信息理论与编码_ 有噪信道编码_
有噪信道编码定理
而编码定理要证明的就是：只要信道速率小于信道容量，总存在一种
编码使误码率任意小。
对理想无噪信道，编码定理需要证明 R = LH (U ) < log D 时，误码任
意小；（平均码长与输入熵的关系）
N
对有噪信道情况，编码定理需要证明 R = LH (U ) < C 时，误码任意
小。（信道速率与信道容量的关系）
z 二元编码误差；
z 多元编码误差，信道编码定理。
¾ 基本要求
z 理解信道编码的目的；理解信道速率的概念；
z 理解最小误差和最大似然两个解码准则，会根据最大似然解码准则 划分输出子集；
z 了解二元编码的误码率上界，会计算 gn ( s) ；
z 了解多元编码的误码率上界，理解编码指数的含义及使用方法，掌 握编码指数的曲线变化，掌握有噪信道编码定理。
121316161213131612yx??????????ppx123111244xxxx????????????????pdiagx12121316141611214161213124181121413161211212418xyyx??????????????????????????????pp1diagyxyxy????ppp2012424信息论与编码有噪信道编码定理14xianjiaotonguniversity52解码准则所以
2012-4-24
《信息论与编码》－－有噪信道编码定理
7
《信息论与编码》--有噪信道编码定理
5.1 信道速率
定义：信道每用一次所需要传递的信息量。
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY
设信道编码器的输入是长为 L 的 K 进制序列，输出是N 位长 D进制序 列。可能的输入有 M = K L 种，输出有 T = DN 种，M < T。
信息论基础课件第6章有噪信道编码
0
0
p p
1 p
p 0.01
1
p p 1
01
0p p
[P]
1
p
p
F (0) 0 F (1) 1
PE
PE m in
1 r
s j 1
i*
p(b j
/
ai
)
1 2
(
p
p) 102
➢ 重复发送可以使PE减小 但是：信息传输率降低
传输消息:
重复码
0, 0 00
1 1 11
校验元
若传000, 收到误传为100,010,001中的任一 种, 则认为是传的000，实现了纠错。
6.1 信道编码的概念
第5章结论：在无噪无损信道上，只要对信源 的输出进行恰当的编码，总能以信道容量C 无差错地传输信息。
实际信道都有噪声干扰，本章研究香农第二 定理，即通信的可靠性问题。包括：
1.怎么使有噪信道中消息传输错误达到最少? 2.在有噪信道中无错误传输的可达的最大信息
传输率是什么?
信道编码概述
0.57
2 编码方法
• 上一节结论： 消息通过有噪信道传输时会发生错误 错误概率与译码规则有关
• 噪声干扰：破坏了信号的内部结构－－产生畸变 而造成信息的损失。
• 提高信号抗噪声干扰能力：改造信号使其内部结 构具有更强的规律性或相关性，当信号的部分结 构被破坏时，仍能根据信号原有的内在规律和相 关性来发现甚至纠正错误，恢复原来的信息。
• 通信系统模型
消息集中 一个元素
信道波形 空间中的
一个点
失真后 的波形
恢复的 消息
信源 编码
信道 编码
信道
信道 译码
信息论第6章 有噪信道编码
2
6.1噪声信道的编码问1错误概率与译码规则
8
6.1.2译码规则
S个输出符号中的每一个都可以译成r个输入符号中的任何一个。
9
10
11
（X－X*）表示译码规则 之外对应的X
p( y j )
12
13
14
15
16
17
一般来说，后验概率是难以确定的，所有应用起来很不方便，这时引入极大似然译码规则
41
00－
01－
10－
11－
42
43
44
可见，汉明距离用来定量描述符号序列之间的“相似”程度， D越大，码字间相似性越小，反之，D越小，码字间相似性越大。
45
46
47
48
49
50
编码 选用M个消息所对应的码字间最 小距离dmin尽可能大的编码方法； 译码采用将接收序列bj译成与之距离 最近的那个码字ai的译码规则；
35
6.2.2消息符号个数
36
37
38
39
6.2.3（5，2）线性码
Ɩ（5，2）线性码：码长为5，码字的前2个码元是信息位，后3个码元是校验位。 一般来说，如果码长是N，信息位数目为K，那么校验位为（N－K）位， 这种码称为（N，K）分组码。
