反函数、函数图像、函数的对称性

反函数
●知识梳理
1.反函数定义：若函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x=f －1（y ）. 在函数x=f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y=f －1（x ）.
2.互为反函数的两个函数y=f （x ）与y=f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称.
3.求反函数的步骤：
（1）解关于x 的方程y=f （x ），得到x=f －1（y ）.
（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f （x ）的值域〕.
一. 条件存在型
例1.函数f x x ax ()=--2
23在区间[]
12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (]
a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []
a ∈12， 二. 式子求解型 例2.函数y x x =
-≤23
10()的反函数是（ ）
A. y x x =
+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =
+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103
三.求定义域值域型 例3.若f
x -1
()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

四.性质判断型
例4. 函数y e e x x
=--2
的反函数是（ ）
A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；
B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数
C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；
D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数 五. 反函数求值型
例5. 设3
5
2)(-+=
=x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1
+=-x f y 的图象关于直线y=x 对
称，则 g(4)= 。

六.方程关联型
例6.已知函数f x x ()log =+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪342，则方程f －1（x ）=4的解x=_____________。

七.不等式关联型
例7.设f －1
（x ）是函数f x a a a x x
()()=->-2
1的反函数，则f －1（x ）>1成立时x 的
取值范围是（ ）
A. a a 212-+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪，
B. -∞-⎛⎝ ⎫⎭⎪，a a 212
C. a a a 212-⎛⎝
⎫⎭
⎪， D. ()a ，+∞
八.图象挖掘型
例8.已知函数y x =log 2的反函数是y f
x =-1
()，则y f x =--11()的图象是（ ）
九.问题综合型
例9.设x R ∈，f （x ）是奇函数，且f x a a x x ()2441
2
=-+-·。

（1）试求f （x ）的反函数f －1
（x ）的解析式及f －1
（x ）的定义域；
（2）设g x x k ()log =+21，若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦
⎥1223，时，f x g x -≤1
()()恒成立，求实数k 的取值范围。

函数图像及综合应用训练题
知识归纳：一、图象变换：
①、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上
(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．
②、对称变换：
（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称； （4）函数1
()y f
x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；
（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.
③、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．
④、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；
（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1
a
倍得到． 二.对称性与周期性
①、函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称.
推广一：如果函数()x f y =对于一切x ∈R ，都有()()f a x f b x +=-成立，那么()x f y =的图像关于直线2
a b x +=
（由“x 和的一半()()
2a x b x x ++-=确定”）对称.
推广二：函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2
b a
x -=（由a x b x +=-确定）对称.
②、函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称.
推广：函数()x f y =与函数()y A f x =-的图像关于直线2
A y =对称（由“y 和的一半
[()][()]
2
f x A f x y +-=
确定”）.
③、函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称.
推广：（设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。

） 特别地：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =. 若1
()(0)()
f x a a f x +=
≠恒成立，则2T a =. 若1
()(0)()
f x a a f x +=-
≠恒成立，则2T a =.
一、选择题：
1．函数)32(-x f 的图象，可由)32(+x f 的图象经过下述变换得到（ ） A ．向左平移6个单位 B ．向右平移6个单位
C ．向左平移3个单位
D ．向右平移3个单位
2．函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x =- C 、12x =
D 、1
2
x =- 3．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（ ）
A ．y=－
x
1
B ．y=－(x －1)
C ．y=x2－2
D ．y=－|x|
4．函数f(x)、f(x+2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f(x)是减函数，设),2
1
(log 8f a =b= f(7.5)，c= f(－5),则a 、b 、c 的大小是（ ） A ．a>b>c B ．a> c > b
C ．b>a> c
D ．c> a>b
5．已知函数24()log (3)f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A 、(),4-∞
B 、(]4,4-
C 、()
[),42,-∞-+∞ D 、[)4,2-
6．设2()|2|f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(0,4] D ．(0,2)
7．已知函数22()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈,对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是( )
A ．10b -<<
B ．2b >
C ．1b <-或 2b >
D ．不能确定
8．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f(x)是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f(－3)=0，则不等式
)
(x f x
<0的解集是 _____________ 9．已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数,a b 有()()()f a b f a f b ⋅+=，且
()0f x >，若1
(1)2
f =
，则(2)f -＝_____________. 10..定义在R 上的函数()f x 满足11
()()222
f x f x ++-=，则127
()()()888
f f f ++
+＝_
_____________
1、已知函数2
()21f x x x =++
① 若函数的定义域为R ，这个函数是否有反函数？ ② 若函数的定义域是(],1-∞-，求其反函数 ③ 若函数的定义域是[)0,+∞，求其反函数。

2、求下列函数的反函数
2
(4)1x y x x -=
≥-（1） 2
21(0)2(0)x x y x x x -≤⎧=⎨+⎩
（3）
3、若定义域为(],0-∞的函数()f x 满足关系式2
(1)2f x x x -=-，求1
1
()2
f
--的值。

4、已知点P （2,4）既在函数2ax b
y +=的图像上，又在它的反函数图像上，求实数a,b 值。