b x x ++-=确定”）对称.

推广二：函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2

b a

x -=（由a x b x +=-确定）对称.

②、函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称.

推广：函数()x f y =与函数()y A f x =-的图像关于直线2

A y =对称（由“y 和的一半

[()][()]

2

f x A f x y +-=

确定”）.

③、函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称.

推广：（设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。） 特别地：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =. 若1

()(0)()

f x a a f x +=

≠恒成立，则2T a =. 若1

()(0)()

f x a a f x +=-

≠恒成立，则2T a =.