40
则四个消息分别为00，01，10， 11
51
52
53
54
55
56
关于香农第二定理的说明：
说明1：从上述定理可知，任何信道的信道容量 是一个明确的分界点，当取分界点以下的信息 传输率时，PE以指数趋于零；当取分界点以上 的信息传输率时、PE以指数趋于1。因此，在任 何信道中信道容量是可达的、最大的可靠信息 传输率。 说明2：香农第二定理只是一个存在定理，它只 说明错误概率趋于零的好码是存在的，但没有 给出令人满意的构码方法
信息论与编码-第6章 有噪信道编码
平均错误译码概率:
PE p(b j ) P(e | b j ) p(b j )[1 P(ai | b j )]
j 1 j 1
s
s
最小错误概率准则
问题: 如何选择p(ai|bj)? 使p(e|bj)最小, 就应选 择p[F(bj)|bj]为最大, 即选择译码函数
简单重复编码
根据这个规则计算得译码后的错误概率为
Y , X a
PE
p ( i ) p ( j | i ) p( j | i )
1 = M
Y , X a
1 3 2 2 2 2 2 2 3 ( p pp pp pp pp pp pp p ) 2 p 3 3 pp 2 3*104 ( p 0.01)
X a ,Y
p ( ai ) p (b j | ai ) p (ai ) pe( i )
X X Y
X a ,Y
p (b j | ai ) p (ai ) F (b j ) a
如果先验概率p(ai)相等, 则: 1 PE Pe( i ) r X
第6.1节 错误概率与译码规则
1 [(0.2 0.3) (0.3 0.3) (0.2 0.4)] 0.567 3
第6.1节 错误概率与译码规则
0.5 0.3 0.2 P 0.2 0.3 0.5 for A 0.3 0.3 0.4 若采用前述译码函数A, 则平均错误率为: 1 PE P(b | a ) 3 Y , X a*
p2 p pp 2
4
数学中的信息论与编码理论
数学中的信息论与编码理论在没有信息论和编码理论的帮助下，我们现代社会的通信系统几乎无法存在。
信息论和编码理论是数学中一个重要的分支，它们的发展不仅深刻影响了通信技术的进步，也在其他领域起到了重要的作用。
本文将探讨数学中的信息论与编码理论的基本概念和应用。
一、信息论信息论是由美国数学家克劳德·香农在20世纪40年代提出的一门学科。
它的研究对象是信息，旨在衡量信息的传输效率和极限。
那么，什么是信息？信息是我们从一个消息中获得的知识或内容。
在信息论中，信息量的单位被称为“比特”（bit），它表示信息的最基本单位。
例如，当我们投掷一枚公平的硬币，出现正面的概率为50%，我们可以用1比特来表示这个消息，因为它提供了一个二进制的选择（正面或反面）。
在信息论中，还有一个重要的概念是“信息熵”。
信息熵用来衡量一个随机变量的不确定性。
一个有序的事件具有较低的信息熵，而一个随机的事件具有较高的信息熵。
例如，当我们已知一个硬币是公平的时候，投掷获得的信息熵最高，因为我们无法预测结果。
二、编码理论编码理论是信息论的一个重要组成部分。
它研究如何将信息转化为机器能够识别和处理的形式。
编码理论可以分为源编码和信道编码两个方面。
1. 源编码源编码是将源数据（比如文本、图像、声音等）进行压缩和表示的过程。
它的目标是将数据表示为更紧凑的形式，以便于存储和传输。
最著名的源编码算法之一是赫夫曼编码，它利用不同符号出现的频率进行编码，将出现频率较高的符号用较短的编码表示，从而实现数据的压缩。
2. 信道编码信道编码是为了在噪声干扰的信道中可靠地传输信息而设计的编码方法。
它通过引入冗余来纠正或检测传输过程中的错误。
最常见的信道编码方法是奇偶校验码和循环冗余检验码（CRC）。
这些编码方法能够检测和校正一定数量的错误，从而提高传输的可靠性。
三、信息论与编码理论的应用信息论和编码理论不仅在通信领域中发挥着重要作用，也在其他领域有广泛的应用。
信息论与编码第七章 有噪信道编码
(1) 最大后验概率准则 ¾ 定义 选择译码函数 F(bj ) = a*, a* ∈ A, bj ∈ B
并使之满足条件 P(a* | bj ) ≥ P(ai | bj ), ai ∈ A, ai ≠ a* 这种译码准则称为“最大后验概率准则”或“最小错误概，它对于每一个输出符号均译有最
（1）求平均错误概率pe
pe = ∑ ∑ p(xy ) = 0.01+ 0.12 + 0.07 + 0.12 + 0.1+ 0.02 = 0.44 x-xk y
(2)当信源等概分布，按最大似然函数译码准则译码，已给出信道转移
概率矩阵 ⎡0.5 0.3 0.2⎤ 在矩阵的每列中选一最大值(矩阵中带下划
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空间[X,p(y|x),Y] 来描述。
a1
X
ar
P(bj | ai )
b1
Y
bs
77..22 相相关关概概率率定定义义及及关关系系
一些关于联合概率和条件概率的关系： (1) 设输入和输出符号的联合概率为 P(x=ai,y=bj)=P(aibj)，则有
P(aibj ) = P(ai )P(bj | ai ) = P(bj )P(ai | bj )
0
1/3
0
2/3
2/3
1
1
1/3
若收到“0”译作“0”，收到“1”译作“1”，则平均错误概率为：
PE
=
P(0)Pe(0)
+
P(1)
P(1) e
=
2 3
反之，若收到“0”译作“1”，收到“1”译作“0”，则平均错误 概率为1/3，可见错误概率与译码准则有关。
第六章有噪信道编码
p( 样，当信道输入符号集X的先验概率为等概时，根 这样，当信道输入符号集X的先验概率为等概时， 据最大后验概率译码准则， 据最大后验概率译码准则， p(x*)p(yj/x*)≥p(xi)p(yj/xi) (i=1,2,……n) 最大后验概率可以用最大信道转移概率来取代。 最大后验概率可以用最大信道转移概率来取代。
使用最大后验概率译码准则必须已知后验概率，一般 使用最大后验概率译码准则必须已知后验概率， 说来，后验概率很难确定， 说来，后验概率很难确定，但信道的统计特性描述总 是给出信道转移概率， 是给出信道转移概率，因此利用信道转移概率的译码 准则。 准则。 由概率中的贝叶斯定理可有： 由概率中的贝叶斯定理可有：
6.1.2译码准则 6.1.2译码准则
定义6.1.1 定义6.1.1 设信道 输入符号集X={x ,i=1,2,…,r}, 输入符号集X={xi,i=1,2, ,r}, 输符号集为Y={y ,j=1,2,…,s}, 输符号集为Y={yj,j=1,2, ,s}, 若对每一个输出符号y 若对每一个输出符号yj都有一个确定的函数 对应于惟一的一个输入符号x F(yj)，使yj对应于惟一的一个输入符号xi，则 这样的函数为译码规则。 这样的函数为译码规则。 F(yj)=xi (i=1,2,…r; j=1,2,…s) 对于有r个输入， 个输出的信道来说， 对于有r个输入，s个输出的信道来说，可以 rs个不同的译码准则 个不同的译码准则。 有rs个不同的译码准则。
消息集中 一个元素
信道波形 空间中的 一个点
失真后 的波形
恢复的 消息
信信 编编
第5章 有噪信道编码
F (b1 ) a3
F (b2 ) a3 F (b3 ) a3
有 噪 信 道 编 码 定 理
一般我们知道先验概率和传递概率，故由MAP准则得到：
p (a * b j ) p (a i b j ) p (a * b j )
18
p( b j )
p (a i b j ) p( b j )
译码规则：收“0”译“1”，收“1”译“0”，则
9
译错的概率=1/3 译对的概率=2/3
结论：信道总不可避免会搀杂噪声，所以信息在信道传输过 程中，差错是不可避免的。选择合适的译码规则可以弥补信 道的不足。
有 噪 信 道 编 码 定 理
5.1.3 译码（判决）规则
1.单符号译码规则 设信道的输入与输出分别为X和Y，x X , y Y，分别 取自符号集A和B，且 A {a1 , a2 ,, ar } ，B {b1 , b2 ,, bs } 定义译码（判决）规则为 10
译码规则举例
设信道输入X取值为(a1,a2,a3), 信道输出Y取值为 (b1,b2,b3)，转移概率矩阵如下 .5 .3 .2 .2 .3 .5 .3 .3 .4
设计译码规则A为：F(b1)=a1, F(b2)=a2 , F(b3)=a3
11
也可以设计另一个译码规则B：F(b1)=a1, F(b2)=a3 , F(b3)=a2
26
a a *
p( y | x a ) / 3
1/ 2
pE ( B)
a a*
p( y | x a ) / 3
[(1 / 6 1 / 3) (1 / 3 1 / 2) (1 / 6 1 / 2)] / 3
有噪信道编码定理
有噪信道编码定理
噪声信道编码定理（Noise channel coding theorem）是通信理论中的一个重要定理，也被称为香农编码定理（Shannon's coding theorem）。
它说明了在有噪声的信道中，通过适当的编码和解码技术，可以实现任意小的误码率。
具体来说，噪声信道编码定理提供了用于传输信息的信道容量的上限，称为香农容量（Shannon capacity）。
香农容量表示了在给定的信道条件下，所能传输的最大有效数据速率。
根据该定理，如果某个编码方案的数据速率小于香农容量，则可以通过适当的编码和解码技术实现任意小的误码率。
噪声信道编码定理的核心思想是通过错误检测和纠正编码，将原始的输入符号转化为冗余的编码符号，这些编码符号可以对信道中的噪声进行纠正或者检测错误。
通过正确的编码和解码过程，接收端可以恢复出原始的输入符号，并降低误码率。
噪声信道编码定理的应用非常广泛，包括在无线通信、有线通信、光纤通信等各种通信系统中。
它为信道编码提供了理论指导，对于提高通信系统的可靠性和容量具有重要的意义。
信息论与编码[第六章有噪声道编码定理与纠错码]山东大学期末考试知识点复习
![信息论与编码[第六章有噪声道编码定理与纠错码]山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/b40579cd08a1284ac85043d8.png)
第六章有噪声道编码定理与纠错码6．1．1 译码准则在有噪信道中传输消息是会发生错误的，而接收端引起错误的大小与选择的译码准则有关，也与信道编码所选码字有关。
3．最小距离译码准则(1)汉明距离码字αi和输出序列βj之间对应位置上不同码元的个数，记为D(αi，βj)，称汉明距离。
对于二元信道(二元码)汉明距离为在二元对称信道中最小距离译码准则等于最大似然译码准则。
而在其他信道中，它们不一定相等。
6．1．2 平均错误概率最小错误概率译码准则使P E最小。
最大似然译码准则本身只与信道传递概率有关，不再依赖先验概率P(αi)(或P(a i))，但不一定能使P E最小。
最大似然译码准则只有在输入符号等概率分布时P E才达最小，此时他与最小错误概率译码准则是等价的。
6．1．3 费诺不等式6．1．4 信道编码的编、译基本原则主要讨论二元对称无记忆信道。
1．编码原则在n次扩展信道输入符号αi中选取M个码字组成一组码书C，应尽量使选取的M个码字中任意两不同码字的汉明距离尽可能地大。
2．译码原则采用最大似然译码准则，即当收到βj后，译成与之汉明距离为最近的那个码字α*。
遵照上述编、译码原则，可做到保持一定信道信息传输速率(码率)R，而使PE尽可能地小。
6．1．5 联合ε典型序列6．1．6 有噪信道编码定理及其逆定理1．定理及其逆定理有噪信道的信道容量为C，若信息传输率R<C，只要码长n足够长，必存在一种信道编码和相应的译码规则，使译码平均错误概率P E为任意小。
反之，若R>C则不存在以R传输信息而P E为任意小的码。
此定理可推广到有记忆信道、连续信道、波形信道中。
只是与研究信道容量一样，在连续情况下需对输入信源加入某些限制条件。
2．有噪信道编码与抗干扰能力有噪信道编码定理及其逆定理论证了，任何信道的信道容量是一个明确的分界点。
当R<C并接近C时，总能克服和消除信道中干扰和噪声引起的错误，达到可靠地传输信息。
信息论与编码实验报告
信息论与编码实验报告一、实验目的信息论与编码是一门涉及信息的度量、传输和处理的学科，通过实验，旨在深入理解信息论的基本概念和编码原理，掌握常见的编码方法及其性能评估，提高对信息处理和通信系统的分析与设计能力。
二、实验原理（一）信息论基础信息熵是信息论中用于度量信息量的重要概念。
对于一个离散随机变量 X，其概率分布为 P(X) ＝｛p(x1)， p(x2)，， p(xn)｝，则信息熵H(X) 的定义为：H(X) ＝∑p(xi)log2(p(xi)）。
（二）编码原理1、无失真信源编码：通过去除信源中的冗余信息，实现用尽可能少的比特数来表示信源符号，常见的方法有香农编码、哈夫曼编码等。
2、有噪信道编码：为了提高信息在有噪声信道中传输的可靠性，通过添加冗余信息进行纠错编码，如线性分组码、卷积码等。
三、实验内容及步骤（一）信息熵的计算1、生成一个离散信源，例如信源符号集为{A, B, C, D}，对应的概率分布为{02, 03, 01, 04}。
2、根据信息熵的定义，使用编程语言计算该信源的信息熵。
（二）香农编码1、按照香农编码的步骤，首先计算信源符号的概率，并根据概率计算每个符号的编码长度。
2、确定编码值，生成香农编码表。
（三）哈夫曼编码1、构建哈夫曼树，根据信源符号的概率确定树的结构。
2、为每个信源符号分配编码，生成哈夫曼编码表。
（四）线性分组码1、选择一种线性分组码，如（7, 4）汉明码。
2、生成编码矩阵，对输入信息进行编码。
3、在接收端进行纠错译码。
四、实验结果与分析（一）信息熵计算结果对于上述生成的离散信源，计算得到的信息熵约为 184 比特/符号。
这表明该信源存在一定的不确定性，需要一定的信息量来准确描述。
（二）香农编码结果香农编码表如下：｜信源符号|概率|编码长度|编码值|｜｜｜｜｜｜A|02|232|00|｜B|03|174|10|｜C|01|332|110|｜D|04|132|111|香农编码的平均码长较长，编码效率相对较低。
信息论第6章有噪信道编码
定理
分组码最小汉明距离与检错和纠错能力的关系:
1）dmin e (t为纠错个数） 用于FEC
3）dmin e t 1（e>t） 用于HEC（又检又纠）
↑→ 检错和纠错能力↑
可编辑ppt
dmin e 1
可编辑ppt
可编辑ppt
4
差错控制方式
差错控制方式一般可以分为四种类型：
• 检错重发（ARQ） • 前向纠错（FEC） • 混合纠错检错（HEC） • 信息反馈（IRQ）
可编辑ppt
汉明距离与最大似然译码
• 定理 对于一个二进制对称信道，如果信道输 入码字为等概率分布，则其最大似然译码可以 等价于最小汉明距离译码。
8
dmin 2t 1
可编辑ppt
9
dmin e t 1
可编辑ppt
10
可编辑ppt
1
译码规则的选择依据: 使平均错误概率最小。
最小错误概率准则
选择译码函数F(bj)=a*并使之满足条件: p(a*|bj)≥p(ai|bj) （对所有ai≠a*）
极大似然译码准则
• 选择译码函数F(bj)=a*,使满足 p(bj|a*)p(a*)≥p(bj|ai)p(ai)，即p(a*bj)≥p(aibj)。
可编辑ppt
2
有噪信道编码定理 ——香农第二定理
定理1 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，
只要待传送的信息传输率 R＜C，则存在一种编码， 当输入序列长度n足够大时，使译码错误概率任意小。 物理含义：
(1) 只要R＜C，就可以在有噪信道中以任意小 的错误概率(pE＜)传输信息；
(2) 当输入序列长度n足够大时，可以以任意接 近信道容量C的信息传输率传递信息。
信息论有噪信道编码定理
信息论有噪信道编码定理
信息论中的噪声信道编码定理是一项基本定理，它表明在存在噪声的通信信道中，可以通过适当的编码方式来实现任意小的错误率。
具体而言，噪声信道编码定理指出，对于具有离散输入和输出的信道模型，存在一种编码模式，使得在传输信息时，可以通过增加冗余信息，使得接收端可以正确地恢复发送端的信息。
这种编码方式称为通道编码。
噪声信道编码定理主要包括两个方面的内容：
1. 容量定理：对于给定的噪声信道，存在一种编码方式，使得传输速率不超过信道的容量时，可以实现任意小的错误概率。
2. 可靠性定理：对于给定的噪声信道和错误概率要求，存在一种编码方式，使得传输速率足够接近信道的容量时，可以实现所需的错误概率。
噪声信道编码定理的重要性在于它给出了在有限带宽和有限功率条件下，如何通过适当的编码方式来克服通信信道中的噪声，并实现可靠的信息传输。
这一定理为现代通信系统的设计和优化提供了重要的理论依据。
6第六章 有噪信道编码
X x1 , x2 , , xr
F ( y1 ) x1 / x2 / / xr
F ( y2 ) x1 / x2 / / xr
（i 1, 2, , r j 1, 2, , s）
Y y1 , y2 , , y s
信道
F ( ys ) x1 / x2 / / xr
H(X |Y )
X ,Y
1 p xy log p x | y 1 1 p xy log p xy log p x | y Y ,X* p x | y
X X * ,Y
H ( X | Y ) [ H ( PE ) PE log( r 1)]
设译码规则为
当输入符号是xi时，译码正确 当输入符号为除xi以 译码错误 外的(r-1)种符号时，
F ( y j ) xi
正确译码的概率：(条件正确概率）
p F ( y j ) | y j p ( xi | y j )
错误译码的概率：(条件错误概率）
p(e | y j ) 1 p(xi | y j ) 1 p[F( y j ) | y j ]
F ( y2 ) x2 F ( y3 ) x3 F ( y1 ) x1 F ( y2 ) x3 F ( y 3 ) x2
译码规则A
译码规则B
对于有r个输入符号，s个输出符号的信道，总共可以设计出 s 种译码规则，到底哪一种译码规则最好？依据什么标准来选择译 码规则？
r
11
6.2.3 错误概率
Y ,X* Y ,X*
1 p ( yj | xi ) p ( xi )
信息理论与编码课后答案第5章
第5章 有噪信道编码5.1 基本要求通过本章学习，了解信道编码的目的，了解译码规则对错误概率的影响，掌握两种典型的译码规则：最佳译码规则和极大似然译码规则。
掌握信息率与平均差错率的关系，掌握最小汉明距离译码规则，掌握有噪信道编码定理（香农第二定理）的基本思想，了解典型序列的概念，了解定理的证明方法，掌握线性分组码的生成和校验。
5.2 学习要点5.2.1 信道译码函数与平均差错率5.2.1.1 信道译码模型从数学角度讲，信道译码是一个变换或函数，称为译码函数，记为F 。
信道译码模型如图5.1所示。
5.2.1.2 信道译码函数信道译码函数F 是从输出符号集合B 到输入符号集合A 的映射：*()j j F b a A =∈，1,2,...j s =其含义是：将接收符号j b B ∈译为某个输入符号*j a A ∈。
译码函数又称译码规则。
5.2.1.3 平均差错率在信道输出端接收到符号j b 时，按译码规则*()j j F b a A =∈将j b 译为*j a ，若此时信道输入刚好是*j a ，则称为译码正确，否则称为译码错误。
j b 的译码正确概率是后验概率：*(|)()|j j j j P X a Y b P F b b ⎡⎤===⎣⎦ （5.1）j b 的译码错误概率：(|)()|1()|j j j j j P e b P X F b Y b P F b b ⎡⎤⎡⎤=≠==-⎣⎦⎣⎦ （5.2）平均差错率是译码错误概率的统计平均，记为e P ：{}1111()(|)()1()|1(),1()|()s se j j j j j j j ssj j j j j j j P P b P e b P b P F b b P F b b P F b P b F b ====⎡⎤==-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ （5.3）5.2.2 两种典型的译码规则两种典型的译码规则是最佳译码规则和极大似然译码规则。
第5章-有噪信道编码
第5章 有噪信道编码
内容提要 本章介绍了信道编码和译码的基 本概念，介绍了两种常用的译码 准则：最大后验概率译码准则和 极大似然译码准则,还介绍了在这 两种译码准则下错误概率的计算 方法。 本章还介绍了信道编码定理以及 信息论中的一个重要不等式Fano 不等式。
5．1 信道编码的基本概念
信源编码以提高传输效率作为主要考虑因素， 信道编码以提高传输可靠性作为主要考虑因素。 这一章讨论信道编码的一些基本概念及信道编码定 理。
y) y)
p(e 000) p(e111)
1 1
1
4 1
3
4 3
44
假设8组输入序列是等概发送的，由于信道的对称性，两
个估值序列也是等概分布的，则每个序列的平均错误概率
为 0.5 p(e 000) 0.5 p(e111) 3
，
误比特率
p1
1 3
3 4
1 4
4 。
判决输出符号集Y = {000,111}
译码规则
F (000， 001， 010， 100) 000
F (011，
101，
110，
111)
111
因为后验概率
（x y ) (000 000)
1 4
（x
y
)
(111111)
1
则出错概率
4
p(e p(e
重复编码的结果使错误概率下降。
书上例题5.2
【例5.3】 逆重复码 离散无记忆二进制对称信道，固有 误码率为p (p<0.5)，信源输出序列为三位二进制数字。
信息论与编码第五章
r
pE 1 pE s r r 1 s 1 p(ai b j ) log p(ai b j ) log p(ai b j ) log p(aibi ) log (r 1) p(ai | b j ) j 1 i * p ( ai | b j ) j 1 i 1 pE j 1 i * 1 pE j 1 i *
p ( ai b j )
pE (r 1)p(b1 ) p(b2 ) p(bs ) p E p E p E 0 r 1
第二项
s
1 pE 1 pE log 1 p ( ai | b j ) p ( ai | b j )
s
即
j 1 i *
第五章
有噪信道编码
无失真信源编码（无噪离散信道编码）的抗干扰能力很 脆弱，如把信源编码器的输出直接接入信道，必然会因干扰 造成错误，使通信不可靠，为了使通信既有效，又可靠，可 在以缩短平均码长、提高通信有效性为主要目标的信源编码 器的输出与信道的输入之间，对信源编码器输出的最佳码再 进行一次编码，以提高其抗干扰能力，称为信道编码。
1、输入端只有2个消息（符号）且等概出现，则每个消息携
带的信息量是 log M 1 bit / 符号 。 2、简单重复三次后，（三次无记忆扩展信道），入端有 2 3 8 个二进序列，但只选其中两个作为消息，M＝2，每个消 1 息携带的信息量仍为 1bit ，但用三个符号,∴ R bit /符号。
p E min
1 8 1 p(b j | ai ) p 3 p p 2 p p 2 p p 2 p p 2 p p 2 p p 2 p 3 2 j 1 i * 2
信息论与纠错编码有躁信道编码教学课件PPT
停发等侯重发 返回重发 选择重发
停发等候重发
停发等候重发方式在两个码组之间有 停顿时间〔T1),使传输效率受到影响,但 由于工作原理简单,在计算机数据通信中 仍得到应用
过程演示
即停等候重发系统中：
TW
发送端 1
发送端在TW时间内送出 一个码组给接收端
接收端 1
接收端进行检验
即停等候重发系统中：
➢实际的信道传输过程中,差错的发生往往不可 避免； ➢错误概率和信道统计特性等相关； ➢选择合适的译码规则能降低差错.
信道编码以及译码
译码器的任务: 受损的信息序列中 尽可能正确地恢复出原信息.
将信道用图5-1所示的模型表示。
u
x
y
X
信道编码器
信道
信道译码器
信道模型
信源输出序列u,经信道编码器编成码字x = f <u> 并输入信道,
错往往要影响到后面一串字----<随参信 道> 差错码元突发开长头度、= 4 以差错码突元发长结度尾= 6,之间1并1 不
纠错码分类
从功能角度讲,差错码分为检错码和纠错码 检错码：用于发现差错 纠错码：能自动纠正差错
纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应 用场合不同,而侧重的性能参数也不同.
+ 信道编码
+ 提高数字通信可靠性
+ 数字信号在信道的传输过程中,由于实
际信道的传输特性不理想以及存在加性噪
声,在接收端往往会产生误码.
3
有噪信道编码定理〔香农第二定理)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F4最差
j 1
s
Pe (F4 ) 1 P F4 (bj ), bj 1 P(a2, b1) P(a1,b2 ) 1 (0.08 0.06) 0.86
8
j 1
5.3 平均差错率与信道编码
Pe与译码规则有关，即使选择最佳译码规则，也只能使Pe有 限地减小，难以满足信息传递系统的高可靠性要求。
DMC
Y
信道译码 Xˆ
F
A{a1,aBiblioteka ,,ar}B {b1,b2,,bs}
A {a1, a2 ,, ar }
N
译码规则： F (bj ) a*j A , j 1, 2, ..., s
s
s
平均差错率Pe : Pe P(bj )P(e | bj ) P(bj ) 1 P F (bj ) | bj
要进一步降低Pe，必须在传送之前进行信道编码。
例：
DMS
U {u1 , u2}
X {a1, a2}
DMC
Y {b1 , b2 }
U
PU
u1 0
0.5
u1 1
0.5
a1 0
p 0.99
p 0.01 p 0.01
a2 1 p 0.99
b1 0 b2 1
二元信源的消息个数：M=2 熵：H(U)=logM=1 bit/符号
3
5.1 译码规则与错误概率
U
信道 编码器
X 信道 Y
信道 译码器 Uˆ
f
F
N
编码信道
信道编码是一个一一对应的变换或函数，称为编码 函数f ；
信道译码也是一个函数，称为译码函数F。
由于编码f （U X）是一一对应变换，其反变换 f-1 唯一确定。因此，讨论译码函数F时，只考虑从Y中 还原出X就可以了，无需还原出U。
4
1、译码规则
X
DMC
Y
A {a1,a2,,ar}
B {b1,b2,,bs}
信道 译码F
Xˆ A {a1,a2,,ar}
N
信道译码函数F，又称译码规则，是从信道输出符 号集合B到信道输入符号集合A的映射：
F:B A F (bj ) a*j A, j 1, 2, ..., s
译码规则是由人为制订的；
j1
j1
s
s
换一种表达式：Pe 1 P F (bj ), bj 1 P F (bj ) P bj | F (bj )
j1
j1
或者 Pe
P(ai , bj )
P(ai )P(bj | ai )
Y , X a*
Y ,X a*
当输入等概时：Pe
1
1 r
s j 1
P
bj
| F (bj )
香农第二编码定理告诉我们：只要信道编码和译码的方法得 当，就可使平均差错率趋于零。
U
信道 编码器 X 信道 Y
信道 译码器 Uˆ
f
F
N 编码信道
2
各节内容
5.1 译码规则与错误概率 5.2 两种典型的译码规则 5.3 平均差错率与信道编码 5.4 汉明距离 5.5 有噪信道编码定理与逆定理 5.6 线性分组码
对于同一个信道可制订出多种译码规则；
“好”的译码规则：平均差错率小。
5
2、错误概率
X
A {a1, a2,, ar}
DMC
N
Y B {b1,b2,,bs}
信道译码 F
Xˆ A {a1,a2,, ar}
译码规则：F (bj ) a*j A , j 1, 2,..., s
bj的译码正确概率是后验概率：P(X a*j |Y bj ) P F(bj )| bj
P 信道编码 X3
f
{1,2,,8}
Y3
信道译码
Y3|X3
{1, 2 ,, 8}
F
Xˆ 3 {u1,u2}
u1 0 f 1 000 2 001 3 010 4 011 5 100 6 101 7 110
u2 1 f 8 111
1 000
2 3
001 010
5 100
4 011
bj的译码错误概率： P(e | bj ) PX F(bj )|Y bj 1 PF(bj )| bj
s
s
平均差错率Pe : Pe P(bj )P(e | bj ) P(bj ) 1 PF(bj )| bj
j1
j1
平均差错率Pe与译码规则F有关。 6
平均差错率Pe的计算公式
X
1 r Y ,X a*
P(bj
| ai )
7
例：译码规则与平均差错率
0.8
a1
b1
(1)找出所有可能的译码规则；
P(a1) 0.4
0.2 0.1
a2
(2)求出各个译码规则对应的平均差错率。
0.9
b2
4种译码规则：
F1
:
F1 F1
(b1 ) (b2 )
a1 a1
F2
:
F2 F2
(b1 ) (b2 )
由于信道输入等概，这时极 大似然译码规则是最佳的。
无信道编码时：
b1 0.99 [PXY ] 0.01
b2 0.01 a1 0.99 a2
F
:
F
F
(b1 (b2
) )
a1 a2
Pe
1
1 r
s j1
P
bj
|
F (bj )
1
1 (0.99 2
0.99)
102
15
U {u1,u2}
1、“简单重复”编码
a2 a2
F3
:
F3 F3
(b1 ) (b2 )
a1 a2
F4
:
F4
F4
(b1 ) (b2 )
a2 a1
b1 b2
b1
b2
[PX ] 0.4 0.6
0.8 [PY|X ] 0.1
0.2 a1 0.9 a2
0.32 [PXY ] 0.06
0.08 a1 0.54 a2
s
Pe (F1) 1 P F1(bj ), bj 1 P(a1, b1) P(a1, b2 ) 1 (0.32 0.08) 0.6 j 1
第5章 有噪信道编码
——差错控制编码
1
问题的提出
每一个通信系统都会有两方面技术要求：有效性和可靠性 （1）有效性：信息率，信息速率，含量效率 （2）可靠性：差错率Pe 。Pe与信道的统计特性有关。
降低Pe的方法：先对消息进行编码再送入信道传送，这种为降 低平均差错率而进行的编码称为信道编码；在信道输出端加 信道译码器进行信息还原。
6 7
101 110
8 111
F1 000 F8 111
1 2 3 4 5 6 7 8
s
Pe (F2 ) 1 P F2 (bj ),bj 1 P(a2 ,b1) P(a2, b2 ) 1 (0.06 0.54) 0.4 j 1
F3最好
s
Pe (F3) 1 P F3(bj ),bj 1 P(a1,b1) P(a2 ,b2 ) 1 (0.32 0.54) 0.14